Bài toán Dirichlet cho phương trình sóng Kirchhoff phi tuyến trong không gian Sobolev có trọng

Chia sẻ: Bautroibinhyen16 Bautroibinhyen16 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

71
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này, bằng một thuật giải lặp cấp hai, các tác giả thiết lập nghiệm yếu duy nhất của một bài toán Dirichlet cho phương trình sóng Kirchhoff phi tuyến trong không gian Sobolev có trọng. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài toán Dirichlet cho phương trình sóng Kirchhoff phi tuyến trong không gian Sobolev có trọng

Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _____________________________________________________________________________________________________________ BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG KIRCHHOFF PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC *, NGUYỄN TUẤN DUY ** TÓM TẮT Trong bài báo này, bằng một thuật giải lặp cấp hai, chúng tôi thiết lập nghiệm yếu duy nhất của một bài toán Dirichlet cho phương trình sóng Kirchhoff phi tuyến trong không gian Sobolev có trọng. Hơn nữa, đánh giá tốc độ hội tụ cấp hai của thuật giải cũng được cho. Kết quả thu được ở đây tương đối tổng quát hơn các kết quả tương ứng trong [2, 11, 14, 20]. ABSTRACT On a Dirichlet problem for a nonlinear Kirchhoff wave equation in the Sobolev spaces with weight In this paper, a second-order iterative scheme is established in order to get a unique weak solution of a Dirichlet problem for a nonlinear Kirchhoff wave equation in the Sobolev spaces with weight. What’s more, the evaluation of the second-order convergent speed of the scheme is given. This result is more relatively generalized than the corresponding results in [2, 11, 14, 20]. 1. Giới thiệu Trong bài báo này, chúng tôi xét bài toán sau: (1.1) 1  2  utt  B(|| ur ||0 )( urr  r ur )  f ( r , u ), 0  r  1, 0  t  T ,    | rlim r ur ( r , t ) |  , u (1, t )  0,  0     u ( r, 0)  u0 (r ), ut ( r,0)  u1 ( r ),     trong đó các hàm số B, f , u0 , u1 là cho trước. Trong phương trình (1.1)1, số hạng 1 Kirchhoff B (|| ur ||2 ) phụ thuộc vào tích phân || ur ||2   ru 2 r ( r, t )dr. Liên quan đến bài 0 0 0 toán (1.1) là bài toán sau đây mà nhiều công trình nghiên cứu đã đề cập, chẳng hạn trong [4 – 6, 9, 10, 12 – 20]: * ** TS, Khoa Giáo dục Tiểu học, Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang CN, Khoa Cơ bản, Trường Đại học Tài chính – Marketing 22 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Tuấn Duy _____________________________________________________________________________________________________________ (1.2)  vtt  B1 (|| v ||2 ) v  f1 ( x, v ), ( x, t )  1  (0, T ),  ( x, t )  1  (0, T ),  v  0,  v ( x,0)  v ( x ), v ( x,0)  v ( x ), 0 1 x  1, t  N 2 ở đây || v ||2   | v ( x, t ) |2dx   i1  v x ( x, t )dx, 1 là một miền bị chặn trong N i 1 1 với biên 1 đủ trơn và v là véctơ pháp tuyến đơn vị trên biên 1 , hướng ra phía ngoài. Với N  1 và 1  (0, L), phương trình (1.2)1 xuất phát từ bài toán mô tả dao động phi tuyến của một dây đàn hồi [6].  Eh  hvtt   P0  2L   L 0 | v  ( y, t ) |2 dy  v xx  0, 0  x  L, 0  t  T , y  ở đây v là độ võng, x là biến không gian, t là biến thời gian,  là khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài sợi dây ở lúc ban đầu, E là môđun Young và P0 là lực căng lúc ban đầu. Trong [3], Carrier cũng đã thiết lập một bài toán có dạng  vtt  P0  P 1  L 0  v 2 ( y , t )dy v xx  0, trong đó P0 và P là các hằng số. 1 Trường hợp 1 là quả cầu đơn vị mở trong N   và các hàm v, f , v0 , v1 phụ thuộc vào x thông qua r với r  | x |  iN 1 xi2 , ta đặt:      v( x, t )  u(| x |, t ), f1 ( x, t )  f (| x |, t ), v0 ( x )  u0 (| x |), v1 ( x )  u1 (| x |), thì  B1 (|| v ||2 )v   B   u (r, t)r dr  (u 1 2 r 0  rr   ur ),   N  1, r ở đây B ( )  B1 ( N ) với  N diện tích mặt cầu đơn vị trong lại như sau . Khi đó (1.2) viết 1   2   utt  B 0 ur ( r , t )r dr (urr  r ur )  f ( r , u ), 0  r  1, 0  t  T ,   u (1, t )  0, 0  t  T ,       u ( r ,0)  u0 ( r ), ut (r ,0)  u1 ( r ), 0  r  1.   (1.3) N  Với N  2, (1.1)1 là phương trình sóng phi tuyến hai chiều mô tả dao động của màng đơn vị 1  {( x, y ) : x 2  y 2  1}. Trong quá trình dao động, bề mặt của màng 23 Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _____________________________________________________________________________________________________________ 1 và sức căng tại các điểm khác nhau trên đó thay đổi theo thời gian. Điều kiện trên biên (1.1)2 tại r  1 mô tả đường biên của màng tròn (chu vi của 1 ) được giữ cố định. Điều kiện biên (1.1)2 tại r  0 hiển nhiên sẽ được thoả mãn nếu u là một nghiệm cổ điển của bài toán (1.1), chẳng hạn như u  C 1 (  [0, T ]) C 2    (0, T )  . Điều kiện này thường được sử dụng trong sự liên hệ với các không gian Sobolev có trọng r [2, 8, 11, 14]. Trường hợp phương trình (1.3)1 không chứa số hạng ( / r)u r (  0), thì (1.3)1 có dạng (1.4) utt  B  1 0  ur2 ( r, t )dr urr  f (r , u ). Khi f  0, bài toán Cauchy hay bài toán hỗn hợp (1.4) đã được nhiều tác giả nghiên cứu; xem [4, 5] và các tài liệu tham khảo được nêu trong đó. Tổng quan các kết quả thuộc về lĩnh vực Toán học của mô hình Kirchhoff có thể được tìm thấy trong các tài liệu [17, 18]. Mederios [16] cũng đã nghiên cứu bài toán (1.1) trên một tập mở và bị chặn  của 3 , với f  f (u )  bu 2 , b  0 là hằng số cho trước. Hosoya và Yamada [5] đã nghiên cứu bài toán (1.4) – (1.3)3,4 với f  f (u )   | u | u , trong đó   0,   0 là các hằng số cho trước. Trong [9, 10], các tác giả cũng đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình (1.5) utt   2u  B(|| u ||2 )u   | ut | 1 ut  F ( x, t ), x  , t  0, ở đây   0,   0, 0    1,  là một tập mở và bị chặn của 3 . Trường hợp có thành phần (1 / r)u r xuất hiện trong phương trình (1.1)1 ta phải khử bỏ hệ số 1 / r bằng cách sử dụng các không gian Sobolev có trọng thích hợp [2, 8, 11, 14]. Trong bài báo này, bài toán (1.1) được liên kết với thuật giải xác định bởi một dãy quy nạp {u m } như sau (1.6)  2um 1   um   B(|| um ||2 ) 0 r   f ( r, um 1 )  (um  um 1 ) Du f ( r , um 1 ), 2 t r r  r  0  r  1, 0  t  T , với um thoả (1.1)2,3,4 và số hạng đầu tiên được chọn là u0  0. Với f  C 2 ([0,1]  ) và B  C 1 (  ), b0  B( z )  d 0 (1  z p ), | B( z ) |  d1 (1  z p 1 ), z  0, trong đó b0  0, p  1, d0 , d1  0 là các hằng số cho trước, cùng với một số điều kiện khác, chúng tôi chứng minh rằng bài toán (1.1) có duy nhất một nghiệm yếu và dãy lặp {u m } hội tụ bậc hai về nghiệm yếu này. Kết quả thu được ở đây tương đối tổng quát hơn các kết quả tương ứng trong [2, 11, 14, 21]. 24 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Tuấn Duy _____________________________________________________________________________________________________________ 2. Các không gian hàm và kết quả chuẩn bị Đặt   (0,1). Ta bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng C m (  ), L p (), H m () và W m, p ( ) (xem [1]). Với mỗi hàm v  C 0 (), ta định nghĩa || v ||0   1 0 1/2 ru 2 ( r, t ) dr  và V0 là đầy đủ hoá của không gian C 0 () đối với chuẩn ||  ||0 . 1/2 2 2 Tương tự, với mỗi hàm v  C1 (), ta định nghĩa || v ||1  || v ||0  || vr ||0  và V1 là đầy đủ hoá của C1 () đối với chuẩn ||  ||1 . Ta chú ý rằng các chuẩn ||  ||0 và ||  ||1 1 có thể được định nghĩa lần lượt từ các tích vô hướng  u , v    ru( r )v ( r )dr và 0  u , v    u , v. Dễ dàng chứng minh được rằng V0 và V1 là các không gian Hilbert với các tích vô hướng tương ứng như trên. Mặt khác, V1 được nhúng liên tục và nằm trù mật trong V0 . Đồng nhất V0 với V0 (đối ngẫu của V0 ), ta có V1 ↪ V0  V0 ↪ V1. Ta cũng dùng ký hiệu ,  để chỉ cặp tích đối ngẫu giữa V1 và V1. Ta có bổ đề sau đây: Bổ đề 2.1 ([2]) Tồn tại hai hằng số dương K1 và K2 sao cho với mọi v  C 1 (), ta có: (i) 2 || vr ||2  v 2 (1)  || v ||0 , 0 (ii) | v(1) |  K1 || v ||1 , (iii) rv( r )  K 2 || v ||1 , r  .   Đặt V1  {v  V1 : v (1)  0}, khi đó ta chứng minh không khó khăn rằng V1 là không gian con đóng của V1 nên cũng là một không gian Hilbert đối với cùng một tích vô hướng trên V1 . Mặt khác, ta cũng có: Bổ đề 2.2 (i)  Phép nhúng V1 ↪ V0 là compact.  (ii) Trên V1 , hai chuẩn v || vr ||0 ; v || v ||1 là hai chuẩn tương đương. Chứng minh bổ đề 2.2 được suy từ bổ đề 2.1, (i). Từ đoạn này trở đi ta sẽ sử dụng  chuẩn trên V1 là v || vr ||0 . Định nghĩa toán tử a (, ) như sau: (2.1) 1  a ( u, v )   rur ( r )v r ( r ) dr , u, v  V1. 0 25 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 21 năm 2010 _____________________________________________________________________________________________________________ Khi đó ta có các bổ đề. Bổ đề 2.3   Dạng song tuyến tính đối xứng a (, ) xác định bởi (2.1) là liên tục trên V1  V1  và cưỡng bức trên V1 , nghĩa là: (i ) | a(u, v ) |  || ur ||0 || vr ||0 , (ii) | a (v, v) |  || vr ||0 2 ,  với mọi u , v  V1.   Từ Bổ đề 2.3, ta có duy nhất một toán tử tuyến tính liên tục A : V1  (V1 ) sao cho  a (u , v)   Au , v u, v V1. 1  ( rur ) r trong (V1 ) và ngoài ra ta còn có bổ đề sau đây nói lên sự tồn r  tại các hàm riêng của toán tử A tạo thành một cơ sở của V0 và V1 : Hơn nữa Au  Bổ đề 2.4 ~  Tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert {w j } của V0 gồm các hàm riêng w j tương ứng với các giá trị riêng  j sao cho (i ) 0  1   j   khi j  , (ii)    a ( w j , v )   j  w j , v , v  V1, j  .   Hơn nữa, hệ {w j /  j } cũng là cơ sở trực chuẩn Hilbert của V1 tương ứng với  tích vô hướng a(, ). Mặt khác hàm w j cũng thỏa mãn bài toán giá trị biên: 1      Aw j   r ( rw jr )r   j w j , trong ,  | lim rw jr (r ) |  ,   w j (1)  0.  r 0  Chứng minh của bổ đề 2.4 có thể tìm thấy trong [22: trang 87, định lý 7.7]. Tiếp theo, với mỗi v  C02 ()  {v  C 2 () : v (1)  0}, ta định nghĩa: (2.2) 2 2 || v ||2  (|| vr ||0  || Av ||0 )1/2 và định nghĩa V2 là đầy đủ hóa của không gian C02 () đối với chuẩn ||  ||2 . Chú ý rằng V2 cũng là không gian Hilbert đối với tích vô hướng: (2.3)  ur , vr    Au, Av.  Mặt khác ta cũng có thể định nghĩa V2 như là V2  {v V1 : Av V0 }. 26