Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về các tập ω-nửa đóng suy rộng chính quy"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

46
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2009 tác giả: 9. Đặng Lệ Thuý, Về các tập ω-nửa đóng suy rộng chính quy.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về các tập ω-nửa đóng suy rộng chính quy"

VÒ c¸c tËp ω -nöa ®ãng suy réng chÝnh quy §Æng LÖ Thuý (a) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i giíi thiÖu kh¸i niÖm tËp ω-nöa ®ãng suy réng chÝnh quy, xÐt c¸c tÝnh chÊt cña nã vµ c¸c tÝnh chÊt cña c¸c ¸nh x¹ suy réng trªn tËp ω-nöa ®ãng suy réng chÝnh quy. më ®Çu Chóng ta ®· lµm quen víi c¸c kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt thêng ®îc sö dông trong Gi¶i tÝch nh tËp hîp ®ãng, tËp hîp më, phÇn trong cña tËp hîp, bao ®ãng cña tËp hîp, ... Më réng c¸c kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt nµy vµo n¨m 1970 vµ 1982, N. Levine vµ H. Z. Hdeib lÇn lît ®a ra kh¸i niÖm tËp ®ãng suy réng (g-®ãng) vµ tËp ω-®ãng trong kh«ng gian t«p«. Sau ®ã c¸c nhµ t«p« ®· më réng vµ ®a ra c¸c kh¸i niÖm nh tËp më chÝnh quy, tËp nöa më, tËp nöa tiÒn më, tËp α-më, tËp θ-më, tËp δ-më, ... N¨m 1987, P. Bahattacharyya vµ B. K. Lahiri ®· ®a ra mét sè kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt vÒ c¸c tËp sg-®ãng vµ sg-më. C¸c tËp sg-®ãng ®îc nghiªn cøu mét c¸ch réng r·i trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y phÇn lín bëi K. Balachandran, M. C. Caldas, R. Devi, J. Dontchev, M. Ganster, H. Maki, T. Noiri vµ P. Sundaram. N¨m 1997, A. Rani vµ K. Balachandran ®· nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt cña c¸c tËp ®ãng suy réng chÝnh quy vµ c¸c tÝnh chÊt cña c¸c ¸nh x¹ liªn tôc suy réng chÝnh quy. §Õn n¨m 2007, Ahmad Al - Omari vµ Mohd Salmi Md Noorani ®· ®a ra c¸c kh¸i niÖm míi vÒ tËp ω-®ãng suy réng chÝnh quy (rgω-®ãng), ¸nh x¹ ω-liªn tôc suy réng chÝnh quy (rgω-liªn tôc), ¸nh x¹ ω-kh«ng gi¶i ®îc suy réng chÝnh quy (rgω-kh«ng gi¶i ®îc) ... Trong bµi viÕt nµy, dùa trªn c¸c kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ cña A. Rani vµ K. Balachan- dran ([5]), Ahmad Al - Omari vµ Mohd Salmi Md Noorani ([3]) vµ NguyÔn ThÞ Thu ([2]), chóng t«i giíi thiÖu kh¸i niÖm tËp ω-nöa ®ãng suy réng chÝnh quy (ω-srg-®ãng), xÐt c¸c tÝnh chÊt cña nã vµ c¸c tÝnh chÊt cña c¸c ¸nh x¹ suy réng trªn tËp ω-nöa ®ãng suy réng chÝnh quy. 1. TËp ω -nöa ®ãng suy réng chÝnh quy §Þnh nghÜa. Gi¶ sö (X, τ ) lµ mét kh«ng gian t«p« vµ A lµ tËp con cña X . 1.1. NhËn bµi ngµy 16/10/2009. Söa ch÷a xong 10/12/2009. 1
(a) A ®îc gäi lµ më chÝnh quy (regular open) nÕu A = int(clA). PhÇn bï cña tËp më chÝnh quy ®îc gäi lµ tËp ®ãng chÝnh quy (regular closed). Mét c¸ch t¬ng ®¬ng, tËp A lµ ®ãng chÝnh quy nÕu A = cl(intA); (b) A ®îc gäi lµ tËp nöa më (semi open) nÕu tån t¹i tËp më V sao cho V ⊆ A ⊆ clV ; (c) A ®îc gäi lµ tËp nöa ®ãng (semi closed) nÕu X − A lµ tËp nöa më. 1.2. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö (X, τ ) lµ mét kh«ng gian t«p« vµ A lµ tËp con cña X . (a) §iÓm x ∈ X ®îc gäi lµ ®iÓm c« ®äng (condensation) cña A nÕu víi mçi U ∈ τ mµ x ∈ U th× U ∩ A kh«ng ®Õm ®îc; (b) A ®îc gäi lµ ω-®ãng (ω-closed) nÕu nã chøa tÊt c¶ c¸c ®iÓm c« ®äng cña nã. PhÇn bï cña tËp ω-®ãng ®îc gäi lµ tËp ω-më (ω-open). ω -bao ®ãng vµ ω -phÇn trong cña tËp A ®îc ®Þnh nghÜa t¬ng tù clA, intA vµ chóng ®îc ký hiÖu lÇn lît lµ clω (A), intω (A). 1.3. NhËn xÐt. (a) NÕu A lµ tËp më chÝnh quy, th× A lµ më; (b) Hîp cña hä tuú ý c¸c tËp ω-më lµ tËp ω-më. Do ®ã intω (A) lµ tËp ω-më; (c) Giao cña hä tïy ý c¸c tËp ω-®ãng lµ tËp ω-®ãng. Do ®ã clω (A) lµ tËp ω-®ãng; (d) NÕu A lµ tËp më, th× A lµ tËp ω-më. Do ®ã intA ⊂ intω (A); (e) NÕu A lµ tËp ®ãng, th× A lµ tËp ω-®ãng. Do ®ã clω (A) ⊂ clA. 1.4. §Þnh nghÜa. (a) TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ ω -nöa më (ω-semi open) nÕu tån t¹i tËp më V sao cho V ⊆ A ⊆ clω (V ); (b) TËp A ®îc gäi lµ ω-nöa ®ãng (ω-semi closed ) nÕu X − A lµ tËp ω-nöa më; TËp tÊt c¶ c¸c tËp ω-nöa më cña X ký hiÖu lµ ωSO(X ). TËp tÊt c¶ c¸c tËp ω-nöa ®ãng cña X ký hiÖu lµ ωSC (X ). Hîp cña tÊt c¶ c¸c tËp ω-nöa më n»m trong A ®îc gäi lµ ω-nöa phÇn trong (ω-semi interior) cña A ký hiÖu lµ sintω (A). Giao cña tÊt c¶ c¸c tËp ω-nöa ®ãng chøa A ®îc gäi lµ ω-nöa bao ®ãng (ω-semi closure) cña A ký hiÖu lµ sclω (A). Giao cña tÊt c¶ c¸c tËp nöa ®ãng chøa A ®îc gäi lµ nöa bao ®ãng (semi closure) cña A ký hiÖu lµ scl(A). 1.5. NhËn xÐt. (a) Mçi tËp më lµ tËp ω -nöa më vµ mçi tËp ω -nöa më lµ tËp nöa më; (b) Hîp cña hä tuú ý c¸c tËp ω-nöa më lµ tËp ω-nöa më. Do ®ã sintω (A) lµ tËp ω-nöa më; (c) Giao cña hä tïy ý c¸c tËp ω-nöa ®ãng lµ tËp ω-nöa ®ãng. Do ®ã sclω (A) lµ tËp ω -nöa ®ãng; (d) X − sclω (U ) = sintω (X − U ); (e) NÕu A ⊂ B , th× sclω (A) ⊂ sclω (B ) vµ sintω (A) ⊂ sintω (B ); (f) scl(A) ⊂ sclω (A); (g) A lµ tËp ω-nöa ®ãng khi vµ chØ khi A = sclω (A).
§Þnh nghÜa. TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ ω-nöa ®ãng suy 1.6. réng (ω-generalized semi closed) vµ viÕt lµ ωgs-®ãng nÕu sclω (A) ⊂ U , víi mäi tËp më U mµ A ⊂ U . PhÇn bï cña tËp ωgs-®ãng ®îc gäi lµ tËp ω-nöa më suy réng (ω-generalized semi open) vµ viÕt lµ ωgs-më. TËp tÊt c¶ c¸c tËp ωgs-®ãng (ωgs-më) trong X ®îc kÝ hiÖu ωGSC (X, τ ) (t¬ng øng, ωGSO(X, τ )). 1.7. §Þnh nghÜa. TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ ω -nöa ®ãng suy réng chÝnh quy (ω-semi regular generalized closed) nÕu sclω (A) ⊂ U , víi mäi tËp më chÝnh quy U mµ A ⊂ U vµ viÕt lµ ω-srg-®ãng. TËp A ®îc gäi lµ ω-nöa më suy réng chÝnh quy (ω-semi regular generalized open) nÕu X − A lµ tËp ω-nöa ®ãng suy réng chÝnh quy vµ viÕt lµ ω-srg-më. TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ nöa ®ãng suy réng chÝnh quy (semi- regular generalized closed) nÕu scl(A) ⊂ U , víi mäi tËp më chÝnh quy U mµ A ⊂ U vµ viÕt lµ srg-®ãng. 1.8. MÖnh ®Ò. (a) Mçi tËp ®ãng lµ tËp ω gs-®ãng; (b) Mçi tËp ωgs-®ãng lµ tËp ω-srg-®ãng. Chøng minh. (a) Gi¶ sö A lµ tËp con ®ãng cña kh«ng gian t«p« (X, τ ). Khi ®ã X − A lµ tËp con më cña X , suy ra X − A lµ tËp ω-nöa më vµ A lµ tËp ω-nöa ®ãng. Do ®ã ta cã A = sclω (A). Gi¶ sö U lµ tËp më bÊt kú mµ A ⊂ U . Suy ra sclω (A) ⊂ U . VËy A lµ tËp ω gs-®ãng. (b) Gi¶ sö A lµ tËp ωgs-®ãng vµ U lµ tËp më chÝnh quy bÊt kú mµ A ⊂ U . V× mçi tËp më chÝnh quy lµ më vµ A lµ tËp ωgs-®ãng ta suy ra sclω (A) ⊂ U . VËy A lµ tËp ω -srg-®ãng. 1.9. NhËn xÐt. Mçi tËp më lµ tËp ω gs-më vµ mçi tËp ω gs-më lµ tËp ω -srg-më. 1.10. MÖnh ®Ò. Mçi tËp ω -nöa ®ãng suy réng chÝnh quy lµ tËp nöa ®ãng suy réng chÝnh quy. Chøng minh. Gi¶ sö A ⊂ X lµ tËp ω-nöa ®ãng suy réng chÝnh quy vµ U lµ tËp më chÝnh quy bÊt kú mµ A ⊂ U . Khi ®ã ta cã sclω (A) ⊂ U . Nhê NhËn xÐt 1.5 ta cã scl(A) ⊂ sclω (A). VËy A lµ tËp srg-®ãng. 1.11. §Þnh lý. Gi¶ sö A lµ tËp con cña kh«ng gian t«p« (X, τ ). Khi ®ã A lµ ω -srg-më khi vµ chØ khi F ⊂ sintω (A) víi mäi tËp ®ãng chÝnh quy F mµ F ⊂ A. Chøng minh. Gi¶ sö A lµ tËp ω-nöa më suy réng chÝnh quy vµ F lµ tËp ®ãng chÝnh quy bÊt kú mµ F ⊂ A. Khi ®ã ta cã X − A lµ tËp ω-nöa ®ãng suy réng chÝnh quy, X − F lµ tËp më chÝnh quy vµ X − A ⊂ X − F . Do ®ã ta cã sclω (X − A) ⊂ X − F . V× sclω (X − A) = X − sintω (A), ta suy ra F ⊂ sintω (A).
Ngîc l¹i, ®Ó chøng minh A lµ tËp ω-srg-më ta chøng minh r»ng X − A lµ tËp ω-srg- ®ãng. ThËt vËy, gi¶ sö U lµ tËp më chÝnh quy mµ X − A ⊂ U . Khi ®ã X − U lµ tËp ®ãng chÝnh quy mµ X − U ⊂ A. Do ®ã tõ gi¶ thiÕt ta cã X − U ⊂ sintω (A). §iÒu nµy kÐo theo X − sintω (A) ⊂ U . V× thÕ ta cã sclω (X − A) ⊂ U . VËy X − A lµ tËp ω -srg-®ãng vµ A lµ tËp ω-srg-më. 1.12. §Þnh lý. Gi¶ sö A lµ tËp ω -srg-®ãng cña kh«ng gian t«p« (X, τ ). Khi ®ã sclω (A) − A kh«ng chøa tËp con ®ãng chÝnh quy kh¸c rçng nµo cña X . Chøng minh. Gi¶ sö F lµ tËp con ®ãng chÝnh quy cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) sao cho F ⊂ sclω (A) − A. Khi ®ã F ⊂ X − A vµ v× thÕ A ⊂ X − F . V× A lµ tËp ω -srg-®ãng vµ X − F tµ tËp më chÝnh quy, nªn sclω (A) ⊂ X − F vµ do ®ã ta cã F ⊂ X − sclω (A). §iÒu nµy kÐo theo F ⊂ (X − sclω (A)) ∩ sclω (A) = φ. VËy F = φ. 1.13. HÖ qu¶. NÕu A lµ tËp ω -srg-®ãng cña kh«ng gian t«p« (X, τ ), th× sclω (A) − A lµ tËp ω-srg-më. Chøng minh. Gi¶ sö A lµ tËp ω-srg-®ãng cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) vµ F lµ tËp ®ãng chÝnh quy sao cho F ⊂ sclω (A) − A. Khi ®ã, nhê §Þnh lý 1.12 ta cã F = φ vµ v× thÕ F ⊂ sintω (sclω (A)−A). Do ®ã, nhê §Þnh lý 1.11 ta suy ra sclω (A)−A lµ tËp ω -srg-më. 2. ¸nh x¹ ω -nöa liªn tôc suy réng chÝnh quy 2.1. §Þnh nghÜa. (a) ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) ®îc gäi lµ ω -nöa liªn tôc suy réng (ω-semi generalized continuous) vµ viÕt t¾t lµ ωsg-liªn tôc nÕu víi mçi tËp ®ãng F trong (Y, σ ) ta cã f −1 (F ) lµ tËp ω gs-®ãng trong (X, τ ); (b) ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) ®îc gäi lµ ω-nöa liªn tôc suy réng chÝnh quy (ω- semi regular generalized continuous) vµ viÕt t¾t lµ ω-srg-liªn tôc nÕu víi mçi tËp ®ãng F trong (Y, σ ) ta cã f −1 (F ) lµ tËp ω -sgr-®ãng trong (X, τ ). 2.2. §Þnh lý. Gi¶ sö f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ ¸nh x¹. Khi ®ã c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t¬ng ®¬ng (a) f lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc; (b) NghÞch ¶nh cña mçi tËp më trong (Y, σ) lµ tËp ω-srg-më trong (X, τ ). Chøng minh. (a) ⇒ (b). Gi¶ sö G lµ tËp më bÊt kú trong (Y, σ). Khi ®ã Y − G lµ tËp ®ãng trong (Y, σ). Tõ gi¶ thiÕt ta suy ra f −1 (Y − G) lµ tËp ω-srg-®ãng trong (X, τ ). Mµ f −1 (Y − G) = X − f −1 (G), do ®ã X − f −1 (G) lµ tËp ω -srg-®ãng trong (X, τ ). V× vËy f −1 (G) lµ tËp ω -srg-më trong (X, τ ). (b) ⇒ (a). Gi¶ sö F lµ tËp ®ãng bÊt kú trong (Y, σ ). Khi ®ã Y − F lµ tËp më trong (Y, σ ). Tõ gi¶ thiÕt ta suy ra f −1 (Y − F ) lµ tËp ω -sgr-më trong (X, τ ). Mµ f −1 (Y − F ) =
X − f −1 (F ), do ®ã X − f −1 (F ) lµ tËp ω -srg-më trong (X, τ ). V× vËy f −1 (F ) lµ tËp ω -srg- ®ãng trong (X, τ ). VËy f lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc. §Þnh lý. NÕu f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc vµ h : (Y, σ) −→ (Z, δ) lµ 2.3. ¸nh x¹ liªn tôc th× ho f : (X, τ ) −→ (Z, δ) lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc. Chøng minh. Gi¶ sö E lµ tËp ®ãng bÊt kú trong (Z, δ). Do h liªn tôc nªn h−1 (E ) lµ tËp ®ãng trong (Y, σ). L¹i v× f lµ ω-srg-liªn tôc, nªn f −1 (h−1 (E )) lµ tËp ω-srg-®ãng trong (X, τ ). Mµ (ho f )−1 (E ) = f −1 (h−1 (E )) nªn (h ◦ f )−1 (E ) lµ tËp ω -srg-®ãng trong (X, τ ). Do ®ã ho f lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc. 2.4. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ ω -T ∗ kh«ng gian nÕu mäi tËp 1 ω -srg-®ãng lµ tËp ®ãng. 2 2.5. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ ω -Tsrg kh«ng gian nÕu mäi tËp ω -srg-®ãng lµ tËp ω gs-®ãng. 2.6. §Þnh lý. Gi¶ sö (X, τ ) vµ (Z, δ ) lµ c¸c kh«ng gian t«p«, (Y, σ ) lµ ω -T ∗ kh«ng gian. 1 Khi ®ã nÕu f : (X, τ ) −→ (Y, σ) vµ h : (Y, σ) −→ (Z, δ) lµ c¸c ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc th× 2 ho f : (X, τ ) −→ (Z, δ ) còng lµ ¸nh x¹ ω -srg-liªn tôc. Chøng minh. Gi¶ sö F lµ tËp ®ãng bÊt kú trong (Z, δ). Do h lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc nªn h−1 (F ) lµ tËp ω-srg-®ãng trong (Y, σ). L¹i do (Y, σ) lµ ω-T ∗ kh«ng gian nªn h−1 (F ) 1 lµ tËp ®ãng trong (Y, σ). V× thÕ, nhê f lµ ω-srg-liªn tôc ta suy ra f −1 (h−1 (F )) lµ tËp 2 ω -srg-®ãng trong (X, τ ). VËy ho f lµ ¸nh x¹ ω -srg-liªn tôc. 2.7. §Þnh lý. Gi¶ sö (X, τ ) lµ ω -T ∗ kh«ng gian, f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ®ãng, 1 ω -srg-liªn tôc lªn vµ h : (Y, σ ) −→ (Z, δ ) lµ ¸nh x¹ bÊt kú. Khi ®ã ho f : (X, τ ) −→ (Z, δ ) 2 lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc nÕu vµ chØ nÕu h lµ ¸nh x¹ liªn tôc. Chøng minh. Gi¶ sö f lµ ¸nh x¹ ®ãng vµ ω-srg-liªn tôc lªn, ho f lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc vµ A lµ tËp ®ãng bÊt kú trong (Z, δ). Khi ®ã (ho f )−1 (A) lµ tËp ω-srg-®ãng trong (X, τ ), do ®ã f −1 (h−1 (A)) lµ tËp ω-srg-®ãng trong (X, τ ). Mµ (X, τ ) lµ ω-T ∗ kh«ng gian nªn 1 f −1 (h−1 (A)) lµ tËp ®ãng trong (X, τ ). V× vËy f (f −1 (h−1 (A))) lµ tËp ®ãng trong (Y, σ ), 2 kÐo theo h−1 (A) lµ tËp ®ãng trong (Y, σ). VËy h lµ ¸nh x¹ liªn tôc. Ngîc l¹i, gi¶ sö h lµ ¸nh x¹ liªn tôc. Khi ®ã nhê gi¶ thiÕt f lµ ω-srg-liªn tôc vµ §Þnh lý 2.3 ta suy ra ho f lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc. 2.8. §Þnh nghÜa. ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) ®îc gäi lµ liªn tôc m¹nh (strongly continuous) nÕu víi mçi tËp con A cña (Y, σ) ta cã f −1 (A) lµ tËp më vµ ®ãng trong (X, τ ) (xem [4]). 2.9. §Þnh nghÜa. ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) ®îc gäi lµ ω -nöa liªn tôc m¹nh suy réng chÝnh quy (ω-semi regular generalized strongly continuous) vµ viÕt t¾t lµ ω-srg-liªn tôc m¹nh nÕu víi mçi tËp ω-srg-më A trong (Y, σ) ta cã f −1 (A) lµ tËp më trong (X, τ ).
§Þnh lý. NÕu f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc m¹nh th× nã lµ ¸nh x¹ 2.10. liªn tôc. Chøng minh. Gi¶ sö G lµ tËp con më bÊt kú trong (Y, σ). Khi ®ã nhê NhËn xÐt 1.9 ta cã G lµ tËp ω-srg-më trong (Y, σ). V× f lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc m¹nh, nªn f −1 (G) lµ tËp më trong (X, τ ). VËy f lµ ¸nh x¹ liªn tôc. 2.11. §Þnh lý. ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ω -srg-liªn tôc m¹nh nÕu vµ chØ nÕu víi mçi tËp tËp ω-srg-®ãng A trong (Y, σ) ta cã f −1 (A) lµ tËp ®ãng trong (X, τ ). Chøng minh. Gi¶ sö f lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc m¹nh, F lµ tËp ω-srg-®ãng trong (Y, σ). Khi ®ã Y − F lµ tËp ω-srg-më trong (Y, σ). V× f lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc m¹nh nªn f −1 (Y − F ) lµ tËp më trong (X, τ ), suy ra X − f −1 (F ) lµ tËp më trong (X, τ ). VËy f −1 (F ) lµ tËp ®ãng trong (X, τ ). Ngîc l¹i, gi¶ sö G lµ tËp ω-srg-më bÊt kú trong (Y, σ). Khi ®ã Y − G lµ tËp ω-srg- ®ãng trong (Y, σ). Tõ gi¶ thiÕt suy ra f −1 (Y − G) = X − f −1 (G) lµ tËp ®ãng trong (X, τ ). Do ®ã f −1 (G) lµ tËp më trong (X, τ ). VËy f lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc m¹nh. 2.12. §Þnh lý. NÕu f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ liªn tôc m¹nh th× nã lµ ¸nh x¹ ω -srg-liªn tôc m¹nh. Chøng minh. Gi¶ sö f lµ ¸nh x¹ liªn tôc m¹nh vµ G lµ tËp ω-srg-më bÊt kú trong (Y, σ). Khi ®ã f −1 (G) lµ tËp më trong (X, τ ), suy ra f lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc m¹nh. 2.13. §Þnh lý. NÕu f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ω -srg-liªn tôc m¹nh vµ h : (Y, σ ) −→ (Z, δ ) lµ ¸nh x¹ ω -srg-liªn tôc th× ho f : (X, τ ) −→ (Z, δ ) lµ ¸nh x¹ liªn tôc. Chøng minh. Gi¶ sö G lµ tËp con më bÊt kú cña (Z, δ). V× h lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc nªn h−1 (G) lµ tËp ω-srg-më trong (Y, σ). L¹i v× f lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc m¹nh ta cã f −1 (h−1 (G)) më trong (X, τ ), suy ra (ho f )−1 (G) = f −1 (h−1 (G)) lµ tËp më trong (X, τ ). VËy ho f lµ ¸nh x¹ liªn tôc. 2.14. §Þnh nghÜa. ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) ®îc gäi lµ ω -nöa hoµn toµn liªn tôc suy réng chÝnh quy (ω-semi regular generalized perfectly continuous) vµ viÕt t¾t lµ ω- srg-hoµn toµn liªn tôc nÕu víi mçi tËp ω-srg-më A trong (Y, σ) ta cã f −1 (A) lµ tËp më vµ ®ãng trong (X, τ ). 2.15. §Þnh lý. NÕu f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ω -srg-hoµn toµn liªn tôc th× nã lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc m¹nh. Chøng minh. Gi¶ sö f lµ ¸nh x¹ ω-srg-hoµn toµn liªn tôc vµ G lµ tËp ω-srg-më bÊt kú trong (Y, σ). Khi ®ã f −1 (G) lµ tËp më trong (X, τ ), suy ra f lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc m¹nh.
§Þnh lý. Gi¶ sö f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ ¸nh x¹. Khi ®ã c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ 2.16. t¬ng ®¬ng (a) f lµ ¸nh x¹ ω-srg-hoµn toµn liªn tôc; (b) NghÞch ¶nh cña mçi tËp ω-srg-®ãng trong (Y, σ) lµ tËp më vµ ®ãng trong (X, τ ). Chøng minh. (a) ⇒ (b). Gi¶ sö F lµ tËp ω-srg-®ãng bÊt kú trong (Y, σ). Khi ®ã Y − F lµ tËp ω-srg-më trong (Y, σ). Do ®ã, tõ gi¶ thiÕt ta suy ra f −1 (Y − F ) lµ tËp më vµ ®ãng trong (X, τ ). Suy ra f −1 (F ) lµ tËp më vµ ®ãng trong (X, τ ). (b) ⇒ (a). Gi¶ sö G lµ tËp con ω -srg-më bÊt kú trong (Y, σ ). Khi ®ã Y − G lµ tËp ω -srg-®ãng trong (Y, σ ). Do ®ã, tõ gi¶ thiÕt ta suy ra f −1 (Y − G) lµ tËp më vµ ®ãng trong (X, τ ), suy ra f −1 (G) lµ tËp më vµ ®ãng trong (X, τ ). VËy f lµ ¸nh x¹ ω-srg-hoµn toµn liªn tôc. 3. c¸c ¸nh x¹ kh«ng gi¶i ®îc ω -nöa ®ãng suy réng §Þnh nghÜa. ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) ®îc gäi lµ kh«ng gi¶i ®îc ω-nöa ®ãng 3.1. suy réng (ω-semi generalized closed irresolute) vµ viÕt t¾t lµ ω-sgc-kh«ng gi¶i ®îc nÕu víi mçi tËp ωsg-®ãng F trong (Y, σ) ta cã f −1 (F ) lµ tËp ωsg-®ãng trong (X, τ ). 3.2. §Þnh lý. NÕu f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ω -sgc-kh«ng gi¶i ®îc th× nã lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc. Chøng minh. Gi¶ sö F lµ tËp ®ãng trong (Y, σ). Khi ®ã nhê MÖnh ®Ò 1.8 ta cã F lµ tËp ω sg-®ãng trong (Y, σ ). V× f lµ ¸nh x¹ ω -sgc-kh«ng gi¶i ®îc nªn ta cã f −1 (F ) lµ tËp ω sg-®ãng trong (X, τ ). Do ®ã f −1 (F ) lµ tËp ω -srg-®ãng trong (X, τ ). VËy f lµ ¸nh x¹ ω -srg-liªn tôc. 3.3. §Þnh lý. NÕu f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ω -sgc-kh«ng gi¶i ®îc vµ h : (Y, σ ) −→ (Z, δ ) lµ ¸nh x¹ ω gs-liªn tôc, th× ho f : (X, τ ) −→ (Z, δ ) lµ ¸nh x¹ ω -srg-liªn tôc. Chøng minh. Gi¶ sö F lµ tËp ®ãng bÊt kú trong (Z, δ). V× h lµ ¸nh x¹ ωgs-liªn tôc nªn h−1 (F ) lµ tËp ωsg-®ãng trong (Y, σ). L¹i v× f lµ ¸nh x¹ ω-sgc-kh«ng gi¶i ®îc, nªn f −1 (h−1 (F )) lµ tËp ω sg-®ãng trong (X, τ ). Nhê MÖnh ®Ò 1.8, (ho f )−1 (F ) = f −1 (h−1 (F )) lµ tËp ω-srg-®ãng trong (X, τ ). VËy ho f lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc. 3.4. §Þnh lý. Gi¶ sö (X, τ ) vµ (Z, δ ) lµ c¸c kh«ng gian t«p«, (Y, σ ) lµ ω -Tsrg kh«ng gian. Khi ®ã nÕu f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ ¸nh x¹ ω-sgc-kh«ng gi¶i ®îc vµ h : (Y, σ) −→ (Z, δ) lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc, th× ho f : (X, τ ) −→ (Z, δ) lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc. Chøng minh. Gi¶ sö E lµ tËp ®ãng bÊt kú trong (Z, δ). Khi ®ã h−1 (E ) lµ tËp ω-srg-®ãng trong (Y, σ). Do (Y, σ) lµ ω-Tsrg kh«ng gian, nªn h−1 (E ) lµ tËp ωsg-®ãng trong (Y, σ). V× f lµ ¸nh x¹ ω-sgc-kh«ng gi¶i ®îc, ta cã f −1 (h−1 (E )) lµ tËp ωgs-®ãng trong (X, τ ).
Suy ra (ho f )−1 (E ) = f −1 (h−1 (E )) lµ tËp ω-srg-®ãng trong (X, τ ). VËy ho f lµ ¸nh x¹ ω -srg-liªn tôc. 3.5. §Þnh lý. Gi¶ sö (X, τ ) vµ (Z, δ ) lµ c¸c kh«ng gian t«p«, (Y, σ ) lµ ω -T ∗ kh«ng gian. 1 Khi ®ã nÕu f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ ¸nh x¹ ω-sgc-kh«ng gi¶i ®îc vµ h : (Y, σ) −→ (Z, δ) 2 lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc, th× ho f : (X, τ ) −→ (Z, δ) lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc. Chøng minh. Gi¶ sö F lµ tËp ®ãng bÊt kú trong (Z, δ). Khi ®ã h−1 (F ) lµ tËp ω-srg- ®ãng trong (Y, σ). Do (Y, σ) lµ ω-T ∗ kh«ng gian nªn h−1 (F ) lµ tËp ®ãng trong (Y, σ). 1 V× vËy h−1 (F ) lµ tËp ωsg-®ãng trong (Y, σ). L¹i v× f lµ ¸nh x¹ ω-sgc-kh«ng gi¶i ®îc, 2 nªn f −1 (h−1 (F )) lµ tËp ωgs-®ãng trong (X, τ ). V× vËy (ho f )−1 (F ) = f −1 (h−1 (F )) lµ tËp ω -srg-®ãng trong (X, τ ). VËy ho f lµ ¸nh x¹ ω -srg-liªn tôc. 3.6. §Þnh nghÜa. ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) ®îc gäi lµ kh«ng gi¶i ®îc ω -nöa ®ãng suy réng chÝnh quy (ω-semi regular generalized closed irresolute) vµ viÕt t¾t lµ ω-srgc- kh«ng gi¶i ®îc nÕu víi mçi tËp ω-srg-®ãng F trong (Y, σ) ta cã f −1 (F ) lµ tËp ω-srg-®ãng trong (X, τ ). 3.7. §Þnh lý. ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ω -srgc-kh«ng gi¶i ®îc nÕu vµ chØ nÕu víi mçi tËp ω-srg-më U trong (Y, σ) ta cã f −1 (U ) lµ tËp ω-srg-më trong (X, τ ). Chøng minh. CÇn. Gi¶ sö U lµ tËp ω-srg-më bÊt kú trong (Y, σ). Khi ®ã Y − U lµ tËp ω-srg-®ãng trong (Y, σ). V× f lµ ¸nh x¹ ω-srgc-kh«ng gi¶i ®îc nªn f −1 (Y − U ) = X − f −1 (U ) lµ tËp ω -srg-®ãng trong (X, τ ). Do ®ã f −1 (U ) lµ tËp ω -srg-më trong (X, τ ). §ñ. Gi¶ sö F lµ tËp ω-srg-®ãng bÊt kú trong (Y, σ). Khi ®ã Y − F lµ tËp ω-srg- më trong (Y, σ). Tõ gi¶ thiÕt ta suy ra f −1 (Y − F ) lµ tËp ω-srg-më trong (X, τ ). Mµ f −1 (Y − F ) = X − f −1 (F ) nªn X − f −1 (F ) lµ tËp ω -srg-më trong (X, τ ). Do ®ã f −1 (F ) lµ tËp ω-srg-®ãng trong (X, τ ). VËy f lµ ¸nh x¹ ω-srgc-kh«ng gi¶i ®îc. 3.8. §Þnh lý. NÕu f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ω -srgc-kh«ng gi¶i ®îc th× nã lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc. Chøng minh. Gi¶ sö f lµ ¸nh x¹ ω-srgc-kh«ng gi¶i ®îc vµ F lµ tËp ®ãng bÊt kú trong (Y, σ ). Khi ®ã F lµ tËp ω -srg-®ãng trong (Y, σ ). V× f lµ ¸nh x¹ ω -srgc-kh«ng gi¶i ®îc nªn f −1 (F ) lµ tËp ω-srg-®ãng trong (X, τ ). VËy f lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc. 3.9. §Þnh lý. Gi¶ sö (X, τ ), (Y, σ ) vµ (Z, δ ) lµ c¸c kh«ng gian t«p«. Khi ®ã nÕu f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ ¸nh x¹ ω -srgc-kh«ng gi¶i ®îc vµ h : (Y, σ ) −→ (Z, δ ) lµ ¸nh x¹ ω -srg-liªn tôc, th× ho f : (X, τ ) −→ (Z, δ ) lµ ¸nh x¹ ω -srg-liªn tôc. Chøng minh. Gi¶ sö F lµ tËp ®ãng bÊt kú trong (Z, δ). V× h lµ ¸nh x¹ ω-srg-liªn tôc ta cã h−1 (F ) lµ tËp ω-srg-®ãng trong (Y, σ). Do f lµ ¸nh x¹ ω-srgc-kh«ng gi¶i ®îc nªn (ho f )−1 (F ) = f −1 (h−1 (F )) lµ tËp ω -srg-®ãng trong (X, τ ). VËy ho f lµ ¸nh x¹ ω -srg-liªn tôc.
§Þnh lý. NÕu f : (X, τ ) −→ (Y, σ) vµ h : (Y, σ) −→ (Z, δ) lµ c¸c ¸nh x¹ ω-srgc- 3.10. kh«ng gi¶i ®îc, th× ho f : (X, τ ) −→ (Z, δ) còng lµ ¸nh x¹ ω-srgc-kh«ng gi¶i ®îc. Chøng minh. Suy trùc tiÕp tõ ®Þnh nghÜa. tµi liÖu tham kh¶o J. K. Kelly, T«p« ®¹i c¬ng, Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc vµ Trung häc chuyªn nghiÖp, Hµ [1] Néi 1973. [2] NguyÔn ThÞ Thu, VÒ c¸c tËp ω -nöa ®ãng suy réng vµ c¸c tËp ω -®ãng suy réng, LuËn v¨n th¹c sÜ To¸n häc, §¹i häc Vinh 2008. [3] Ah. Al. Omari and M. S. Noorani, Regular generalized closed sets, Inter. J. Math. and Math. Sci., Article ID 16292 (2007), 11-pages. [4] N. Levin, Strong continuity in topological spaces, Amer. Math. Monthly, 67 (1960), 269-275. [5] A. Rani and K. Balachandran, On regular generalized continuous maps in topological spaces, Kyungpook Math. J., 37 (1997), 305-314. summary On ω -semi regular generalized closed sets In this paper, we introduce the notion of ω-semi regular generalized closed sets, consider their properties and the properties of generalized maps on ω-semi regular generalized closed sets. (a) Cao häc 15, chuyªn ngµnh Gi¶i tÝch, Trêng §¹i häc Vinh.