Bàn về sự làm việc đồng thời của kết cấu với biến dạng của nền

Journal of Thu Dau Mot university, No2(4) – 2012<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> BAØN VEÀ SÖÏ LAØM VIEÄC ÑOÀNG THÔØI CUÛA KEÁT CAÁU<br /> VÔÙI BIEÁN DAÏNG CUÛA NEÀN<br /> Nguyeãn Huyønh Taán Taøi, Nguyeãn Keá Töôøng<br /> Tröôøng Ñaïi hoïc Thuû Daàu Moät<br /> <br /> <br /> TOÙM TAÉT<br /> <br /> <br /> Baøi vieát naøy trình baøy moät phöông phaùp tính keát caáu coâng trình laøm vieäc ñoàng thôøi<br /> vôùi ñaát neàn. Söï töông taùc giöõa keát caáu beân treân vaø neàn  moùng beân döôùi ñöôïc moâ phoûng<br /> nhôø vaøo moâ hình tieáp xuùc moùng  ñaát neàn, cho pheùp xaùc ñònh chuyeån vò cuûa moùng phuï<br /> thuoäc vaøo caùc ñaëc tröng cô líù cuûa ñaát neàn ñoàng thôøi xaùc ñònh ñöôïc noäi löïc do caùc<br /> chuyeån vò luùn cuûa caùc moùng truyeàn laïi trong keát caáu.<br /> Töø khoùa: keát caáu, neàn, moùng, laøm vieäc ñoàng thôøi, phi tuyeán,<br /> phöông phaùp phaàn töû höõu haïn<br /> *<br /> 1. Giôùi thieäu böùc do moùng luùn. Tuy nhieân caùch laøm naøy<br /> Hieän nay, khi tính keát caáu coâng thöôøng daãn ñeán sai soá lôùn veà noäi löïc,<br /> trình, kyõ sö thöôøng söû duïng phaàn meàm thaäm chí laø sai laàm.<br /> tính toaùn thöông maïi nhö Sap, Etab. Ñeå khaéc phuïc hieän töôïng treân, moâ<br /> Phaàn keát caáu beân treân vaø phaàn neàn moùng hình neàn Winkler ñöôïc söû duïng ñeå moâ<br /> beân döôùi ñöôïc tính toaùn rieâng bieät. Söï phoûng söï laøm vieäc ñoàng thôøi giöõa keát caáu<br /> truyeàn taûi töø keát caáu beân treân xuoáng beân moùng vaø ñaát neàn. Moâ hình naøy quan<br /> döôùi ñöôïc thöïc hieän thoâng qua nhöõng lieân nieäm ñaát neàn öùng xöû nhö moät loø xo, quan<br /> keát líù töôûng nhö ngaøm, khôùp. Vieäc tính heä giöõa chuyeån vò vaø phaûn löïc neàn laø<br /> toaùn nhö treân khoâng xeùt ñeán söï chuyeån vò ñöôøng thaúng. Ví duï trong coâng trình [1],<br /> ñoàng thôøi cuûa keát caáu beân treân vaø moùng taùc giaû moâ hình keát caáu vaø daàm moùng<br /> beân döôùi. Caùc keát quaû noäi löïc tìm ñöôïc baêng laøm vieäc ñoàng thôøi vôùi nhau. Daàm<br /> chöa xaùc thöïc vôùi söï laøm vieäc thöïc teá cuûa moùng baêng ñöôïc chia thaønh nhieàu ñoaïn<br /> keát caáu do chöa tính ñeán phaàn noäi löïc do (phaàn töû) giôùi haïn bôûi hai ñieåm (nuùt). Taïi<br /> chuyeån vò khoâng ñoàng thôøi cuûa caùc lieân caùc nuùt, ñaët moät lieân keát loø xo theo<br /> keát. Noäi löïc xuaát hieän trong keát caáu do phöông ñöùng. Ñoä cöùng cuûa loø xo phuï thuoäc<br /> chuyeån vò khoâng ñoàng thôøi cuûa caùc lieân vaøo heä soá neàn vaø phuï thuoäc vaøo dieän<br /> keát chæ coù theå thöïc hieän sau khi giaûi baøi truyeàn taûi cuûa nuùt ñoù. Ñieåm maáu choát cuûa<br /> toaùn luùn cho töøng moùng roài töø ñoù cho giaûi moâ hình naøy laø xaùc ñònh heä soá neàn tuy<br /> laïi baøi toaùn keát caáu vôùi chuyeån vò cöôõng nhieân ñaây khoâng phaûi laø vieäc deã daøng.<br /> <br /> 66<br />  Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 2(4) - 2012<br /> <br /> <br /> Caùch ñôn giaûn nhaát ñeå xaùc ñònh heä soá 2. Moâ hình tieáp xuùc moùng - ñaát neàn<br /> neàn laø thí nghieäm baøn neùn hieän tröôøng. Keát caáu thöôïng taàng cuûa coâng trình töïa<br /> Moâ hình neàn Winkler ñôn giaûn nhöng leân ñaát neàn thoâng qua keát caáu haï taàng<br /> haïn cheá do quan nieäm quan heä giöõa chính laø caùc moùng (hình H.1). Moâ hình tieáp<br /> chuyeån vò vaø phaûn löïc neàn laø tuyeán tính xuùc keát caáu moùng - ñaát neàn trình baøy trong<br /> trong khi öùng xöû cuûa ñaát neàn laø khoâng baøi vieát naøy ñöôïc aùp duïng cho coâng trình söû<br /> tuyeán tính. Ñeå khaéc phuïc nhöôïc ñieåm duïng keát caáu moùng ñôn. Neáu coù söï tieáp xuùc<br /> treân, moät phöông phaùp tính toaùn keát caáu giöõa moùng vaø ñaát neàn thì chuyeån vò ñöùng<br /> coâng trình laøm vieäc ñoàng thôøi vôùi ñaát neàn U cuûa moùng chính baèng ñoä luùn s(s  0) cuûa<br /> ñöôïc ñeà xuaát. Phöông phaùp naøy döïa vaøo neàn taïi vò trí taâm moùng töông öùng vôùi aùp<br /> baøi toaùn tính luùn coá keát ñeå xaùc ñònh löïc gaây luùn taïi taâm moùng laø p  0 . Trong<br /> chuyeån vò ñöùng taïi taâm caùc moùng coâng tröôøng hôïp khoâng coù söï tieáp xuùc moùng -<br /> trình, ñoàng thôøi caùc phaûn löïc do ñaát neàn neàn thì aùp löïc do ñaát neàn truyeàn vaøo moùng<br /> taùc duïng leân coâng trình töông öùng caùc baèng khoâng (p = 0). Nhö vaäy quan heä giöõa<br /> chuyeån vò ñöùng naøy phaûi thoûa maõn caùc aùp löïc ñaát neàn taùc duïng vaøo moùng p vaø<br /> phöông trình caân baèng tónh hoïc cuûa keát chuyeån vò cuûa moùng U laø moät quan heä phi<br /> caáu döôùi taùc duïng cuûa caùc taûi troïng vaø taùc tuyeán. Tính phi tuyeán ôû ñaây bao goàm hai<br /> ñoäng leân coâng trình. Do ñoù, tính phi nguyeân nhaân: (i) do qui luaät öùng xöû cuûa ñaát<br /> tuyeán trong quan heä öùng xöû cuûa ñaát neàn neàn laø phi tuyeán vaø (ii) do baûn chaát phi<br /> ñöôïc xeùt ñeán. tuyeán cuûa baøi toaùn tieáp xuùc.<br /> <br /> Kết cấu bên trên<br /> P<br /> Móng<br /> u<br /> <br /> R(u)=P<br /> Nền<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (a) (b)<br /> Hình 1: Moâ hình tieáp xuùc moùng - ñaát neàn<br /> 2.1. ÖÙng suaát trong neàn ñaát troïng löôïng rieâng  . ÖÙng suaát do troïng<br /> ÖÙng suaát trong neàn ñaát bao goàm öùng löôïng baûn thaân cuûa ñaát trong neàn<br /> suaát do troïng löôïng baûn thaân ñaát neàn vaø öùng  bt   .z (1)<br /> suaát gaây luùn do coâng trình beân treân truyeàn (b) ÖÙng suaát gaây luùn: laø öùng suaát do<br /> xuoáng thoâng qua caùc moùng. Trong ñoù: moùng coâng trình truyeàn xuoáng neàn. Trong<br /> (a) ÖÙng suaát baûn thaân: ñeå ñôn giaûn baøi vieát naøy, caùc taùc giaû chæ xeùt ñeán<br /> hoùa baøi toaùn vaø khoâng laøm maát tính toång chuyeån vò caùc moùng theo phöông ñöùng<br /> quaùt, giaû söû ñaát neàn chæ goàm moät lôùp ñaát, khoâng ñoàng thôøi, khoâng cuøng trò soá luùn.<br /> <br /> 67<br /> Journal of Thu Dau Mot university, No2(4) – 2012<br /> <br /> <br /> Goùc xoay cuûa caùc moùng chöa ñöôïc xeùt ñeán. Do ñoù ta coù theå moâ hình hoùa ñöôøng<br /> Ñeå ñôn giaûn tính toaùn, moùng coâng trình cong e   döôùi daïng moät ña thöùc baäc n,<br /> ñöôïc giaû söû coù daïng hình troøn ñuùng taâm e  ai  { i }, i  0, n . Tröôøng hôïp ñöôøng<br /> ñöôøng kính d truyeàn aùp löïc trung bình cong neùn luùn coù daïng phöùc taïp, ta coù theå<br /> xuoáng ñaát neàn taïi taâm moùng p . Noùi caùch duøng pheùp noäi suy Lagrange hoaëc Spline.<br /> khaùc, p chính laø aùp löïc trung bình do ñaát Vôùi taäp soá lieäu nhö treân hình 2,<br /> neàn truyeàn vaøo taâm moùng coâng trình. ÖÙng ñöôøng cong baäc 3 ñaõ coù theå xaáp xæ toát. Cuï<br /> suaát do aùp löïc p gaây ra trong neàn taïi vò trí theå ñöôøng<br /> taâm moùng theo Boussinesq [4]<br /> e  a3. 3  a2 . 2  a1.  a0 (4)<br /> 1 z 3<br />  gl  p. 2 2 3/2 (2) vôùi a3  1e  20 , a2  2e  6 , a1  0.0011<br /> (r  z )<br /> vaø a0  0.97  e(0) .<br /> Trong tröôøng hôïp moùng khoâng phaûi<br /> hình troøn, öùng suaát trong neàn do aùp löïc 2.3. Baøi toaùn luùn coá keát<br /> p gaây ra ñöôïc tính baèng Ñoä luùn coá keát taïi taâm moùng coâng<br /> <br />  gl  p.K0 (3) trình ñöôïc tính<br />  ei1  ei 2<br /> trong ñoù K0 laø heä soá phuï thuoäc vaøo chieàu s dz (5)<br /> 0 1  ei1<br /> saâu z vaø kích thöôùc cuûa moùng [5, 6]. trong ñoù s laø ñoä luùn coá keát, ei1 laø heä soá<br /> 2.2. Ñöôøng cong neùn luùn roãng öùng vôùi öùng suaát baûn thaân vaø ei 2 laø<br /> heä soá roãng öùng vôùi öùng suaát gaây luùn coäng<br /> Ñöôøng cong neùn luùn e   ñöôïc xaùc<br /> vôùi öùng suaát baûn thaân.<br /> ñònh töø thí nghieäm neùn coá keát maãu ñaát<br /> khoâng nôû hoâng, trong ñoù e laø heä soá roãng, Tieâu chuaån thieát keá neàn nhaø vaø coâng<br /> <br />  laø caáp aùp löïc neùn. Trong haàu heát caùc trình Vieät Nam TCXD 45-78, cho pheùp<br /> <br /> tröôøng hôïp, quan heä e   laø ñöôøng cong tính ñoä luùn coá keát cuûa neàn baèng phöông<br /> <br /> ñôn ñieäu giaûm, vaø coù daïng nhö ñöôøng phaùp toång caùc lôùp phaân toá, töùc laø tính<br /> <br /> cong treân hình 2. gaàn ñuùng tích phaân treân<br /> <br /> ei1  ei 2<br /> hgl<br /> <br /> s z (6)<br /> 0 1  ei1<br /> trong ñoù hgl laø ñoä saâu maø taïi ñoù xem nhö öùng<br /> suaát gaây luùn khoâng coøn coù taùc duïng gaây luùn,<br /> cuï theå gl  5 bt trong tröôøng hôïp ñaát toát,<br />  gl  0,1  0, 2 bt trong tröôøng hôïp ñaát yeáu.<br /> 2.4. Qui luaät tieáp xuùc moùng - neàn ñaát<br /> Goïi U laø chuyeån vò theo phöông ñöùng<br /> cuûa moät moùng baát kyø vaø p laø aùp löïc do<br /> ñaát neàn taùc duïng vaøo moùng ñoù töông öùng<br /> Hình 2: Ñöôøng cong neùn luùn [7 : 58] vôùi ñoä luùn U . Qui luaät tieáp xuùc theo<br /> <br /> 68<br />  Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 2(4) - 2012<br /> <br /> <br /> phöông ñöùng giöõa moùng - ñaát neàn ñöôïc dieãn hgl<br /> ei1 ( bt )  ei 2 ( gl ( p)   bt )<br /> ñaït nhö sau: neáu U  0 , coù söï tieáp xuùc  0 1  ei1 ( bt )<br /> z  U  0 (8)<br /> moùng – neàn, p  0 ; neáu U  0 , khoâng coù Qui luaät öùng xöû cho söï tieáp xuùc theo<br /> söï tieáp xuùc moùng - neàn, p  0 . (7) phöông ñöùng cuûa moùng vaø ñaát neàn ñöôïc<br /> Trong tröôøng hôïp coù tieáp xuùc, U   s vieát laïi baèng phöông trình sau:<br /> neân töø phöông trình (6) ta coù<br /> <br />  hgl ei1 ( bt )  ei 2 ( gl ( p)   bt )<br />  z  U  0, neáu U  0<br />  0 1  ei1 ( bt ) (9)<br />  p  0, neáu U  0<br /> <br /> Ta coù theå chöùng minh phöông trình (9) laø töông ñöông vôùi phöông trình (7) nhö sau:<br /> (i) phöông trình (9) suy ra phöông trình (7)<br /> hgl<br /> ei1 ( bt )  ei 2 ( gl ( p)   bt )<br /> - Neáu U  0, ta coù 0 1  ei1<br /> z  0  ei1 ( bt )  ei 2 ( gl ( p)   bt )<br /> <br /> neân  gl ( p)  0  p  0<br /> - Neáu U  0  p0<br /> (ii) phöông trình (7) suy ra phöông trình (9)<br /> hgl<br /> ei1 ( bt )  ei 2 ( gl ( p)   bt )<br /> - Neáu p  0  ei1 ( bt )  ei 2 ( gl ( p)   bt )   0 1  ei1<br /> z  0  U  0<br /> <br /> - Neáu p  0  khoâng coù tieáp xuùc  U > 0<br /> 3. Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho<br /> heä khung laøm vieäc ñoàng thôøi vôùi ñaát<br /> neàn<br /> Cho moät keát caáu khung coâng trình<br /> nhö treân hình 3. Giaû söû moùng coâng trình<br /> bò khoùa chaët theo phöông x vaø theo<br /> phöông goùc xoay  . Coøn theo phöông<br /> thaúng ñöùng y , moùng coâng trình ñöôïc tieáp<br /> xuùc vôùi ñaát neàn. Qui luaät öùng xöû moâ taû söï<br /> tieáp xuùc giöõa moùng coâng trình vaø ñaát neàn Hình 3: Moâ hình khung laøm vieäc ñoàng<br /> tuaân theo phöông trình (9). Phöông trình thôøi vôùi ñaát neàn baèng phaàn töû tieáp xuùc<br /> caân baèng nuùt trong heä toïa ñoä toång theå moùng - ñaát neàn<br /> Oxy Ma traän ñoä cöùng cuûa toaøn keát caáu<br /> K.U  F  Fp (10) K coù ñöôïc töø vieäc saép xeáp caùc ma traän ñoä<br /> trong ñoù K laø ma traän ñoä cöùng, U laø veùc-tô cöùng phaàn töû Ke . Trong heä toïa ñoä ñòa<br /> chuyeån vò nuùt, F laø veùc-tô löïc nuùt do caùc taûi phöông cuûa phaàn töû O (hình 4) , ma<br /> troïng, Fp laø veùc-tô löïc nuùt do phaûn löïc neàn. traän ñoä cöùng phaàn töû ñöôïc xaùc ñònh [6, 7].<br /> <br /> 69<br /> Journal of Thu Dau Mot university, No2(4) – 2012<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 4:<br /> Heä toïa ñoä ñòa phöông<br /> phaàn töû maãu<br /> <br /> <br />  EA / L 0 0  EA / L 0 0 <br />  0 12 EJ / L 3<br /> 6 EJ / L 2<br /> 0 12 EJ / L 6 EJ / L <br /> 3 2 <br /> <br />  0 6 EJ / L 2<br /> 4 EJ / L 0 6 EJ / L2 2 EJ / L <br /> ke    (11)<br />   EA / L 0 0 EA / L 0 0 <br />  0 12 EJ / L3 6 EJ / L2 0 12 EJ / L3 6 EJ / L2 <br />  <br />  0 6 EJ / L2 2 EJ / L 0 6 EJ / L2 4 EJ / L <br /> trong ñoù E , A, J laàn löôït laø moâ-ñun ñaøn hoài, neàn truyeàn vaøo caùc moùng vaø {r} laø veùc-tô<br /> dieän tích vaø moâ-men quaùn tính theo phöông caùc baùn kính moùng. Veùc-tô löïc nuùt do<br /> uoán cuûa tieát dieän phaàn töû. Ma traän ñoä cöùng phaûn löïc neàn taùc duïng vaøo keát caáu coâng<br /> cuûa phaàn töû trong heä toïa ñoä toång theå coù ñöôïc trình thoâng qua keát caáu moùng<br /> nhôø pheùp chuyeån heä toïa ñoä Ke  T .k e .T ,T<br /> (khoâng thöïc hieän toång) (13)<br /> vôùi T laø ma traän chuyeån<br /> trong ñoù L laø ma traän chæ soá sao cho<br />  cos sin 0 0 0 0<br /> Lij  1 neáu thaønh phaàn chuyeån vò Ui cuûa<br />   sin cos 0 0 0 0 <br />  keát caáu ñöôïc raøng buoäc ñieàu kieän tieáp xuùc<br />  0 0 1 0 0 0  (12)<br /> T  vôùi ñaát neàn vaø giaù trò aùp löïc ñaát neàn taùc<br />  0 0 0 cos sin 0 <br /> duïng vaøo moùng töông öùng laø p j . Kích<br />  0 0 0  sin cos 0 <br />   thöôùc cuûa ma traän L laø ( Nbtd  Nm ) vôùi<br />  0 0 0 0 0 1<br /> Nbtd laø soá baäc töï do cuûa keát caáu.<br /> Veùc-tô löïc nuùt F do caùc taûi troïng taäp<br /> 3.1. Heä phöông trình phi tuyeán -<br /> trung taïi caùc nuùt vaø do caùc taûi troïng ngoaøi taùc<br /> Phöông phaùp giaûi<br /> duïng leân caùc phaàn töû, ñoäc giaû quan taâm coù theå<br /> Phöông trình (9) vaø (10) laäp thaønh heä<br /> tham khaûo caùch xaùc ñònh veùc-tô löïc nuùt trong<br /> phöông trình phi tuyeán, trong ñoù aån soá<br /> caùc taøi lieäu vieát veà phöông phaùp phaàn töû höõu<br /> caàn tìm laàn löôït laø veùc-tô chuyeån vò nuùt<br /> haïn trong keát caáu nhö [6, 7].<br /> {U} vaø veùc-tô caùc aùp löïc neàn {p} .<br /> Goïi N m laø soá löôïng caùc moùng trong<br /> Ñaët:<br /> coâng trình, {p} laø veùc-tô caùc aùp löïc ñaát<br /> <br />  RU (U, p)  K.U  F  Fp  0<br /> <br />   ei1 ( bt )  ei 2 ( gl ( pi )   bt )<br /> hgl<br /> <br />   z  L jiU j  0, neáu L jiU j  0 (14)<br /> {R p (U, p)}i   0 1  ei1 ( bt ) , i  1, N m<br />   pi  0, neáu L jiU j  0<br />  <br /> <br /> 70<br />  Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 2(4) - 2012<br /> <br /> <br /> goïi laø caùc phaàn dö. Giaû söû caùc phaàn dö laø khaû vi hoaëc ít nhaát laø khaû vi treân töøng ñoaïn<br /> ñeå coù theå tính ñöôïc caùc ñaïo haøm. Phaân tích R u , R p thaønh chuoåi Taylor, ta coù:<br />  RU RU<br /> RU (U  U, p  p)  RU (U, p)  U .U  p .p  o(U, p)  0<br /> <br />  (15)<br /> R (U  U, p  p)  R (U, p)  R p .U  R p .p  o(U, p)  0<br />  p p<br /> U p<br /> Boû qua caùc soá haïng voâ cuøng beù baäc cao, ta coù:<br /> KUU .U  KUp .p  RU (U , p)<br />  (16)<br />  K pU .U  K pp .p  R p (U , p)<br /> RU RU Fp<br /> trong ñoù: K UU   K ; KUp   (17)<br /> U p p<br /> [KUp ]ij   Lij .rj2 (khoâng thöïc hieän toång)<br /> L ji , neáu L jiU j  0<br /> R pi<br /> <br /> [K pU ]ij   (18)<br /> U j   0, neáu L jiU j  0<br />   hgl ei1  ei 2 ( ( pi ))<br /> [K pp ]ij <br /> {R p }i <br />   p j 0<br />  1 e z, neáu LijU i  0<br /> (19)<br /> {p} j<br /> i1<br />    ij , neáu LijU i  0<br /> <br /> 1, neáu i  j<br /> trong ñoù ij laø chæ soá Kronecker vôùi  ij  <br /> 0, neáu i  j<br /> Ta laïi coù<br /> <br /> hgl<br /> ei1 ( bt )  ei 2 ( gl ( pi )   bt ) hgl<br />  ei 2 ( gl ( pi )   bt )<br /> p j<br />  0 1  ei1 ( bt )<br /> z  <br /> 0 p j 1  ei1 ( bt )<br /> z  0 neáu i  j (2)<br /> <br />  ei 2 ( gl ( pi )   bt ) ei 2 ( gl ( pi )   bt ) ( gl ( pi )   bt )<br /> hgl hgl<br /> 1<br />  p<br /> 0 1  ei1 ( bt )<br /> z  <br /> 0 ( gl ( pi )   bt ) 1  ei1 ( bt )<br /> .<br /> pi<br /> z (21)<br /> i<br /> <br /> maø theo caùc phöông trình (2) vaø (4) ta coù,<br />  ( p) 1  z3<br />  2<br /> p (r  z 2 )3/2<br /> (22)<br /> ei 2 ( ( p))<br />  3a3 . 2  2a2 .  a1<br />  ( p)<br /> neân ma traän tieáp tuyeán K pp ñöôïc tính<br /> [K pp ]ij  0 neáu i  j<br />  hgl 3a3 .( g l ( pi )   bt ) 2  2a2 .( g l ( pi )   bt )  a1 1  z 3<br />   . 2 2 3/2 .z, neáu L ji .U i  0 (23)<br /> [K pp ]ii   0 1  ei1 (ri  z )<br />  1, neáu L ji .U i  0<br /> <br /> <br /> 71<br /> Journal of Thu Dau Mot university, No2(4) – 2012<br /> <br /> Caùc ma traän tieáp tuyeán beân treân ñöôïc tính vôùi giaû thieát moùng coù daïng hình troøn,<br /> ñöôøng cong neùn luùn ñöôïc moâ phoûng baèng haøm ña thöùc baäc 3. Trong tröôøng hôïp moùng coù<br /> daïng khoâng phaûi hình troøn thì öùng suaát gaây luùn ñöôïc tính theo theo phöông trình (3) vaø<br /> caùc ñaïo haøm lieân quan seõ ñöôïc tính baèng phöông phaùp soá. Tröôøng hôïp ñöôøng cong neùn<br /> e<br /> luùn phöùc taïp seõ ñöôïc noäi suy spline khi ñoù ñaïo haøm seõ ñöôïc ñònh nghóa treân töøng<br /> <br /> ñoaïn.<br /> Löu yù: Coù theå chæ söû duïng phöông trình (14)1 vôùi duy nhaát aån soá laø U ñeå giaûi, Fp ñöôïc xem laø<br /> <br /> haøm theo U . Phöông trình (14)2 ñöôïc duøng nhö moät qui luaät öùng xöû ñeå xaùc ñònh p töø ñoù tính Fp<br /> khi ñaõ bieát U . Ma traän tieáp tuyeán trong tröôøng hôïp naøy chæ goàm moät ma traän duy nhaát laø:<br /> Fp<br /> K UU  K <br /> U<br /> {Fp }i pi T<br /> Vôùi x   ri 2 . .Lij (khoâng thöïc hieän toång)<br /> {U} j U j<br /> Rp<br /> pi U j 1<br />   hgl<br /> U j Rp 3a3 .( g l ( pi )   bt )  2a2 .( g l ( pi )   bt )  a1<br /> 2<br /> 1  z3<br /> pi 0 1  ei1<br /> .<br /> (ri 2  z 2 )3/2<br /> .z<br /> <br /> Phöông phaùp naøy hoäi tuï laâu hôn phöông phaùp söû duïng heä hai phöông trình (14)1,2 .<br /> Thuaät toaùn giaûi cho phöông phaùp naøy bao goàm moät voøng laëp ngoaøi cho caùc böôùc laëp<br /> treân U vaø moät voøng laëp trong ñeå xaùc ñònh p khi ñaõ bieát U do quan heä p vaø U laø phi<br /> tuyeán +<br /> 3.2. Thuaät toaùn giaûi heä phöông trình phi tuyeán baèng phöông phaùp Newton-<br /> Raphson<br /> Choïn tröôùc giaù trò U0  0, p0  0 . Vieát laïi phöông trình (16) cho böôùc laëp thöù i<br /> <br /> KUU .U  KUp .p  RU<br /> i i i 1<br /> <br />  i 1<br /> K pU .U  K pp .p  R p<br /> i i<br /> <br /> trong ñoù caùc ma traän tieáp tuyeán ñöôïc tính öùng vôùi Ui 1 , pi 1 . Nhaân hai veá phöông<br /> 1<br /> trình (162) cho K pp , ta coù<br /> pi  Kpp1 .(R p  K pU .Ui ) (24)<br /> Theá phöông trình (25) vaøo ( 161 ) ta ñöôïc:<br /> (KUU  KUp .Kpp1 .K pU )Ui  RU  KUp .Kpp1 .R p (25)<br /> Giaûi phöông trình treân ta ñöôïc U , theá U vaøo phöông trình (25) ta ñöôïc p i .<br /> i i<br /> <br /> <br /> Tính laïi caùc giaù trò U vaø p taïi voøng laäp thöù i<br /> Ui  Ui 1  Ui<br /> (26)<br /> pi  pi 1  pi<br /> <br /> 72<br />  Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 2(4) - 2012<br /> <br /> <br /> Tieáp tuïc quaù trình treân vôùi noäi löïc. Caùc ví duï tính toaùn trình baøy döôùi<br /> i 1 i 1<br /> U U ,p<br /> i<br /> p i<br /> cho ñeán khi ñieàu ñaây nhaèm muïc ñích ñaùnh giaù tính ñuùng ñaén<br /> kieän döøng ñöôïc thoûa maõn. cuûa phöông phaùp ñeà xuaát beân treân cuõng nhö<br /> Löu yù: Chuùng ta khoâng theå tính U so saùnh vôùi caùc keát quaû cuûa caùc phöông phaùp<br /> theo p töø phöông trình 161 ñöôïc vì ma khaùc. Caùc ví duï naøy tuy ñôn giaûn nhöng ñoùng<br /> traän KUU laø suy bieán + vai troø heát söùc quan troïng trong vieäc hôïp thöùc<br /> 3.3. Ñieàu kieän döøng hoùa phöông phaùp ñeà xuaát.<br /> Ñieàu kieän döøng hay ñieàu kieän hoäi tuï 4.1. Coät chòu taûi troïng ñöùng vaø ngang<br /> laø ñieàu kieän maø taïi ñoù voøng laëp Newton-<br /> Raphson ñöôïc keát thuùc, caùc giaù trò hieän Cho moät coät chòu taûi troïng ñöùng vaø<br /> taïi cuûa caùc aån caàn tìm chính laø nghieäm ngang nhö treân hình 5-a. Coät coù kích thöôùc<br /> cuûa heä phöông trình phi tuyeán. Ñieàu kieän tieát dieän ngang 0.2m  0.4m , chieàu cao<br /> döøng caên cöù vaøo chuaån cuûa RU vaø R p [8] h=7m. Vaät lieäu duøng ñeå laøm coät coù moâ-ñun<br /> ‖ RU ‖ ñaøn hoài E  3 1010 vaø heä soá Poisson<br />  TOLRu  106<br /> ‖ K.U‖ (27)   0.2 . Ñaët moät löïc taäp trung<br /> ‖ R p‖  TOLRp  108 P  7.85 10 N taïi ñænh coät vaø löïc phaân boá<br /> 5<br /> <br /> <br /> trong ñoù TOLRu , TOLRp laø sai soá cho ñeàu qx  17500N / m suoát chieàu daøi coät. Coät<br /> pheùp cuûa caùc phaàn dö, ‖ •‖ laø chuaån tieáp xuùc vôùi neàn thoâng qua moùng ñôn coù<br /> Euclide ñöôïc ñònh nghóa daïng hình troøn ñöôøng kính 1m. Söï laøm vieäc<br /> ñoàng thôøi giöõa moùng coät vaø neàn ñöôïc moâ<br /> ‖ •‖  (•)T .• (28)<br /> hình baèng phaàn töû tieáp xuùc moùng - ñaát neàn.<br /> 4. Caùc keát quaû tính toaùn Ñaát neàn beân döôùi coät coù troïng löôïng rieâng<br /> Caùc líù thuyeát tính toaùn trình baøy beân   18000N / m3 , ñöôøng cong neùn luùn e  <br /> treân ñöôïc laäp trình treân chöông trình Matlab nhö treân hình 1. Caùc keát quaû thu ñöôïc nhôø<br /> V7.6.0. Quaù trình xöû líù soá lieäu sau khi tính vaøo chöông trình tính ñöôïc laëp trình treân<br /> toaùn ñöôïc thöïc hieän nhôø vaøo caùc coâng cuï ñoà Matlab V7.6.0. Pheùp laëp Newton-Raphson<br /> hoïa trong chöông trình Matlab. Keát quaû tính hoäi tuï raát nhanh, chæ vôùi 3 voøng laëp vôùi<br /> toaùn seõ ñöôïc bieåu thò thoâng qua traïng thaùi chuaån cuûa caùc phaàn dö laàn löôït laø<br /> bieán daïng cuûa keát caáu cuõng nhö caùc bieåu ñoà ‖ RU‖  10 ‖, Rp‖  10<br /> 8 17<br /> <br /> <br /> .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 5: (a) Traïng thaùi ban ñaàu vaø sô ñoà taûi troïng<br /> (b) Traïng thaùi bieán daïng. Caùc giaù trò chuyeån vò ñaõ ñöôïc khuyeách ñaïi 10 laàn<br /> <br /> 73<br /> Journal of Thu Dau Mot university, No2(4) – 2012<br /> <br /> <br /> Phaûn löïc do ñaát neàn taùc duïng leân Moâ-men taïi<br /> chaân coät tính ñöôïc<br /> chaân coät tính ñöôïc {Fp }1  7.85 10 N ,<br /> 5 M cc  384650Nm , moâ-men taïi ñænh coät<br /> aùp löïc ñaát neàn taïi taâm moùng tính ñöôïc tính ñöôïc M dc  1.89 1010 , ñuùng vôùi<br /> p  9.99493 104 N / m2 . Kieåm tra laïi ñieàu nghieäm giaûi tích<br /> kieän caân baèng theo phöông ñöùng qL2 15700  72<br /> M cc    384650 Nm , M dc  0 .<br /> 4 4<br /> {Fp }1   F  7.85 105<br /> Löïc caét taïi chaân coät tính ñöôïc<br />  12<br /> . p  F  7.85 10 5<br /> Qcc  109900N , löïc caét taïi ñænh coät<br /> 4<br /> Qdc  1.45 1010 N , ñuùng vôùi nghieäm giaûi<br /> Kieåm tra laïi baøi toaùn tính luùn vôùi aùp<br /> tích M cc  qL  15700  7  109900N , Qdc  0 .<br /> löïc gaây luùn p  9.99493 104 N / m2 , chieàu<br /> Löïc doïc trong coät tính ñöôïc N  78500 N<br /> daøy lôùp phaân toá z  0.02m vaø chieàu saâu<br /> treân toaøn coät, ñuùng vôùi nghieäm giaûi tích<br /> taét luùn hgl  10m baèng phöông phaùp toång<br /> N   P  78500 N . Caùc bieåu ñoà moâ-men,<br /> lôùp phaân toá. Ñoä luùn tính ñöôïc vôùi baûng<br /> löïc caét vaø löïc doïc trong coät ñöôïc trình baøy<br /> tính ñöôïc laëp treân phaàn meàm Microsoft<br /> treân caùc hình 6 vaø 7, hoaøn toaøn phuø hôïp keát<br /> Excel, s  0.04498 baèng ñuùng vôùi<br /> quaû giaûi tích cuûa líù thuyeát daàm.<br /> {U1}y  0.044948 .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a) (b)<br /> (a) (b)<br /> Hình 6: (a) Bieåu ñoà moâ-men uoán M, (b) Bieåu ñoà löïc caét Q. Maøu vaøng öùng vôùi<br /> giaù trò noäi löïc aâm, maøu ñoû öùng vôùi giaù trò noäi löïc döông.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 7: Bieåu ñoà löïc doïc N. Maøu vaøng öùng vôùi giaù trò noäi löïc aâm,<br /> maøu ñoû öùng vôùi giaù trò noäi löïc döông.<br /> <br /> 74<br />  Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 2(4) - 2012<br /> <br /> <br /> 4.2. Khung hai taàng hai nhòp khung chòu taûi troïng taäp trung<br /> Moät coâng trình coù keát caáu khung phaúng Qy  78500N . Taát caû caùc moùng cuûa coâng<br /> hai taàng hai nhòp nhö treân hình 8. Chieàu trình ñeàu coù daïng hình troøn ñuùng taâm.<br /> cao moãi taàng h  3.5m , chieàu daøi nhòp Ñöôøng kính cuûa caùc moùng bieân laø 1.5m,<br /> L  5m . Khung ñöôïc cheá taïo bôûi loaïi vaät lieäu ñöôøng kính cuûa moùng giöõa laø 2.5m. Ñaát neàn<br /> coù moâ-ñun ñaøn hoài E  3 1010 vaø heä soá döôùi coâng trình coù troïng löôïng rieâng<br /> Poisson   0.2 . Tieát dieän caùc caáu kieän coät   18000N / m3 , ñöôøng cong neùn luùn e  <br /> vaø daàm baèng nhau vaø baèng 0.2m  0.4m . Söï nhö treân hình 2. Caùc keát quaû thu ñöôïc nhôø<br /> laøm vieäc ñoàng thôøi giöõa moùng coät vaø neàn vaøo chöông trình tính ñöôïc laëp trình treân<br /> ñöôïc moâ hình baèng phaàn töû tieáp xuùc moùng - Matlab V7.6.0. Pheùp laëp Newton-Raphson<br /> ñaát neàn. Sô ñoà taûi troïng ñöôïc theå hieän nhö hoäi tuï raát nhanh chæ vôùi 3 voøng laëp vôùi<br /> treân hình 8-a. Caùc daàm chòu taûi troïng phaân chuaån cuûa caùc phaàn dö laàn löôït laø laø<br /> boá ñeàu qy  7850N / m . Caùc nuùt giöõa cuûa ‖ RU‖  6.91109 ,‖ Rp‖  6.63109 .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 8: (a) Traïng thaùi ban ñaàu vaø sô ñoà taûi troïng; (b) Traïng thaùi bieán daïng<br /> Caùc giaù trò chuyeån vò ñaõ ñöôïc khuyeách ñaïi 20 laàn.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 9: Bieåu ñoà löïc doïc N. (a) phöông phaùp tính keát caáu laøm vieäc ñoàng thôøi vôùi ñaát<br /> neàn. (b) phöông phaùp tính keát caáu taùch rieâng. Caùc bieåu ñoà ñöôïc veõ cuøng tæ leä.<br /> <br /> 75<br /> Journal of Thu Dau Mot university, No2(4) – 2012<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 10: Bieåu ñoà moâ-men uoán M. (a) phöông phaùp tính keát caáu laøm vieäc ñoàng thôøi vôùi<br /> ñaát neàn. (b) phöông phaùp tính keát caáu taùch rieâng. Caùc bieåu ñoà ñöôïc veõ cuøng tæ leä.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (a) (b)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 11: Bieåu ñoà löïc caét Q. (a) phöông phaùp tính keát caáu laøm vieäc ñoàng thôøi vôùi ñaát neàn.<br /> (b) phöông phaùp tính keát caáu taùch rieâng. Caùc bieåu ñoà ñöôïc veõ cuøng tæ leä.<br /> Ñoä luùn taïi taâm hai moùng bieân tính Ñoä luùn leäch giöõa moùng bieân vaø moùng giöõa<br /> ñöôïc laø s1  s3  0.0118m vaø ñoä luùn taïi laø s  0.0057 m .<br /> moùng giöõa s2  0.0175m öùng vôùi aùp löïc Phaûn löïc do ñaát neàn taùc duïng leân caùc<br /> ñaát neàn taïi taâm caùc moùng laàn löôït laø chaân coät tính ñöôïc {Fp }1  0.652 10 N ,<br /> 5<br /> <br /> <br /> p1  p3  9.223103 N / m2 {Fp }2  1.836 105 N ,<br /> p2  9.351103 N / m2 {Fp }3  0.652 105 N . Ñieàu kieän caân baèng<br /> theo phöông ñöùng ñöôïc thoûa maõn, cuï theå<br /> Phöông trình (13) ñöôïc thoûa maõn cho<br /> ñeán chöõ soá thaäp phaân thöù 7 sau daáu phaåy.<br /> <br /> {F }  3.14 10 N<br /> p i<br /> 5<br /> <br /> <br />  Y  7850 10  7850 10  78500  78500  3.14 10 5<br /> N<br /> <br /> ÔÛ bieåu ñoà löïc doïc, coù söï giaûm trò soá ôû vò bieân tính ñöôïc laø N1  N3  0.652 105 N .<br /> trí coät giöõa vaø taêng trò soá ôû vò trí coät bieân Trong khi vôùi phöông phaùp tính keát caáu taùch<br /> (hình 9-a). Löïc doïc trong coät giöõa tính ñöôïc rieâng (hình 9-b), löïc doïc chuû yeáu taäp trung ôû<br /> laø N2  1.836 10 N , löïc doïc trong caùc coät<br /> 5<br /> coät giöõa ( N2  2.376 105 N ) coøn löïc doïc<br /> <br /> 76<br />  Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 2(4) - 2012<br /> <br /> <br /> trong caùc coät bieân khoâng ñaùng keå ñeán nhöõng sai laàm trong thieát keá keát caáu<br /> ( N1  N3  3.82 10 N ). Löïc doïc trong caùc<br /> 4<br /> chòu löïc beân treân cuõng nhö keát caáu moùng beân<br /> daàm taêng leân khoaûng 3 laàn, cuï theå trong döôùi. Ñieàu naøy coù theå daãn ñeán laõng phí vaät<br /> daàm taàng 2, N  2.04 104 N thay vì lieäu ôû moät soá caáu kieän nhöng ôû nhöõng caáu<br /> 6.32 103 N . kieän khaùc laïi khoâng ñöôïc thieát keá ñuû khaû<br /> Treân caùc hình 9, 10 vaø 11, caùc bieåu ñoà naêng chòu löïc. Haäu quaû laø nhöõng caáu kieän<br /> naøy seõ bò phaù hoaïi, laøm giaûm tuoåi thoï coâng<br /> noäi löïc thu ñöôïc baèng phöông phaùp tính toaùn<br /> trình thaäm chí laø gaây saäp ñoå toaøn boä coâng<br /> keát caáu laøm vieäc ñoàng thôøi vôùi ñaát neàn vaø<br /> trình. Qua ñoù cuõng cho thaáy söï caàn thieát cuûa<br /> phöông phaùp tính keát caáu taùch rieâng (quan<br /> vieäc tính toaùn keát caáu coâng trình laøm vieäc<br /> nieäm chaân coät ñöôïc ngaøm chaët), cuøng döõ lieäu<br /> ñoàng thôøi vôùi ñaát neàn trong ñoù phöông phaùp<br /> ñaàu vaøo. Ta nhaän thaáy raèng noäi löïc caùc caáu<br /> ñeà xuaát laø moät löïa choïn.<br /> kieän tính toaùn vôùi phöông phaùp tính toaùn<br /> Caàn löu yù raèng, vôùi phöông phaùp tính<br /> keát caáu laøm vieäc ñoàng thôøi vôùi ñaát neàn coù söï<br /> keát caáu taùch rieâng, vieäc aùp ñaët chuyeån vò<br /> khaùc bieät ñaùng keå so vôùi phöông phaùp tính<br /> cöôõng böùc ôû caùc goái töïa baèng ñuùng ñoä luùn cuûa<br /> toaùn keát caáu taùch rieâng.<br /> caùc moùng töông öùng sau khi ñaõ giaûi baøi toaùn<br /> Do moùng giöõa bò luùn nhieàu hôn caùc moùng luùn vôùi caùc giaù trò phaûn löïc tính ñöôïc chæ<br /> bieân moät ñoaïn 0.0057m neân caùc daàm bò caêng cho pheùp xaùc ñònh noäi löïc trong keát caáu vôùi<br /> ôû thôù döôùi taïi vò trí giao nhau vôùi coät giöõa moät ñoä chính xaùc töông ñoái. Moät caâu hoûi<br /> thay vì caêng ôû thôù treân nhö trong phöông ñöôïc ñaët ra: neáu quaù trình treân ñöôïc laëp laïi<br /> phaùp tính keát caáu taùch rieâng ñoàng thôøi laøm nhieàu laàn thì ta coù theå xaùc ñònh ñöôïc giaù trò<br /> taêng moâ-men uoán leân 5.5 laàn taïi vò trí giao noäi löïc vaø ñoä luùn chính xaùc hay khoâng? Ñeå<br /> nhau vôùi coät bieân. Giaù trò moâ-men lôùn nhaát laøm roõ caâu hoûi treân, caùc taùc giaû ñaõ thöïc<br /> trong daàm taàng 1 M max  2.267 104 Nm vaø hieän vieäc tính laëp cho ví duï naøy baèng<br /> trong daàm taàng 2 M max  1.809 104 Nm . phöông phaùp tính keát caáu taùch rieâng vôùi<br /> Giaù trò moâ-men nhoû nhaát taêng leân khoaûng 2- cuøng soá lieäu ñaàu vaøo. Caùc keát quaû tính toaùn<br /> 3 laàn. Löïc caét trong daàm taïi vò trí x=0 giaûm ôû caùc laàn laëp ñöôïc trình baøy ôû baûng 1. Sau 4<br /> trong khi löïc caét trong daàm taïi vò trí giao laàn laëp, keát quaû tính toaùn cho ra caùc phaûn<br /> nhau vôùi coät bieân taêng khoaûng 2 laàn, löïc caét löïc keùo ôû goái töïa 1, 2. Ñieàu naøy laø voâ líù,<br /> trong caùc coät bieân taàng 2 tăng 2 leân khoaûng chöùng toû pheùp laëp treân khoâng hoäi tuï. Treân<br /> 3 laàn. hình laø bieåu ñoà noäi löïc trong keát caáu töông<br /> Neáu söû duïng keát quaû noäi löïc khoâng phuø öùng vôùi caùc laàn laëp.<br /> hôïp vôùi söï laøm vieäc cuûa coâng trình seõ daãn<br /> Baûng 1: Ñoä luùn vaø phaûn löïc ôû caùc böôùc laëp<br /> <br /> Laàn laëp s1, s2 s3 R1, R3 R2 DR1, DR3 DR2<br /> 1 0.01065 0.01639 6.55E+04 1.83E+05 2.72E+04 -5.44E+04<br /> 2 0.01791 0.01803 3.88E+04 2.36E+05 -2.67E+04 5.33E+04<br /> 3 0.01080 0.02300 9.61E+04 1.22E+05 5.73E+04 -1.15E+05<br /> 4 0.02578 0.01217 -2.63E+04 3.67E+00 -1.22E+05 -1.22E+05<br /> <br /> 77<br /> Journal of Thu Dau Mot university, No2(4) – 2012<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 12: Bieåu ñoà löïc doïc ôù caùc böôùc laëp 2, 3, 4.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 13: Bieåu ñoà moâ-men ôù caùc böôùc laëp 2, 3, 4.<br /> 5. Keát luaän taïi caùc moùng baèng ñuùng vôùi ñoä luùn cuûa<br /> Phöông phaùp ñeà xuaát cho pheùp tính ñaát neàn beân döôùi, coøn noäi löïc cuûa keát caáu<br /> toaùn keát caáu coâng trình laøm vieäc ñoàng bao goàm caû phaàn noäi löïc do taûi troïng beân<br /> thôøi vôùi bieán daïng cuûa ñaát neàn. Ñieåm môùi treân vaø do chuyeån vò luùn khoâng ñoàng thôøi<br /> cuûa phöông phaùp naøy laø ñaëc tröng cô lí vaø cuûa caùc moùng. Ñaây laø cô sôû cho vieäc thieát<br /> öùng xöû phi tuyeán cuûa ñaát neàn ñöôïc ñöa keá keát caáu coâng trình beân treân cuõng nhö<br /> vaøo trong quaù trình tính toaùn keát caáu. keát caáu neàn moùng beân döôùi moät caùch<br /> Keát quaû tính toaùn cho bieát chuyeån vò vaø chính xaùc, phuø hôïp vôùi söï laøm vieäc thöïc<br /> noäi löïc trong keát caáu, trong ñoù chuyeån vò teá cuûa coâng trình.<br /> *<br /> A SIMPLE MODEL FOR CALCULATION OF SUPERSTRUCTURE –<br /> SOIL INTERACTION<br /> Nguyen Huynh Tan Tai, Nguyen Ke Tuong<br /> Thu Dau Mot University<br /> ABSTRACT<br /> This article presents a method of working structures simultaneously with the ground. The<br /> interaction between the above structure - foundation under simulated by the model exposed<br /> structure foundation - the land, allows to determine displacement of the foundation depends<br /> on the mechanical characteristics of the ground and determine the internal forces are due to<br /> the subsidence of the foundation displacement transfer in the structure.<br /> Keywords: structural, foundation, work the same time, non-linear,<br /> finite element method<br /> <br /> 78<br />  Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 2(4) - 2012<br /> <br /> <br /> TAØI LIEÄU THAM KHAÛO<br /> [1] Ñaëng Tænh, Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn. Tính toaùn khung vaø moùng coâng trình<br /> laøm vieäc ñoàng thôøi vôùi neàn, NXB Khoa hoïc kyõ thuaät, 1999.<br /> [2] Terzaghi, K. et Peck, R.B., Meùcanique des sols appliqueùes aux travaux publics et au<br /> baâtiment, Dunod, 1957.<br /> [3] Bowles, J. E., Foundation Analysis and Design (5th Edition), McGraw-Hill, 1996.<br /> [4] Timoshenko S. and Goodier J. N., The Theory of Elasticity, McGraw Hill, 1951.<br /> [5] Chaâu Ngoïc AÅn, Cô hoïc ñaát, NXB Ñaïi hoïc Quoác gia TP. Hoà Chí Minh, 2000.<br /> [6] Tieâu chuaån thieát keá neàn, nhaø vaø coâng trình TCXD 45-78, NXB Xaây Döïng, 1979.<br /> [7] Cao Vaên Chí, Trònh Vaên Cöông, Cô hoïc ñaát, NXB Xaây Döïng, 2003.<br /> [8] Zienkiewicz O.C. and Taylor R.L., Finite Element Method, McGraw Hill, 1967.<br /> [9] Ñoã Kieán Quoác, Ñaøn hoài öùng duïng vaø phöông phaùp phaàn töû höõu haïn, NXB Ñaïi hoïc<br /> Quoác gia TP. Hoà Chí Minh, 2003.<br /> [10] Crisfield M.A., Non-linear finite element analysis of solids and structures - Vol. 1:<br /> Essentials, John Wiley and Sons, 1991.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 79<br />