Báo cáo nghiệm thu đề tài cấp cơ sở: Tính compact, liên thông của tập nghiệm trong phương trình vi tích phân trong không gian Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM<br /> <br /> TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM<br /> TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN<br /> TRONG KHÔNG GIAN BANACH<br /> <br /> Mã số: CS2004.23.56<br /> Chủ nhiệm: Lê Hoàn Hóa.<br /> Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004<br /> <br /> Tháng 9 năm 2004<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM<br /> <br /> TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM<br /> TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN<br /> TRONG KHÔNG GIAN BANACH<br /> <br /> Mã số: CS2004.23.56<br /> Chủ nhiệm: LÊ HOÀN HÓA.<br /> Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004<br /> <br /> Tháng 9 năm 2004<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM<br /> <br /> BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ<br /> <br /> TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM<br /> TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN<br /> TRONG KHÔNG GIAN BANACH<br /> <br /> Mã số:<br /> <br /> CS2004.23.56<br /> <br /> Chủ nhiệm:<br /> <br /> Lê Hoàn Hóa.<br /> <br /> Cán bộ tham gia thực hiện:<br /> <br /> Lê Thị Phƣơng Ngọc,<br /> Trƣờng Cao đẳng Sƣ phạm Nha Trang<br /> <br /> Thời gian thực hiện:<br /> <br /> 7/2003 - 7/2004<br /> <br /> BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ<br /> Tên đề tài:<br /> Tính comp act, li ên thông của tập nghiệm<br /> trong phƣơng t rình vi tích phân trong không gian Banach.<br /> Mã số: CS2004.23.56<br /> Các thành viên tham gia :<br /> 1 - PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA (chủ nhiệm đề tài)<br /> 2 - Nghiên cứu sinh : LÊ THỊ PHƢƠNG NGỌC<br /> <br /> BÁO CÁO TỔNG QUAN<br /> Đề tài về tính compact, liên thông của một số phƣơng trình phi tuyến đã đƣợc chúng<br /> tôi nghiên cứu trong thời gian hai, ba năm. Một số kết quả đã đƣợc trình bày dƣới dạng : luận<br /> văn tốt nghiệp Thạc sĩ, báo cáo khoa học, báo cáo tại Hội nghị toán học toàn quốc, báo cáo<br /> tại Hội nghị Quốc tế về phƣơng trình vi phân. Trong khuôn khổ của bài báo này, chúng tôi sẽ<br /> trình bày các kết quả về tính compact, liên thông của tập nghiệm cho các bài toán sau :<br /> <br /> ở đây u0,U1,f đƣợc cho trƣớc, hàm chƣa biết u(x,t) và giá trị biên chƣa biết p(t) thỏa phƣơng<br /> tình phi tuyến sau :<br /> P(t) = g(t) + H(u(0,t))-∫<br /> <br /> , trong đó g,H,k là các hàm<br /> <br /> cho trƣớc.<br /> <br /> BÁO CÁO KẾT QUẢ<br /> Báo cáo kết quả gồm hai phần :<br /> 1. Một ghi chú về tính compact, liên thông của tập nghiệm của bài toán tiến hóa.<br /> 2. Tính compact, liên thông của tập nghiệm yếu của một phƣơng trình sóng nửa tuyến tính<br /> liên kết với một phƣơng trình tích phân phi tuyến.<br /> 3<br /> <br /> MỘT GHI CHU VỀ TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG<br /> CỦA TẬP HỢP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TIẾN HÓA<br /> Lê Hoàn Hóa 1 - Lê Thị Phƣơng Ngọc 2<br /> 1.Trƣởng ĐHSP Tp.HCM<br /> 2.Trƣờng CĐSP Nha Trang<br /> Tóm tắt : Bài báo chứng minh rằng tập hợp tất cả các nghiệm của các phƣơng trình<br /> sau là khác rỗng, compact và liên thông :<br /> <br /> ở đây : (1). A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe H.<br /> (2). f : H→ H hoàn toàn liên tục, thỏa điều kiện : Có các số dƣơng<br /> không đổi a, b và α (0 < α< 1) sao cho | f(x) | < a + b | x |α , ∀x∈H.<br /> Công cụ chính là lý thuyết bậc tôpô của trƣờng vectơ compact và các tính chất của<br /> toán tử tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe.<br /> 1. Lời giới thiệu :<br /> Trong bài báo [1] mới đây, chúng tôi đã đƣa ra các điều kiện cho toán tử A và toán tử<br /> f để có đƣợc tính khác rỗng, compact, liên thông của tập hợp nghiệm của hai bài toán (I), (II).<br /> Trong bài báo này, chúng tôi đƣa ra một điều kiện mới, tốt hơn cho toán tử f để có đƣợc kết<br /> quả tƣơng tự cho hai bài toán trên.<br /> 2. Các kết quả chính :<br /> Cho H là không gian Hinbe và chuẩn đƣợc sinh ra bởi tích vô hƣớng trên H<br /> đƣợc ký hiệu là |.| . Xét các phƣơng trình<br /> <br /> và<br /> <br /> với giả thiết:<br /> <br /> (1). A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe H.<br /> (2). f : H→ H hoàn toàn liên tục, thoả điều kiện: Có các số dƣơng<br /> không đổi a, b, α (0 < α < 1) sao cho |f(x) | < a + b |X |α, ∀x∈H. Ta có :<br /> Định lý 1 : Giả sử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Khi đó tập hợp các nghiệm của<br /> phƣơng trình (I) khác rỗng, compact và liên thông.<br /> Định lý 2 : Giả sử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Giả sử thêm rằng nếu u(t) là<br /> nghiệm của phƣơng trình<br /> <br /> thì<br /> <br /> | u(0) | < E, với E là hằng số dƣơng cho trƣớc.<br /> <br /> 4<br /> <br />