Bài toán hình học phẳng qua cách giải bằng góc định hướng

Chia sẻ: Huynh Duc Vu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

323
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài toán hình học phẳng qua cách giải bằng góc định hướng được biên soạn với các nội dung: Các định nghĩa, các tính chất, ứng dụng, bài tập minh họa, bài tập đề nghị. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài toán hình học phẳng qua cách giải bằng góc định hướng

www.VNMATH.com g BeÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG w QUA CÁCH GIẢI BẰNG GÓC ĐỊNH HƯỚNG NGUYỄN LÁI Cái khó, không thấy được giải nó bằng góc định hướng. Khi đã thấy , ta thấy toán học sao mà hấp dẫn lạ! I. CÁC ĐỊNH NGHĨA 1. Góc định hướng của hai vectơ chung gốc. Kí hiệu : OA, OB . OA : là vectơ đầu; OB : là vectơ cuối. ( ) sd (OA, OB ) = a + k 2p ; ( ) hoặc sd OA, OB º a (mod 2p ) . Trong đó goc AOB = a (0 £ a £ 2p ) là góc không định hướng. 2. Góc định hướng của hai vectơ không chung gốc. Cho hai vectơ AB, CD ( đều khác vectơ không). Lấy điểm O dựng OM = AB, ON = CD ( uuu uuu r r ) ( uuuu uuur r ) Ta có sd AB, CD = sd OM , ON = a + k 2p 3. Góc định hướng của hai đường thẳng. Kí hiệu: (a, b) . a là đường thẳng đầu; b là đường thẳng cuối. sd(a, b) = a + kp ,hay sd(a, b) = a (mod p ) . trong đó a là góc không tù của góc hai đường thẳng a và b không hướng. II. CÁC TÍNH CHẤT. 1.(AB, CD) = AB, CD ; .(AB, CD) º ( AB, DC ) (mod p ) ;.(AB, CD) º ( BA, CD ) (mod p ) 2.Hai đường thẳng a , b trùng nhau hoặc song song khi và chỉ khi (a, b ) º 0 (mod p ) p 3.Hai đường thẳng a , b vuông góc nhau khi và chỉ khi (a, b ) º ( modp ) ( ) 2 4.Góc (a, b) º (b, a) (mod p ) 5.Hệ thức Sale : (a, b) = (a, c) + (c; b). (mod p ) . 6. Hiệu (a, b) º (c, b) – (c, a). III. ỨNG DỤNG +Ba điểm thẳng hàng. -Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi (AB,AC) º 0 (mod p ) . Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi (AB,AM) º (AC,AM) (mod p ) (M tùy ý). +Hai đường thẳng vuông góc. Hai đường thẳng AB, CD vuông góc khi và chỉ khi (AB,AC) º p 2 ( modp ) . + Hai điểm đối xứng qua trục. Hai điểm A,A’ đối xứng qua trục BC khi và chỉ khi (AB, AC) º (A’C, A’B) (mod p ) . + Góc nội tiếp vaø góc ở tâm : M, A, B ở trên đường tròn (O): (MA, MB ) = 1 (OA, OB ) º ( BA, BT ) (mod p ) , 2 trong đó BT là tiếp tuyến của (O) tại B. +Boán điểm cùng nằm trên đường tròn. : www.VNMATH.com -Bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn khi và chỉ khi (AB, AD) º (CB, CD ) (mod p ) Hệ quả: Tập hợp điểm M nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC thỏa mãn: (MA, MB) º (CA, CB) (mod p ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. +Goùc của hai đường thẳng có các cạnh đôi một vuông góc. Ta coù AB ^ EF; CD ^ HG khi và chỉ khi (AB,CD) º (EF; HG) (mod p ) . + Tập hợp điểm - {M /( MA, MB) º a (mod p )} = cung tròn chứa góc a qua A, B. {M /( MA, MB) º -a (mod p )} = cung tròn không chứa góc a qua A, B. IV. BÀI TẬP MINH HỌA A.Phương pháp phứng minh hai đường thẳng song song ,ba điểm thẳng hàng. + Hai đường thẳng a, b cùng phương khi và chỉ khi (a, b) º 0 (mod p ) . + Hai đường thẳng a, b cùng phương khi và chỉ khi (a;c) º (b, c)(mod p ), đường thẳng c tùy ý + Ba điểm A, B,C thẳng hàng khi và chỉ khi (AB,AC) º 0 (mod p ) . + Ba điểm A,B,C thẳng hàng khi và chỉ khi (AB,EF) º (AC,EF)(mod p ), đường EF tùy ý. Bài 1. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Hai cát tuyến bất kì D, D’ lần lượt qua A, B cắt (O) và (O’) lần lượt tại M, M’ và N, N’.Chứng tỏ MN//M’N’. HD. Ta có (MN,MA) º ( BN,BA) (mod p ) . (1) . vì (AMNB) nội tiếp M A (M’A,M’N’,) º ( BA,BN’) (mod p ) . vì (AM’N’B) nội tiếp M ' Û Hay (MA,M’N’) º ( BA,BN) (mod p ) . (2) O O' Cộng (1) và (2) theo Sale ta có: (MN,M’N’) = 0 Þ MN//M’N’ N' B N H A M F B E C Bài 2. (Đường thẳng Simson) . Ñể điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi các hình chiếu của M lần lượt xuống ba cạnh tam giác ABC thẳng hàng . HD. Giả sử E, F ,H lần lượt là hình chiếu của M xuống cạnh BC, AC, AB. Ta có E,F,H thẳng hàng Û ( HE , HM ) = ( HF , HM )(mod p ) Û (CE , CM ) = ( HF , HM )(mod(p ) . (vì HMEC nội tiếp) Û (CB, CM ) = ( AB, AM )(mod p ) (HMFA nội tiếp) Û AMBC nội tiếp Û M Î Vòng ngoại tiếp tam giác ABC. B. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc. +Hai đường thẳng AB, CD vuông góc khi và chỉ khi (AB,AC) º p 2 (mod p ) . ìa ^ b Û d ^ b . î(a, c ) º (d , c)(mod p ) +í Bài 1. Hai dây cung AB, CD của đường tròn (O) vuông góc nhau tại P. Chứng minh trung tuyến PM của tam giác BPC là đường cao của tam giác PAD. D HD.Ta có (PM,AD) = (PM, PC)+(PC, AD) = (PM, PC)+(DC, DA). Vì tam giác PMC cân tại M nên (PM, PC) = (CP, CB) = (CD, CB)= (AD, AB). thay vào (1) ta có (PM, AD) =(AD, AB)+(DC, DA) = (DC, DA) +(DA, AB) P B A M C www.VNMATH.com = (DC,AB) º p 2 (mod p ) Suy ra (PM, AB) º p 2 (mod p ) Þ PM ^ AD . Bài 2. Cho hai vòng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Một điểm M lưu động trên (O) . MA và MB cắt vòng (O’) tại C và D. Chứng minh MO ^ CD . HD. Tại M kẽ tiếp tuyến vòng (O) T M Ta có (MA, MT) º (BA, BM) (mod p ) (1) A C Xét vòng (O’) ta có (BA, BD) º (CA, CD) (mod p ) (2) O' O hay (BA, BM) º (MA, CD) (mod p ) (3) B Từ (1) ,(2) , (3) ta có (MA, MT) º (MA, CD) (mod p ) Þ CD // MT D Mà MT ^ MO Þ MO ^ CD Bài 3. Cho tam giác ABC. Về phía ngoài nó ta dựng các tam giác đều ABE, ACF. Gọi G là tâm tam 0 giác ABE và K là trung điểm của đoạn EF. Chứng minh rằng tam giác KGC vuông và có một góc 60 . E A P Lôøi giaûi .Dựng điểm P sao cho EGFP là hình bình hành K Ta chứng minh tam giác CGP cân tại C. G F Xét hai tam giác GAC và CPF có EG = PF Þ AG = PF (1). CA = CF (2). Mặt khác (FP,FC) º (GE,FC) (mod p ) . B C Vậy (FP,FC) =(GE,GA)+(GA,CA) +(CA,FC) (mod p ) Chọn (AB,AC) là góc dương ,ta có 2p p Ta có (GE,GA) = ; (CA,FC) º (CA,CF) (mod p ) = 3 3 2p p Vậy (FP,FC) º (+(GA,CA) + ) (mod p ) =(AG,AC) (mod p ) Þ ÐGAC = ÐPFC (3). 3 3 Từ (1) ,(2) , (3) Þ DGAC = DCPF Þ CG = CP ,nên tam giác cân GCP có trung tuyến CK cũng vừa là đường cao ,hay tam giác KGC vuông tại K, 0 ¼ ¼ ¼ ACP ¼ ACP ¼ ACF Maët khaùc ta có GCA = PCF Þ GCA + ¼ = PCF + ¼ , hay GCP = ¼ = 60 0 ¼ Do đó KGB = 60 . Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M N là một đường kính của (O). Chứng minh rằng các đường thẳng Símson tam giác ABC ứng với hai điểm M, N thì vuông góc nhau. HD. Gọi X, Y là các hình chiếu của M trên AB , BC theo thứ tự và Z, T là các hình chiếu củ N trên AB, BC theo thứ tự . Ta cần chứng minh XY ^ ZT . Thật vậy ta thấy bộ bốn điểm M, B, X,Y và N, B,Z,T đồng viên . Ta có (XY,ZT) = (XY,MY) + (MY, NT) (mod p ) . Þ ( XY , ZT ) = ( XB, MB) + 0 + ( NB, ZB)(mod p ) Þ ( XY , ZT ) º ( NB, MB )(mod p) (vì XB,ZB trùng nhau ) K _ p M _ A _ Þ ( XY , ZT ) = (mod p) ( Vì MN là đường kính của (O)). 2 X _ Suy ra XY ^ ZT O _ Z _ A _ T _ Y _ N _ C _ www.VNMATH.com C. Phương pháp chứng minh các điểm đồng viên(cuøng nằm trên một đường tròn). -Bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn khi và chỉ khi (AB, AD) º (CB, CD ) (mod p ) Hệ quả: Tập hợp điểm M nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC thỏa mãn (MA, MB) º (CA, CB) (mod p ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Baøi 1.Cho hai đường tròn cắt nhau tại A và B.Kẽ một cát tuyến MAN .Caùc tiếp tuyến tại M và N với đường tròn cắt nhau tại C, Chứng minh rẳng bốn điểm M, N, C, B cùng nằm trên một đường tròn. C HD.Vì MC là tiếp tuyến nên ta có (BM, BA) º (MC, MA)(mod p ) (1) M Vì NC là tiếp tuyến nên (BA, BN) º (NA, NC)(mod p ) (2) A Cộng (1) và (2) ta có (BM, BN)=(MC, NC)=(CM, CN))(mod p ) N Vậy bốn điểm C, B, M, N cùng nằm trên đường tròn. O O' B Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn . A1 , C1 , B1 , D là hình chiếu A, C và B, D xuống 1 BD, AC . Chứng minh A1 B1C1 D là tứ giác nội tiếp. 1 HD. Vì ABA1B nội tiếp nên ta có ( B1 A1 , B1 A ) º ( BA1 , BA ) (mod p ) .(1) 1 Vì ABCD nội tiếp nên (BD,BA) º (CD,CA) (mod p ). B Hay ( BA1 , BA ) º (CD,CA)(mod p ). (2) A C1 v D1 A1 Vì CDD C nội tiếp nên ( CD, CD1 ) º ( C1 D, C1D ) (mod p ). 1 1 1 D1 D C hay (CD,CA) º ( C1 A1 , C1D ) (mod p ). (3). 1 Cộng (1) ,(2) ,(3) ta có Þ A1B1C1D là tứ giác nội tiếp. 1 ( B1 A1 , B1 A ) = ( C1 A1 , C1D1 ) (mod p ). Baøi 3. Điểm đối xứng của trực tâm H qua ba cạnh của một tam giác ABC thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. HD. Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua BC A Ta có(AC,AB) º (HB,HC) (mod p ) ( Góc có cạnh tương ứng vuông góc z (HB,HC) º (H’C,H’B) (mod p ) ( Hai góc đối xứng qua BC) O H Þ (AC,AB) º (H’C,H’B) (mod p ) Û H’ABC nội tiếp hay H 'Î vòng ABC C B H' Hệ quả. Ba vòng đối xứng với vòng ngoại tiếp qua ba cạnh tam giác thì qua trực tâm H Baøi 4. Cho M, N, P lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Chứng tỏ rằng ba đường tròn (AMP), (BMN);(CNP) có một điểm chung. A HD.Giaû söû hai vòng (BMN) và (CNP) cắt nhau tại H ta có BMHN nội tiếp nên : (BM;BN) º (HM,HN) (mod p ) (1) M ta có CNHP nội tiếp nên : (CN,CP) º ((HN,HP) (mod p ) P hay (BN,CP) º ((HN,HP) (mod p ) (2) Cộng (1) và (2) ta có (BM,CP) = (HM,HP) (mod p ) Þ AMHP nôi tiếp . B N Hay vòng (AMP) đi qua H. Þ điều phải chứng minh. C www.VNMATH.com Bài 5. Cho tam giác ABC và một điểm P bất kỉ trong mặt phẳng của tam giác. Chứng minh rằng các vòng tròn đối xứng của ba vòng tròn ngoại tiếp các tam giác PAB, PBC, PCA qua các cạnh AB, BC, CA có một điểm chung. HD. Goïi P1, P2, P3 laø điểm đối xứng của P qua AB, BC, CA và Q là giao điểm thứ hai của hai vòng (P1AB) , (P2BC). Vì tính chất đối xứng nên ta có (P1A, P1B) º (PA, PB)(mod p ) .(1) A (P2B, P2 C) º (PB, PC)(mod p ). (2) Q (P3 C, P3A) º (PC, PA)(mod p ) .(3) P Các điểm P1, A ,B , Q đồng viên ,ta có (QA, QB) º (P1 A, P1B)(mod p ) .(4) C B Các điểm P2, C ,B , Q đồng viên , ta có (QB, QC) º (P2 B,P2C)(mod p ) .(5) P1 Cộng (4) và (5) ta có(QA, QC) = (P1A, P1B) + (P2 B, P2 C) P2 = (PA, PB) (PB,PC)= (PA, PC).(6) Từ (6) và (3) ta có (QA, QC) º (P3A, P3 C) (mod p ) Þ P3, Q, A, C đồng viên. Suy ra điều phải chứng minh. D. Phương pháp chứng minh tiếp tuyến đường tròn. + AT là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi (AT, AB) º (CA, CB) (mod p ). Bài 1. Cho tam giác cân ABC đỉnh A. Một điểm M di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Đường thẳng AM cắt cắt BC tai P. 1. Chöùng minh rằng các vòng tròn ngoại tiếp của tam giác BMP và CMP tiếp xúc với AB và AC lần lượt tại B và C. 2.Tìm taäp hôïp tâm của các đường tròn BMP và CMP. HD. Vì A,B.C.M đồng viên nên (BA, BM) = (CA, CM) A = (CA, CB) + (CB, CM) (1). M Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A nên ta có (CA, CB) º (BC, BA) (mod p ) (2) B P C (CB, CM) º (AB, AM) (mod p ) (3) Từ (1) ,(2) ,(3) ta có(BA, BM) = (BC, BA) + (AB, AM) = (BC, AM) I Þ ( BA, BM ) º ( PB, PM )(mod p ) Þ BA là tiếp tuyến vòng ngoại tiếp tam giác PMB . Tương tự AC là tiếp tuyến của vòng ngoại tiếp tam giác CMP tại C 2.Giả sử I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP nên I là giao điểm đường trung trực cạnh BP và đường thẳng D cố định vuông góc AB. Khi M lưu động trên đường tròn (ABC) thì P lưu động trên BC, suy ra I lưu động trên D E. Phương pháp tìm tập hợp điểm. +Tập hợp điểm M nằm trên vòng (ABC ) khi và chỉ khi (MB, MC) º ( AB, AC ) (mod p ) + {M /( MA, MB) º a (mod p )} = cung tròn chứa góc a qua A, B. + {M /( MA, MB) º -a (mod p )} = cung tròn không chứa góc a qua A, B. Bài 1. Cho tam giác ABC. M là một điểm lưu động trên cạnh BC. Hai vòng thay đổi qua M ,tiếp xúc với AB, AC, lần lượt tại A,B cắt nhau tại I.Tìm tập hợp điểm I khi M thay đổi. HD.Vì AB laø tiếp tuyến vòng (O1) Þ (IB,IM) = (BA,BM) = (BA,BC) (mod p ) (1) A Vì AC là tiếp tuyến vòng (O2) Þ (IM,IC) = (CM,CA) = (BC,CA) (mod p ) (2) B C M Cộng (1) và (2) ta có (IB,IC) = (AB,AC) (mod p ) O1 O2 I Þ ABIC nội tiếp . Vậy tập hợp điểm I là vòng ngoại tiếp tam giác ABC.