Báo cáo nghiên cứu khoa học: "LỰC NÚT TƯƠNG ĐƯƠNG BÊN TRONG CỦA PHẦN TỬ ỨNG SUẤT PHẲNG TRONG BÀI TOÁN PHẦN TỬ HỮU HẠN PHI TUYẾN"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Halinh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

98
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đặt vấn đề Trong thực tế tính toán kết cấu, chúng ta thường phải phân tích bài toán phi tuyến. Bài toán này đưa về giải phương trình chứa các số hạng phi tuyến đối với ẩn số. Nói chung, không thể giải một cách chính xác dưới dạng đóng những phương trình phi tuyến mà phải dùng các thuật toán đúng đắn, trong đó tiêu chuẩn hội tụ là vấn đề cần quan tâm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "LỰC NÚT TƯƠNG ĐƯƠNG BÊN TRONG CỦA PHẦN TỬ ỨNG SUẤT PHẲNG TRONG BÀI TOÁN PHẦN TỬ HỮU HẠN PHI TUYẾN"

LỰC NÚT TƯƠNG ĐƯƠNG BÊN TRONG CỦA PHẦN TỬ ỨNG SUẤT PHẲNG TRONG BÀI TOÁN PHẦN TỬ HỮU HẠN PHI TUYẾN ThS. NGUYỄN ĐẠI VIÊN Sở Xây d ựng Thừa Thiên Hu ế 1. Đặt vấn đề Trong thực tế tính toán kết cấ u, chúng ta thư ờng phải phân tích bài toán phi tuyế n. Bài toán này đư a v ề gi ải ph ư ơ ng trình ch ứa các s ố h ạng phi tuyế n đ ối vớ i ẩn s ố. Nói chung, không th ể g iải mộ t cách chính xác dư ới dạ ng đóng nhữ ng phư ơng trình phi tuy ế n mà ph ải dùng các thuật toán đúng đắn, trong đó tiêu chuẩ n hội t ụ là vấn đề cầ n quan tâm. Trong phư ơng pháp phầ n tử hữ u hạ n (PTHH), tả i trọng tác dụ ng lên hệ đ ư ợ c thay thế gần đúng bằ ng m ột hệ l ực đặt tại các nút c ủa phần tử (g ọi là lực nút tư ơng đ ư ơng bên ngoài). T ư ơng tự , các thành phầ n ứ ng su ất của hệ c ó thể đư ợc thay thế g ần đ úng b ằng mộ t h ệ l ực đặt tại các nút c ủa phầ n t ử (tạ m gọi là lự c nút tư ơ ng đư ơng bên trong). T heo nguyên tắc cân bằ ng c ủa h ệ t hì hai hệ l ực này ph ải cân bằ ng nhau. Tuy nhiên, trong các bư ớc lặ p của bài toán phân t ích phi tuyế n, sự chênh lệch giữ a hai hệ lực này luôn t ồ n t ại và có xu hư ớ ng gi ảm dần khi s ố vòng lặ p tăng lên. Khi đ ộ chênh lệch này nhỏ h ơn mộ t giá tr ị q uy đị nh, ta nói bài toán hội t ụ. Bài báo nhằ m xác đị nh l ự c nút tư ơ ng đư ơ ng bên trong c ủa phầ n t ử c hữ nhật trong tr ạ ng thái ứ ng s uất phẳ ng. Đ ây là d ạng bài toán có phạ m vi ứ ng dụ ng t ư ơ ng đố i rộ ng rãi trong ngành xây dự ng, chế tạ o máy bay, đóng tàu... 2. Cơ sở lý thuyết a. Phư ơ ng trình cân b ằ ng củ a hệ P THH ở v òng l ặp i có thể viết: Ri  F i  0 (1) Trong đ ó: Ri và Fi là véct ơ lực nút t ư ơng đư ơ ng bên ngoài và bên trong c ủa hệ ở vòng lặ p i . Gi ả sử l ờ i gi ải tại vòng lặ p i đã biết, cầ n xác đị nh l ờ i gi ải tại vòng l ặp (i+1). Vi ết lại (1) cho vòng l ặp (i+1): R i 1  F i 1  0 (2) Vì l ờ i gi ải tại vòng lặ p i đã biết nên ta có: F i 1  F i  F (3) V ới F là s ố gia lự c nút tư ơ ng đư ơng bên trong. Mặ t khác, véct ơ F c ó thể đư ợc vi ết: F  K i .U (4) Trong đ ó: Ki là ma tr ậ n độ c ứ ng c ủa h ệ ở v òng l ặp thứ i và U là véct ơ gia s ố chuy ể n vị n út. T hay (3), (4) vào (2): K i .U  R i 1  F i (5) Từ đó, tính đư ợ c chuy ể n vị tại vòng lặp i+1: U i 1  U i  U (6) V ới U là nghi ệ m của (5). Vòng l ặ p trên đây đư ợc dùng cho nhi ề u ph ư ơng pháp khác nhau. Trong đó, phư ơng pháp Newton- Raphson (xem hình 1) đư ợc dùng ph ổ biế n vì có độ hội t ụ cao. Tả i Ri+1 – F(1)i t rọng Ri+1 K(1)i Ri+1– F(0)i K(0)i Fi+1 Ri U(2) F(0)i U(1) Ui Ui+1 Chuyể n vị Hình 1. Phương pháp lặp Newton - Raphson
N ghiệm c ủa (5) là chuyể n vị gây ra bởi hi ệ u số gi ữa lực nút t ươ ng đ ươ ng bên ngoài ở v òng l ặp đang xét và lực nút tươ ng đư ơ ng bên trong ở vòng l ặp trướ c. Do vậ y, vi ệc xác đị nh l ực nút tư ơ ng đư ơ ng bên trong t ại mỗ i vòng lặ p là vấ n đề cầ n thi ết đ ối vớ i việc giải bài toán PTHH phi tuy ế n theo phư ơ ng pháp lặ p. b. Xét phần tử tứ giác 4 nút định vị trong hệ tọa độ Oxy, có trạng thái ứng suất phẳng. Để tiện tính toán, ta sử dụng phần tử tham chiếu định vị trong hệ toạ độ O. Trong hệ này, các thành phần toạ độ  và  của những điểm trên phần tử tham chiếu mang các giá trị trong đoạn [-1, 1] (xem hình 2a và 2b).   k 1 y l 1 -1   o j i o x -1 Hình 2b. Phần tử tham chiếu Hình 2a. Phần tử thực M ối quan hệ giữ a tọa độ mộ t đi ể m M(x,y) của phầ n tử thự c trong hệ O xy v à đi ểm tư ơ ng ứ ng M’(,) củ a ph ần tử t ham chiế u trong hệ O : 4   x   N i ( , ) . x i  (7) i 1  4  y   N i ( , ) . y i   i 1 V ới N i là các hàm dạ ng c ủa ph ầ n tử . c. Lự c nút tư ơ ng đư ơng bên trong c ủa phần tử theo [1]: Fe    B T . e . dv (8) v Trong đ ó: [B] là ma tr ậ n đ ạo hàm; { Fe } g ồ m các thành phần lự c nút tư ơ ng đư ơng theo phư ơng x, y của các nút. Vấ n đề đặt ra là làm th ế nào để tính đ ư ợ c (8) khi kết quả của bài toán PTHH không phải là các hàm ứ ng su ất mà là các tr ị s ố ứ ng su ất r ời rạc tại cá c điể m nút:  xx   e    yy  (9)   xy   d. Thay vi phân thể tích d v bởi (e dx dy ), với e là chi ều dày ph ần tử ; (8) tr ở t hành: Fe    BT . e . e. dx . dy ( 10) s Vớ i quan hệ (7), đổi biế n s ố trong tính tích phân kép v ới:   x  x( , )   Fe     B  . . J . d . d T (11)   y  y ( ,  )   V ới J l à ma tr ậ n Jacobi. Trư ờ ng hợ p phầ n tử ch ữ n hật: 11     1  Fe     B . . J . d . d T (12)      1 1 1 Tích phân (12) có th ể tính gầ n đ úng b ằ ng phư ơ ng pháp Gauss: 11 r r (13) f ( , ) d d    wi . w j . f ( i , j )  i 1 j 1 1 1 V ới:
(i, j ) - T ọa độ các điể m Gauss n ằ m trên diệ n tích c ủa ph ầ n tử tham chi ế u, có giá trị thuộc đoạn [- 1,1]; wi, wj - Tr ọng s ố ứ ng v ới điểm Gauss có tọa độ (i, j); r - Số đi ểm Gauss n ằm trên một phương  hoặc . Ta ch ọn r = 2 t hì t ọa độ đ iểm Gauss là  0,577350269189626 và tr ọng s ố tư ơng ứ ng là 1. Nh ư vậ y, ta có thể tính đư ợc lự c nút tư ơ ng đư ơng bên trong c ủa phầ n tử từ ứng suất tại các nút theo (13). Ghép các lực nút tư ơ ng đư ơng bên trong c ủa các phầ n t ử {F e }, ta sẽ c ó ma tr ận lự c nút tư ơ ng đư ơng bên trong c ủa h ệ {F }. 3. Ví dụ Xét vách cứ ng ch ị u t ải trọng ngang, liên kết ngàm ở chân có kích thư ớc nh ư hình 3. Vật li ệu có m ô đ un đàn hồi E = 2,65.109 K G/m2; hệ s ố poisson là 0,3. - C hia hệ t hành 4 phầ n t ử v à đánh s ố nút và phần t ử nh ư hình 3. - Ma trận lự c nút tư ơ ng đư ơng bên ngoài từ tải trọng đã cho: RT  r1x r1 y r2 x r2 y r3 x r3 y r4 x r4 y r5 x r5 y r6 x r6 y r7 x r7 y r8 x r8 y r9 x r9 y  R T  10000 0 0 0 0 0 20000 0 0 0 0 0 10000 0 0 0 0 0 - L ậ p trình và tính toán theo tích phân (13), ta có ma tr ậ n lự c nút tư ơng đ ư ơng bên trong: FT  f1x f1 y f 2 x f 2 y f 3x f 3 y f 4 x f 4 y f 5 x f 5 y f 6 x f 6 y f 7 x f 7 y f8 x f8 y f9 x f 9 y  FT  12318  40378 1541 756 16140 39621 20000 0 0 0 0 0 10000 0 0 0 0 0 7 8 9 3 4 10 m q = 20000 KG/m 5 6 4 10 1 2 m 2 3 1 0,2m 5m 5m Hình 3. Ví dụ N hậ n xét: - T ại các nút không có liên kết (4, 5, 6, 7, 8, 9): { R } và {F } cân b ằ ng nhau; - Lự c nút tư ơng đư ơng bên ngoài r1x t hực ra không gây ra n ội lực trong h ệ. Do vậy, c ộng giá tr ị r1x vào f1x c ủa { F }, ta có: F    22318  40378 1541 756 *T 16140 39621 20000 0 0 0 0 0 10000 0 0 0 0 0 L úc này, các giá tr ị fix, fiy (i = 1÷ 3) chính là các phả n lực c ủa h ệ tại các nút liên k ết. 4. Kết luận - Lự c nút tư ơng đư ơng bên trong có thể tính từ các giá tr ị ứ ng suất rời rạc tại các đi ểm nút c ủa hệ bằ ng phư ơng pháp gầ n đ úng Gauss. - Trong quá trình giải bài toán đàn hồi phi tuyế n theo ph ư ơ ng pháp lặ p, giữ a ma trậ n lực nút tư ơ ng đư ơng bên ngoài ở v òng lặ p hi ệ n tại luôn có chênh lệch với ma tr ận lực nút tư ơng đư ơ ng bên trong ở vòng lặ p trư ớc. Giá trị chênh lệch này đư ợc dùng làm tiêu chuẩ n hộ i tụ để gi ải bài toán phi tuyến theo ph ư ơ ng pháp lặ p. - K hi bài toán h ội tụ, ta nhậ n đ ư ợ c ma tr ậ n lực nút t ư ơng đư ơ ng bên trong gồ m các thành phầ n: + Tại các nút không có liên kết: ma tr ậ n lực nút tư ơng đư ơng bên trong (do n ội lự c) là cân bằ ng vớ i m a trậ n lự c nút tư ơng đư ơ ng bên ngoài (do ngo ại lực). + T ại các nút có liên kết: các số hạng c ủa ma tr ận lực nút tư ơng đư ơ ng bên trong chính là phả n lực của hệ.
TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. M. Y. H. BANGASH. Concrete and conrete structures: Numerical modelling and Application. Elsevier science publisher Ltd. 1989. 2. HỒ ANH TUẤN - TRẦN BÌNH. Phương pháp phầ n tử hữu hạn. NXB Khoa học kỹ t huật, Hà Nội, 1978.