Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về các tập ω-nửa đóng suy rộng"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

74
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2009 tác giả: 1. Trần Văn Ân, Nguyễn Thị Thu, Về các tập ω-nửa đóng suy rộng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về các tập ω-nửa đóng suy rộng"

VÒ c¸c tËp ω -nöa ®ãng suy réng TrÇn V¨n ¢n(a) , NguyÔn ThÞ Thu(b) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña líp c¸c tËp ω -nöa ®ãng suy réng, c¸c tËp ω -nöa më suy réng, c¸c tËp ω gs-®ãng, c¸c hµm ω gs-®ãng vµ ω gs-liªn tôc. më ®Çu N¨m 1970 kh¸i niÖm tËp ®ãng suy réng trong t«p« (generalized closed sets in topology) ®−îc N. Levin giíi thiÖu nh»m më réng nhiÒu tÝnh chÊt quan träng cña tËp ®ãng trong t«p«. Tõ ®ã ®Õn nay tËp ®ãng suy réng ® thu hót ®−îc sù quan t©m cña nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi. ViÖc nghiªn cøu tËp ®ãng suy réng cho ta nh÷ng kÕt qu¶ thó vÞ, ch¼ng h¹n tõ sù nghiªn cøu vÒ tËp ®ãng suy réng mµ kh¸i niÖm vÒ T 1 - 2 kh«ng gian ®−îc ®Ò xuÊt bëi W. Dunham (1977), tËp σ - ®ãng suy réng vµ T 3 -kh«ng 4 gian ®−îc ®Ò xuÊt bëi J. Dontchev vµ M. Ganster (1996), tËp θ - ®ãng suy réng ®−îc giíi thiÖu bëi J. Dontchev vµ H. Maki (1999), tËp ω -®ãng suy réng (gω -®ãng) ®−îc ®Ò xuÊt bëi KhaLid Y. Alzoubi (2005), tËp ω - ®ãng suy réng chÝnh quy (rgω -®ãng) ®−îc ®Ò xuÊt bëi Ahmad Al - Omari vµ Mohd Salmi Md Noorani (2007), tËp ®ãng nöa suy réng (sg-®ãng) ®−îc giíi thiÖu bëi P. Bahattacharyya vµ B. K. Lahiri (1987), tËp nöa ®ãng suy réng (gs-®ãng) ®−îc giíi thiÖu bëi S. P. Arya vµ T. M. Nour (1990), ...®ång thêi ng−êi ta cßn sö dông líp c¸c tËp trªn ®Ó giíi thiÖu líp c¸c ¸nh x¹ ω -liªn tôc, ω -kh«ng gi¶i ®−îc, g-liªn tôc, g-kh«ng gi¶i ®−îc, gω -liªn tôc , gω -kh«ng gi¶i ®−îc, rgω -liªn tôc, rgω -kh«ng gi¶i ®−îc ... Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña líp c¸c tËp ω -nöa ®ãng suy réng, c¸c tËp ω -nöa më suy réng, c¸c tËp ω gs-®ãng, c¸c hµm ω gs-®ãng vµ ω gs-liªn tôc. Tr−íc hÕt chóng ta nh¾c l¹i mét vµi kh¸i niÖm, ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt ® biÕt sÏ sö dông trong bµi. Cho (X, τ ) lµ mét kh«ng gian t«p« vµ A lµ mét tËp con cña X . §iÓm x ∈ X ®−îc gäi lµ ®iÓm c« ®äng (condensation) cña A nÕu víi mçi U ∈ τ mµ x ∈ U th× U ∩ A kh«ng ®Õm ®−îc. TËp A ®−îc gäi lµ ω -®ãng nÕu nã chøa tÊt c¶ c¸c ®iÓm c« ®äng cña nã. DÔ thÊy r»ng mäi tËp ®ãng ®Òu lµ tËp ω -®ãng. PhÇn bï cña tËp ω -®ãng ®−îc gäi lµ tËp ω -më. DÔ thÊy r»ng tËp con B cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) lµ tËp ω -më nÕu vµ chØ nÕu víi mçi x ∈ B tån t¹i U ∈ τ sao cho x ∈ U vµ U − B ®Õm ®−îc vµ mäi tËp më ®Òu lµ tËp ω -më. Hä tÊt c¶ c¸c tËp con ω -më cña kh«ng gian (X, τ ) ký hiÖu bëi τω . ω -bao ®ãng vµ ω -phÇn trong cña tËp A ®Þnh nghÜa t−¬ng tù clA, intA vµ chóng ®−îc ký hiÖu 1 NhËn bµi ngµy 31/7/2009. Söa ch÷a xong 10/9/2009.
lµ clω (A), intω (A). TËp A ⊂ X ®−îc gäi lµ tËp ®ãng suy réng (viÕt t¾t lµ g -®ãng) nÕu clA ⊂ U víi mäi tËp U më chøa A. PhÇn bï cña tËp g -®ãng ®−îc gäi lµ tËp g -më. TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®−îc gäi lµ nöa më nÕu tån t¹i tËp më B sao cho B ⊂ A ⊂ clB . Kh«ng gian t«p« (H, τH ) ®−îc nh¾c ®Õn trong bµi nµy chÝnh lµ kh«ng gian H víi t«p« τH ®−îc c¶m sinh bëi t«p« τ trªn H . Kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®−îc gäi lµ ph¶n ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng nÕu mçi tËp më kh¸c rçng trong X ®Òu kh«ng ®Õm ®−îc. 1. TËp ω -nöa ®ãng 1.1. §Þnh nghÜa. TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®−îc gäi lµ ω -nöa më (ω -semi open) nÕu tån t¹i tËp më V sao cho V ⊂ A ⊂ clω (V ). TËp tÊt c¶ c¸c tËp ω -nöa më cña X ký hiÖu lµ ωSO(X ). 1.2. NhËn xÐt. (i) DÔ dµng kiÓm tra ®−îc r»ng: clω (A) lµ tËp ω -®ãng nhá nhÊt chøa A. (ii) NÕu A, B lµ c¸c tËp con cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) mµ A ⊂ B th× clω (A) ⊂ clω (B ). 1.3. §Þnh lý. NÕu (A, τA ) lµ kh«ng gian con ph¶n ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng cña kh«ng gian (X, τ ), th× clA = clω (A). Chøng minh. Ta lu«n cã clω (A) ⊂ clA . Do ®ã ®Ó chøng minh ®Þnh lý ta chØ cÇn chøng minh clA ⊂ clω (A). ThËt vËy, gi¶ sö tån t¹i x ∈ clA − clω (A), khi ®ã x ∈ clω (A) / nªn tån t¹i Wx ∈ τω sao cho x ∈ Wx vµ Wx ∩ A = ∅. Chän Vx ∈ τ sao cho x ∈ Vx vµ Vx − Wx = Cx ®Õm ®−îc. V× x ∈ clA vµ x ∈ Vx nªn Vx ∩ A = ∅. Lóc ®ã ta cã ∅ = Vx ∩ A ⊂ A ∩ (Wx ∪ Cx ) = (A ∩ Wx ) ∪ (A ∩ Cx ) = A ∩ Cx ⊂ Vx ∩ A. Suy ra Vx ∩ A = Cx ∩ A ∈ τA . §iÒu nµy chøng tá tån t¹i trong τA mét tËp më kh¸c rçng ®Õm ®−îc. §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt (A, τA ) ph¶n ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng. VËy clA = clω (A). 1.4. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ mét kh«ng gian t«p« vµ A lµ tËp con cña X . Khi ®ã (i) NÕu A lµ tËp ω -nöa më, th× A lµ tËp nöa më. (ii) NÕu x ∈ X vµ {x} lµ tËp ω -nöa më, th× {x} lµ tËp më. (iii) Hîp cña hä tuú ý c¸c tËp ω -nöa më lµ tËp ω - nöa më. (iv) Giao cña hai tËp ω -nöa më cã thÓ kh«ng lµ tËp ω -nöa më. Chøng minh. (i) Gi¶ sö A lµ tËp con ω -nöa më cña kh«ng gian t«p« (X, τ ), khi ®ã tån t¹i tËp më V sao cho V ⊂ A ⊂ clω (V ). MÆt kh¸c, ta l¹i cã clω (V ) ⊂ clV nªn V ⊂ A ⊂ clV . VËy A lµ tËp nöa më. (ii) Gi¶ sö x ∈ X vµ x lµ tËp ω -nöa më. Khi ®ã tån t¹i tËp U ∈ τ sao cho U ⊂ {x} ⊂ clω (U ). Bao hµm thøc nµy chøng tá U = {x}. VËy {x} lµ tËp më.
(iii) Gi¶ sö Ai lµ c¸c tËp ω - nöa më víi i ∈ I , ta cÇn chøng minh Ai lµ tËp i∈ I ω -nöa më. ThËt vËy do Ai lµ c¸c tËp ω -nöa më nªn víi mçi i ∈ I tån t¹i tËp më Ui sao cho Ui ⊂ Ai ⊂ clω Ui . Suy ra Ui ⊂ Ai ⊂ clω Ui ⊂ clω ( Ui ). VËy Ui lµ i∈ I i∈ I i∈I i∈I i∈I tËp ω -nöa më. (iv) Chóng ta lµm râ ®iÒu nµy b»ng vÝ dô sau: cho X = (0; 1) ⊂ R víi t«p« τ = {∅; X ; (0; 2 ); [ 1 ; 1)} lµ mét t«p« trªn X . XÐt A = (0; 2 ] vµ B = [ 1 ; 1). Do (X, τ ) lµ 1 1 2 2 kh«ng gian ph¶n ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng nªn theo §Þnh lý 1.3 ta suy ra clω (0; 2 ) = [0; 1 ]. 1 2 1 1 1 1 1 V× (0; 2 ) lµ tËp më vµ (0; 2 ) ⊂ (0; 2 ] ⊂ clω (0; 2 ) = [0; 2 ]. VËy A lµ tËp ω -nöa më. T−¬ng tù [ 1 ; 1) còng lµ tËp më mµ [ 1 ; 1) ⊂ [ 1 ; 1) ⊂ clω ( 1 ; 1) = [ 1 ; 1]. Do ®ã B còng lµ tËp 2 2 2 2 2 1 ω -nöa më, nh−ng A ∩ B = { 2 } kh«ng lµ tËp ω -nöa më. 1.5. §Þnh nghÜa. Cho (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p« vµ A lµ tËp con cña X . TËp A ®−îc gäi lµ ω -nöa ®ãng (ω - semi closed ) nÕu X − A lµ tËp ω -nöa më. TËp tÊt c¶ c¸c tËp ω -nöa ®ãng cña X ký hiÖu lµ ωSC (X ). Giao cña tÊt c¶ c¸c tËp ω -nöa ®ãng chøa A ®−îc gäi lµ ω -nöa bao ®ãng (ω semi closure) cña A ký hiÖu lµ sclω (A). 1.6. §Þnh lý. Gi¶ sö A lµ tËp con cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) vµ x ∈ X . Khi ®ã x ∈ sclω (A) nÕu vµ chØ nÕu U ∩ A = ∅ víi mäi tËp ω -nöa më U chøa x. Chøng minh. §Æt F0 = {y ∈ X | U ∩ A = ∅ víi mäi tËp ω -nöa më U chøa y }. §Ó chøng minh ®Þnh lý ta chøng minh F0 = sclω (A). ThËt vËy, lÊy bÊt kú x ∈ sclω (A). Gi¶ sö x ∈ F0 , khi ®ã tån t¹i tËp ω -nöa më V chøa x sao cho V ∩ A = ∅. V× X − V lµ tËp / ω -nöa ®ãng chøa A nªn sclω (A) ⊂ X − V . Do x ∈ X − V nªn x ∈ sclω (A). Suy ra / / sclω (A) ⊂ F0 . B©y giê ta chøng minh F0 ⊂ sclω (A). ThËt vËy, gi¶ sö x ∈ sclω (A). Khi ®ã tån t¹i / tËp ω - nöa ®ãng F chøa A sao cho x ∈ F . Do ®ã x ∈ X − F víi X − F lµ tËp ω - nöa / më mµ X − F ∩ A = ∅. V× vËy x ∈ F0 . KÐo theo F0 ⊂ sclω (A). / VËy F0 = sclω (A). 1.7. MÖnh ®Ò. TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) lµ ω -nöa ®ãng nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i tËp ®ãng F sao cho intω (F ) ⊂ A ⊂ F . Chøng minh. CÇn. Gi¶ sö A lµ tËp con cña X . NÕu A lµ tËp ω -nöa ®ãng, th× X − A lµ tËp ω -nöa më. Theo §Þnh nghÜa 1.1, tån t¹i tËp më U trong X sao cho U ⊂ X − A ⊂ clω (U ). Do ®ã X − clω (U ) ⊂ X − (X − A) = A ⊂ X − U . DÔ thÊy X − clω (U ) = intω (X − U ), ®iÒu nµy kÐo theo intω (X − U ) ⊂ A ⊂ X − U . §Æt F = X − U ta suy ra F ®ãng vµ intω (F ) ⊂ A ⊂ F . §ñ. Gi¶ sö A lµ tËp con cña X . NÕu tån t¹i tËp F ®ãng sao cho intω (F ) ⊂ A ⊂ F , th× X − F ⊂ X − A ⊂ X − intω (F ). V× X − F lµ tËp më vµ X − intω (F ) = clω (X − F ) nªn X − F ⊂ X − A ⊂ clω (X − F ). Do ®ã X − A lµ tËp ω -nöa më hay A lµ tËp ω -nöa ®ãng .
1.8. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ mét kh«ng gian t«p«. Khi ®ã sclω (A) lµ tËp ω -nöa ®ãng nhá nhÊt chøa A. Chøng minh. Tõ §Þnh nghÜa 1.5 ta chØ cÇn chøng minh r»ng sclω (A) lµ tËp ω -nöa ®ãng. ThËt vËy, ta cã sclω (A) = {G| víi G lµ tËp ω - nöa ®ãng chøa A}. Suy ra X − sclω (A) = X − {G|víi G lµ tËp ω -nöa ®ãng chøa A} = {(X −G)| víi G lµ tËp ω - nöa ®ãng chøa A}. Tõ MÖnh ®Ò 1.4 ta cã {(X − G)| víi G lµ tËp ω -nöa ®ãng chøa A} lµ tËp ω -nöa më. Do ®ã X − sclω (A) lµ tËp ω -nöa më. VËy sclω (A) lµ tËp ω -nöa ®ãng. 1.9. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p« vµ A, B lµ c¸c tËp con cña X . Khi ®ã (i) NÕu A ⊂ B , th× sclω (A) ⊂ sclω (B ). (ii) sclω (A) ∪ sclω (B ) ⊂ sclω (A ∪ B ). (iii) sclω (A ∩ B ) ⊂ sclω (A) ∩ sclω (B ). (iv)A lµ tËp ω -nöa ®ãng khi vµ chØ khi A = sclω (A). Chøng minh. (i) Gi¶ sö A ⊂ B . Khi ®ã nÕu F lµ tËp ω -nöa ®ãng bÊt k× chøa B , th× F còng chøa A. Do ®ã sclω (A) ⊂ sclω (B ). (ii) V× A ⊂ A ∪ B , B ⊂ A ∪ B nªn theo (i) ta cã sclω (A) ⊂ sclω (A ∪ B ), sclω (B )) ⊂ sclω (A ∪ B ). Do ®ã sclω (A) ∪ sclω (B ) ⊂ sclω (A ∪ B ). (iii) A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B nªn theo (i) ta cã sclω (A ∩ B ) ⊂ sclω (A), sclω (A ∩ B ) ⊂ sclω (B ). Do ®ã sclω (A ∩ B ) ⊂ sclω (A) ∩ sclω (B ). (iv) Suy tõ MÖnh ®Ò 1.8. 1.10. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p« vµ A lµ tËp con cña X . Khi ®ã hîp cña tÊt c¶ c¸c tËp ω -nöa më n»m trong A ®−îc gäi lµ ω -nöa phÇn trong (ω -semi interior) cña A kÝ hiÖu lµ sintω (A). 1.11. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p« vµ A, B lµ c¸c tËp con cña X . Khi ®ã (i) sintω (A) lµ tËp ω -nöa më lín nhÊt n»m trong A. (ii) NÕu A ⊂ B , th× sintω (A) ⊂ sintω (B ). (iii) X − sclω (A) = sintω (X − A). Chøng minh. C¸c kh¼ng ®Þnh (i) vµ (ii) suy trùc tiÕp tõ §Þnh nghÜa 1.10. (iii) Ta cã X − sclω (A) = X − { G| víi G lµ tËp ω -nöa ®ãng chøa A} = { (X − G)| víi G lµ tËp ω -nöa ®ãng chøa A}. Do G lµ tËp ω - nöa ®ãng chøa A nªn X − G lµ tËp ω -nöa më n»m trong X − A. VËy { (X − G)| víi G lµ tËp ω -nöa ®ãng chøa A} = sintω (X − A), hay X − sclω (A) = sintω (X − A). 1.12. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö A lµ tËp con cña kh«ng gian t«p« (X, τ ). Khi ®ã A lµ tËp ω - nöa më khi vµ chØ khi A ⊂ sclω (sintω (A)).
Chøng minh. CÇn. Gi¶ sö A lµ tËp ω -nöa më trong kh«ng gian t«p« (X, τ ). Nhê MÖnh ®Ò 1.11 vµ A lµ tËp ω -nöa më, ta suy ra sintω (A) = A. Do ®ã sclω (sintω (A)) = sclω (A) chøa A. §ñ. Gi¶ sö A lµ tËp con cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) mµ A ⊂ sclω (sintω (A). V× sintω (A) lµ tËp ω -nöa më, nªn tån t¹i tËp më U sao cho U ⊂ sintω (A) ⊂ clω (U ). MÆt kh¸c cã U ⊂ sintω (A) ⊂ A, sintω (A) ⊂ clω (U ) vµ tËp ω -®ãng lµ tËp ω -nöa ®ãng. Do ®ã sclω (sintω (A)) ⊂ sclω (clω (U )) = clω (U ). Nhê gi¶ thiÕt A ⊂ sclω (sintω (A) ta suy ra U ⊂ A ⊂ clω (U ). VËy A lµ tËp ω -nöa më. 2. TËp ω -nöa ®ãng suy réng 2.1. §Þnh nghÜa. TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®−îc gäi lµ ω -nöa ®ãng suy réng (ω -generalized semi closed) vµ viÕt lµ ω gs-®ãng nÕu sclω (A) ⊂ U víi mäi tËp më U mµ A ⊂ U . TËp tÊt c¶ c¸c tËp ω gs-®ãng trong X ®−îc kÝ hiÖu ωGSC (X, τ ). 2.2. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ mét kh«ng gian t«p« vµ A lµ tËp con cña X . Khi ®ã nÕu A lµ tËp ω -nöa ®ãng, th× A lµ tËp ω gs-®ãng. Chøng minh. Gi¶ sö A lµ tËp ω -nöa ®ãng vµ U lµ tËp më bÊt k× chøa A. Khi ®ã ta cã sclω (A) = A. Tõ ®ã suy ra sclω (A) ⊂ U . VËy A lµ tËp ω gs-®ãng. 2.3. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö A lµ tËp con më vµ ω gs-®ãng cña kh«ng gian t«p« (X, τ ). Khi ®ã A lµ tËp ω -nöa ®ãng. Chøng minh. Gi¶ sö A lµ tËp ω gs-®ãng. Khi ®ã víi tËp më U bÊt k× chøa A ta cã sclω (A) ⊂ U . V× A lµ tËp më vµ A ⊂ A nªn ta cã sclω (A) ⊂ A. HiÓn nhiªn A ⊂ sclω (A) . VËy ta cã sclω (A) = A, hay A lµ tËp ω -nöa ®ãng. 2.4. §Þnh nghÜa. TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®−îc gäi lµ ω -nöa më suy réng (ω -generalized semi open) vµ ®−îc viÕt lµ ω gs-më nÕu phÇn bï X − A cña nã lµ tËp ω gs-®ãng. TËp tÊt c¶ c¸c tËp ω gs-më trong X ®−îc kÝ hiÖu ωGSO(X, τ ). 2.5. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ mét kh«ng gian t«p« vµ A lµ tËp con cña X . A lµ ω gs-më nÕu vµ chØ nÕu F ⊂ sintω (A) víi mäi tËp ®ãng F n»m trong A. Chøng minh. Gi¶ sö A lµ tËp ω gs-më vµ F lµ tËp ®ãng bÊt k× n»m trong A. Ta sÏ chøng minh F ⊂ sintω (A). ThËt vËy, do F ⊂ A nªn X − A ⊂ X − F . MÆt kh¸c, v× A lµ tËp ω gs-më nªn X − A lµ tËp ω gs-®ãng. Do ®ã ta suy ra sclω (X − A) ⊂ X − F . Theo MÖnh ®Ò 1. 11 ta cã F ⊂ X − sclω (X − A) = sintω (X − (X − A)) = sintω (A).
Ng−îc l¹i gi¶ sö F ⊂ sintω (A) víi mäi tËp ®ãng F n»m trong A. Ta sÏ chøng minh X − A lµ tËp ω gs-®ãng. ThËt vËy, gi¶ sö U lµ tËp më bÊt k× chøa X − A, khi ®ã X − U lµ tËp ®ãng n»m trong A. Theo gi¶ thiÕt ta cã X − U ⊂ sintω (A). Suy ra X − sintω (A) ⊂ U . Theo MÖnh ®Ò 1.11 ta cã sclω (X − A) ⊂ U . VËy A lµ tËp ω gs-më. 2.6. §Þnh nghÜa. Giao cña tÊt c¶ c¸c tËp ω gs-®ãng chøa A trong kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®−îc gäi lµ ω -nöa bao ®ãng suy réng (ω -generalized semi closure) cña A vµ kÝ hiÖu lµ gsclω (A). 2.7. NhËn xÐt. (i) V× mçi tËp ω -nöa ®ãng lµ tËp ω gs-®ãng, nªn A ⊂ gsclω (A) ⊂ sclω (A) ⊂ clA víi tËp con A bÊt kú. (ii) Tõ ®Þnh nghÜa tËp ω gs-®ãng ta thÊy, nÕu A lµ tËp ω gs-®ãng, th× gsclω (A) = A. 2.8. §Þnh nghÜa. §iÓm x cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®−îc gäi lµ ®iÓm ω -nöa giíi h¹n suy réng ( ω gs-limit point) cña tËp A trong X vµ ®−îc viÕt lµ ®iÓm ω gs-giíi h¹n nÕu mäi tËp ω gs-më U chøa x th× A ∩ (U − {x}) = ∅. TËp tÊt c¶ c¸c ®iÓm ω gs-giíi h¹n cña A ®−îc kÝ hiÖu gsdω (A) vµ ®−îc gäi lµ ω -nöa giíi h¹n suy réng cña A. 2.9. §Þnh nghÜa. Hîp cña tÊt c¶ c¸c tËp ω gs-më n»m trong tËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®−îc gäi lµ ω -nöa phÇn trong suy réng (ω -generalized semi interior) cña A vµ kÝ hiÖu lµ gsintω (A). 2.10. NhËn xÐt. Mçi tËp ω -nöa më lµ tËp ω gs-më. V× vËy ta cã gsintω (A) ⊂ sintω (A) ⊂ intω (A). 2.11. §Þnh nghÜa. §iÓm x cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®−îc gäi lµ ®iÓm ω -nöa trong suy réng (ω -generalized semi interior point ) cña A nÕu tån t¹i tËp ω gs-më U ⊂ A vµ U chøa x. 2.12. Bæ ®Ò. Gi¶ sö A lµ tËp con cña kh«ng gian t«p« (X, τ ). Khi ®ã gsclω (A) = A ∪ gsdω (A). Chøng minh. Tr−íc hÕt ta chøng minh A ∪ gsdω (A) ⊂ gsclω (A). LÊy x bÊt k× thuéc A ∪ gsdω (A). NÕu x ∈ A, th× hiÓn nhiªn ta cã x ∈ gsclω (A). NÕu x ∈ gsdω (A), th× ®Ó chøng minh x ∈ gsclω (A) ta chøng minh r»ng x ∈ G víi G lµ tËp ω gs-®ãng bÊt k× chøa A. ThËt vËy, gi¶ sö ng−îc l¹i x ∈ G, suy ra x ∈ X − G. Do X − G lµ tËp ωgs-më vµ / x ∈ gsdω (A), nªn tõ §Þnh nghÜa 2.8 ta suy ra A ∩ ((X − G) − {x}) = ∅. §iÒu nµy m©u thuÉn víi A ⊂ G. Do ®ã x ∈ G. VËy A ∪ gsdω (A) ⊂ gsclω (A). Ng−îc l¹i, lÊy x ∈ gsclω (A). Gi¶ sö x ∈ A. NÕu x ∈ gsdω (A), th× tån t¹i tËp / / ω gs-më U chøa x, sao cho A ∩ (U − {x}) = ∅. V× x ∈ A, nªn A ∩ U = ∅. Suy ra / A ⊂ X − U . Chøng tá x ∈ gsclω (A). VËy gsclω (A) ⊂ A ∪ gsdω (A). Nh− vËy ta cã / gsclω (A) = A ∪ gsdω (A). 2.13. §Þnh lý. Gi¶ sö (X, τ ) lµ mét kh«ng gian t«p« vµ A, B lµ c¸c tËp con cña X . Khi ®ã (i) gsdω (A) ∪ gsdω (B ) ⊂ gsdω (A ∪ B ).
(ii) gsclω (A) ∪ gsclω (B ) ⊂ gsclω (A ∪ B ). (iii) gsclω (gsclω (A)) = gsclω (A). Chøng minh. (i) NÕu U lµ tËp ω gs-më chøa x mµ A ∩ (U − {x}) = ∅, th× (A ∪ B ) ∩ (U − {x}) = ∅. Do ®ã gsdω (A) ⊂ gsdω (A ∪ B ). T−¬ng tù ta cã gsdω (B ) ⊂ gsdω (A ∪ B ) . VËy gsdω (A) ∪ gsdω (B ) ⊂ gsdω (A ∪ B ). (ii) Suy ra tõ (i) vµ Bæ ®Ò 2.12. (iii) HiÓn nhiªn cã gsclω (A) ⊂ gsclω (gsclω (A)). Ng−îc l¹i, lÊy x bÊt k× thuéc gsclω (gsclω (A)). NÕu x ∈ gsclω (A), suy ra tån t¹i / mét tËp ω gs-®ãng F sao cho F chøa A vµ x ∈ F . Suy ra gsclω (A) ⊂ F . §iÒu nµy / kÐo theo gsclω (gsclω (A)) ⊂ gsclω (F ) = F . Do ®ã x ∈ gsclω (gsclω (A)). VËy gsclω (A) = / gsclω (gsclω (A)). 2.14. §Þnh lý. Gi¶ sö F ⊂ H ⊂ X víi H lµ mét tËp më, ω gs-®ãng trong kh«ng gian (X, τ ). Khi ®ã F lµ tËp con ω gs-®ãng trong (H, τH ) khi vµ chØ khi F lµ tËp ω gs-®ãng trong (X, τ ). Chøng minh. CÇn. Gi¶ sö F lµ tËp ω gs-®ãng trong (H, τH ) vµ U lµ tËp më bÊt k× trong X sao cho F ⊂ U , ta cÇn chøng minh sclω (F ) ⊂ U . ThËt vËy, v× U lµ tËp më bÊt k× trong X , suy ra U ∩ H më trong H vµ F ⊂ U ∩ H . Do ®ã sclω|H (F ) ⊂ U ∩ H ⊂ U (víi sclω|H (F ) = sclω (F ) ∩ H ) . L¹i do H lµ ω gs-®ãng trong kh«ng gian (X, τ ), nªn sclω (F ) ⊂ H . Suy ra sclω|H (F ) = sclω (F ) ∩ H . V× thÕ ta cã sclω (F ) = sclω|H (F ) ⊂ U ∩ H ⊂ U. §ñ. Gi¶ sö F lµ tËp ω gs-®ãng trong (X, τ ), V lµ tËp më trong H sao cho F ⊂ V , ta cÇn chøng minh sclω|H (F ) ⊂ V (víi sclω|H (F ) = sclω (F ) ∩ H ). ThËt vËy, v× V më trong H vµ H më trong X , nªn V më trong X . Do ®ã sclω (F ) ⊂ V . MÆt kh¸c, ta l¹i cã sclω|H (F ) ⊂ sclω (F ) ⊂ V . VËy F lµ tËp ω gs-®ãng trong (H, τH ). 3. ¸nh x¹ ω gs-®ãng v ¸nh x¹ ω gs-liªn tôc 3.1. §Þnh nghÜa. ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) ®−îc gäi lµ ¸nh x¹ ω gs-®ãng nÕu víi mçi tËp ®ãng F trong (X, τ ) ta cã f (F ) lµ tËp ω gs-®ãng trong (Y, σ ). 3.2. NhËn xÐt. Mäi ¸nh x¹ ®ãng lµ ω gs-®ãng. 3.3. §Þnh lý. ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ω gs-®ãng nÕu vµ chØ nÕu víi mçi S ⊂ Y vµ mçi tËp më U chøa f −1 (S ) tån t¹i tËp ω gs-më V trong Y sao cho S ⊂ V vµ f −1 (V ) ⊂ U . Chøng minh. Gi¶ sö f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ω gs-®ãng, S lµ tËp con cña Y vµ U lµ tËp më chøa f −1 (S ). §Æt V = Y − f (X − U ). Khi ®ã v× U më vµ f lµ ¸nh x¹ ω gs - ®ãng nªn V lµ tËp ω gs-më trong Y chøa S vµ f −1 (V ) ⊂ U . Ng−îc l¹i, gi¶ sö víi mçi S ⊂ Y vµ mçi tËp më U chøa f −1 (S ) tån t¹i tËp ω gs-më V sao cho f −1 (V ) ⊂ U . LÊy F lµ tËp ®ãng bÊt k× trong X vµ O lµ tËp më trong Y sao
cho f (F ) ⊂ O. Khi ®ã f −1 (Y − f (F )) ⊂ X − F vµ X − F lµ tËp më. Do ®ã tån t¹i tËp ω gs-më V sao cho Y − f (F ) ⊂ V vµ f −1 (V ) ⊂ X − F . Suy ra F ⊂ X − f −1 (V ). Do ®ã f (F ) ⊂ Y − V . MÆt kh¸c, v× Y − O ⊂ Y − f (F ) vµ Y − f (F ) ⊂ V ta suy ra f (F ) ⊂ Y − V ⊂ O. Do Y − V lµ tËp ω gs-®ãng vµ sclω (F ) ⊂ sclω (Y − V ) ⊂ O. Suy ra sclω (f (F )) ⊂ O. VËy f (F ) lµ tËp ω gs-®ãng hay f lµ ¸nh x¹ ω gs-®ãng. 3.4. §Þnh lý. NÕu ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ω gs-®ãng vµ (A, τA ) lµ kh«ng gian con ph¶n ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng cña kh«ng gian (X, τ ), th× gsclω (f (A)) ⊂ f (clω (A)) víi mäi tËp con A cña X . Chøng minh. Gi¶ sö A lµ tËp con cña X vµ f lµ ¸nh x¹ ω gs-®ãng. Theo §Þnh lý 1.3 do (A, τA ) lµ kh«ng gian con ph¶n ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng cña kh«ng gian (X, τ ), nªn clA = clω A. V× clA lµ tËp ®ãng trong X , suy ra clω (A) ®ãng trong X . Do f lµ ¸nh x¹ ω gs-®ãng, nªn f (clω (A)) lµ tËp ω gs-®ãng vµ f (A) ⊂ f (clω (A)). VËy gsclω (f (A)) ⊂ f (clω (A)). 3.5. §Þnh lý. Gi¶ sö ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ liªn tôc vµ ω gs-®ãng. Khi ®ã nÕu A lµ tËp g -®ãng cña (X, τ ), (A, τA ) lµ kh«ng gian con ph¶n ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng th× f (A) lµ tËp ω gs-®ãng. Chøng minh. Gi¶ sö f (A) ⊂ O víi O lµ tËp më trong Y . Khi ®ã A ⊂ f −1 (O). V× f lµ ¸nh x¹ liªn tôc, O më nªn f −1 (O) më trong X . V× A lµ tËp g -®ãng cña (X, τ ), nªn clA ⊂ f −1 (O), suy ra f (clA) ⊂ O. Do (A, τA ) lµ kh«ng gian con ph¶n ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng cña kh«ng gian (X, τ ), nªn clA = clω (A) vµ f (A) ⊂ f (clA). Do ®ã f (A) ⊂ f (clω (A)). Suy ra sclω (f (A)) ⊂ sclω (f (clω (A))). MÆt kh¸c, f lµ ω gs-®ãng, clω (A) lµ tËp ®ãng, nªn f (clω (A)) lµ tËp ω gs-®ãng. V× O l¹i lµ tËp më chøa f (clω (A)), nªn sclω (f (clω (A)) ⊂ O. Suy ra sclω (f (A)) ⊂ O. VËy f (A) lµ tËp ω gs-®ãng. 3.6. §Þnh lý. Gi¶ sö f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ®ãng, h : (Y, σ ) −→ (Z, η ) lµ ¸nh x¹ ω gs-®ãng th× (h ◦ f ) : (X, τ ) −→ (Z, η ) lµ ¸nh x¹ ω gs-®ãng. Chøng minh. Gi¶ sö F lµ tËp ®ãng trong (X, τ ). V× f lµ ¸nh x¹ ®ãng, nªn f (F ) lµ tËp ®ãng trong (Y, σ ). MÆt kh¸c, h : (Y, σ ) −→ (Z, η ) lµ ¸nh x¹ ω gs-®ãng, nªn h(f (F )) lµ tËp ω gs-®ãng trong (Z, η ). V× (ho f )(F ) = h(f (F )), nªn ho f lµ ¸nh x¹ ω gs-®ãng. 3.7. §Þnh nghÜa. ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) ®−îc gäi lµ ω gs-më nÕu vµ chØ nÕu mçi tËp më U cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) th× f (U ) lµ tËp ω gs-më cña (Y, σ ). 3.8. §Þnh lý. Cho ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) vµ c¸c ®iÒu kiÖn sau (i) f lµ ¸nh x¹ ω gs-më; (ii) f (int(A)) ⊂ gsintω (f (A)) víi mäi A ⊂ X ; (iii) Víi mçi x ∈ X vµ mçi tËp ω -më U chøa x, tån t¹i tËp ω gs-më V chøa f (x) sao cho V ⊂ f (U ); (iv) Víi mçi tËp B ⊂ Y ta cã f −1 (gsclω (B )) ⊂ clω (f −1 (B ).
Khi ®ã ta cã (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv ). Chøng minh. (i) ⇒ (ii). Gi¶ sö f lµ ¸nh x¹ ω gs-më. Khi ®ã v× intA lµ tËp më, nªn f (intA) lµ tËp ω gs-më. MÆt kh¸c v× intA ⊂ A, nªn f (intA) ⊂ f (A). Tõ ®ã ta cã f (intA) ⊂ gsintω (f (A)). (ii) ⇒ (iii) Gi¶ sö x ∈ X vµ U lµ tËp më chøa x. Khi ®ã ta cã U = intU . Do ®ã f (intU ) = f (U ) ⊂ gsintω (f (U )). MÆt kh¸c ta lu«n cã gsintω (f (U )) ⊂ f (U ). V× vËy f (U ) lµ tËp ω gs-më cÇn t×m. (iii) ⇒ (iv ) Gi¶ sö B ⊂ Y vµ x ∈ f −1 (gsclω (B )). NÕu x ∈ clω (f −1 (B )), th× x ∈ / X − (clω (f −1 (B )) . Khi ®ã, v× U lµ ω - më, nªn tõ (iii), suy ra tån t¹i tËp ω gs-më V chøa f (x) sao cho V ⊂ f (U ). Tõ V ⊂ f (U ) ⊂ f (X − f −1 (B )) ⊂ Y − B , ta suy ra V ⊂ Y − B hay B ⊂ Y − V . Chøng tá f (x) ∈ gsclω (B ). §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ / thiÕt f (x) ∈ gsclω (B ). 3.9. §Þnh lý. Gi¶ sö f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ω gs-më, B ⊂ Y vµ F lµ tËp ®ãng chøa f −1 (B ). Khi ®ã tån t¹i tËp ω gs-®ãng V sao cho B ⊂ V vµ f −1 (V ) = F . Chøng minh. Gi¶ sö F lµ tËp ®ãng cña X sao cho f −1 (B ) ⊂ F . V× f lµ ¸nh x¹ ω gs-më nªn f (X − F ) lµ tËp ω gs-më. MÆt kh¸c f −1 (B ) ⊂ F , nªn X − F ⊂ X − f −1 (B ). Do ®ã f (X − F ) ⊂ f (X − f −1 (B )). VËy f (X − F ) ⊂ Y − B , kÐo theo B ⊂ Y − f (X − F ). Chøng tá Y − f (X − F ) lµ tËp ω gs-®ãng chøa B vµ f −1 (Y − f (X − F )) = X − (X − F ) = F . LÊy V = Y − f (X − F ) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. 3.10. §Þnh nghÜa. ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ω gs-liªn tôc nÕu f −1 (V ) lµ tËp ω gs-®ãng trong (X, τ ) víi mäi tËp V ®ãng trong Y . 3.11. §Þnh lý. ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ω gs-liªn tôc nÕu vµ chØ nÕu nghÞch ¶nh cña tËp më lµ tËp ω gs-më. Chøng minh. CÇn. Suy tõ §Þnh nghÜa 2.4 vµ §Þnh nghÜa 3.10. §ñ. Gi¶ sö F lµ tËp më bÊt k× cña (Y, σ ) vµ f −1 (U ) lµ tËp ω gs-më. Ta cÇn chøng minh f lµ ω gs-liªn tôc. ThËt vËy, v× U më trong Y , nªn Y − U lµ tËp ®ãng trong Y . V× f −1 (Y − U ) = X − f −1 (U ) vµ theo gi¶ thiÕt ®iÒu kiÖn ®ñ f −1 (U ) lµ tËp ω gs-më, ta suy ra X − f −1 (U ) lµ ω gs-®ãng. VËy f lµ ¸nh x¹ ω gs-liªn tôc. 3.12. §Þnh lý. Cho ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) vµ c¸c ®iÒu kiÖn sau (i) f lµ ¸nh x¹ ω gs-liªn tôc. (ii) Víi mçi x ∈ X vµ mçi tËp më V sao cho f (x) ∈ V , tån t¹i tËp ω gs-më U chøa x sao cho f (U ) ⊂ V (iii) f (gsclω (A)) ⊂ clω (f (A)) víi mçi tËp A ⊂ X . (iv) gsclω (f −1 (B )) ⊂ f −1 (clω (B )) víi mçi tËp B ⊂ Y . Khi ®ã ta cã (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv ). Chøng minh. T−¬ng tù §Þnh lý 3.8.
3.13. Bæ ®Ò. Gi¶ sö f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ®ãng vµ ω gs-liªn tôc, B lµ tËp ω gs-®ãng trong Y vµ (B, τB ) lµ kh«ng gian con ph¶n ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng cña (Y, σ ). Khi ®ã f −1 (B ) lµ tËp ω gs-®ãng trong (X, τ ). Chøng minh. Gi¶ sö B lµ tËp ω gs-®ãng trong Y , U lµ tËp më cña (X, τ ) sao cho f −1 (B ) ⊂ U . V× f lµ ¸nh x¹ ®ãng nªn tån t¹i tËp më V sao cho B ⊂ V vµ f −1 (V ) ⊂ U . V× B lµ tËp ω gs-®ãng, nªn sclω (B ) ⊂ V . Do ®ã f −1 (sclω (B )) ⊂ U . MÆt kh¸c sclω (B ) ⊂ clω (B ) vµ (B, τB ) lµ kh«ng gian con ph¶n ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng cña (Y, σ ), do ®ã clω (B ) = clB . §iÒu nµy chøng tá sclω (B ) ⊂ clB . H¬n n÷a clB lµ tËp ®ãng vµ f lµ ¸nh x¹ ω gs-liªn tôc, nªn f −1 (clω (B )) lµ tËp ω gs-®ãng trong (X, τ ). Do ®ã sclω (f −1 (clω (B ))) ⊂ U . KÐo theo sclω (f −1 (B )) ⊂ U . VËy f −1 (B ) lµ tËp ω gs-®ãng trong (X, τ ). 3.14. §Þnh lý. NÕu f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ®ãng vµ ω gs-liªn tôc, h : (Y, σ ) −→ (Z, η ) lµ ¸nh x¹ ω gs-liªn tôc, th× ho f : (X, τ ) −→ (Z, η ) lµ ¸nh x¹ ω gs-liªn tôc. Chøng minh. Gi¶ sö V lµ tËp ®ãng trong (Z, η ). Ta cÇn chøng minh (ho f )−1 (V ) lµ tËp ω gs-®ãng trong (X, τ ). ThËt vËy, v× h : (Y, σ ) −→ (Z, η ) lµ ¸nh x¹ ω gs-liªn tôc, nªn h−1 (V ) lµ tËp ω gs-®ãng trong (Y, σ ). MÆt kh¸c, f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ®ãng vµ liªn tôc nªn nhê Bæ ®Ò 3.13 ta suy ra (ho f )−1 (V ) = f −1 (h−1 (V )) lµ tËp ω gs-®ãng trong (X, τ ). 3.15. §Þnh lý. NÕu f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ω gs-liªn tôc vµ h : (Y, σ ) −→ (Z, η ) lµ ¸nh x¹ liªn tôc, th× ho f : (X, τ ) −→ (Z, η ) lµ ¸nh x¹ ω gs-liªn tôc. Chøng minh. Gi¶ sö B lµ tËp ®ãng trong (Z, η ). V× h liªn tôc nªn h−1 (B ) lµ tËp ®ãng trong (Y, σ ). L¹i v× f lµ ¸nh x¹ ω gs-liªn tôc nªn f −1 (h−1 (B )) lµ tËp ω gs-®ãng mµ (ho f )−1 (B ) = f −1 (h−1 (B )). VËy ho f lµ ¸nh x¹ ω gs-liªn tôc. t i liÖu tham kh¶o [1] J. K. Kelly, T« p« ®¹i c−¬ng, Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc vµ Trung häc chuyªn nghiÖp, Hµ Néi, 1973. [2] §inh V¨n Ph−îng , VÒ c¸c tËp nöa ®ãng suy réng vµ c¸c tËp ®ãng nöa suy réng, LuËn v¨n th¹c sÜ To¸n häc, Tr−êng §¹i häc Vinh, 2006. [3] Ah. Al. Omari and M. S. Noorani, Regular generralized closed sets, Inter. J. Math. and Math. Sci., Article JD 16292, 2007, 11 pages. [4] N. Levin, Generralized closed sets in topology, Ren. Circ. Math. Palermo, 19(2), 1970, 89 - 96. [5] Kh. Y. Zoubi, On generralized ω -closed sets, Inter. J. Math. and Math. Sci., 13(2005), 2011 - 2021. summary
On generalized ω -semi-closed sets In this paper, we investigated some properties of classes of generalized ω -semi- closed sets, generalized ω -semi-open sets, ωgs-closed sets, ωgs-closed functions, and ωgs-continuous functions. (a) Khoa To¸n, Tr−êng §¹i häc Vinh. (b) Cao häc 14, chuyªn ng nh Gi¶i tÝch, Tr−êng §¹i häc Vinh.