intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài tập về toán cao cấp Tập 1 part 7

Chia sẻ: Afasg Agq | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST
Báo xấu
361
lượt xem 156
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập toán cao cấp Tập 1 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 276 Tr. Từ khoá: Số phức, Đa thức và hàm hữu tỷ, Ma Trận, Định thức, Hệ phương trình tuyến tính, Không gian Euclide, Dạng toàn phương. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập về toán cao cấp Tập 1 part 7

  1. 4.3. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt ´ ` ´ e ınh e ınh a a 167 . cua hˆ phu.o.ng tr`nh (4.10) du.o.c goi l` hˆ nghiˆm co. ban cua n´ nˆu´ ’e ’ ’ oe ı .ae e . . . . .p tuyˆn t´nh cua c´c nghiˆm ˜ ’ ´ mˆ i nghiˆm cua hˆ (4.10) d` u l` tˆ ho ’ ’a o e e ˆ ao. e eı e . . . e1, e2, . . . , em . Dinh l´ (vˆ su. tˆn tai hˆ nghiˆm co. ban). Nˆu hang cua ma trˆn -. ´ y `.` ’ ’ e o.e e e. a . . . cua hˆ (4.10) b´ ho.n sˆ ˆn th` hˆ (4.10) c´ hˆ nghiˆm co. ban. ’ ´a ’e ’ e o ıe oe e . . . .
  2. Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ ´ 168 e ı e ınh . Phu.o.ng ph´p t` hˆ nghiˆm co. ban ’ a ım e e . . . so. (gia su. d´ l` x1 , . . . , xr ) v` thu .’ 1) D` u tiˆn cˆn t´ch ra hˆ ˆn co ’ ˆ e`a ’ ’ oa a a ea a du.o.c hˆ .e .  a11x1 + · · · + a1r xr = −a1r+1xr+1 − · · · − a1n xn ,  (4.12) ... ... ... ... ... ... ...   ar1x1 + · · · + arr xr = −arr+1xr+1 − · · · − arn xn . 2) Gia su. hˆ (4.12) c´ nghiˆm l` ’’e o ea . . (i) (i) xi = α1 , α2 , . . . , αri) ; xr+1, . . . , xn ) ; ( i = 1, r. Cho c´c ˆn tu. do c´c gi´ tri ’ aa . a a. xr+1 = 1, xr+2 = 0, . . . , xn = 0 ta thu du.o.c . (1) (1) e1 = α1 , α2 , . . . , α(1) ; 1, 0, . . . , 0 r Tu.o.ng tu., v´.i xr+1 = 0, xr+2 = 1, xr+3 = 0, . . . , xn = 0 ta c´ .o o (2) e2 = α1 , . . . , α(2); 0, 1, 0, . . . , 0 , . . . r v` sau c`ng v´.i xr+1 = 0, . . . , xn−1 = 0, xn = 1 ta thu du.o.c a u o . (k ) ek = (α1 , . . . , α(k) , 0, . . . , 1), k = n − r. r Hˆ c´c nghiˆm e1, e2, . . . , ek v`.a thu du.o.c l` hˆ nghiˆm co. ban. ’ ea e u . ae e . . . . CAC V´ DU ´ I . V´ du 1. T` nghiˆm tˆng qu´t v` hˆ nghiˆm co. ban cua hˆ phu.o.ng ’ ’ ’e ı. ım eo a ae e . . . . tr` ınh 2x1 + x2 − x3 + x4 = 0, 4x1 + 2x2 + x3 − 3x4 = 0.
  3. 4.3. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt ´ ` ´ e ınh e ınh a a 169 . Giai. 1) V` sˆ phu.o.ng tr` b´ ho.n sˆ ˆn nˆn tˆp ho.p nghiˆm cua ´’ ´ ’ ’ ıo ınh e oa e a . e . . hˆ l` vˆ han. ea o . . Hiˆn nhiˆn hang cua ma trˆn cua hˆ b˘ng 2 v` trong c´c dinh th´.c ’ .` ’ a ’ ea e e. ı a. u . .c con ´ con cˆp 2 c´ dinh th´ a o. u 2 −1 = 0. 41 Do vˆy hˆ d˜ cho tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ a ea oe . . . 2x1 − x3 = −x1 − x4, 4x1 + x3 = −2x2 + 3x4 . T`. d´ suy ra uo −3x2 + 2x4 5 x1 = , x3 = x 4 . (4.13) 6 3 Do d´ tˆp ho.p nghiˆm cua hˆ c´ dang ’ eo. oa e . . . . −3α + 2β 5 ; α; β ; β ∀ α, β ∈ R (*) 6 3 2) Nˆu trong (4.13) ta cho c´c ˆn tu. do bo.i c´c gi´ tri lˆn lu.o.t ’ ´ a .` ’a e aa . a . `ng c´c phˆn tu. cua c´c cˆt dinh th´.c ` a ’’ao. b˘ a a u . 10 (= 0) 01 th` thu du.o.c c´c nghiˆm ı .a e . 1 1 5 e1 = − ; 1; 0; 0 v` e2 = a ; 0; ; 1 . 2 3 3 D´ l` hˆ nghiˆm co. ban cua hˆ phu.o.ng tr`nh d˜ cho v` nghiˆm tˆng ’ ’ ’e oa e e ı a a e o . . . . qu´t cua hˆ d˜ cho c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang ’’ ˜ a ’ ea oee e o. . 1 1 5 X = λe1 + µe2 = λ − ; 1; 0; 0 + µ ; 0; ; 1 2 3 3
  4. Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ ´ 170 e ı e ınh . ` ´ trong d´ λ v` µ l` c´c h˘ng sˆ t`y y: o a aa a ou´ −3λ + 2µ 5 ; λ; µ; µ ∀ λ, µ ∈ R . X= 6 3 Khi cho λ v` µ c´c gi´ tri sˆ kh´c nhau ta s˜ thu du.o.c c´c nghiˆm ´ a a a .o a e .a e . riˆng kh´c nhau. e a ’e V´ du 2. Giai hˆ ı. .  = 0, x1 + 2x2 − x3  −3x1 − 6x2 + 3x3 = 0,   7x1 + 14x2 − 7x3 = 0. Giai. Hˆ d˜ cho tu.o.ng du.o.ng v´.i phu.o.ng tr` ’ ea o ınh . x1 + 2x2 − x3 = 0. T`. d´ suy ra nghiˆm cua hˆ l`: ’ ea uo e . . x1 = −2x2 + x3 , x2 = x2 , x3 = x3 ; x2 v` x3 t`y y, a u´ hay du.´.i dang kh´c o. a e = (−2x2 + x3 ; x2; x3). Cho x2 = 1, x3 = 0 ta c´ o e1 = (−2; 1; 0), lai cho x2 = 0, x3 = 1 ta thu du.o.c . . e2 = (1, 0, 1). ´ Hai h`ng e1 v` e2 l` dˆc lˆp tuyˆn t´ v` moi nghiˆm cua hˆ d` u c´ ’ eˆ o a a aoa e ınh a . e .e .. . dang . X = λe1 + µe2 = (−2λ + µ; λ; µ)
  5. 4.3. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt ´ ` ´ e ınh e ınh a a 171 . ´ trong d´ λ v` µ l` c´c sˆ t`y y. o a aa ou´ V´ du 3. T` nghiˆm tˆng qu´t v` hˆ nghiˆm co. ban cua hˆ phu.o.ng ’ ’ ’e ı. ım eo a ae e . . . . tr` ınh  x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0,  x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 7x5 = 0, 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 + 5x5 = 0,   x1 + 5x2 + 7x3 + 6x4 + 10x5 = 0. Giai. B˘ng c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp, dˆ d`ng thˆy r˘ng hˆ d˜ cho ´’ ˜a ` ´` ´ ’ a a e eo a e aa ea . .a vˆ hˆ bˆc thang sau dˆy ’ du ` e a c´ thˆ oe e.. a  x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0,  x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 0,   x4 = 0. Ta s˜ chon x1 , x2 v` x4 l`m ˆn co. so.; c`n x3 v` x5 l`m ˆn tu. do. Ta ’ ’ ’o e. a aa a aa. c´ hˆ oe .  x1 + 3x2 + 2x4 = −3x3 − 4x5 ,  x2 + x4 = −2x3 − 3x5 ,   x4 = 0. Giai hˆ n`y ta thu du.o.c nghiˆm tˆng qu´t l` ’ ’ ea e o aa . . . x1 = 3x3 + 5x5 , x2 = −2x3 − 3x5 , x4 = 0. Cho c´c ˆn tu. do lˆn lu.o.t c´c gi´ tri b˘ng x3 = 1, x5 = 0 (khi d´ ’ ` ` aa . a .a a.a o x1 = 3, x2 = 2, x3 = 1, x4 = 0, x5 = 0) v` cho x3 = 0, x5 = 1 (khi d´ a o x1 = 5, x2 = 3, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 1) ta thu du.o.c hˆ nghiˆm co. ban ’ .e e . . e1 = (3; −2; 1; 0; 0), e2 = (5; −3; 0; 0; 1).
  6. Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ ´ 172 e ı e ınh . T`. d´ nghiˆm tˆng qu´t c´ thˆ viˆt du.´.i dang ’ ’´ uo e o aoee o. . X = λ(3; −2; 1; 0; 0) + µ(5; −3; 0; 0; 1) ∀ λ, µ ∈ R. = (3λ + 5µ; −2λ − 3µ; λ; 0; µ); B˘ng c´ch cho λ v` µ nh˜.ng gi´ tri sˆ kh´c nhau ta thu du.o.c c´c ` ´ a a a u a .o a .a .i, moi nghiˆm riˆng c´ thˆ thu ’ nghiˆm riˆng kh´c nhau. D` ng th` e e a o ˆ o e e oe . . . du.o.c t`. d´ b˘ng c´ch chon c´c hˆ sˆ λ v` µ th´ch ho.p. ` .´ . uoa a . a eo a ı .
  7. 4.3. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt ´ ` ´ e ınh e ınh a a 173 . ` ˆ BAI TAP . Giai c´c hˆ phu.o.ng tr` thuˆn nhˆt ` ´ ’ae ınh a a .  x1 + 2x2 + 3x3 = 0,  1. 2x1 + 3x2 + 4x3 = 0, .   3x1 + 4x2 + 5x3 = 0. (DS. x1 = α, x2 = −2α, x3 = α, ∀ α ∈ R)  x1 + x2 + x3 = 0,  2. 3x1 − x2 − x3 = 0, . (DS. x1 = x2 = x3 = 0)   2x1 + 3x2 + x3 = 0. 3x1 − 4x2 + x3 − x4 = 0, 3. 6x1 − 8x2 + 2x3 + 3x4 = 0. 4α − β , x2 = α, x3 = β , x4 = 0; α, β ∈ R t`y y) (DS. x1 = u´ 3 3x1 + 2x2 − 8x3 + 6x4 = 0, 4. x1 − x2 + 4x3 − 3x4 = 0. −α + 4β ; α, β ∈ R t`y y) (DS. x1 = 0, x2 = α, x3 = β , x4 = u´ 3  x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = 0,  5. x1 + x2 − x3 + 2x4 = 0,   4x1 − 5x2 + 8x3 + x4 = 0. 1 3 (DS. x1 = − α, x2 = α, x3 = α, x4 = 0; α ∈ R t`y y) u´ 4 4 3x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0,  6. x1 + x2 − x3 − x4 = 0,   5x1 + x2 − x3 = 0. α 5α + β , x3 = α, x4 = β ; α, β ∈ R t`y y) (DS. x1 = − , x2 = u´ 4 4  2x1 + x2 + x3 = 0,   3x1 + 2x2 − 3x3 = 0, 7. x1 + 3x2 − 4x3 = 0,    5x1 + x2 − 2x3 = 0.
  8. Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ ´ 174 e ı e ınh . α 9α , x3 = α; α ∈ R t`y y) (DS. x1 = , x2 = u´ 7 7
  9. 4.3. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt ´ ` ´ e ınh e ınh a a 175 . T` nghiˆm tˆng qu´t v` hˆ nghiˆm co. ban cua c´c hˆ phu.o.ng ’ ’ ’ae ım e o a ae e . . . . tr` ınh 9x1 + 21x2 − 15x3 + 5x4 = 0, 8. 12x1 + 28x2 − 20x3 + 7x4 = 0. 7 5 ’ (DS. Nghiˆm tˆng qu´t: x1 = − x2 + x3, x4 = 0. e o a . 3 3 Hˆ nghiˆm co. ban e1 = (−7, 3, 0, 0), e2 = (5, 0, 3, 0)) ’ e e . .  14x1 + 35x2 − 7x3 − 63x4 = 0,  9. −10x1 − 25x2 + 5x3 + 45x4 = 0,   26x1 + 65x2 − 13x3 − 117x4 = 0. ’ (DS. Nghiˆm tˆng qu´t: x3 = 2x1 + 5x2 − 9x3. e o a . Hˆ nghiˆm co. ban: e1 = (1, 0, 2, 0); e2 = (0, 1, 5, 0); e3 = ’ e e . . (0, 0, −9, 1))  = 0, x1 + 4x2 + 2x3 − 3x5  10. 2x1 + 9x2 + 5x3 + 2x4 + x5 = 0,   x1 + 3x2 + x3 − 2x4 − 9x5 = 0. ’ (DS. Nghiˆm tˆng qu´t: x1 = 2x3 + 8x4 , x2 = −x2 − 2x4; x5 = 0. e o a . Hˆ nghiˆm co. ban: e1 = (2, −1, 1, 0, 0); e2 = (8, −2, 0, 1, 0) ’ e e . .  = 0, x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4   3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0, 11. 4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0,    3x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 = 0. ’ (DS. Nghiˆm tˆng qu´t: x1 = 8x3 − 7x4 , x2 = −6x3 + 5x4 . e o a . Hˆ nghiˆm co. ban: e1 = (8, −6, 1, 0), e2 = (−7, 5, 0, 1)) ’ e e . .  x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0,   2x1 + 4x2 + 2x3 − x4 = 0, 12. x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 0,   4x1 + 8x2 − 2x3 + x4 = 0. ’ (DS. Nghiˆm tˆng qu´t x1 = −2x2 , x4 = 2x3 . e o a . Hˆ nghiˆm co. ban: e1 = (−2, 1, 0, 0), e2 = (0, 0, 1, 2)) ’ e e . .
  10. Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ ´ 176 e ı e ınh .  x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 0,    2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 + x5 = 0,   13. 3x1 + 4x2 + 5x3 + x4 + 2x5 = 0,   x1 + 3x2 + 5x3 + 12x4 + 9x5 = 0,    4x1 + 5x2 + 6x3 − 3x4 + 3x5 = 0. ’ (DS. Nghiˆm tˆng qu´t x1 = x3 +15x5 , x2 = −2x3 − 12x5 , x4 = x5. eo a . . ban: e1 = (1, −2, 1, 0, 0), e2 = (15, −12, 0, 1, 1)) Hˆ nghiˆm co ’ e e . .
  11. Chu.o.ng 5 Khˆng gian Euclide o Rn -. ` .´ 5.1 Dinh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` mˆt sˆ ıa o e aoo . ban vˆ vecto. . . . . . . . . . . 177 ` kh´i niˆm co ’ a e e . Co. so.. Dˆi co. so. . . . . . . . . . . . . . . . . 188 ’ -o ’ ’ 5.2 Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn201 ’ ’ 5.3 o a . ’ ´ ´ 5.4 Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ . . . . . . . . . . . 213 e e o e ınh -. 5.4.1 Dinh ngh˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 ıa a’ 5.4.2 Ma trˆn cua ph´p bdtt e . . . . . . . . . . . 213 . 5.4.3 C´c ph´p to´n . . . . . . . . . . . . . . . . 215 a e a Vecto. riˆng v` gi´ tri riˆng . . . . . . . . . 216 5.4.4 e aa.e -. ` 5.1 Dinh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` ıa o e a mˆt sˆ kh´i niˆm co. ban vˆ vecto. ´a ` ’ oo e e . . 1◦. Gia su. n ∈ N . Tˆp ho.p moi bˆ c´ thˆ c´ (x1, x2, . . . , xn ) gˆm n ’ ` ’’ a . oo eo o . . . sˆ thu.c (ph´.c) du.o.c goi l` khˆng gian thu.c (ph´.c) n-chiˆu v` du.o.c ` ´ o. u .ao u ea . . .
  12. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 178 o k´ hiˆu l` Rn (Cn ). Mˆ i bˆ sˆ d´ du.o.c chı bo.i ˜ .´ ’’ yea o ooo . . x = (x1, x2, . . . , xn ) v` du.o.c goi l` diˆm hay vecto. cua Rn (Cn ). C´c sˆ x1 , . . . , xn du.o.c ’ ´ ’ a .ae ao . . ’ a diˆm (cua vecto.) x hay c´c th`nh phˆn cua vecto. x. ’ ` ’ ’ goi l` toa dˆ cu . a. o e a a a . . x = (x1 , . . . , xn ) v` y = (y1, . . . , yn ) cua Rn du.o.c xem l` ’ Hai vecto a a . .o.ng u.ng cua ch´ng b˘ng nhau ` ´ ` ’ b˘ng nhau nˆu c´c toa dˆ tu a ea.o ´ u a . xi = yi ∀ i = 1, n. C´c vecto. x = (x1, . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) c´ thˆ cˆng v´.i nhau ’. a o eo o v` c´ thˆ nhˆn v´.i c´c sˆ α, β, . . . l` sˆ thu.c nˆu khˆng gian du.o.c x´t ’ ´ ´ ´ ao e a o a o ao . e o .e .c v` l` sˆ ph´.c nˆu khˆng gian du.o.c x´t l` khˆng ´ ´ l` khˆng gian thu a a o u e ao o ea o . . .c. gian ph´u Theo d.nh ngh˜ 1+ tˆng cua vecto. x v` y l` vecto. ’ ’ i ıa: o aa def x + y = (x1 + y1, x2 + y2 , . . . , xn + yn ). (5.1) 2+ t´ch cua vecto. x v´.i sˆ α hay t´ch sˆ α v´.i vecto. x l` vecto. ´ ´ ’ ı oo ı o o a def αx = xα = (αx1 , αx2 , . . . , αxn ). (5.2) Hai ph´p to´n 1+ v` 2+ thoa m˜n c´c t´nh chˆt (tiˆn d` ) sau dˆy ´ ’ e a a aaı a eˆ e a n n I. x + y = y + x, ∀ x, y ∈ R (C ), II. (x + y ) + z = x + (y + z ) ∀ x, y, z ∈= Rn (Cn ), III. Tˆn tai vecto.- khˆng θ = (0, 0, . . . , 0) ∈ Rn sao cho `. o o n x + θ = θ + x = x, IV. Tˆn tai vecto. dˆi −x = (−1)x = (−x1, −x2, . . . , −xn ) sao cho `. ´ o o x + (−x) = θ, V. 1 · x = x,
  13. 5.1. D. nh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` mˆt sˆ kh´i niˆm co. ban vˆ vecto. -i ` aooa e ’` .´ ıa o e e 179 . VI. α(βx) = (αβ )x, α, β ∈ R (C), VII. (α + β )x = αx + βx, VIII. α(x + y ) = αx + αy trong d´ α v` β l` c´c sˆ, c`n x, y ∈ Rn (Cn ). ´ o a aa o o Dinh ngh˜ 5.1.1. 1+ Gia su. V l` tˆp ho.p khˆng rˆ ng t`y y v´.i c´c -. ˜ ’’ ıa aa . o o u´o a . . du.o.c k´ hiˆu l` x, y, z, . . . Tˆp ho.p V du.o.c goi l` khˆng gian ` a’ phˆn tu . yea a. . .a o . . tuyˆn t´ (hay khˆng gian vecto.) nˆu ∀ x, y ∈ V x´c d.nh du.o.c phˆn ´ ´ ` e ınh o e ai a . . x + y ∈ V (goi l` tˆng cua x v` y ) v` ∀ α ∈ R (C) v` ∀ x ∈ V x´c ’ ’ ’ tu . ao a a a a .o.c phˆn tu. αx ∈ V (goi l` t´ch cua sˆ α v´.i phˆn tu. x) sao ` ` ´ a’ ’o a’ dinh du . . aı o . cho c´c tiˆn d` I-VIII du.o.c thoa m˜n. ’ aeˆ e a . .i ph´p nhˆn c´c phˆn tu. cua n´ v´.i c´c ´ ` a ’’ oo a Khˆng gian tuyˆn t´ v´ o e ınh o e aa .c (ph´.c) du.o.c goi l` khˆng gian tuyˆn t´ thu.c (tu.o.ng u.ng: ´ ´ sˆ thu o. u .a o e ınh . ´ . ph´.c). u Khˆng gian Rn c´ thˆ xem nhu. mˆt v´ du vˆ khˆng gian tuyˆn ’ ´ o ı.` o oe eo e . .o.c x´t vˆ sau. V` trong gi´o tr`nh n`y ta t´nh, c´c v´ du kh´c s˜ du . e ` ı aı. ae e a a ı a luˆn gia thiˆt r˘ng c´c khˆng gian du.o.c x´t l` nh˜.ng khˆng gian thu.c. e` ´a ’ o a o . ea u o . 2◦. Cho hˆ gˆm m vecto. n-chiˆu e` ` .o e x1 , x2, . . . , xm. (5.3) Khi d´ vecto. dang o . y = α 1 x1 + α 2 x2 + · · · + α m xm ; α1 , α2, . . . , αm ∈ R. du.o.c goi l` tˆ ho.p tuyˆn t´ cua c´c vecto. d˜ cho hay vecto. y biˆu ’ ’ ´ e ınh ’ a . ao . a e . diˆn tuyˆn t´ du.o.c qua c´c vecto. (5.3). ˜ ´ e e ınh a . Dinh ngh˜ 5.1.2. 1+ Hˆ vecto. (5.3) du.o.c goi l` hˆ dˆc lˆp tuyˆn -. ´ ıa e .aeoa e . . ... . d˘ng th´.c vecto. eu’ ´ t´ (dltt) nˆu t` a ınh u λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λm xm = θ (5.4) k´o theo λ1 = λ2 = · · · = λm = 0. e
  14. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 180 o 2+ Hˆ (5.3) goi l` hˆ phu thuˆc tuyˆn t´nh (pttt) nˆu tˆn tai c´c sˆ ´ ´o e`.ao ´ e .ae . o eı . . . λ1 , λ2 , . . . , λm khˆng d` ng th`.i b˘ng 0 sao cho d˘ng th´.c (5.4) du.o.c ’ ` o o ˆ oa a u . ’ thoa m˜n. a Sˆ nguyˆn du.o.ng r du.o.c goi l` hang cua hˆ vecto. (5.3) nˆu ´ ´ ’e o e .a. e . . a) C´ mˆt tˆp ho.p con gˆm r vecto. cua hˆ (5.3) lˆp th`nh hˆ dltt. ` ’e ooa . o a a e .. . . . .n r vecto. cua hˆ (5.3) d` u phu thuˆc ` ` ’e b) Moi tˆp con gˆm nhiˆu ho .a o e ˆ e o . . . . ´n t´ tuyˆ ınh. e Dˆ t`m hang cua hˆ vecto. ta lˆp ma trˆn c´c toa dˆ cua n´ ’ ’e a a . o’ o eı a . . . . .   a11 a12 . . . a1n    a21 a22 . . . a2n  . . A= . . .. . . . . . . am1 am2 . . . amn Dinh l´. Hang cua hˆ vecto. (5.3) b˘ng hang cua ma trˆn A c´c toa -. ` ’e ’ y a a a. . . . . o’ dˆ cua n´. o . . d´, dˆ kˆt luˆn hˆ vecto. (5.3) dltt hay pttt ta cˆn lˆp ma trˆn ’´ a e `a T` o e e u a. a . . . ’ toa dˆ A cua ch´ng v` t´nh r(A): .o u aı . ´ ´ 1) Nˆu r(A) = m th` hˆ (5.3) dˆc lˆp tuyˆn t´ e ıe oa e ınh. . .. ´ ´ 2) Nˆu r(A) = s < m th` hˆ (5.3) phu thuˆc tuyˆn t´ e ıe o e ınh. . . . CAC V´ DU ´ I . V´ du 1. Ch´.ng minh r˘ng hˆ vecto. a1 , a2, . . . , am (m > 1) phu thuˆc ` ı. u a e o . . . ´n t´ khi v` chı khi ´t nhˆt mˆt trong c´c vecto. cua hˆ l` tˆ ho.p’ ´o ’ ’ eao . tuyˆ ınh e a ı a a . . . c`n lai. ´ e ınh ’ a tuyˆn t´ cua c´c vecto o . Giai. 1+ Gia su. hˆ a1 , a2, . . . , am phu thuˆc tuyˆn t´ ´ ’ ’’e o e ınh. Khi d´ o . . . tˆn tai c´c sˆ α1 , α2, . . . , αm khˆng d` ng th`.i b˘ng 0 sao cho ` `.ao ´ o o o ˆ oa α1 a1 + α2 a2 + · · · + αm am = θ. Gia su. αm = 0. Khi d´ ’’ o αi am = β1a1 + β2a2 + · · · + βm−1am−1 , βi = αm
  15. 5.1. D. nh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` mˆt sˆ kh´i niˆm co. ban vˆ vecto. -i ` aooa e ’` .´ ıa o e e 181 . t´.c l` am biˆu diˆn tuyˆn t´ qua c´c vecto. c`n lai. ’ ˜ ´ ua e e e ınh a o. .o.c lai, ch˘ng han nˆu vecto. am biˆu diˆn tuyˆn t´ qua ’ ’ ˜ + ´ ´ 2 Ngu . . a e e e e ınh . a1, a2, . . . , am−1 am = β1 a1 + β2a2 + · · · + βm−1 am−1 th` ta c´ ı o β1 a1 + β2a2 + · · · + βm−1 am−1 + (−1)am = θ. Do d´ hˆ d˜ cho phu thuˆc tuyˆn t´ v` trong d˘ng th´.c trˆn c´ hˆ ’ ´ oea o e ınh ı a u e oe . . . . ’a ´ cua am l` kh´c 0 (cu thˆ l` = −1). ’ sˆ o aa .e V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng moi hˆ vecto. c´ ch´.a vecto.-khˆng l` hˆ ` ı. u a .e ou o ae . . ´n t´ phu thuˆc tuyˆ ınh. o e . . Giai. Vecto.- khˆng luˆn luˆn biˆu diˆn du.o.c du.´.i dang tˆ ho.p ’ ˜ ’ ’ o o o e e o. o. . tuyˆn t´ cua c´c vecto. a1, a2 , . . . , am : ´ e ınh ’ a θ = 0 · a1 + 0 · a2 + · · · + 0 · am ´ Do d´ theo dinh ngh˜ hˆ θ, a1, . . . , am phu thuˆc tuyˆn t´ (xem v´ o ıa e o e ınh ı . . . . du 1). . V´ du 3. Ch´.ng minh r˘ng moi hˆ vecto. c´ ch´.a hai vecto. b˘ng ` ` ı. u a .e ou a . ´ nhau l` hˆ phu thuˆc tuyˆn t´ ae o e ınh. . . . . trong hˆ a1, a2, . . . , an c´ hai vecto. a1 = a2. Khi d´ ’ ’’ Giai. Gia su e o o . ’´ ta c´ thˆ viˆt oee a1 = 1 · a2 + 0 · a3 + · · · + 0 · am t´.c l` vecto. a1 cua hˆ c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang tˆ ho.p tuyˆn t´ ’’ ˜ ’ ´ ’ eo e e ua e o. o. e ınh . cua c´c vecto. c`n lai. Do d´ hˆ phu thuˆc tuyˆn t´ (v´ du 1). ´ ’a o. oe o e ınh ı . . . . V´ du 4. Ch´.ng minh r˘ng nˆu hˆ m vecto. a1, a2, . . . , am dˆc lˆp ` ´e ı. u a e oa . .. ´n t´ th` moi hˆ con cua hˆ d´ c˜ng dˆc lˆp tuyˆn t´ ´ ınh. ’ eou tuyˆ ınh ı . e e oa e . . .. ’ cho x´c d.nh ta x´t hˆ con a1 , a2, . . . , ak , k < m v` ch´.ng ’ Giai. Dˆe ai ee au . ` ´ minh r˘ng hˆ con n`y dˆc lˆp tuyˆn t´ a e aoa e ınh. . ..
  16. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 182 o Gia su. ngu.o.c lai: hˆ con a1, a2, . . . , ak phu thuˆc tuyˆn t´ ´ ’’ e o e ınh. Khi .. . . . d´ ta c´ c´c d˘ng th´.c vecto. ’ o oa a u α1 a1 + α2 a2 + · · · + αk ak = θ ´ ´o .´ trong d´ c´ ´ nhˆt mˆt trong c´c hˆ sˆ α1 , α2, . . . , αk kh´c 0. Ta viˆt o o ıt a a eo a e . d˘ng th´.c d´ du.´.i dang ’ a uo o. α1 a1 + α2 A2 + · · · + αk ak + αk+1 ak+1 + · · · + αm am = θ trong d´ ta gia thiˆt αk+1 = 0, . . . , αm = 0. D˘ng th´.c sau c`ng n`y ’ ´ ’ o e a u u a ch´.ng to hˆ a1 , a2, . . . , am phu thuˆc tuyˆn t´ ˜ ´ ’e u o e ınh. Mˆu thuˆ n. a a . . . V´ du 5. Ch´.ng minh r˘ng hˆ vecto. cua khˆng gian Rn ` ’ ı. u a e o . e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), ... ... ... ... en = (0, . . . , 0, 1) ´ l` dˆc lˆp tuyˆn t´ aoa e ınh. .. Giai. T`. d˘ng th´.c vecto. ’ ’ ua u α1 e1 + α2 e2 + · · · + αn en = θ ` suy ra r˘ng a (α1 , α2, . . . , αn ) = (0, 0, . . . , 0) ⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0. ´ v` do d´ hˆ e1, e2, . . . , en dˆc lˆp tuyˆn t´ a oe oa e ınh. . .. V´ du 6. Ch´.ng minh r˘ng moi hˆ gˆm n + 1 vecto. cua Rn l` hˆ phu ` . e` ’ ı. u a .o ae . . ´n t´ thuˆc tuyˆ ınh. o e . Giai. Gia su. n + 1 vecto. cua hˆ l`: ’ ’’ ’ ea. a1 = (a11, a21, . . . , an1 ) a2 = (a12, a22, . . . , an2 ) ... ... ... ... an+1 = (a1,n+1, a2,n+1 , . . . , an,n+1 ).
  17. 5.1. D. nh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` mˆt sˆ kh´i niˆm co. ban vˆ vecto. -i ` aooa e ’` .´ ıa o e e 183 . Khi d´ t`. d˘ng th´.c vecto. ’ oua u x1a1 + x2 a2 + · · · + xn an + xn+1 an+1 = θ suy ra  = 0,  a11x1 + a12x2 + · · · + a1n+1 xn+1  ... ... ... ... ... ...   an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann+1 xn+1 = 0. D´ l` hˆ thuˆn nhˆt n phu.o.ng tr` v´.i (n + 1) ˆn nˆn hˆ c´ nghiˆm ’ ` ´ oa e a a ınh o a e eo e . . . .`.ng v` ` khˆng tˆm thu o o a a (x1 , x2, . . . , xn , xn+1 ) = (0, 0, . . . , 0). ´ Do d´ theo dinh ngh˜ hˆ d˜ x´t l` phu thuˆc tuyˆn t´ o ıa e a e a o e ınh. . . . . V´ du 7. T` hang cua hˆ vecto. trong R4 ’e ı. ım . . a1 = (1, 1, 1, 1); a2 = (1, 2, 3, 4); a3 = (2, 3, 2, 3); a4 = (2, 4, 5, 6). ’ ’o Giai. Ta lˆp ma trˆn c´c toa dˆ v` t`m hang a a a . oaı cua n´. Ta c´ o . . . .     1111 111 1 1 2 3 4 h − h → h 0 1 2 3  2   1 2 A=  −→   → 2 3 2 3 h3 − 2h1 → h3 0 1 0 1 h3 − h2 → h3 3 4 5 6 h4 − 3h1 → h4 012 3 h4 − h2 → h4   11 1 1 0 1 2 3   −→  . 0 0 −2 −3 00 0 0 T`. d´ suy r˘ng r(A) = 3. Theo dinh l´ d˜ nˆu hang cua hˆ vecto. ` ’ uo a yae e . . . ` b˘ng 3. a
  18. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 184 o V´ du 8. Khao s´t su. phu thuˆc tuyˆn t´ gi˜.a c´c vecto. cua R4: ´ ’a. ’ ı. o e ınh u a . . a1 = (1, 4, 1, 1); a2 = (2, 3, −1, 1); a3 = (1, 9, 4, 2); a4 = (1, −6, −5, −1). Giai. Lˆp ma trˆn m` c´c h`ng cua n´ l` c´c vecto. d˜ cho v` t`m ’ ’ oaa a a aa a a aı . . ’o hang cua n´ .   14 1 1 2 3 −1 1    S=  ⇒ r(A) = 2. 1 9 2 4 1 −6 −5 −1 Do d´ hang cua hˆ vecto. b˘ng 2. V` c´c phˆn tu. cua dinh th´.c con ` ` ’e a ’’. o. a ıa u . 14 ∆= = −5 = 0 23 n˘m o. hai h`ng dˆu nˆn a1 v` a2 dˆc lˆp tuyˆn t´nh, c`n a3 v` a4 biˆu ’ ` ´ ` a’ a ae a oa eı o a e .. diˆn tuyˆn t´ qua a1 v` a2. [Lu.u y r˘ng moi c˘p vecto. cua hˆ d` u ˜ ´ ´` ’ eˆ e e ınh a a .a .e . .c con cˆp hai sau dˆy = 0: ´ ´ dˆc lˆp tuyˆn t´ v` ta c´ c´c dinh th´ oa e ınh ı oa . u a a .. 14 14 23 23 19 , , , , .] 19 1 −6 19 1 −6 1 −6 Ta t` c´c biˆu th´.c biˆu diˆn a3 v` a4 qua a1 v` a2. ’ ’ ˜ ım a e u e e a a ´ Ta viˆt e a3 = ξ1 a1 + ξ2 a2 hay l` a (1, 9, 4, 2) = ξ1 · (1, 4, 1, 1) + ξ2 · (2, 3, −1, 1) ⇒ (1, 9, 4, 2) = (ξ1 + 2ξ2 , 4ξ1 + 3ξ2 , ξ1 − ξ2 , ξ1 + ξ2 )
  19. 5.1. D. nh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` mˆt sˆ kh´i niˆm co. ban vˆ vecto. -i ` aooa e ’` .´ ıa o e e 185 . v` thu du.o.c hˆ phu.o.ng tr` a .e ınh .  = 1, ξ1 + 2ξ2   = 9, 4ξ1 + 3ξ2 = 4, ξ1 − ξ2    ξ1 + ξ2 = 2. Ta han chˆ hai phu.o.ng tr`nh dˆu. Dinh th´.c cua c´c hˆ sˆ cua hai ´ ` .´ u ’ a eo’ e ı a . . phu.o.ng tr`nh n`y ch´ l` dinh th´.c ∆ chuyˆn vi. V` ∆ = 0 nˆn hˆ ’ ı a ınh a . u e. ı ee . .o.ng tr` hai phu ınh ξ1 + 2ξ2 = 1 4ξ1 + 3ξ2 = 9 ´ c´ nghiˆm duy nhˆt l` ξ1 = 3, ξ2 = −1. Do d´ o e aa o . a3 = 3a1 − a2. Tu.o.ng tu. ta c´ o . a4 = 2a2 − 3a1. ` ˆ BAI TAP . 1. Ch´.ng minh r˘ng trong khˆng gian R3 : ` u a o 1) Vecto. (x, y, z ) l` tˆ ho.p tuyˆn t´ cua c´c vecto. e1 = (1, 0, 0), ’ ´ e ınh ’ a ao . e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). 2) Vecto. x = (7, 2, 6) l` tˆ ho.p tuyˆn t´nh cua c´c vecto. a1 = ’ ´ ’a ao. eı (−3, 1, 2), a2 = (−5, 2, 3), a3 = (1, −1, 1). 2. H˜y x´c d.nh sˆ λ dˆ vecto. x ∈ R3 l` tˆ ho.p tuyˆn t´ cua c´c ’ ’ ´ ´ e ınh ’ a aai o e ao . vecto. a1 , a2, a3 ∈ R3 nˆu: ´ e 1) x = (1, 3, 5); a1 = (3, 2, 5); a2 = (2, 4, 7); a3 = (5, 6, λ).
  20. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 186 o (DS. λ = 12) 2) x = (7, −2, λ); a1 = (2, 3, 5); a2 = (3, 7, 8); a3 = (1, −6, 1). (DS. λ = 15) 3) x = (5, 9, λ); a1 = (4, 4, 3); a2 = (7, 2, 1); a3 = (4, 1, 6). (DS. ∀ λ ∈ R) 3. Ch´.ng minh r˘ng trong khˆng gian R3 : ` u a o 1) Hˆ ba vecto. e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) l` hˆ dltt. e ae . . . x ∈ R3 bˆt k` v`o hˆ th` hˆ ´ ´ 2) Nˆu thˆm vecto e e a ya e ıe . . {e1, e2, e3, x} ´ l` phu thuˆc tuyˆn t´ a o e ınh. . . 3) Hˆ gˆm bˆn vecto. bˆt k` cua R3 l` pttt. e` ´ ´ a y’ .o o a 4. C´c hˆ vecto. sau dˆy trong khˆng gian R3 l` dltt hay pttt: ae a o a . 1) a1 = (1, 2, 1); a2 = (0, 1, 2); a3 = (0, 0, 2). (DS. Dltt) 2) a1 = (1, 1, 0); a2 = (1, 0, 1); a3 = (1, −2, 0). (DS. Dltt) 3) a1 = (1, 3, 3); a2 = (1, 1, 1); a3 = (−2, −4, −4). (DS. Pttt) 4) a1 = 1, −3, 0); a2 = (3, −3, 1); a3 = (2, 0, 1). (DS. Pttt) 5) a1 = (2, 3, 1); a2 = (1, 1, 1); a3 = (1, 2, 0). (DS. Pttt) 5. Gia su. v1, v2 v` v3 l` hˆ dˆc lˆp tuyˆn t´ e ınh. Ch´.ng minh r˘ng hˆ ´ ` ’’ a aeo a u a e ... . sau dˆy c˜ng l` dltt: au a 1) a1 = v1 + v2 ; a2 = v1 + v3; a3 = v1 − 2v2 . 2) a1 = v1 + v3 ; a2 = v3 − v1; a3 = v1 + v2 − v3 . 6. Ch´.ng minh r˘ng c´c hˆ vecto. sau dˆy l` phu thuˆc tuyˆn t´ ` ´ u a ae aa o e ınh. . . . .i hˆ vecto. n`o th` vecto. b l` tˆ ho.p tuyˆn t´ cua c´c vecto. ’ ´ ´ e ınh ’ a Dˆi v´ e oo. a ı ao. c`n lai ? o. 1) a1 = (2, 0, −1), a2 = (3, 0, −2), a3 = (−1, 0, 1), b = (1, 2, 0). (DS. b khˆng l` tˆ ho.p tuyˆn t´ ’ ´ o ao . e ınh) 2) a1 = (−2, 0, 1), a2 = (1, −1, 0), a3 = (0, 1, 2); b = (2, 3, 6). (DS. b l` tˆ ho.p tuyˆn t´ ’ ´ ao . e ınh)
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2