Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Chỉ số thu gọn của iđêan tham số của môđun tựa Buchsbaum."

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

59
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập những báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả: 8. Thiều Đình Phong, Chỉ số thu gọn của iđêan tham số của môđun tựa Buchsbaum...Cụ thể thì Vật lý khoa học nghiên cứu về các quy luật vận động của tự nhiên, từ thang vi mô (các hạt cấu tạo nên vật chất) cho đến thang vĩ mô (các hành tinh, thiên hà và vũ trụ). Trong tiếng Anh, từ vật lý (physics) bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp φύσις (phusis) có nghĩa là tự nhiên và φυσικός (phusikos) là thuộc...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Chỉ số thu gọn của iđêan tham số của môđun tựa Buchsbaum."

ChØ sè thu gän cña i®ªan tham sè cña m«®un tùa Buchsbaum ThiÒu §×nh Phong (a) M lµ m«®un tùa Buchs- Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i chøng minh r»ng nÕu d trªn vµnh Noether ®Þa ph¬ng (A, m), th× tån t¹i mét sè nguyªn l sao cho baum víi chiÒu l mäi i®ªan tham sè cña M n»m trong m cã chØ sè thu gän kh«ng ®æi. Tõ ®ã ®a ra mét sè hÖ qu¶ vÒ m«®un gi¶ Buchsbaum, m«®un Cohen Macaulay suy réng vµ vµnh Gorenstein. C¸c kÕt qu¶ nµy lµ më réng mét vµi kÕt qu¶ gÇn ®©y cña Goto vµ Sakurai. Më ®Çu 1. A lµ vµnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ, Trong toµn bé bµi viÕt, chóng ta lu«n gi¶ thiÕt m, trêng thÆng d k = A/m vµ M lµ mét Noether ®Þa ph¬ng víi i®ªan tèi ®¹i lµ A-m«®un h÷u h¹n sinh víi chiÒu Krull lµ dim M = d, Hi (M ) lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu m ®Þa ph¬ng thø i cña M . Víi N lµ m«®un con cña M , chØ sè thu gän cña N ®îc ®Þnh nghÜa lµ sè m«®un con bÊt kh¶ quy xuÊt hiÖn trong ph©n tÝch thu gän cña N nh lµ giao cña c¸c m«®un bÊt kh¶ quy vµ chØ sè nµy lµ h»ng sè ®èi víi mçi m«®un con N . Gi¶ sö q = (x1 , .., xd )A lµ mét i®ªan tham sè cña M , ta ®Þnh nghÜa chØ sè thu gän cña i®ªan tham sè q ®èi víi M lµ chØ sè thu gän cña m«®un con qM , kÝ hiÖu lµ NA (q ; M ). N¨m 2003, S. Goto vµ H. Sakurai ®· chøng minh r»ng nÕu M lµ m«®un Buchsbaum l th× tån t¹i mét sè nguyªn l sao cho mäi i®ªan tham sè cña M n»m trong m cã chØ sè thu gän b»ng nhau [5]. TiÕp theo nh÷ng kÕt qu¶ nµy, n¨m 2004, Jung Chen Liu vµ M Mark W. Roger ®· chøng minh r»ng nÕu lµ m«®un Cohen Macaulay suy réng (mét líp m«®un më réng cña m«®un Buchsbaum) tháa m·n tÝnh chÊt lµ hÇu hÕt c¸c m«®un Hi (M ) cña M b»ng 0 trõ c¸c gi¸ trÞ i ∈ {0, r, d} víi 0 r d, ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng m khi ®ã tån t¹i mét sè nguyªn l sao cho chØ sè thu gän cña mäi i®ªan tham sè cña M n»m l trong m lµ h»ng sè. KÕt qu¶ nµy ®ßi hái hÇu hÕt c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cña M ®Òu triÖt tiªu. Cã mét c©u hái ®îc ®Æt ra lµ nÕu cã nhiÒu m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng kh¸c kh«ng th× M cã cßn tÝnh chÊt nµy n÷a hay kh«ng? Tõ ®ã chóng t«i nghiªn cøu líp m«®un cã tÝnh chÊt lµ c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu cña nã bÞ triÖt ho¸ bëi i m (hay m.Hm (M ) = 0, 0 i < d vµ M chÝnh lµ m«®un tùa Buchsbaum) i®ªan tèi ®¹i ®Ó kiÓm tra M cã tÝnh chÊt lµ chØ sè thu gän cña mäi i®ªan tham sè cña M n»m trong mét luü thõa nµo ®ã cña m lµ h»ng sè hay kh«ng? Vµ chóng t«i ®· chøng minh ®îc r»ng trong trêng hîp nµy c©u tr¶ lêi lµ cã. M NÕu lµ m«®un tùa Buchsbaum KÕt qu¶ chÝnh lµ §Þnh lý 3.5, kh¼ng ®Þnh r»ng: `` M m th× cã chØ sè thu gän cña c¸c i®ªan tham sè n»m trong mét lòy thõa nµo ®ã cña lµ h»ng sè ''. 1 NhËn bµi ngµy 28/6/2007. Söa ch÷a xong ngµy 20/10/2007.
Tõ ®ã chóng t«i cã mét sè hÖ qu¶ vÒ m«®un gi¶ Buchsbaum, m«®un Cohen Macaulay suy réng vµ vµnh Gorenstein. C¸c kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n 2. Cho A lµ mét vµnh Noether ®Þa ph¬ng víi i®ªan tèi ®¹i lµ m, trêng thÆng d k = A/m, M lµ A-m«®un h÷u h¹n sinh, x = (x1 , . . . , xd ) lµ mét hÖ tham sè cña M vµ q = xA lµ i®ªan tham sè t¬ng øng. §Æt xt+1 , . . . , xt+1 M :M xt ...xt , QM (q ) = QM (x) := 1 d 1 d t>0 d−1 d−1 (Hi (M )), I (M ) := m i i=0 d−1 d−1 (Hi (M )). J (M ) := m i−1 i=1 x hoÆc theo q Ta xÐt c¸c hµm theo nh sau I (q ; M ) = I (x; M ) = (M/qM ) − e(x; M ), J (q ; M ) = J (x; M ) = e(x; M ) − (M/QM (x)). 2.1. Cho A lµ vµnh Noether ®Þa ph¬ng víi i®ªan tèi ®¹i lµ m, trêng §Þnh nghÜa thÆng d k = A/m, M lµ A-m«®un h÷u h¹n sinh. (i) Tæng cña tÊt c¶ c¸c m«®un con ®¬n cña M ®îc gäi lµ ®Õ cña m«®un M vµ kÝ hiÖu ∼ lµ Soc(M ). Ta cã Soc (M ) = (0 :M m) vµ Soc (M ) = HomA (k, M ). Do ®ã Soc (M ) cã thÓ xem lµ mét kh«ng gian vÐct¬ trªn trêng k vµ chiÒu cña nã ®îc kÝ hiÖu lµ Socdim(M ). (ii) Thµnh phÇn kh«ng trén lÉn cña m«®un con N ⊆ M , ký hiÖu lµ U(N ), lµ giao cña c¸c thµnh phÇn nguyªn s¬ cã chiÒu Krull cña i®ªan nguyªn tè t¬ng øng lµ lín nhÊt dim M/N N vµ b»ng trong ph©n tÝch nguyªn s¬ cña vµ nã kh«ng phô thuéc vµo bÊt kú N. sù ph©n tÝch nguyªn s¬ nµo cña 2.2. A m, M A- §Þnh nghÜa Cho lµ vµnh Noether ®Þa ph¬ng víi i®ªan tèi ®¹i lµ lµ m«®un h÷u h¹n sinh. x = (x1 , . . . , xd ) cña M hÖ tham sè chuÈn t¾c (i) HÖ tham sè ®îc gäi lµ nÕu I (x2 , . . . , x2 ; M ) = I (x1 , . . . , xd ; M ). 1 d a cña vµnh A ®îc gäi lµ i®ªan chuÈn t¾c cña m«®un M nÕu mäi hÖ tham (ii) I®ªan sè (x1 , . . . , xd ) cña M chøa trong a lµ hÖ tham sè chuÈn t¾c. Khi ®ã, víi 1 r d, ta cã ((x1 , . . . , xr−1 ) M :M xr ) = ((x1 , . . . , xr−1 ) M :M a) . 2.3. (xem [10]) C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t¬ng ®¬ng MÖnh ®Ò M (i) lµ m«®un Cohen Macaulay suy réng. a lµ i®ªan chuÈn t¾c cña M (ii) Tån t¹i mét i®ªan vµ khi ®ã mäi i®ªan tham sè n»m a còng lµ i®ªan chuÈn t¾c cña M . trong
(Hi (M )) < ∞ (0 i d − 1). (iii) m (iv) Tån t¹i x = (x1 , . . . , xd ) lµ mét hÖ tham sè chuÈn t¾c cña M . Khi ®ã, ta cã I (x; M ) = I (M ). n I (q ; M ) = I (M ) q (v) Tån t¹i sè nguyªn sao cho víi mäi i®ªan tham sè n»m trong mn . 2.4. M x = (x1 , . . . , xd ) (xem [1]) Cho lµ m«®un Cohen Macaulay suy réng vµ MÖnh ®Ò M . Khi ®ã ta cã lµ mét hÖ tham sè chuÈn t¾c cña J (x; M ) = J (M ). 2.5. M lµ m«®un Cohen Macaulay suy réng vµ a lµ mét i®ªan (xem [8]) Cho MÖnh ®Ò chuÈn t¾c cña M . Gi¶ sö x1 , . . . , xr (0 r d) lµ mét phÇn cña mét hÖ tham sè nµo ®ã cña M . NÕu (x1 , . . . , xr )A ⊆ a, khi ®ã ta cã U ((x1 , . . . , xr−1 ) M ) = ((x1 , . . . , xr−1 ) M :M xr ) . x1 , . . . , xr ∈ m 2.6. Mét d·y M -d·y yÕu §Þnh nghÜa c¸c phÇn tö ®îc gäi lµ mét nÕu i = 1, . . . , r ta cã víi mçi (x1 , . . . , xi−1 ) M :M xi = (x1 , . . . , xi−1 ) M :M m. x1 , . . . , xr ∈ m Cho a lµ mét i®ªan cña A. D·y M -d·y c¸c phÇn tö ®îc gäi lµ mét a-yÕu nÕu víi mçi i = 1, . . . , r ta cã (x1 , . . . , xi−1 ) M :M xi = (x1 , . . . , xi−1 ) M :M a. 2.7. M A-m«®un dim M = d > 0. (xem [9]) Cho lµ Noether víi chiÒu Krull MÖnh ®Ò Khi ®ã c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t¬ng ®¬ng M trong m2 lµ mét M -d·y yÕu. (i) Tån t¹i mét hÖ tham sè cña 2 (ii) Mäi hÖ tham sè cña M trong m lµ mét M -d·y yÕu. i i d − 1. (iii) m Hm (M ) = 0 víi mäi i tháa m·n 0 2.8. M §Þnh nghÜa M«®un tháa m·n mét trong c¸c ®iÒu kiÖn t¬ng ®¬ng cña MÖnh A tùa Buchsbaum. tùa Buchsbaum ®Ò 2.12 ®îc gäi lµ m«®un Vµnh ®îc gäi lµ vµnh A lµ m«®un tùa Buchsbaum trªn chÝnh nã. nÕu Chó ý: Theo [9] ta cã m«®un Buchsbaum lµ m«®un tùa Buchsbaum vµ líp m«®un tùa Buchsbaum chøa thùc sù líp m«®un Buchsbaum. 2.9. M (xem [2]) gi¶ Buchsbaum §Þnh nghÜa Mét m«®un ®îc gäi lµ m«®un nÕu víi q M , ta cã mäi i®ªan tham sè cña J (q ; M ) = J (M ). 2.10. A ®îc gäi lµ Gorenstein nÕu A lµ vµnh Cohen Macaulay vµ §Þnh nghÜa Vµnh tån t¹i i®ªan tham sè cña A lµ i®ªan bÊt kh¶ quy (khi ®ã mäi i®ªan tham sè cña A còng lµ i®ªan bÊt kh¶ quy).
C¸c kÕt qu¶ 3. N ⊆M 3.1. (xem [7]) ChØ sè thu gän cña m«®un con ®îc cho bëi c«ng thøc Bæ ®Ò NA (N ; M ) = dimk HomA (k, M/N ) = Socdim(M/N ) = (0 :M m). W = H0 (M ). Khi ®ã tån t¹i mét sè nguyªn n sao cho 3.2. (xem [8]) Gi¶ sö MÖnh ®Ò m M n»m trong mn , chØ sè thu gän cña q ®îc cho bëi c«ng q víi mäi i®ªan tham sè cña thøc NA (q ; M ) = Soc dim(M ) + NA (q ; M/W ). 3.3. M lµ m«®un Cohen Macaulay suy réng vµ a lµ mét i®ªan (xem [9]) Cho MÖnh ®Ò chuÈn t¾c cña M . Gi¶ sö x1 , x2 , . . . , xr (1 r d) lµ mét phÇn cña mét hÖ tham sè cña M . NÕu (x1 , x2 , . . . , xr )A ⊆ a, khi ®ã víi mäi sè nguyªn n1 , n2 , . . . , nr 1, ta cã r xn1 +1 , . . . , xnr +1 :M xn1 ...xnr M = (x1 , . . . , xr ) M + U ((x1 , . . . , xi , . . . , xr ) M ). r r 1 1 i=1 3.4. M d > 0. Cho lµ m«®un Cohen Macaulay suy réng víi chiÒu Krull Khi MÖnh ®Ò q ⊆ ml , l q ®ã tån t¹i mét sè nguyªn sao cho víi mäi i®ªan tham sè chØ sè thu gän cña ®îc cho bëi c«ng thøc d Ui + qM + Soc dim Hd (M ) , NA (q ; M ) = Soc dim m qM i=1 Ui = U ((x1 , . . . , xi , . . . , xd )M ) . trong ®ã M a lµ i®ªan chuÈn Chøng minh. Do lµ m«®un Cohen Macaulay suy réng nªn tån t¹i M M a M -d·y a-yÕu [9]. Suy t¾c cña [9]; tõ ®ã mäi hÖ tham sè cña n»m trong lµ mét x1 , . . . , xd M a nguyªn n 1, bëi [9], ra, víi mçi hÖ tham sè cña n»m trong vµ mäi sè ta cã d (xn+1 , . . . , xn+1 )M :M (x1 ...xd )n = (x1 , . . . , xd )M + ((x1 , . . . , xi , . . . , xd )M :M a). 1 d i=1 a nªn ta cã MÆt kh¸c, do tÝnh chuÈn t¾c cña i®ªan d d (x1 , ..., xd )M + ((x1 , ..., xi , ..., xd )M :M a) = (((x1 , ..., xi , ..., xd )M :M xi ) + xi M ). i=1 i=1 Ui = U((x1 , . . . , xi , . . . , xd )M ). Do Ui = ((x1 , . . . , xi , . . . , xd )M :M xi ), ta cã §Æt d (xn+1 , . . . , xn+1 )M :M (x1 ...xd )n = (Ui +xi M ). 1 d i=1 l ®ñ lín sao cho víi mäi i®ªan tham sè q n»m trong Bëi [5], ta cã thÓ chän mét sè nguyªn ϕ : M/qM −→ Hd (M ) lµ toµn ¸nh trªn ®Õ; tøc lµ HomA (k, . ) lµ ml , ¸nh x¹ chÝnh t¾c m l toµn ¸nh. Ta còng cã thÓ chän l ®ñ lín sao cho m ⊆ a.
q = (x1 , . . . , xd ) lµ mét i®ªan tham sè cña M ®îc chøa trong ml . Gäi K lµ h¹t Gi¶ sö d cña ®ång cÊu chÝnh t¾c ϕ tõ M/qM vµo H m (M ). Theo ®Þnh nghÜa cña giíi h¹n nh©n thuËn, ta cã d n+1 , . . . , xn+1 )M :M (x1 ...xd )n n 1 (x1 Ui + xi M d K= = . qM qM i=1 HomA (k, . ) vµo d·y khíp T¸c ®éng hµm tö 0 −→ K −→ M/qM −→ Hd (M ) m ϕ ta cã d·y khíp míi vµ sö dông tÝnh chÊt toµn ¸nh trªn ®Õ cña 0 −→ Soc(K ) −→ Soc (M/qM ) −→ Soc(Hd (M )) −→ 0. m Do ®ã NA (q ; M ) = (Soc(M/qM )) = (Soc(K )) + (Soc(Hd (M )) m d Ui + qM + Soc dim Hd (M ) . = Soc dim Λ m qM i=1 3.5. M l sao cho Cho lµ m«®un tùa Buchsbaum. Khi ®ã tån t¹i mét sè nguyªn §Þnh lý q = (x1 , . . . , xd )A n»m trong ml chØ sè thu gän cña mäi i®ªan tham sè lµ b»ng nhau vµ b»ng h»ng sè d d Soc dim(Hi (M )). NA (q ; M ) = m i i=0 d = 0, khi ®ã M lµ m«®un Cohen Macaulay nªn ®Þnh lý ®îc Chøng minh. NÕu d > 0 vµ depth M = 0, ®Æt W = H0 (M ) vµ M = M/W . Theo MÖnh ®Ò chøng minh. NÕu m 3.2, tån t¹i mét sè nguyªn n sao cho chØ sè thu gän cña c¸c i®ªan tham sè q n»m trong mn ®îc cho bëi c«ng thøc NA (q ; M ) = Soc dim(M ) + NA (q ; M ). Hi (M ) ∼ Hi (M ) víi mäi i > 0 nªn ta cã thÓ gi¶ thiÕt sè nguyªn l n vµ thay M =m Do m bëi M . V× vËy kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö depth M > 0. Khi ®ã theo MÖnh ®Ò 3.4, ta cã d Ui + qM + Soc dim Hd (M ) . NA (q ; M ) = Soc dim m qM i=1 MÆt kh¸c, m«®un tùa Buchsbaum lµ m«®un Cohen Macaulay suy réng nªn ¸p dông m2 M. l 2, MÖnh ®Ò 2.7 ta cã chÝnh lµ mét i®ªan chuÈn t¾c cña Do ®ã, víi ¸p dông MÖnh ®Ò 3.3, suy ra d Ui + qM d Ui + qM QM (q ) i=1 = = . qM qM qM i=1
M -d·y yÕu ta cã Theo MÖnh ®Ò 2.5 vµ §Þnh nghÜa 2.6 cña Ui = U ((x1 , . . . , xi , . . . , xd ) M ) = ((x1 , . . . , xi , . . . , xd ) M :M xi ) = ((x1 , . . . , xi , . . . , xd ) M :M m) ⊆ (qM :M m) . d m QqMq) = 0. Tõ ®ã ta cã M( m Ui ⊆ qM, ∀i = 1, . . . , d. Suy ra m Ui ⊆ qM Do ®ã hay i=1 d Ui + qM QM (q ) QM (q ) Soc dim = Soc dim = 0 : QM (q ) m = . qM qM qM qM i=1 I (x; M ) = I (M ), J (x; M ) = J (M ). Suy ra Theo MÖnh ®Ò 2.3 vµ MÖnh ®Ò 2.4, ta cã I (q ; M ) + J (q ; M ) = I (M ) + J (M ) d−1 d−1 d−1 d−1 (Hi (M )) + (Hi (M )) = m m i−1 i i=0 i=1 d−1 d (Hi (M )). = m i i=0 MÆt kh¸c I (q ; M ) + J (q ; M ) = (M/qM ) − e(q ; M ) + e(q ; M ) − (M/QM (q )) = (M/qM ) − (M/QM (q )) = (QM (q )/qM ). Suy ra d−1 d (Hi (M )). (QM (q )/qM ) = m i i=0 m Hi (M ) Soc( Hi (M )) = Hi (M ). Tõ ®ã ta cã = 0, i = 1, ..., d − 1, nªn Do m m m d QM (q ) d + Soc dim Hd (M ) = Soc dim(Hi (M )). NA (q ; M ) = m m i qM i=0 3.6. M lµ m«®un Cohen Macaulay suy réng, gi¶ Buchsbaum. Khi ®ã tån Cho HÖ qu¶ l sao cho chØ sè thu gän cña mäi i®ªan tham sè ®îc chøa trong ml t¹i mét sè nguyªn lµ h»ng sè. M = M H0 (M ) lµ m«®un Buchsbaum. Do ®ã NA (q ; M ) = Chøng minh. Theo [2] ta cã m const. Sö dông MÖnh ®Ò 3.2, ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. 3.7. Cho M lµ m«®un Cohen Macaulay suy réng sao cho cã mét hÖ tham sè MÖnh ®Ò (x1 , . . . , xd ) tháa m·n (x2 , . . . , x2 ) lµ M -d·y yÕu. Khi ®ã tån t¹i sè nguyªn l ®Ó víi mäi 1 d l i®ªan tham sè q ⊆ m , chØ sè thu gän cña q lµ h»ng sè vµ ®îc cho bëi c«ng thøc d d Soc dim(Hi (M )). NA (q ; M ) = m i i=0
Chøng minh. §îc suy ra trùc tiÕp tõ MÖnh ®Ò 2.7 vµ §Þnh lý 3.5. 3.8. A lµ vµnh tùa Buchsbaum. Khi ®ã A lµ vµnh Gorenstein nÕu vµ chØ Cho HÖ qu¶ m cã chøa mét i®ªan tham sè bÊt kh¶ quy. nÕu mäi luü thõa cña A lµ vµnh Gorenstein th× A lµ vµnh tùa Buchsbaum vµ Chøng minh. Râ rµng nÕu A lµ bÊt kh¶ quy. Ngîc l¹i, gi¶ sö mäi lòy thõa cña m cã chøa mäi i®ªan tham sè cña mét i®ªan bÊt kh¶ quy. Theo §Þnh lý 3.5, mçi i®ªan tham sè chøa trong mét lòy thõa m cã chØ sè thu gän lµ ®ñ lín cña d d Soc dim(Hi (A)); m i i=0 1 (i®ªan tham sè lµ bÊt kh¶ quy). Do Hd (A) lµ m«®un kh«ng Artin vµ chØ sè nµy b»ng m i i nªn cã ®Õ kh¸c kh«ng. Tõ ®ã Soc(H m (A)) = 0 (i < d). V× Hm (A) lµ m«®un Artin cã i ®Õ b»ng 0 nªn H m (A) = 0. Suy ra A chØ cã mét m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng kh¸c kh«ng vµ do ®ã A lµ vµnh Cohen Macaulay. MÆt kh¸c, tån t¹i i®ªan tham sè lµ bÊt kh¶ quy nªn A lµ Gorenstein vµnh. Tµi liÖu tham kh¶o On certain length functions associated to [1] N. T. Cuong, N. T. Hoa and N. T. H. Loan, 27(3) (1999), a system of parameters in local rings, Vietnam Journal of Mathematics 259-272. A characterization for pseudo Buchsbaum modules, [2] N. T. Cuong and N. T. H. Loan, 30 (2004), 165-181. Japan. J. Math., Vol. Verallgemeinerte Cohen-Macaulay-Moduln, [3] N. T. Cuong, P. Schenzel, N. V. Trung, 85 (1978), 57-73. Math. Nachr., Some remarks on generalized Cohen-Macaulay rings, [4] M. Fiorentini and L. T. Hoa, 1 (1994),507-519. Bull. Belg. Math. Soc., I 2 = QI The equality in Buchsbaum rings, [5] S. Goto and H. Sakurai, Rend. Sem. 110 (2003), 25-56. Mat. Univ. Padova, Commutative ring theory, [6] H. Matsumura, Cambridge University Press, 1986. The index of reducibility for parameter ideals in low dimension, [7] M. W. Rogers, 278/2 (2004), 571-584. Journal of Algebra, The index reducibility of parameter ideal and [8] Jung-Chen Liu and M. W. Rogers, motsly zero finite local cohomologies, Comm. Alg., to appear. auckrad ¨ Buchsbaum rings and applications, [9] J. St and W. Vogel, Spingger-Veriag, Berlin-Heidelberg-New York, 1986.
Toward a theory of Generalized Cohen-Macaulay Modules, [10] Ngo Viet Trung, Nagoya 102 (1986), 1-49. Math. J., Vol. SUMMARY THE INDEX OF REDUCIBILITY OF PARAMETER IDEALS ON QUASI BUCHSBAUM MODULES M d over In this paper we prove that if is a quasi-Buchsbaum module with dimension (A, m), then there exists an integer l such that every parameter Notherian local ring ml has the same index of reducibility. Then, we give some M ideal of contained in corollaries about pseudo-Buchsbaum modules, generelized Cohen Macaulay modules, and Gorenstein rings. These results are generalizations of Goto and Sakurai's ones. (a) khoa to¸n, trêng ®¹i häc vinh.