zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Luận Văn - Báo Cáo

» Báo cáo - Thuyết trình

Báo cáo nghiên cứu khoa học: " TÍNH TƯƠNG THÍCH CỦA PHƯƠNG PHÁP TẬP MỨC CHO BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG MẶT VỚI VẬN TỐC PHỤ THUỘC VÀO ĐỘ CONG TRUNG BÌNH"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Báo xấu

49
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của bài báo này là nhằm chứng minh tính tương thích của phương pháp tập mức cho bài toán chuyển động mặt với vận tốc phụ thuộc vào độ cong trung bình [3,4]. Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng định nghĩa của mặt chuyển động  t không phụ thuộc vào việc chọn hàm khởi đầu u0 xác định mặt khởi đầu  0 .

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: " TÍNH TƯƠNG THÍCH CỦA PHƯƠNG PHÁP TẬP MỨC CHO BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG MẶT VỚI VẬN TỐC PHỤ THUỘC VÀO ĐỘ CONG TRUNG BÌNH"

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(27).2008 TÍNH TƯƠNG THÍCH CỦA PHƯƠNG PHÁP TẬP MỨC CHO BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG MẶT VỚI VẬN TỐC PHỤ THUỘC VÀO ĐỘ CONG TRUNG BÌNH CONSISTENCE OF THE LEVEL SET METHOD FOR SURFACE EVOLUTION WITH THE SPEED DEPENDING ON MEAN CURVATURE NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Đa Năng ̀̃ TÓM TẮT Mục đích của bài báo này là nhằm chứng minh tính tương thích của phương pháp tập mức cho bài toán chuyển động mặt với vận tốc phụ thuộc vào độ cong trung bình [3,4]. Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng định nghĩa của mặt chuyển động  t không phụ thuộc vào việc chọn hàm khởi đầu u0 xác định mặt khởi đầu  0 . ABSTRACT The aim of this paper is to prove the consistence of the level set method for surface evolution with the speed depending on mean curvature [3,4]. We will show that th e definition of the evolving interface  t does not depend upon the particular choice of initial function u0 which determines the initial surface  0 . 1. Đặt vấn đề Như trong [3, 4], chúng tôi đã nghiên cứu sự chuyển động của mặt với vận tốc phụ thuộc vào độ cong trung bình. Trong bài báo này, chúng tôi tiếp tục quá trình bằng việc đưa ra một định nghĩa tổng quát cho quá trình chuyển động mặt t t 0 bắt đầu bởi một mặt  0 . Cụ thể, giả sử  0 là một tập con compact của  n . (1) Sau đó chọn một hàm liên tục bất kỳ u0 :    sao cho: n    0  x   n | u0 ( x )  0 , (2) u0 là hằng số trên n  | x | S với một S  0 và: (3) Trong [3, 4], chúng tôi đã chứng minh được rằng, tồn tại duy nhất một nghiệm yếu cho bài toán chuyển động mặt:  ux ux  ut    ij  i 2j  u xi x j  f ( x) u trong n  (0, ) , (4)  u    u  u0 trên   t  0 n (5) Sau đó, ta định nghĩa tập compact 43
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(27).2008    t  x   n | u ( x, t )  0 , (6) với mỗi t  0 . Ta cần kiểm chứng rằng t t 0 được xác định. 2. Giải quyết vấn đề Trong phần này chúng tôi tập trung vào việc chứng minh tính tương thích của phương pháp tập mức cho bài toán chuyển động mặt (4), (5). Định lý. Giả sử f  0 trên  n và u0 :  n   liên tục với ˆ    0  x   n | u0 ( x )  0 , ˆ (7) và thỏa mãn (3). ˆ ˆ Giả sử u là một nghiệm yếu của bài toán (4), (5) với u0 thay cho u0 . Khi đó:    t  x   n | u ( x, t )  0 , ˆ (8) với mỗi t  0 . Hệ quả là, định nghĩa (6) không phụ thuộc vào cách chọn hàm khởi đầu u0 thỏa mãn (3). Chứng minh: Trước hết , ta lưu rằng, nếu u0  0 thì u  0 . Thật vậy, u  0 là nghiệm yếu duy nhất của phương trình (4) với điều kiện đầu u0  0 . Do đó, theo [3, Định lý 1], ta có u ( x, t )  0 với mọi ( x, t )   n  [0,) . Bây giờ, ta giả sử u0 , u0  0 . Khi đó u , u  0 , trong đó u và u tương ứng là ˆ ˆ ˆ ˆ nghiệm yếu của (4) với điều kiện đầu là u0 và u0 .   ˆ  t  x   n | u ( x, t )  0 . ˆ Đặt: Với k  1, 2, , ta định nghĩa E0 :  và:  1 Ek :  x   n | u0 ( x )  ,  k và như vậy, ta dễ dàng thấy rằng: E0  E1    Ek  Ek 1  , (9)   n \  0   Ek . k 1 Định nghĩa: ak : max u0  0 (k  1, 2,...). ˆ (10) n  \ Ek 1 Khi đó, theo (7) và (9), ta thấy a1  a2  , và: lim ak  0. k  Tiếp theo, xây dựng một hàm liên tục  : [0,)  [0,) sao cho:  (0)  0, 44
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(27).2008 1     ak (k  1, 2,...),  k 1 1 ,  (k  1, 2,...),  tuyến tính trên   k 1 k   là hằng số trên [1, ) . u0 :  (u0 ); u :  (u) .   Ta kí hiệu:  Khi đó, ta dễ dàng chứng minh được (tương tự như trong [5, Định lý 2]) rằng u là một  nghiệm yếu của bài toán (4), (5) với điều kiện đầu u0 thay cho u0 . Bây giờ, u0  u0 trên  0 , và ngoài ra nếu x  Ek \ Ek 1 , thì:  ˆ 1 u0 ( x)   (u0 ( x))      ak  u0 ( x) ,  ˆ k theo (10). Vì vậy u0  u0 trên  n . Hệ quả là, theo [3, Định lý 1], ta có:  ˆ u   (u )  u  0 trên  n  [0,) .  ˆ ˆ Vì vậy, nếu x   t , thì u ( x, t )  0 và do đó x  t . Tức là : ˆ ˆ t  t . Bao hàm thức ngược lại được chứng minh hoàn toàn tương tự, và ta nhận được : ˆ t  t , t  0. Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên ta cũng nhận được kết luận : nếu u0 , u0  0 trên  n , thì: ˆ ˆ t  t , t  0. Điều này chứng tỏ định nghĩa (6) không phụ thuộc vào cách chọn hàm khởi đầu u0 sao cho u0  0 (hoặc u0  0 ) và thỏa mãn (3). u0  0, u0  0 trên  n , ˆ Bây giờ, ta giả sử : (11) ˆ và u0 , u0 thỏa mãn (3). Vì định nghĩa (6) không phụ thuộc vào cách chọn hàm khởi đầu u0 sao cho u0  0 và thỏa mãn (3), nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử : u0  u0  0. ˆ ˆ ˆ Gọi u và u lần lược là nghiệm yếu của (4) với điều kiện đầu u0 và u0 tương ứng. Vì u0  0  u0 trên  n , nên: ˆ u  0  u trên  n  [0,) . ˆ (12) Đặt v : u . Khi đó v là nghiệm yếu của:  vx vx  vt     ij  i 2j  vxi x j  f ( x) v trong n  (0, ) ,  v    v  u0 trên n  t  0 , 45
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(27).2008 hay:  vx vx  vt    ij  i 2j  vxi x j  f ( x) v trong n  (0, ) ,  v    v  u0 trên n  t  0 . ˆ Ta có:  vx vx  L(v) : vt    ij  i 2j  vxi x j  f ( x) v  v     2 f ( x) v  0  L(u ) ˆ và: v  u trên n  t  0 . ˆ Do đó, u  v trên n  [0, ) . Vì vậy: ˆ u  u trên n  [0, ) . ˆ Theo (12), ta thấy rằng: u  u  u. ˆ ˆ ˆ Hệ quả là nếu x  t , tức là u ( x, t )  0 , thì u ( x, t )  0 và do đó x   t . Điều này kéo theo: ˆ ˆ t  t . (13) Mặt khác, ta xây dựng các Ei , i  1, 2,, như trên, xét: ak : min u0  0 (k  1, 2,...). ˆ (14) n  \ Ek 1 Khi đó, a1  a2  , và: lim ak  0. k  Tiếp theo, xây dựng một hàm liên tục  : (, 0]  (, 0] sao cho  (0)  0,  1      ak ( k  1, 2,...),   k 1 1  tuyến tính trên   ,  (k  1, 2,...),  k k  1  là hằng số trên ( , 1] . Bây giờ, ta viết u0 :  (u0 ) và u :  (u ) và định nghĩa :    ( x) :  ( x), x  (, 0]. Khi đó,  là hàm lien tục trên [0, ) , và do đó u   (u )   (u ) là một nghiệm yếu của  (4) với điều kiện đầu u0   (u0 )   (u0 ) .  Ta thấy, u0  u0 trên  0 . Ngoài ra, nếu x  Ek \ Ek 1 , thì:  ˆ 46
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(27).2008  1 u0 ( x)   (u0 ( x))       ak 1  u0 ( x) .  ˆ  k 1  Vì vậy u0  u0 trên  n . Hệ quả là, theo [3, Định lý 1], ta có:  ˆ u   (u )   (u )  u  0 trên  n  [0,) .  ˆ ˆ Vì vậy, nếu x   t , thì u ( x, t )  0 và do đó u ( x, t )  0 , suy ra x  t . Tức là: ˆ ˆ t  t . (15) Kết hợp (13) và (15), ta thu được: ˆ t  t . Cuối cùng, ta chỉ giả thiết u0 là hàm một hàm liên tục trên  n và thỏa mãn (3). Gọi u, u1 và u2 lần lượt là nghiệm yếu của phương trình (4) với điều kiện đầu u0 , u0 :| u0 | 1 và u0 :  | u0 | tương ứng. 2 Vì u2  u  u1 trên n  t  0 , nên: u2  u  u1 trên  n  [0,). u2  0 và u1  0 trên  n  [0,). Ta thấy rằng: Tương tự như trên, ta kết luận:    1 : x   n | u1 ( x, t )  0  x   n | u2 ( x, t )  0 :  t2 , t  x    1  t2  t | u ( x, t )  0 . và do đó: n (16) t Mặt khác, L (| u |)  0 và | u | u0 trên n  t  0 , ta có | u | u1  0 trên  n  [0,). 1 Vì vậy, nếu x   t , thì u ( x, t )  0 và do đó u1 ( x, t )  0 , suy ra x  1 . Tức là: t t  1  t2 . (17) t Kết hợp (16) và (17), ta thu được:  t  1   t2 .  t 3. Kết luận Bài báo trình bày tính tương thích của phương pháp tập mức khảo sát bài toán chuyển động của mặt với vận tốc phụ thuộc vào độ cong trung bình đã được nghiên cứu trong [3,4]. Trong đó, chúng tôi chỉ ra rằng, định nghĩa các mặt chuyển động không phụ thuộc vào cách chọn hàm khởi đầu mô tả mặt khởi đầu dưới dạng tập mức không của nó mà chỉ phụ thuộc vào mặt khởi đầu. Kết quả không chỉ áp dụng cho mặt chuyển động mà còn cho một tập con compact bất kỳ. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L. C. Evans, and J. Spruck, Motion of level set by mean curvature I, J. Diff. Geom., 33(1991), 635-681. [2] R. Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations, Arch. Rat. Mech. Anal. [101], 1988. 47
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(27).2008 [3] Nguyen Chanh Dinh, and Nguyen Cuu Huy, Motion of surfaces with speed depending on mean curvature: Level set methods; uniqueness of weak solutions, J. Science and Technology, University of Danang, (2008), accepted. [4] Nguyen Chanh Dinh, Level set evolution with speed depending on mean curvature: Existence of a weak solution, J. Sciences and Technology Development, Ho Chi Minh National University, 11(6).2008, 13-22. [5] Nguyen Chanh Dinh, Some properties of weak solutions of level set minimal surface equations, J. Science and Technology, University of Danang, 6(18).2007, 65-68. 48

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.01: Bộ Luận Văn Thạc Sĩ Quản Trị Kinh Doanh MBA

165 tài liệu

2089 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.