Báo cáo khoa học: Một số phép biến đổi bảo toàn cạnh và góc của tam giác

Mët sè ph²p chuyºn êi b£o to n c¤nh v  gâc cõa tam gi¡c<br /> TS. Trành  o Chi¸n Tr÷íng Cao ¯ng S÷ Ph¤m Gia Lai<br /> Trong qu¡ tr¼nh s¡ng t¡c ho°c t¼m tái líi gi£i cho nhúng b i to¡n li¶n quan ¸n c¡c y¸u tè gâc v  c¤nh cõa tam gi¡c, mët v§n · tü nhi¶n sau ¥y ÷ñc n£y sinh: Nhúng ph²p bi¸n êi n o m  £nh cõa ba gâc (c¤nh) cõa mët tam gi¡c công lªp th nh ba gâc (c¤nh) cõa mët tam gi¡c? B i vi¸t n y ph¦n n o t¼m c¥u gi£i ¡p cho v§n · ¢ n¶u v  i·u quan trång l , · cªp ¸n nhúng ¡p döng cõa nâ trong ch÷ìng tr¼nh to¡n Trung håc phê thæng. L÷u þ r¬ng, trong khuæn khê câ h¤n, b i vi¸t ch÷a · cªp ¸n nhúng ¡p döng s¥u s­c hìn, li¶n quan ¸n kh¡i ni»m "ë g¦n ·u" cõa mët d¢y c¡c tam gi¡c x¡c ành.<br /> <br /> 1 Ph²p chuyºn êi b£o to n gâc cõa tam gi¡c<br /> 1.1 Ph²p chuyºn êi<br /> Trong t i li»u [1], b i to¡n cì b£n sau ¥y ¢ ÷ñc · cªp<br /> , f (C) luæn t¤o th nh sè o c¡c gâc cõa mët tam gi¡c n o â ùng vîi måi tam gi¡c ABC cho tr÷îc.<br /> f (B)<br /> <br /> B i to¡n 1.1. X¡c ành c¡c h m sè f (x) li¶n töc trong o¤n [0; π], sao cho f (A),<br /> <br /> Gi£i. Tr÷îc h¸t ta câ nhªn x²t r¬ng, hai h m sè f (x) = x v  f (x) = π thäa m¢n b i 3<br /> to¡n. Ta ph¡t biºu b i to¡n d÷îi d¤ng sau: X¡c ành c¡c h m sè f (x) li¶n töc trong o¤n [0; π] v  Cho y → 0+, ta thu ÷ñc<br /> f (x) + f (0) + f (π − x) = π, ∀x ∈ (0; π)<br /> <br /> f (x) > 0, f (x) + f (y) + f (π − x − y) = π, ∀x, y ∈ (0; π) , x + y < π.<br /> <br /> (1)<br /> <br /> 1<br /> <br /> hay<br /> f (π − x) = π − f (0) − f (x) , ∀x ∈ (0; π) .<br /> <br /> Thay v o (1), ta thu ÷ñc<br /> f (x) + f (y) + (π − f (0) − f (x + y)) = π, ∀x, y ∈ (0; π) , x + y ≤ π<br /> <br /> hay<br /> f (x) + f (y) = f (x + y) + f (0) , ∀x, y ∈ [0; π] , x + y < π.<br /> <br /> (2)<br /> <br /> °t f (x) = f (0) + g (x). Khi â g (x) li¶n töc trong o¤n [0; π] v  (2) câ d¤ng<br /> f (0) + g (x) + f (0) + g (y) = f (0) + g (x + y) + f (0) , ∀x, y ∈ [0; π] , x + y < π<br /> <br /> (3) Do g (x) li¶n töc trong o¤n [0; π] n¶n (3) l  ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy, mët d¤ng ph÷ìng tr¼nh h m cì b£n, câ nghi»m g (x) = αx. Suy ra f (x) = f (0) + αx. °t f (0) = β , ta ÷ñc f (x) = αx + β . Ta c¦n x¡c ành α, β º f (x) > 0, ∀x ∈ (0; π), x+y < π v  f (A)+f (B)+f (C) = π hay<br /> ⇔ g (x) + g (y) = g (x + y) , ∀x, y ∈ [0; π] , x + y < π. αx + β > 0, ∀x ∈ (0; π) ; αA + β + αB + β + αC + β = π. ⇔ αx + β > 0, ∀x ∈ (0; π) ; α (A + B + C) + 3β = π. ⇔ αx + β > 0, ∀x ∈ (0; π) ; απ + 3β = π.   αx + β > 0, ∀x ∈ (0; π) ; ⇔  β = (1 − α) π . 3 f (x) = αx + (1 − α) π , ∀x ∈ (0; π) . 3<br /> <br /> Do â<br /> <br /> (4)<br /> <br /> Cho x → 0+, tø (4), suy ra Cho x → π−, tø (4), suy ra<br /> απ +<br /> <br /> (1 − α) π ≥ 0 ⇔ α ≤ 1. 3<br /> <br /> (1 − α) π ≥0 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1 hay α ≥ − 2 . Vªy − 1 ≤ α ≤ 1. 2 1 Vîi − 2 < α < 1, th¼ f (x) x¡c ành bði (4) hiºn nhi¶n thäa m¢n b i to¡n. X²t α = − 1 th¼ f (x) = − 1 x + π thäa m¢n i·u ki»n b i ra. 2 2 2 Thªt vªy, vîi 0 < x < π th¼ f (x) > f (π) = 0. Suy ra f (x) > 0, ∀x ∈ (0; π). X²t α = 1 th¼ f (x) = x hiºn nhi¶n thäa m¢n i·u ki»n b i ra. Vªy c¡c h m sè c¦n t¼m ·u câ d¤ng f (x) = αx +<br /> <br /> Nh÷ vªy, líi gi£i tr¶n ¥y ¢ v²t h¸t t§t c£ c¡c nghi»m, l  c¡c h m sè f (x), thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa b i to¡n. B¥y gií, ta ti¸p töc t¼m ki¸m nhúng ¡p döng cö thº cõa b i to¡n tr¶n v  x²t nhúng tr÷íng hñp kh¡c m  b i to¡n ch÷a · cªp. Tø B i to¡n 1.1, ta câ<br /> A1 , B1 , C1 1 M»nh · 1.1. Vîi − 2<br /> <br /> (1 − α) π 1 , − ≤ α ≤ 1. 3 2<br /> <br /> x¡c ành nh÷ sau<br /> <br /> ≤ α ≤ 1,<br /> <br /> n¸u A, B ,<br /> <br /> C<br /> <br /> l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, th¼<br /> <br /> A1 = αA +<br /> <br /> (1 − α) π (1 − α) π (1 − α) π , B1 = αB + , C1 = αC + , 3 3 3<br /> <br /> công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c.<br /> <br /> M»nh · 1.2. Vîi α < − 1 , n¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n 2<br /> max {A, B, C} < (α − 1) π , 3α<br /> <br /> th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau<br /> <br /> A1 = αA +<br /> <br /> (1 − α) π (1 − α) π (1 − α) π , B1 = αB + , C1 = αC + , 3 3 3<br /> <br /> công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c.<br /> <br /> Chùng minh. Thªt vªy, vîi α < − 1 , ta câ 2<br /> max {A, B, C} < (α − 1) π (α − 1) π ⇒A< 3α 3α (1 − α) π > 0 ⇒ A1 > 0. 3 T÷ìng tü B1 > 0 v  C1 > 0. Hìn núa, A1 + B1 + C1 = π, n¶n ta câ i·u ph£i chùng ⇒ 3αA + (1 − α) π > 0 ⇒ αA +<br /> <br /> minh.<br /> <br /> 3<br /> <br /> > 1, n¸u A, B , C l  ba (α − 1) π min {A, B, C} > , th¼ A1, B1, C1 x¡c ành 3α A1 = αA +<br /> <br /> M»nh · 1.3. Vîi α<br /> <br /> gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n nh÷ sau<br /> <br /> (1 − α) π (1 − α) π (1 − α) π , B1 = αB + , C1 = αC + , 3 3 3<br /> <br /> công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c.<br /> <br /> Chùng minh. Thªt vªy, vîi α > 1, ta câ<br /> min {A, B, C} > (α − 1) π (α − 1) π ⇒A> 3α 3α (1 − α) π > 0 ⇒ A1 > 0. 3 T÷ìng tü B1 > 0 v  C1 > 0. Hìn núa, A1 + B1 + C1 = π, n¶n ta câ i·u ph£i chùng ⇒ 3αA + (1 − α) π > 0 ⇒ αA +<br /> <br /> minh. D÷îi ¥y l  mët sè tr÷íng hñp ri¶ng, minh håa cho c¡c m»nh · tr¶n. - Tø M»nh · 1.1, vîi α = − 1 , ta câ 2<br /> <br /> H» qu£ 1.1. N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, th¼ A , B , C x¡c ành<br /> nh÷ sau hay<br /> A1 =<br /> 1 1 1<br /> <br /> A1 =<br /> <br /> π−B π−C π−A , B1 = , C1 = 2 2 2 B+C C +A A+B , B1 = , C1 = 2 2 2<br /> <br /> công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c.<br /> <br /> - Tø M»nh · 1.1, vîi α = 1 , ta câ 2<br /> <br /> H» qu£ 1.2. N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, th¼ A , B , C x¡c ành<br /> nh÷ sau hay<br /> A1 =<br /> 1 1 1<br /> <br /> A1 =<br /> <br /> π + 3A π + 3B π + 3C , B1 = , C1 = 6 6 6<br /> <br /> công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c.<br /> <br /> 4A + B + C 4B + C + A 4C + A + B , B1 = , C1 = 6 6 6<br /> <br /> 4<br /> <br /> - Tø M»nh · 1.2, vîi α = − 2 , ta câ 3<br /> <br /> H» qu£ 1.3. N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n max {A, B, C} < 5π , 6<br /> th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau<br /> A1 =<br /> <br /> hay<br /> A1 =<br /> <br /> 5π − 6A 5π − 6B 5π − 6C , B1 = , C1 = 9 9 9<br /> <br /> công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c.<br /> <br /> 5B + 5C − A 5C + 5A − B 5A + 5B − C , B1 = , C1 = 9 9 9<br /> <br /> - Tø M»nh · 1.2, vîi α = − 4 , ta câ 5<br /> <br /> H» qu£ 1.4. N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n max {A, B, C} < 3π , 4<br /> th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau<br /> A1 =<br /> <br /> hay<br /> A1 =<br /> <br /> 3π − 4A 3π − 4B 3π − 4C , B1 = , C1 = 5 5 5<br /> <br /> công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c.<br /> <br /> 3B + 3C − A 3C + 3A − B 3A + 3B − C , B1 = , C1 = 5 5 5<br /> <br /> - Tø M»nh · 1.2, vîi α = −1, ta câ<br /> th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau<br /> A1 =<br /> <br /> H» qu£ 1.5. N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n max {A, B, C} < 2π , 3<br /> 2π 2π 2π − A, B1 = − B, C1 = −C 3 3 3<br /> <br /> hay<br /> A1 =<br /> <br /> công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c.<br /> <br /> 2B + 2C − A 2C + 2A − B 2A + 2B − C , B1 = , C1 = 3 3 3<br /> <br /> - Tø M»nh · 1.2, vîi α = −2, ta câ<br /> tùc l  tam gi¡c ABC nhån, th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau<br /> <br /> H» qu£ 1.6. N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n max {A, B, C} < π , 2<br /> A1 = π − 2A, B1 = π − 2B, C1 = π − 2C<br /> <br /> 5<br /> <br />