zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Luận Văn - Báo Cáo

» Báo cáo khoa học

Báo cáo nghiên cứu khoa học: " NỘI SUY TAM THỨC BẬC HAI TRÊN MỘT ĐOẠN INTERPOLATING "

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Báo xấu

68
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết nội suy, đặc biệt là nội suy bất đẳng thức là một trong những vấn đề khá mới mẻ đối với học sinh và giáo viên ở các trường phổ thông trung học. Bài báo này trình bày phép nội suy tam thức bậc hai để ước lượng chính nó trên một đoạn. Chúng ta biết rằng vấn đề về tam thức bậc hai đã được đề cập từ chương trình phổ thông trung học và luôn nhận được sự quan tâm của học sinh cũng như giáo viên giảng dạy. ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: " NỘI SUY TAM THỨC BẬC HAI TRÊN MỘT ĐOẠN INTERPOLATING "

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 NỘI SUY TAM THỨC BẬC HAI TRÊN MỘT ĐOẠN INTERPOLATING THE POLYNOMIAL OF SECOND DEGREE ON A SECTION Nguyễn Thị Sinh Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Lý thuyết nội suy, đặc biệt là nội suy bất đẳng thức là một trong những vấn đề khá mới mẻ đối với học sinh và giáo viên ở các trường phổ thông trung học. Bài báo này trình bày phép nội suy tam thức bậc hai để ước lượng chính nó trên một đoạn. Chúng ta biết rằng vấn đề về tam thức bậc hai đã được đề cập từ chương trình phổ thông trung học và luôn nhận được sự quan tâm của học sinh cũng như giáo viên giảng dạy. Tác giả của bài báo được trình bày sau đây mong muốn đem lại cho độc giả và những người quan tâm đến tam thức bậc hai một cách nhìn mới cũng như phương pháp giải toán độc đáo với hình thức nội suy trên một đoạn. ABSTRACT Interpolation theory, especially interpolating inequality is one of the relatively new problems for pupils and teachers in high school. This article presents interpolating the polynomial of second degree to estimate itself on a section. It is known that the problem of the polynomial of second degree was mentioned from high school and always attracts the attention of pupils and teachers. In this article, the author wants to bring attention to readers and all those who are interested in the polynomial of second degree a new way of observing it and unique methods with a form of interpolation on a section. 1. Đặt vấn đề Xét tam thức bậc hai f ( x) = Ax 2 + Bx + C , A ≠ 0 ; ∆ = B 2 − 4 AC , ta có: Định lý 1. i) Nếu ∆ < 0 thì Af ( x) > 0, ∀x ∈ R . ii) Nếu ∆ = 0 thì Af ( x) ≥ 0, ∀x ∈ R. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B x=− . 2A iii) Nếu ∆ > 0 thì f ( x) có hai nghiệm x1 , x2 ( x1 < x2 ) , trong trường hợp này Af ( x) < 0 khi x ∈ ( x1 , x2 ) và Af ( x) > 0 khi x < x1 hoặc x > x2 . Định lý 2. Điều kiện cần và đủ để tồn tại số α sao cho Af (α ) < 0 là ∆ > 0 và x1 < α < x2 trong đó x1 , x2 ( x1 < x2 ) là hai nghiệm của tam thức f ( x) . Ta sẽ đi xem xét trong điều kiện nào bất đẳng thức f ( x) ≥ 0 thoả mãn với mọi x ∈ [ a, b ] ? 154
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 Ta phát biểu bài toán sau đây: 2. Bài toán Xét tam thức bậc hai f ( x) = Ax 2 + Bx + C , A ≠ 0 . Cho 2 ⎛ a+b ⎞ ⎛ f (b) ⎞ f (a) − f (a) = α ≥ 0 , f (b) = β ≥ 0 , f ⎜ ⎟ =γ . ⎟−⎜ ⎝2⎠⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ a) Xác định f ( x) khi biết α , β , γ . b) Chứng minh rằng f ( x) ≥ 0 thoả mãn với mọi x ∈ [ a, b ] khi và chỉ khi γ ≥ 0 . Giải. a) Áp dụng công thức nội suy Lagrange (xem [1]) cho tam thức bậc hai f ( x) tại a+b các nút nội suy x1 = a , x2 = , x3 = b , ta có 2 x − xj 3 3 f ( x) = ∑ f ( xi ) f i ( x) , ∏ fi ( x ) = , xi − x j i =1 j =1, j ≠ i ở đây 2 ⎛ α− β⎞ ⎛ a+b ⎞ f (a ) = α , f (b) = β , f ⎜ ⎟ =γ +⎜ ⎟, ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2 ⎝ ⎠ (2x − a − b) ( x − b), x − xj 3 ∏ f1 ( x) = = (a − b) j =1, j ≠1 x1 − x j 2 4 ( x − a )( x − b ) x − xj 3 f 2 ( x) = ∏ =− , (a − b) j =1, j ≠ 2 x2 − x j 2 x − x j ( 2 x − a − b )( x − a ) 3 f3 ( x) = ∏ = . ( a − b) j =1, j ≠ 3 x3 − x j 2 Vậy 1 [α (2 x − a − b)( x − b) − f ( x) = (a − b) 2 ⎛ ⎛ α− β⎞ ⎞ 2 ⎟ ⎟ ( x − a )( x − b) + β (2 x − a − b)( x − a) ] − 4⎜γ + ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ 2 ⎝ ⎠⎠ ⎝ 1⎡ α x − b ) + β ( x − a ) + 2 αβ ( x − a )( x − b ) − 4γ ( x − a )( x − b ) ⎤ 2⎢ ( 2 2 = ⎥ ( a − b) ⎣ ⎦ 155
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 ( ) 1⎡ α ( x − b ) + β ( x − a ) − 4γ ( x − a )( x − b ) ⎤ 2 = ( a − b) 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (( )) )( 1⎡ ⎤ 2 − 4γ ( x − a )( x − b ) ⎥ . α + β − b α +a β = x ( a − b) 2 ⎢ ⎣ ⎦ f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b ] (b.1) b) Chứng minh ⇔ γ ≥0 (b.2) Giả sử (b.2) được thoả mãn, theo câu a) f ( x) biểu diễn được dưới dạng (( )) )( 1⎡ ⎤ 2 − 4γ ( x − a )( x − b ) ⎥ . α + β − b α +a β f ( x) = x ( a − b) 2 ⎢ ⎣ ⎦ Suy ra f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b ] . Ngược lại, giả sử (b.1) được thoả mãn. Khi đó f (a) ≥ 0 , f (b) ≥ 0 và f ( x) có thể viết được dưới dạng f ( x) = ( mx + n ) − K ( x − a)( x − b) với K ≥ 0 2 (b.3) ⎧ a+b ⎫ Nếu trong (b.3) ta chọn x ∈ ⎨a, , b ⎬ thì 2 ⎩ ⎭ f (a) = ( ma + n ) , f (b) = ( mb + n ) , 2 2 ⎡ ⎤ 2 ⎛ a+b⎞ ⎛ f (b) ⎞ f (a) − 4 4 ⎢f ⎥= γ. K= ⎟−⎜ ⎟ và ⎜ ⎝2⎠⎜ ⎟ (a − b) ⎥ ( a − b )2 2 ⎢ 2 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Suy ra γ ≥ 0 . Bài toán đã được chứng minh Kết quả của bài toán được phát biểu bằng định lý sau đây: Định lý 3. Giả sử f ( x) = Ax 2 + Bx + C , A ≠ 0 . Khi đó bất đẳng thức f ( x) ≥ 0 thoả mãn với mọi x ∈ [ a, b ] khi và chỉ khi 2 ⎛ a+b ⎞ ⎛ f (b) ⎞ f (a) − f (a) ≥ 0 , f (b) ≥ 0 và f ⎜ ⎟≥⎜ ⎟. ⎝2⎠⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 3. Áp dụng Chứng minh rằng với mọi tam thức bậc hai f ( x) = Ax 2 + Bx + C , A ≠ 0 ta đều có f ( x) ≤ 1, ∀x ∈ [ a, b ] xảy ra khi và chỉ khi f (a ) ≤ 1 , f (b) ≤ 1 và f (a) + f (b) ⎛ a+b⎞ (1 − f (a) )(1 − f (b) ) ≤ −1 − −2f ⎜ ⎟≤ 2 ⎝2⎠ (1 + f (a) )(1 + f (b) ). ≤ 1+ 156
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 Giải. Đặt g ( x) = 1 − f ( x) , h( x) = 1 + f ( x). Khi đó sử dụng kết quả của bài toán trên ta có g ( x) ≥ 0 , h( x) ≥ 0 , ∀x ∈ [ a, b ] f (a ) ≤ 1 , f (b) ≤ 1 và khi và chỉ khi ⎧ a+b 2 ⎞ ⎛ g (a) − g (b) ⎞ ⎛ ⎪g ⎜ ⎟≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎝2⎠⎝ 2 ⎪ ⎠ , ⎨ 2 ⎪ ⎛ a + b ⎞ ⎛ h(a) − h(b) ⎞ ⎟≥⎜ ⎟ ⎪h ⎜ ⎜ ⎟ ⎪⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎩ nghĩa là ⎧ 2 ⎛ a + b ⎞ ⎛ 1 − f (a ) − 1 − f (b) ⎞ ⎪1 − ⎟≥⎜ ⎟ f⎜ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝2⎠⎝ 2 ⎪ ⎠ , ⎨ 2 ⎛ a + b ⎞ ⎛ 1 + f (a) − 1 + f (b) ⎞ ⎪ ⎪1 + ⎟≥⎜ ⎟ f⎜ ⎜ ⎟ ⎝2⎠⎝ 2 ⎪ ⎠ ⎩ hay f (a) + f (b) ⎛ a+b⎞ (1 − f (a) )(1 − f (b) ) ≤ −1 − −2f ⎜ ⎟≤ 2 ⎝2⎠ (1 + f (a) )(1 + f (b) ) ≤ 1+ 4. Kết luận Bài báo đã giải quyết được vấn đề là ứng dụng phép nội suy cho tam thức bậc hai để ước lượng chính nó trên một đoạn. Kết quả của bài báo cho phép học sinh và các thầy cô có một cách nhìn mới và tổng quát hơn đối với tam thức bậc hai. Vấn đề trên còn có thể mở rộng đối với đa thức bậc ba hoặc lớn hơn. Đây là nội dung mà tác giả đang nghiên cứu. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Nguyễn Văn Mậu, Các bài toán nội suy và áp dụng, NXB Giáo dục, 2007. [2]. Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số và phân thức hữu tỉ, NXB Giáo dục, 2004. [3]. Nguyễn Văn Mậu, Trịnh Đào Chiến, Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất, Chuyên đề chọn lọc về đa thức và áp dụng, NXB Giáo dục, 2008. 157

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.09: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Quản Trị Kinh Doanh

81 tài liệu

1637 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.