Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Tổng trực tiếp các modun đều với độ dài hữu hạn"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Nguyễn Phương Hà Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

60
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu của trường đại học Huế đề tài: Tổng trực tiếp các modun đều với độ dài hữu hạn...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Tổng trực tiếp các modun đều với độ dài hữu hạn"

T P CHÍ KHOA H C, Đ i h c Hu , S 59, 2010 T NG TR C TI P CÁC MÔĐUN Đ U V I Đ DÀI H U H N Ngô S Tùng, trư ng Đ i h c Vinh Lê Văn An, trư ng THPT Phan B i Châu, Ngh An Nguy n Minh Tu n, trư ng Đ i h c Vinh Tóm t t. Bài báo trình bày m t s k t qu v tính ch t liên t c c a môđun là t ng tr c ti p h u h n các môđun đ u v i đ dài h u h n và t đó đưa ra m t s đ c trưng v vành QF. 1. M đ u Trong bài báo này các vành luôn gi thi t là vành k t h p có đơn v và t t c các môđun là môđun ph i unita trên vành R nào đó (n u không nói gì thêm). Cho R−môđun ph i M , chúng ta dùng các ký hi u A ⊆ M , A ⊆e M , A ⊆⊕ M đ ch A là môđun con, môđun con c t y u, h ng t tr c ti p c a môđun M . Vành các t đ ng c u, đ dài và chi u đ u c a môđun M l n lư t đư c ký hi u là End(M ), l(M ), u − dim(M ). Cho R−môđun ph i M , ta xét các đi u ki n sau: (C1 ) M i môđun con c a M là c t y u trong m t h ng t tr c ti p c a M , hay nói cách khác m i môđun con đóng trong M là h ng t tr c ti p c a M . (C2 ) N u A và B là các môđun con c a M đ ng c u v i nhau và A là h ng t tr c ti p c a M thì B cũng là h ng t tr c ti p c a M . (C3 ) N u A và B là các h ng t tr c ti p c a M và A ∩ B = 0 thì A ⊕ B cũng là h ng t tr c ti p c a M . Môđun M đư c g i là CS −môđun (tương ng môđun liên t c, t a liên t c), n u M tho mãn đi u ki n (C1 ) (tương ng (C1 ) và (C2 ); (C1 ) và (C3 )). Theo [4] và [9] ta có (C2 ) =⇒ (C3 ) và sơ đ kéo theo sau là đúng đ i v i m t môđun: N i x =⇒ T a n i x =⇒ Liên t c =⇒ T a liên t c =⇒ CS. Môđun M đư c g i là Σ−CS n u môđun M (I ) là CS v i t p ch s I b t kỳ. Trong bài báo này chúng tôi đưa ra đi u ki n (∗) đ i v i m t R−môđun ph i M như sau: (∗) N u B là m t môđun con đ u c a M và đ ng c u v i m t h ng t tr c ti p A c a M thì B cũng là h ng t tr c ti p c a M . 149
Nh n xét r ng n u môđun M tho mãn đi u ki n (C2 ) thì M tho mãn đi u ki n (∗). Môđun M đư c g i là đ a phương (local) n u M có môđun con t i đ i duy nh t. Khi M là môđun đ a phương thì J (M ) = M và J (M ) là môđun con t i đ i duy nh t, t c là m i môđun con th c s c a M cũng là môđun con c a J (M ). Vành R đư c g i là đ a phương n u R R (ho c RR ) là môđun đ a phương. Vành R đư c g i là QF n u R là vành Artin ph i và trái, t a n i x ph i và trái. Bài vi t này đưa ra m t s k t qu v tính ch t liên t c c a t ng tr c ti p h u h n M = M1 ⊕ ... ⊕ Mn v i Mi là các môđun đ u có đ dài h u h n (i = 1, ..., n). T đó ng d ng các k t qu v môđun đ đ c trưng vành QF. Các k t qu c a bài bài báo này là n i ti p nh ng nghiên c u c a chúng tôi trong [1], [13] và c a các tác gi khác trong [3], [7], [8], ... 2. Các k t qu B đ 1. Cho môđun M tho mãn đi u ki n (∗). N u N là h ng t tr c ti p c a M thì N tho mãn đi u ki n (∗). Ch ng minh. Gi s A là môđun con đ u c a N và đ ng c u v i m t h ng t tr c ti p B c a N , ta ch ng minh A cũng là h ng t tr c ti p c a N . Đ t M = N ⊕ N và N = B ⊕ B , ta có M = B ⊕ B ⊕ N , suy ra B là h ng t tr c ti p c a M . Vì A là môđun con đ u c a M và môđun M tho mãn đi u ki n (∗) nên A là h ng t tr c ti p c a M . Đ t M = A ⊕ A , theo lu t Môđula ta có N = N ∩ M = N ∩ (A ⊕ A ) = A ⊕ (N ∩ A ). Do đó A là h ng t tr c ti p c a N , t c là N tho mãn đi u ki n (∗). B đ 2. Cho các môđun đ u U1 , U2 sao cho l(U1 ) = l(U2 ) < ∞ và đ t U = U1 ⊕ U2 . Khi đó U tho mãn đi u ki n (C3 ). Ch ng minh. Theo [14], vành các t đ ng c u End(U1 ) và End(U2 ) là vành đ a phương. Ta ch ng minh U tho mãn đi u ki n (C3 ), t c là v i hai h ng t tr c ti p S1 , S2 c a U sao cho S1 ∩ S2 = 0 thì S1 ⊕ S2 cũng là h ng t tr c ti p c a U . Nh n xét r ng u−dim(U ) = 2 nên ch ng minh là t m thư ng trong trư ng h p: M t trong hai h ng t tr c ti p Si có chi u đ u b ng 2 và h ng t tr c ti p còn l i là 0. Xét trư ng h p c hai h ng t tr c ti p S1 , S2 là môđun đ u. Đ t U = S2 ⊕ K . Theo B đ Azumaya, S2 ⊕ K = S2 ⊕ U1 , ho c S2 ⊕ K = S2 ⊕ U2 . Vì U1 và U2 là bình đ ng nên không m t tính t ng quát ta ch c n xét trư ng h p U = S2 ⊕ K = S2 ⊕ U1 = U1 ⊕ U2 . Khi đó S2 ∼ U2 . Đ t U = S1 ⊕ H , theo = B đ Azumaya, U = S1 ⊕ H = S1 ⊕ U1 ho c S1 ⊕ H = S1 ⊕ U2 . N u U = S1 ⊕H = S1 ⊕U1 s d ng lu t Môđula, ta có S1 ⊕S2 = S1 ⊕X trong đó X = (S1 ⊕ S2 ) ∩ U1 . T đó X ∼ S2 ∼ U2 . Hơn n a l(U1 ) = l(U2 ) = l(X ), = = nên U1 = X và do đó S1 ⊕ S2 = S1 ⊕ U1 = U . 150
N u U = S1 ⊕ H = S1 ⊕ U2 s d ng lu t Môđula, ta có S1 ⊕ S2 = S1 ⊕ V trong đó V = (S1 ⊕ S2 ) ∩ U2 . T đó V ∼ S2 ∼ U2 . Hơn n a l(U2 ) = l(V ), nên = = U2 = V và do đó S1 ⊕ S2 = S1 ⊕ U2 = U . V y môđun U tho mãn đi u ki n (C3 ). Đ nh lí 3. Cho các môđun đ u v i đ dài h u h n U1 , ..., Un và đ t U = U1 ⊕ ... ⊕ Un . Khi đó các kh ng đ nh sau tương đương: (a) U là môđun liên t c; (b) U là CS−môđun và tho mãn đi u ki n (∗). Ch ng minh. (a) =⇒ (b) là hi n nhiên. (b) =⇒ (a). Gi s U là CS−môđun và tho mãn đi u ki n (∗), ta c n ch ng minh U là môđun liên t c. Trư c tiên ta ch ng minh U là môđun t a liên t c. Đ t Uij = Ui ⊕ Uj v i ∀i, j = 1, 2, ..., n, i = j , ta ch ng minh Uij là môđun t a liên t c. Vì Uij là h ng t tr c ti p c a U nên ta có Uij là CS−môđun. N u l(Ui ) = l(Uj ) theo B đ 2, ta có Uij tho mãn đi u ki n (C3 ) và suy ra Uij là môđun t a liên t c. N u l(Ui ) = l(Uj ), không m t tính t ng quát ta gi s l(Ui ) < l(Uj ). Theo B đ 1, ta có Uij tho mãn đi u ki n (∗). Gi s t n t i R−đơn c u f : Ui −→ Uj và đ t f (Ui ) = L, khi đó L là môđun con c a Uj và Ui ∼ L. Hi n nhiên ta có L = 0. Gi s L = Uj . Vì = Uij tho mãn đi u ki n (∗) và L là môđun con đ u c a Uij nên L là h ng t tr c ti p c a Uij (do Ui là h ng t tr c ti p c a Uij ). Đ t Uij = L ⊕ L , theo lu t Môđula ta có Uj = Uj ∩ Uij = Uj ∩ (L ⊕ L ) = L ⊕ L v i L = Uj ∩ L . Vì Uj là môđun đ u nên L = 0 (vì L = 0), suy ra L = Uj (mâu thu n). Do đó Ui không nhúng th c s vào Uj . Ngư c l i, gi s t n t i R−đơn c u g : Uj −→ Ui , khi đó ta có l(Uj ) = l(g (Uj )) l(Ui ) (mâu thu n). T đó Uj cũng không nhúng đư c vào Ui . Gi s t n t i R−đơn c u h : Ui −→ Ui sao cho h(Ui ) = K ⊆ Ui và K = Ui . Ta có K ∼ Ui , suy ra l(Ui ) = l(K ) < l(Ui ) = (mâu thu n). Do đó Ui không nhúng th c s vào chính nó và tương t Uj cũng v y. Gi s S1 và S2 là các h ng t tr c ti p c a Uij sao cho S1 ∩ S2 = 0, ta s ch ng minh S1 ⊕ S2 cũng là h ng t tr c ti p c a Uij . Nh n xét r ng chi u đ u c a Uij b ng 2 nên ch ng minh là t m thư ng trong trư ng h p có m t trong hai h ng t tr c ti p là môđun 0 ho c có chi u đ u b ng 2. Xét trư ng h p c hai h ng t tr c ti p S1 và S2 là môđun đ u. Đ t Uij = S2 ⊕ F . Theo [14], vành các t đ ng c u End(Ui ) và End(Uj ) là đ a phương nên theo B đ Azumaya, ta có Uij = S2 ⊕ F = S2 ⊕ Ui , ho c Uij = S2 ⊕ F = S2 ⊕ Uj (xem [2, 12.6, 12.7]). Không m t tính t ng quát, ta ch c n xét m t trư ng h p Uij = S2 ⊕ F = S2 ⊕ Ui = Ui ⊕ Uj . Khi đó S2 ∼ Uj . Đ t Uij = S1 ⊕ H , cũng = theo B đ Azumaya ta có Uij = S1 ⊕ H = S1 ⊕ Ui , ho c S1 ⊕ H = S1 ⊕ Uj . N u Uij = S1 ⊕ H = S1 ⊕ Ui , s d ng lu t Môđula ta có S1 ⊕ S2 = (S1 ⊕ S2 ) ∩ Uij = (S1 ⊕ S2 ) ∩ (S1 ⊕ Ui ) = S1 ⊕ X trong đó X = (S1 ⊕ S2 ) ∩ Ui . 151
T đó, X ∼ S2 ∼ Uj . Vì Uj không nhúng th c s vào Ui và X là môđun con = = c a Ui nên X = Ui . Do đó, l(Ui ) = l(X ) = l(S2 ) = l(Uj ) (mâu thu n). N u Uij = S1 ⊕ H = S1 ⊕ Uj , s d ng lu t Môđula ta có S1 ⊕ S2 = (S1 ⊕ S2 ) ∩ Uij = (S1 ⊕ S2 ) ∩ (S1 ⊕ Uj ) = S1 ⊕ V trong đó V = (S1 ⊕ S2 ) ∩ Uj . T đó V ∼ S2 ∼ Uj . Vì Uj không nhúng th c s vào chính nó và V là môđun = = con c a Uj nên V = Uj . Do đó S1 ⊕ S2 = S1 ⊕ Uj = Uij . Tóm l i, ta luôn có S1 ⊕ S2 = Uij . Hay Uij tho mãn đi u ki n (C3 ) và suy ra Uij là môđun t a liên t c. T đó, Uij là môđun t a liên t c v i b t kỳ i, j = 1, ..., n. Theo Harmanci - Smith, ta có U là môđun t a liên t c (xem [5, Corollary 11]). Ti p theo ta ch ng minh, U tho mãn đi u ki n (C2 ), t c là v i các môđun đ ng c u A, B c a U , và B là h ng t tr c ti p c a U thì A cũng là h ng t tr c ti p c a U . Theo [14], vành các t đ ng c u End(Ui ) là đ a phương v i i = 1, ..., n nên theo B đ Azumaya, t n t i t p con F c a {1, ..., n} sao cho B ⊕ (⊕i∈F Ui ) = U. N u F = {1, ..., n} thì A = B = 0. T đó suy ra A là h ng t tr c ti p c a U. N u F = {1, ..., n}, ta đ t J = {1, ..., n}\F . T đó U = B ⊕ (⊕i∈F Ui ) = (⊕i∈J Ui ) ⊕ (⊕i∈F Ui ). Do đó ta suy ra A ∼ B ∼ U/ ⊕i∈F Ui ∼ ⊕i∈J Ui = C. == = Không m t tính t ng quát, ta có th gi s J = {1, ..., k } v i 1 k n, t c là C = U1 ⊕ ... ⊕ Uk . Xét đ ng c u ϕ : C −→ A và đ t Ai = ϕ(Ui ), ta suy ra Ai ∼ Ui v i b t kỳ i = 1, ..., k . T đó A = ϕ(C ) = ϕ(U1 ⊕ ... ⊕ Uk ) = = ϕ(U1 ) ⊕ ... ⊕ ϕ(Uk ) = A1 ⊕ ... ⊕ Ak . M t khác Ai là môđun con đ u c a U , Ai ∼ Ui và U tho mãn đi u ki n (∗), ta có Ai là h ng t tr c ti p c a U v i b t = kỳ i = 1, ..., k . T tính ch t U là môđun t a liên t c, suy ra A = A1 ⊕ ... ⊕ Ak là h ng t tr c ti p c a U . Do đó U tho mãn đi u ki n (C2 ). Vì U là CS−môđun nên U là môđun liên t c, ta có (a). H qu 4. Đ i v i m t vành R, các kh ng đ nh sau là tương đương: (a) R là vành QF; (b) RR là môđun Σ−CS và tho mãn đi u ki n (∗). Ch ng minh. (a) =⇒ (b) là hi n nhiên. (b) =⇒ (a). Gi s RR là môđun Σ−CS và tho mãn đi u ki n (∗), ta ch ng minh R là vành QF. Vì RR là môđun Σ−CS nên theo [11] và [12], ta có R là vành Artin hai phía và do đó R cũng là vành Noether hai phía. Đ t RR = R1 ⊕ ... ⊕ Rn 152
trong đó Ri là iđêan ph i đ u c a R v i i = 1, ..., n. Ta có Ri là môđun Artin và cũng là môđun Noether, do đó Ri là môđun có đ dài h u h n (xem [14]). Vì RR là CS−môđun và tho mãn đi u ki n (∗) nên theo Đ nh lý 3, R là vành liên t c ph i. Theo [6, Theorem 4.3], ta có R là vành QF. H qu 5. N u vành R có các tính ch t sau: (i) RR tho mãn đi u ki n (∗), (ii) M i t ng tr c ti p các R−môđun ph i CS cũng là CS−môđun; thì R là vành QF. Ch ng minh. Gi s vành R tho mãn các tính ch t (i) và (ii), ta ch ng minh R là vành QF. Vì R tho mãn tính ch t (ii), theo [8, Corollary 3], R là vành Artin ph i và m i R−môđun ph i đ u có đ dài không vư t quá 2. T tính ch t R là vành Artin ph i, ta có RR = R1 ⊕ ... ⊕ Rn 2 < ∞, i = 1, ..., n. Do Ri trong đó Ri là iđêan ph i đ u c a R v i l(Ri ) là CS−môđun nên theo tính ch t (ii), RR là CS−môđun. Vì RR tho mãn đi u ki n (∗) nên theo Đ nh lý 3, R là vành liên t c ph i. T đi u ki n RR là CS−môđun và tính ch t (ii), suy ra RR là môđun Σ−CS. Theo H qu 4, R là vành QF. TÀI LI U THAM KH O [1] L. V. An and N. S. Tung, On direct sums of uniform modules and QF−rings, East-West J. of Math, Vol 11, No 2 (2009), 241 - 251. [2] F. W. Anderson and K. R. Fuller, Ring and Categories of Modules, Springer - Verlag, NewYork - Heidelberg - Berlin, 1974. [3] H. Q. Dinh and D. V. Huynh, Some results on self - injective rings and Σ − CS rings, Comm. in Algebra 31 (2003), 6063 - 6077. [4] N. V. Dung, D. V. Huynh, P. F. Smith and R. Wisbauer, Extending Modules, Pitman Research Notes in Mathematics series 313, Longman, Harlow, UK, 1994. [5] A. Harmanci and P. F. Smith, Finite direct sum of CS-Modules, Houston J. Math. 19(1993),523 - 532. [6] D. V. Huynh, D. D. Tai and L. V. An, On the CS condition and rings with chain conditions, AMS. Contem. Math. 480 (2009), 261 - 269. [7] D. V. Huynh and S. T. Rizvi, On countably sigma - CS rings, Algebra and its applications, Narosa publishing house, New Delhi, Chennai, Mumbai, Kolkata, 2001, 119 - 128. [8] D. V. Huynh, S. K. Jain and S. R. López - Permouth, Ring characterized by direct sums of CS modules, Comm. in Algebra 28(2000), 4219 - 4222. 153
[9] S. H. Mohamed and B. J. Muller, Continuous and Discrete Modules, London Math. Soc. Lecture Notes Series147, Cambridge Univ. Press, Cam- bridge, 1990. [10] W. K. Nicholson and M. F. Yousif, Quasi - Frobenius Rings, Cambridge Tracts No. 158. Cambridge Univ. Press, London, New York, 2003. [11] K. Oshiro, Lifting modules, extending modules and their applications to QF rings, Hokkaido Math. J. 13 (1984), 310 - 338. [12] K. Oshiro, On Harada rings I, II, III, Math. J. Okayama Univ. 31 (1989), 161 - 178. [13] N. S. Tung, L. V. An and T. D. Phong, Some results on direct sums of uniform modules, Contributions in Math and Applications, ICMA, December 2005, Mahidol Uni., Bangkok, Thailand, p.p. 235 - 241. [14] R. Wisbauer, Foundations of Rings and Modules, Gordon and Breach, Reading (1991). ON DIRECT SUMS OF UNIFORM MODULES WITH FINITE COMPOSITION LENGTH Ngo Sy Tung, Vinh University Lê Văn An, Phan Boi Chau high school, Nghe An Province Nguyen Minh Tuan, Vinh University Summary. In this paper, we give some results on continuity of direct sums of uniform modules with finite composition length. We also obtain a charac- terization of QF−rings via CS−modules and Σ−CS−modules. 154