Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2009 tác giả: 4. Đinh Huy Hoàng, Phan Anh Tài, Nguyễn Đình Lập, Một số tính chất của không gian o-mêtric và o-mêtric mạnh.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Một số tính chất của không gian o-mêtric và o-mêtric mạnh."
- Mét sè tÝnh chÊt cña kh«ng gian o-mªtric
vµ o-mªtric m¹nh
§inh Huy Ho ng (a) , Phan Anh T i (b)
NguyÔn §×nh LËp (c)
Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®−a ra mét sè tÝnh chÊt vµ mèi liªn hÖ cña
c¸c kh«ng gian o-mªtric, o-mªtric m¹nh, kh«ng gian ®èi xøng vµ chøng minh r»ng mét
kh«ng gian o-mªtric m¹nh (t−¬ng øng, o-mªtric Hausdorff) lµ kh«ng gian Frechet m¹nh
α4 -kh«ng gian).
(t−¬ng øng,
1 Më ®Çu
Kh«ng gian mªtric lµ mét kh«ng gian t«p« ®Æc biÖt cã rÊt nhiÒu tÝnh chÊt vµ trùc
quan. V× thÕ khi nghiªn cøu c¸c kh«ng gian t«p« tæng qu¸t, ng−êi ta th−êng xÐt
c¸c tÝnh chÊt t−¬ng tù nh− kh«ng gian mªtric. Mét trong nh÷ng h−íng nghiªn cøu
trong t«p« hiÖn ®¹i lµ x©y dùng nh÷ng hµm t−¬ng tù nh− mªtric trªn c¸c kh«ng gian
t«p« vµ nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt sinh ra tõ c¸c hµm ®ã. §Ó x©y dùng c¸c hµm kiÓu
nµy, ng−êi ta më réng kh¸i niÖm mªtric b»ng c¸ch gi¶m bít c¸c ®iÒu kiÖn trong ®Þnh
nghÜa cña nã. Víi c¸ch lµm nh− vËy, ng−êi ta thu ®−îc c¸c kh¸i niÖm gi¶ mªtric, nöa
mªtric, o-mªtric, symmetric,... vµ nghiªn cøu c¸c kh«ng gian b»ng c¸ch dùa vµo c¸c
kh¸i niÖm nµy. Nh÷ng ng−êi ®¹t ®−îc nh÷ng kÕt qu¶ ®¸ng kÓ vÒ nh÷ng lÜnh vùc ®
nªu lµ A. V. Arhangel'ski, G. Gruenhage, K. B. Lee, Ja. A. Kofnor, S. Lin, ...
Môc ®Ých cña chóng t«i lµ t×m hiÓu vµ nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt cña c¸c kh«ng
gian o-mªtric, o-mªtric m¹nh, ®èi xøng, ...
§Çu tiªn chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n.
1.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö V lµ mét tËp con cña kh«ng gian t«p« X . V ®−îc gäi lµ
l©n cËn d·y cña x ∈ X nÕu víi mçi d y {xn } héi tô tíi x tån t¹i n0 ∈ N sao cho
{x} ∪ {xn : n ≥ n0 } ⊂ V.
1.2. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®−îc gäi lµ kh«ng gian Frechet nÕu víi mçi
tËp con A cña X vµ x ∈ A tån t¹i d y {xn } trong A sao cho d y {xn } héi tô tíi x.
1.3. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®−îc gäi lµ kh«ng gian Frechet m¹nh nÕu
mçi d y gi¶m c¸c tËp con {An } cña X vµ x ∈ An víi mäi n ∈ N ®Òu tån t¹i d y {xn }
trong X sao cho xn ∈ An víi mäi n vµ {xn } héi tô tíi x.
1.4. §Þnh nghÜa ([3]). Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian t«p« vµ d : X × X → R.
Hµm d ®−îc gäi lµ mét o-mªtric trªn X nÕu
1
NhËn bµi ngµy 29/5/2009. Söa ch÷a xong 15/9/2009.
- (i) d(x, y ) ≥ 0 víi mäi x, y ∈ X ,
(ii) d(x, y ) = 0 khi vµ chØ khi x = y ,
(iii) TËp con U ⊂ X lµ më khi vµ chØ khi d(x, X \ U ) > 0 víi mäi x ∈ U , trong ®ã
d(x, X \ U ) = inf {d(x, y ) : y ∈ X \ U }.
Hµm d ®−îc gäi lµ mét o-mªtric m¹nh nÕu d lµ o-mªtric vµ víi mçi x ∈ X , víi mçi
r > 0, h×nh cÇu B (x, r) = {y ∈ X : d(x, y ) < r} lµ mét l©n cËn cña x.
Hµm d ®−îc gäi lµ mét symmetric nÕu d lµ o-mªtric vµ d(x, y ) = d(y, x) víi mäi
x, y ∈ X .
Hµm d ®−îc gäi lµ mét nöa mªtric nÕu d lµ symmetric vµ víi M ⊂ X th× x ∈ M
khi vµ chØ khi d(x, M ) = inf {d(x, y ) : y ∈ M } = 0.
Kh«ng gian t«p« X cïng víi mét o-mªtric (t−¬ng øng, o-mªtric m¹nh, symmetric,
nöa mªtric) d trªn nã ®−îc gäi lµ kh«ng gian o-mªtric (t−¬ng øng, o-mªtric m¹nh, ®èi
xøng, nöa mªtric) vµ ký hiÖu lµ (X, d) hoÆc X nÕu kh«ng cÇn chØ ra d.
1.5. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®−îc gäi lµ cã tÝnh chÊt (*) nÕu víi mçi
®iÓm kh«ng c« lËp x cña X ®Òu tån t¹i mét d y kh«ng tÇm th−êng (kh«ng lµ d y
dõng) trong X héi tô tíi x.
1.6. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian t«p« X . TËp con Q cña X ®−îc gäi lµ mét c¸i
qu¹t t¹i x cña X nÕu Q cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng Q = {x} ∪ {∪{xnm : m ∈ N} :
n ∈ N}, trong ®ã {xnm : m ∈ N}n∈N lµ v« h¹n d y rêi nhau cña X mµ mçi d y héi tô
vÒ x.
TËp con C cña qu¹t Q t¹i x ®−îc gäi lµ mét ®−êng chÐo cña Q nÕu C cã giao víi
v« h¹n d y cña qu¹t Q vµ ®ång thêi C lµ mét d y héi tô vÒ mét ®iÓm trong qu¹t Q.
Kh«ng gian t«p« X ®−îc gäi lµ α4 -kh«ng gian nÕu víi mçi x trong X , mäi c¸i qu¹t
t¹i x ®Òu cã ®−êng chÐo héi tô vÒ x.
2 C¸c kÕt qu¶ chÝnh
2.1. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian o-mªtric. Khi ®ã
1) TËp con U cña X lµ më khi vµ chØ khi víi mçi x ∈ U tån t¹i ε > 0 sao cho
B (x, ε) ⊂ U .
2) NÕu {xn } ⊂ X vµ x ∈ X sao cho d(x, xn ) → 0 th× xn → x.
Chøng minh. 1) Gi¶ sö U lµ tËp më trong X vµ x ∈ U . Khi ®ã theo ®Þnh nghÜa
r
cña o-mªtric ¾t tån t¹i r > 0 sao cho d(x, X \ U ) = r. Tõ ®ã suy ra B (x, 2 ) ⊂ U.
Ng−îc l¹i, gi¶ sö U lµ tËp con cña X sao cho víi mçi x ∈ U , tån t¹i ε > 0 sao cho
B (x, ε) ⊂ U . Khi ®ã víi mäi y ∈ X \U ta cã y ∈ U . Do ®ã d(x, y ) ≥ ε. Tõ ®ã suy ra
/
d(x, X \U ) ≥ ε > 0. Theo ®Þnh nghÜa cña o-mªtric th× U lµ tËp më trong X .
- 2) Gi¶ sö {xn } ⊂ X, x ∈ X sao cho d(x, xn ) → 0. Víi bÊt kú l©n cËn U cña x ¾t
tån t¹i r > 0 sao cho B (x, r) ⊂ U . V× d(x, xn )→0 nªn tån t¹i sè tù nhiªn n0 sao cho
d(x, xn ) < r víi mäi n ≥ n0 . Do ®ã xn ∈ B (x, r) ⊂ U víi mäi n ≥ n0 . VËy xn →x.
2.2. §Þnh lý. Kh«ng gian t«p« X lµ nöa mªtric khi vµ chØ khi nã lµ kh«ng gian
o-mªtric m¹nh vµ ®èi xøng.
Chøng minh. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian nöa mªtric vµ d lµ nöa mªtric trªn X .
1
Khi ®ã, víi mçi x ∈ X vµ n ∈ N th× B x, n lµ mét l©n cËn cña x. ThËt vËy, ®Æt
1 1
E = X \B x, n . Ta cã d(x, E ) ≥ n > 0. Do ®ã x ∈ E , tøc lµ x ∈ X \E vµ X \E lµ
/
1
l©n cËn më cña x. Víi mçi y ∈ X \E ta cã y ∈ E , tøc lµ y ∈ B x, n . Tõ ®ã ta cã
/
1 1
X \E ⊂ B x, n . Nh− vËy B x, n lµ l©n cËn cña x. B©y giê, víi mçi sè d−¬ng r, ¾t
1 1
tån t¹i n ∈ N sao cho n < r. Do ®ã B x, n ⊂ B (x, r). Nh− vËy B (x, r) lµ l©n cËn
cña x. Tõ ®ã suy ra X lµ kh«ng gian o-mªtric m¹nh vµ ®èi xøng.
Ng−îc l¹i, gi¶ sö X lµ kh«ng gian o-mªtric m¹nh vµ ®èi xøng. Khi ®ã trªn X cã
mét symmetric d sao cho víi mçi x ∈ X vµ r > 0 tËp B (x, r) lµ mét l©n cËn cña x.
Ta chøng tá X lµ kh«ng gian nöa mªtric. Gi¶ sö M ⊂ X vµ x ∈ M . Lóc ®ã, víi mçi
r > 0, B (x, r) ∩ M = ∅, tøc lµ tån t¹i y ∈ B (x, r) ∩ M . Tõ ®ã ta cã
0 ≤ d(x, M ) ≤ d(x, y ) < r.
Cho r → 0 ta kÕt luËn ®−îc d(x, M ) = 0. Ng−îc l¹i, gi¶ sö x ∈ X sao cho d(x, M ) = 0.
NÕu x ∈ M th× x ∈ X \M . Do ®ã tån t¹i r > 0 sao cho d(x, M ) ≥ d(x, M ) ≥ r > 0.
/
§iÒu m©u thuÉn nµy chøng tá x ∈ M . VËy X lµ kh«ng gian nöa mªtric.
2.3. §Þnh lý. NÕu (X, d) lµ kh«ng gian o-mªtric sao cho tõ x vµ d·y {xn } trong
1
X tháa m·n x ∈ B xn , n víi mäi n ∈ N ®ñ lín suy ra {xn } héi tô tíi x th× X lµ
kh«ng gian ®èi xøng.
Chøng minh. Ta x¸c ®Þnh hµm d : X × X →R bëi c«ng thøc
0 nÕu x = y
d (x, y ) = 1 1
min , nÕu x = y.
inf {j ∈N:x∈B (y, 1 )} inf {j ∈N:y ∈B (x, 1 )}
/ /
j j
Râ rµng d (x, y ) ≥ 0, d (x, y ) = d (y, x) víi mäi x, y ∈ X vµ d (x, y ) = 0 khi vµ chØ khi
x = y . §Ó hoµn thµnh chøng minh ®Þnh lý, ta chØ cÇn chøng tá r»ng U më trong X
khi vµ chØ khi víi mçi x ∈ U ®Òu cã d (x, X \U ) > 0.
Gi¶ sö U lµ tËp më trong X vµ x ∈ U . Khi ®ã, theo MÖnh ®Ò 2.1 ¾t tån t¹i n0 ∈ N
1 1
⊂ U . Víi mçi y ∈ X \U th× y ∈ B x, n0 . Do ®ã
sao cho B x, n0 /
1 1
≥ . (1)
n0
inf j ∈ N : y ∈ B x, 1
/ j
- Gi¶ sö d (x, X \U ) = 0. Khi ®ã, víi mçi n ∈ N, n ≥ n0 ¾t tån t¹i yn ∈ X \U sao cho
1
d (x, yn ) < . (2)
n
1
NÕu x ∈ B yn , n th×
/
1 1
≥ . (3)
n
inf j ∈ N : x ∈ B yn , 1
/ j
1
Tõ (1) vµ (3) suy ra d (x, yn ) ≥ n . BÊt ®¼ng thøc nµy m©u thuÉn víi (2). Do ®ã
1
x ∈ B yn , n víi mäi n ≥ n0 . Theo gi¶ thiÕt ta cã {yn } héi tô tíi x. §iÒu nµy m©u
thuÉn víi yn ∈ X \U víi mäi n ≥ n0 . Tõ ®ã suy ra d (x, X \U ) > 0.
Ng−îc l¹i, gi¶ sö U lµ tËp con cña X sao cho d (x, X \U ) > 0 víi mäi x ∈ U
nh−ng U kh«ng më trong X . Khi ®ã, tån t¹i x ∈ U sao cho víi mçi n = 1, 2, . . . ta cã
1
∩ (X \U ) = ∅
B x,
n
1 1
tøc lµ víi mçi n = 1, 2, . . . tån t¹i xn ∈ B x, n ∩ (X \U ). Tõ xn ∈ B x, n víi
1
n = 1, 2, . . . suy ra d (x, xn ) < n . KÕt hîp víi xn ∈ X \U víi n = 1, 2, . . . ta cã
d (x, X \U ) = 0. §©y lµ mét ®iÒu m©u thuÉn. Do ®ã, U lµ tËp më trong X . VËy d lµ
mét symmetric vµ X lµ kh«ng gian ®èi xøng.
2.4. §Þnh lý. 1) NÕu X lµ kh«ng gian o-mªtric m¹nh, th× X lµ kh«ng gian Frechet
m¹nh.
2) NÕu X lµ kh«ng gian o-mªtric víi o-mªtric d tháa m·n
d(x, y ) ≤ d(x, z ) + d(z, y ) víi mäi x, y, z ∈ X
th× X lµ kh«ng gian o-mªtric m¹nh vµ ®Õm ®−îc thø nhÊt.
Chøng minh. 1) Gi¶ sö X lµ kh«ng gian o-mªtric m¹nh, {An } lµ d y c¸c tËp con
gi¶m cña X vµ x ∈ An víi mäi n ∈ N. Khi ®ã, víi mçi n ∈ N, v× X lµ kh«ng gian
1 1
o-mªtric m¹nh nªn B x, n lµ l©n cËn cña x. Do ®ã An ∩ B x, n = ∅ víi mäi n. Tõ
1
®ã suy ra tån t¹i {xn } ⊂ X sao cho xn ∈ An ∩ B x, n víi mäi n. V× thÕ
1
, víi mçi n ∈ N.
d(x, xn ) <
n
Cho n→∞ ta ®−îc d(x, xn )→0. Theo MÖnh ®Ò 2.1 th× xn →x. Do ®ã X lµ kh«ng gian
Frechet m¹nh.
- 2) §Çu tiªn, ta chøng minh h×nh cÇu B (x, r) lµ tËp më víi mçi x ∈ X vµ r > 0.
Víi mçi y ∈ B (x, r), ®Æt δ = r − d(x, y ). V× d(x, y ) < r nªn δ > 0. Víi mçi z ∈ B (y, δ )
ta cã d(y, z ) < δ vµ do ®ã
d(x, z ) ≤ d(x, y ) + d(y, z ) < d(x, y ) + r − d(x, y ) = r.
Tõ ®ã z ∈ B (x, r) vµ ta cã B (y, δ ) ⊂ B (x, r). Do ®ã, theo MÖnh ®Ò 2.1, B (x, r) lµ tËp
1
më trong X . Nh− vËy, mçi B x, n lµ l©n cËn cña x. KÕt hîp víi MÖnh ®Ò 2.1 ta
suy ra hä
1
B x, : n = 1, 2, . . .
n
lµ c¬ së l©n cËn ®Õm ®−îc t¹i x. VËy X lµ kh«ng gian tháa m n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc
thø nhÊt.
2.5. Bæ ®Ò. NÕu X lµ kh«ng gian o-metric, Hausdorff th× B (x, r) lµ l©n cËn d·y
cña x víi mäi x ∈ X vµ mäi r > 0.
Chøng minh. Gi¶ sö B (x, r) kh«ng lµ l©n cËn d y cña x. Khi ®ã tån t¹i d y {xn }
trong X \B (x, r) sao cho {xn } héi tô tíi x. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t cã thÓ gi¶ thiÕt
c¸c xn ®«i mét kh¸c nhau. §Æt E = {x1 , x2 , . . . }. V× X lµ kh«ng gian Hausdorff nªn
E ∪ {x} lµ tËp con ®ãng trong X . Do ®ã X \(E ∪ {x}) lµ tËp më.
Gi¶ sö y ∈ X \E . NÕu y = x th× B (y, r) = B (x, r) ⊂ X \E .
NÕu y = x th× y ∈ X \(E ∪ {x}). V× X \(E ∪ {x}) lµ tËp më nªn tån t¹i ε > 0 sao
cho
B (y, ε) ⊂ X \(E ∪ {x}) ⊂ X \E.
Tõ MÖnh ®Ò 2.1 suy ra X \E lµ tËp më hay E lµ tËp ®ãng. §iÒu nµy m©u thuÉn víi
{xn } ⊂ E, {xn } héi tô tíi x nh−ng x ∈ E . VËy B (x, r) lµ l©n cËn d y cña x.
/
MÖnh ®Ò 2.1 chØ ra r»ng trong kh«ng gian o-mªtric tõ d(x, xn )→0 suy ra xn →x.
VÊn ®Ò ®Æt ra lµ víi ®iÒu kiÖn nµo th× tõ xn →x suy ra d(x, xn )→0. MÖnh ®Ò sau ®©y
gi¶i quyÕt vÊn ®Ò nµy.
2.6. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian o-mªtric Hausdorff vµ {xn } lµ d·y trong
X . Khi ®ã, xn →x ∈ X khi vµ chØ khi d(x, xn )→0.
Chøng minh. Gi¶ sö xn →x. Khi ®ã, v× X lµ kh«ng gian Hausdorff nªn víi mçi
ε > 0, B (x, ε) lµ l©n cËn d y cña x. Do ®ã tån t¹i n0 ∈ N sao cho xn ∈ B (x, ε) víi
mäi n ≥ n0 , tøc lµ
0 ≤ d(x, xn ) < ε víi mäi n ≥ n0 .
Tõ ®ã suy ra d(x, xn )→0
§iÒu kiÖn ®ñ cña mÖnh ®Ò nµy lµ 2) cña MÖnh ®Ò 2.1.
2.7. §Þnh lý. NÕu X lµ kh«ng gian o-mªtric, Hausdorff th× X lµ α4 - kh«ng gian.
- Chøng minh. Gi¶ sö Q lµ mét c¸i qu¹t t¹i x ∈ X vµ Q ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng
Q = {x} ∪ {∪{xn m : m ∈ N} : n ∈ N},
trong ®ã {xnm : m ∈ N}n∈N lµ ®Õm ®−îc c¸c d y rêi nhau trong X vµ xnm →x khi
1
m→∞; n = 1, 2, . . . Theo Bæ ®Ò 2.5, mçi B x, n lµ mét l©n cËn d y cña x. Tõ ®ã
suy ra víi n ∈ N ¾t tån t¹i mn ∈ N sao cho
1
xnm ∈ B x, víi mäi m ≥ mn .
n
§iÒu nµy chøng tá víi mçi n ∈ N th×
1
{xnm : m ∈ N} ∩ B x, = ∅.
n
Nhê ®ã ta x©y dùng ®−îc d y ®−êng chÐo C = {yn : n ∈ N} cña qu¹t Q nh− sau: víi
mçi n ∈ N chän
1
yn ∈ {xnm : m ∈ N} ∩ B x, .
n
Khi ®ã, víi mçi n ∈ N th× C ∩ {xnm : m ∈ N} = ∅, tøc lµ C cã giao víi v« h¹n d y
1
cña Q. Gi¶ sö U lµ mét l©n cËn cña x. Khi ®ã, tån t¹i n0 ∈ N sao cho B x, n0 ⊂ U.
Ta cã
1 1
yn ∈ B x, ⊂ B x, ⊂ U, víi mäi n ≥ n0 .
n n0
Do ®ã yn →x. Nh− vËy mçi qu¹t t¹i x ®Òu cã ®−êng chÐo héi tô vÒ x. VËy X lµ α4 -
kh«ng gian.
2.8. §Þnh lý. Mäi kh«ng gian con cña kh«ng gian o-mªtric m¹nh ®Òu lµ kh«ng
gian o-mªtric m¹nh.
Chøng minh. Gi¶ sö (X, d) lµ kh«ng gian o-mªtric m¹nh vµ A ⊂ X . Khi ®ã, hiÓn
nhiªn thu hÑp cña d trªn A tháa m n c¸c ®iÒu kiÖn (i), (ii) trong §Þnh nghÜa 1.4. H¬n
n÷a, nÕu B (x, r) lµ l©n cËn cña x trong X th× B (x, r) ∩ A lµ l©n cËn cña x trong A.
Do ®ã ®Ó chøng minh ®Þnh lý chØ cÇn chøng tá r»ng tËp con U cña A lµ më trong A
khi vµ chØ khi d(x, A\U ) > 0 víi mäi x ∈ U .
Gi¶ sö U lµ tËp më trong A vµ x ∈ U . Khi ®ã, tån t¹i tËp më G trong X sao cho
U = G ∩ A. V× G më nªn d(x, X \G) > 0. Do ®ã
d(x, A\U ) ≥ d(x, X \G) > 0.
Ng−îc l¹i gi¶ sö U ⊂ A sao cho d(x, A\U ) > 0 víi mäi x ∈ U. Gi¶ sö U ∩ ∂A = ∅,
tøc lµ U ⊂ intA (phÇn trong cña A). Khi ®ã, víi mçi x ∈ U ta cã d(x, A\U ) > 0 vµ
- d(x, X \A) ≥ d(x, X \intA) > 0. Do ®ã, tõ X \U = (A\U ) ∪ (X \A) suy ra d(x, X \U ) >
0 vµ ta kÕt luËn ®−îc U lµ tËp më trong X . V× thÕ U më trong A.
Gi¶ sö U ∩ ∂A = ∅. Ta chØ cÇn chøng tá tån t¹i tËp G më trong X sao cho
G ∩ A = U . §Æt
E = {x ∈ ∂A : tån t¹i l©n cËn V cña x, V ∩ (A\U ) = ∅}.
Tõ mçi B (x, r) lµ l©n cËn cña x trong X suy ra E ∩ A = E ∩ U = ∂A ∩ U . §Æt
G = (X \A) ∪ E ∪ U.
Khi ®ã, G ∩ A = U . LÊy bÊt kú y ∈ G. NÕu y ∈ X \A th× hiÓn nhiªn
d(y, X \G) ≥ d(y, A) > 0.
Gi¶ sö y ∈ E . Khi ®ã tån t¹i l©n cËn më V cña y sao cho V ∩ (A\U ) = ∅. Tõ ®ã suy
ra
V ∩ (∂A\E ) = ∅
bëi v× nÕu tån t¹i z ∈ V ∩ (∂A\E ) th× tõ z ∈ ∂A\E suy ra V ∩ (A\U ) = ∅ vµ ta cã
®iÒu m©u thuÉn. Do ®ã
d(y, (A\U ) ∪ (∂A\E )) > 0.
Cuèi cïng, gi¶ sö y ∈ U \E . Khi ®ã, tõ E ∩ U = ∂A ∩ U suy ra y lµ ®iÓm trong cña
A. Do ®ã tån t¹i ε1 > 0 sao cho
B (y, ε1 ) ⊂ intA.
MÆt kh¸c, v× y ∈ U nªn d(y, A\U ) > 0. Tõ ®ã suy ra d(y, (A\U ) ∪ ∂A) > 0. KÕt hîp
víi X \G ⊂ (A\U ) ∪ ∂A ta cã d(y, X \G) > 0. Nh− vËy d(y, X \G) > 0 víi mäi y ∈ G.
Do ®ã G më trong X.
2.9. Bæ ®Ò. Mäi kh«ng gian o-mªtric ®Òu cã tÝnh chÊt (*).
Chøng minh. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian o-mªtric vµ x kh«ng lµ ®iÓm c« lËp trong
1
X . Khi ®ã víi mçi n = 1, 2, . . . ®Òu cã B x, n ∩ (X \{x}) = ∅. ThËt vËy, nÕu tån t¹i
1 1
n0 ∈ N sao cho B x, n0 ∩ (X \{x}) = ∅ th× d(x, X \{x}) ≥ > 0, do ®ã {x} lµ tËp
n0
1
∩ (X \{x}) = ∅ vi mi n = 1, 2, . . . suy ra
më vµ ta cã ®iÒu m©u thuÉn. Tõ B x, n
tån t¹i d y {xn } ⊂ X sao cho xn = xm nÕu n = m vµ d(x, xn )→0. Do ®ã xn →x.
VËy X cã tÝnh chÊt (*).
2.10. MÖnh ®Ò. NÕu X lµ kh«ng gian o-mªtric sao cho mçi kh«ng gian con cña
X còng lµ kh«ng gian o-mªtric th× X lµ kh«ng gian Frechet. H¬n n÷a, nÕu thªm gi¶
thiÕt X lµ kh«ng gian Hausdorff th× X lµ kh«ng gian o-mªtric m¹nh.
- Chng minh. Gi¶ sö A ⊂ X vµ x ∈ A. Ta chØ cÇn chøng minh tån t¹i d y {xn }
trong A, héi tô tíi x. NÕu x lµ ®iÓm c« lËp th× ®iÒu cÇn chøng minh lµ tÇm th−êng.
Gi¶ sö x kh«ng lµ ®iÓm c« lËp. Khi ®ã, theo gi¶ thiÕt, A lµ kh«ng gian o-mªtric. V×
thÕ, theo Bæ ®Ò 2.9, A cã tÝnh chÊt (*), nghÜa lµ tån t¹i d y {xn } trong A héi tô tíi x.
VËy X lµ kh«ng gian Frechet.
B©y giê, gi¶ sö thªm X lµ kh«ng gian Hausdorff. LÊy x ∈ X vµ r > 0. Ta chØ
cÇn chøng tá B (x, r) lµ l©n cËn cña x.
Ký hiÖu U lµ phÇn trong cña B (x, r). NÕu x ∈ U th× x ∈ (X \B (x, r)). Theo kÕt
/
qu¶ võa chøng minh X lµ kh«ng gian Frechet nªn tån t¹i d y {xn } trong X \B (x, r)
héi tô tíi x. MÆt kh¸c, theo Bæ ®Ò 2.5, B (x, r) lµ l©n cËn d y cña x nªn d y {xn }
n»m trong B (x, r) tõ mét lóc nµo ®ã. Nh− vËy, ta cã ®iÒu m©u thuÉn. Tõ ®ã suy ra
x ∈ U vµ do ®ã B (x, r) lµ l©n cËn cña x.
t i liÖu tham kh¶o
[1] G. Gruenhage, E. Michael and Y Tanaka, Spaces ditermined by point-countable
covers, Pacific J. Math., 113(2), 1984, 303 - 332.
[2] Ja. A. Kofnor, On a new class of spaces and some problems of symmetrizability
theory, Soviet Math. Dokl., 10, 1969, 845 - 848.
[3] K. B. Lee, On certain g-first countable space, Pacific J. of Math., 65, 1976, 113
- 118.
[4] C. Liu, On weak bases, Topology and its Applications, 150, 2005, 91 - 99.
[5] S. Lin and P. Yan, Point - countable k -networks, cs∗ -networks and α4 -spaces,
Topology Proc., 24, 1999, 345 - 354.
[6] Y. Tanaka, Theory of k -networks II, General Topology, 19, 2001, 27 - 46.
Summary
Some properties of o-metrizable spaces and strongly
o-metrizable spaces
In this paper, we give some properties and relationships among o-metrizable
spaces, strongly o-metrizable spaces and symmetrizable spaces, and prove that a
strongly o-metrizable space (resp., o-metrizable Hausdorff space) is a strongly Frechet
space (resp., α4 -space).
(a) Khoa To¸n, tr−êng §¹i häc Vinh
(b) Tr−êng §¹i häc S i Gßn
(c) Tr−êng C§SP §ång Nai.
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
