Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cải tiến

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu này nhằm giới thiệu sự cải tiến của một bất đẳng thức nối tiếng Cauchy – Schwarz. Căn cứ vào sự cải tiến đó, nghiên cứu này giới thiệu sự cải tiến của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz giữa trung bình bình phương và trung bình số học. Sự làm mịn của bất đằng thức tam giác trong Rn cũng được đề cập đến trong bài này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cải tiến

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY- SCHWARZ CẢI TIẾN IMPROVED CAUCHY - SCHWARZ INEQUALITY ThS. Phạm Thị Ngọc Hà Trường Đại học Hàng hải Việt Nam Email: hapham@vimaru.edu.vn Ngày tòa soạn nhận được bài báo:09/03/2021 Ngày phản biện đánh giá: 19/03/2021 Ngày bài báo được duyệt đăng: 26/03/2021 Tóm tắt: Nghiên cứu này nhằm giới thiệu sự cải tiến của một bất đẳng thức nối tiếng Cauchy –Schwarz. Căn cứ vào sự cải tiến đó, nghiên cứu này giới thiệu sự cải tiến của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz giữa trung bình bình phương và trung bình số học. Sự làm mịn của bất đằng thức tam giác trong Rn cũng được đề cập đến trong bài này. Từ khóa: Bât đẳng thức Cauchy – Schwarz, sự cải tiến, trung bình bình phương, trung bình số học, bất đẳng thức tam giác. Summary: This study aims to present an improvement of the famous Cauchy-Schwarz inequality in . Based on this improvement, this paper introduces the improvement of the inequality between quadratic and arithmetic mean of n positive real numbers. A new refinement of triangle inequality in Rn is also investigated in this paper. Keywords: Cauchy – Schwarz inequality, improvement, quadratic and arithmetic mean, triangle inequality. 1. Đặt vấn đề Bất đẳng thức Cauchy –Schwarz là một trong những bất đẳng thức được biết đến nhiều nhất trong toán học. Bất đẳng thức Cauchy –Schwarz được phát biểu như sau: 10 TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
Bất đẳng thức Cauchy –Schwarz là một trong những bất đẳng thức được biết đến nhiều nhất trong toán học. Bất đẳng thức Cauchy –Schwarz được phát biểu như sau: Cho a = ( a1 , a2 ,..., an ) và b = ( b1 , b2 ,..., bn ) là hai bộ n số thực khi đó 2  n  n n ∑ ∑ ∑ 2 2  ai bi  ≤ ai bi  i =1  =i 1 =i 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a và b tỷ lệ với nhau. Bất đẳng thức này còn được gọi là bất đẳng thức Cauchy – Schwarz –Buniakowski hay đơn giản hơn là bất đẳng thức Buniakowski. Nếu thêm điều kiện của tham số thì bất phương trình trên sẽ được làm mạnh hơn. Ví dụ, vào năm 1952 A. Ostrowski [4, p.289] chứng minh rằng Nếu a = ( a1 , a2 ,..., an ) , b = ( b1 , b2 ,..., bn ) và c = ( c1 , c2 ,..., cn ) là n bộ số thực sao cho a n n và b không tỷ lệ với nhau và ∑ ai ci = 0 và i =1 ∑b c i =1 i i = 1 thì n ∑a 2 i 2 n  nn  ≤ ∑ ai .∑ bi −  ∑ ai bi  2 2 i =1 n  i =1  ∑ 2 c =i 1 =i 1 i i =1 Vào năm 1996, McLaughlin chứng minh mệnh đề sau Nếu a = ( a1 , a2 ,..., a2 n ) và b = ( b1 , b2 ,..., b2 n ) là bộ gồm 2n số thực khi đó ta có 2 2  n  2n 2n  2n   ∑ ( a2i b2i −1 − a2i −1b2i )  ≤ ∑ ai ∑ bi −  ∑ ai bi  2 2  i =1  =i 1 =i 1  i =1  Một sự làm mịn bất đẳng thức Cauchy –Schwarz khác được xây dựng bởi Alzer vào năm 1998. Ông đã chứng minh rằng, nếu a = ( a1 , a2 ,..., an ) , b = ( b1 , b2 ,..., bn ) là hai dãy số thực và 2 a2 an n n ai ai −TẠP  2 QUẢN 1  CHÍ KHOA  n  11 HỌC 0 = a0 < a1 ≤ < ... ≤ và 0 < bn ≤ bn −1 ≤ ... ≤ b1 thì ∑ bi ∑  ai − LÝ i ≥  ∑ ai bi   bVÀ CÔNG NGHỆ 2 n =i 1 =i 1  4   i =1  2
vào năm 1998. Ông đã chứng minh rằng, nếu a = ( a1 , a2 ,..., an ) , b = ( b1 , b2 ,..., bn ) là hai dãy số thực và 2 a a n n  aa   n  0 = a0 < a1 ≤ 2 < ... ≤ n và 0 < bn ≤ bn −1 ≤ ... ≤ b1 thì ∑ bi ∑  ai 2 − i i −1  bi ≥  ∑ ai bi  2 n =i 1 =i 1  4   i =1  2 1, 2,..., n và b= b = ...= b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = ai ka =1 (k ) 1 2 n Sự cải tiến đáng kể của bất đẳng thức Cauchy- Schwarz trong không gian tích trong được đưa ra bởi Dragomir. Ông chứng minh rằng: Cho ( H , ⋅, ⋅ ) là không gian tích trong trên trường số thực hoặc trên trường số phức. Cho x, y, e ∈ H với | e ||= 1 và p ≥ 2 , khi đó ta có sự làm mịn của bất đẳng thức Schwarz sau p || x || p || y || p − x, y p    || x || ≥  det  ( || x || p − x, e ) p 1/ p    1/ p     || y ||  (|| y || p − y, e p )    Và || x || p || y || p − Re x, y p    || x || ≥  det  (|| x || p − Re x, e ) p 1/ p    1/ p     || y ||  (|| y || p − Re y, e p )    Kết quả tương tự được phát biểu như sau Cho x, y, e ∈ H với | e ||= 1 , khi đó ta có sự làm mịn của bất đẳng thức Schwarz sau 2 || x || p || y || p − x, y p     x, e ≥  det  (|| x ||2 − x, e ) 2 1/2    1/2      y, e  (|| y || − 2 y, e 2 )    Walker đưa ra sự làm mịn của bất đẳng thức này trong lĩnh vực xác suất. Dựa vào ý tưởng được giới thiệu trong bổ đề 2.1, một sự cải tiến mới của bất đẳng thức Cauchy –Schwarz được đưa ra ở định lý 2.1. Ở đây, chúng ta có thể nhìn thấy sự làm mạnh chính của kết quả trong việc đưa ra một biên mới mà không cần thêm điều kiện của các tham số ai và bi . Kết quả là chúng ta có đươc hai sự cải tiến mới là: bất đẳng thức giữa trung bình bình phương và và trung bình số học ở định lý 3.1 và sự làm mịn của bất đẳng thức tam giác trong R n ở 12 TẠP CHÍ KHOA HỌC định lý LÝ QUẢN 4.1. VÀ CÔNG NGHỆ 2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz đã cải tiến
không cần thêm điều kiện của các tham số ai và bi . Kết quả là chúng ta có đươc hai sự cải tiến mới là: bất đẳng thức giữa trung bình bình phương và và trung bình số học ở định lý 3.1 và sự làm mịn của bất đẳng thức tam giác trong R n ở định lý 4.1. 2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz đã cải tiến 2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz đã cải tiến x y Chúng ta đã biết với bất kỳ hai số thực dương x và y ta có + ≥ 2 . Sự cải tiến y x 3 của bất đẳng thức này được phát biểu ở bổ đề 2.1 dưới đây. Bổ đề 2.1. Nếu a và b là hai số thực dương thì (a − b) 2 a b + ≥ 2+ b a 2 ( a 2 + b2 ) Chứng minh. Bất đẳng thức trên tương đương với 2 a a   − 2 +1 (a − b) ⇔ 2 a b a b b b + ≥ 2+ + ≥ 2+   2 b a 2 ( a 2 + b2 ) b a  a   2    + 1  b     a Đặt= t2 , ( t > 0 ) bất đẳng thức trên tương đương với b 1 t 4 − 2t 2 + 1 t + ≥ 2+ ⇔ 2t 6 − 5t 5 + 2t 4 + 2t 3 + 2t 2 − 5t + 2 ≥ 0 t 2 ( t + 1) 4 ⇔ ( t − 1) ( 2t 2 + 3t + 2 ) ≥ 0 (luôn đúng ∀t > 0 ). 4 Ta có điều phải chứng minh. Định lý 2.1. Cho a = ( a1 , a2 ,..., an ) ; b = ( b1 , b2 ,..., bn ) là hai dãy số thực dương sao ai 2 + bi 2 ≠ 0, ∀i =1, n . Đặt A= a12 + a2 2 + ... + an 2 ; B= b12 + b2 2 + ... + bn 2 và đặt A, B ≠ 0 . Khi đó, bất đẳng thức sau luôn đúng TẠP CHÍ KHOA HỌC 13 1 n ( ai B − bi A ) n n n 2 2 2 2 QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ ∑a i =1 i 2 . ∑b i =1 i 2 ≥ ∑ ai bi + i =1 ∑ 4 i =1 ai 4 B 4 + bi 4 A4 ai bi (2.1)
A= a12 + a2 2 + ... + an 2 ; B= b12 + b2 2 + ... + bn 2 và đặt A, B ≠ 0 . Khi đó, bất đẳng thức sau luôn đúng 1 n ( ai B − bi A ) n n n 2 2 2 2 ∑ i =1 ai . ∑ bi ≥ ∑ ai bi + ∑ 4 4 2 i =1 2 i =1 4 i =1 ai B + bi 4 A4 ai bi (2.1) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a và b tỷ lệ. a2 bi 2 Chứng minh. Đặt = a = i 2 ;b . Theo bổ đề 2.1 ta có A B2 4  ( ai 2 B 2 − bi 2 A2 )  ai bi 2 ai 2 bi 2  + 22 ≥  2 + 2 4 2 4 2 2 4 2  (2.2) A ai 22 + bBi  ≥  2 + ( 2 a(i aB i B −+bi bAi A ) )  aAB  i bi (2.2) A2 B 2  2 ( ai 4 B 4 + bi A4 )  AB Cố định i=1, 2, 3,…,  n trong bất đẳng  thức (2.2), ta cộng của n bất đẳng thức Cố thu định được i=1, ta có2, 3,…, n trong bất đẳng thức (2.2), ta cộng của n bất đẳng thức thu được ta có 1 n ( ai B − bi A )   ai 2 bi 2  1  n n 2 2 2 2 2  ∑  22 i =1  n aA + B b 22   ≥ AB 1  ∑2 n a b i i + 2 1 ∑ n ( a a 24 24 B B −+ bb 24 24 2 ai bi  A A )    i i  ∑  2∑ a b + ∑ i ai bi  i =1 i =1 i i i  2 + 2 ≥ i i i =1  A B  AB  i =1 4 4 2 i =1 ai B + bi A 4 4    1 n ( ai B − bi A ) 2 2 2 2 n  ai 2 bi 2  n n n Vì ∑  22 + 22  = 2 ta có ∑ ai . ∑ bi ≥ ∑ ai bi + ∑ 42 42 2 2 ab  aAi i =1  n bBi  n n n 14 i =n1 ( ai B + − bi 24 A24 ) i i Vì ∑  2 + 2  = 2 ta có ∑ ai . ∑ bi ≥ ∑ ai bi + ∑ 4 4 i =1 2 i =1 2 i =1 ai bi i =1  A B  4 i =1 ai B + bi 4 A4 a A i =1 i =1 i =1 Nếu a, b tỷ lệ, thì i = ⇔ ai 2 B 2 − bi 2 A2 = 0, ∀i = 1, n ab B A Nếu a, b tỷ lệ, thì ii = ⇔ ai 2 B 2 − bi 2 A2 = 0, ∀i = 1, n bi B n n n Trong trường hợp này, dấu bằng xảy ra khi ∑ ai 2 . ∑ bi 2 = ∑ ai bi n n n ∑ ai 2 . ∑ bi 2 = ∑ aibi i =1 i =1 i =1 Trong trường hợp này, dấu bằng xảy ra khi i =1 i =1 i =1 3. Bất đẳng thức cải tiến giữa trung bình bình phương và trung bình số 3. học Bất đẳng thức cải tiến giữa trung bình bình phương và trung bình số học Cho n số thực dương a1 , a2 ,..., an ta có Cho n số thực dương a1 , a2 ,..., an ta có a12 + ... + an 2 a1 + a2 + ... + an ≥ n + an 2 a1 + a2 n+ ... + an a12 + ... ≥ n n Khi đó bất đẳng thức QM-AM tương đương với bất đẳng thức sau Khi đó bất đẳng thức QM-AM tương2đương với bất đẳng thức sau n ( a12 + a2 2 + ... + an 2 ) ≥ ( a1 + ... + an ) (3.1) n ( a + a2 + ... + an ) ≥ ( a1 + ... + an ) 2 1 2 2 2 (3.1) Dễ dàng chứng minh 14 TẠP CHÍ KHOA HỌC được bất đẳng thức (3.1) bằng cách áp dụng bất đẳng thức DễQUẢN dàngLÝ Cauchy –chứng minh VÀ CÔNG Schwarz chođược NGHỆ hai bộbấtsố.đẳng a =thức ( a , a(3.1) ,..., a bằng ) ; b = (cách áp) dụng bất đẳng thức 1,1,...,1 1 2 n Cauchy – Schwarz cho hai bộ số. a = ( a1 , a2 ,..., an ) ; b = (1,1,...,1) Từ Định lý 2.1 ta có bổ đề 3.1
≥ n n Khi đó bất đẳng thức QM-AM tương đương với bất đẳng thức sau n ( a12 + a2 2 + ... + an 2 ) ≥ ( a1 + ... + an ) 2 (3.1) Dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức (3.1) bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho hai bộ số. a = ( a1 , a2 ,..., an ) ; b = (1,1,...,1) Từ Định lý 2.1 ta có bổ đề 3.1 Bổ đề 3.1. Cho a1 ,...an là các số thực dương sao cho a12 + a2 2 + ... + an 2 ≠ 0 . Khi đó ta có bất đẳng thức ( 1 n nai − ( a1 + ... + an ) ) 2 2 2 2 n a12 + ...an 2 ≥ a1 + ... + an + ∑ ai (3.2) 4 i = ` n52 a 4 + ( a 2 + ... + a 2 )2 i i n Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức (3.2) bằng cách áp dụng công thức (2.1) với b1= ...= bn= 1; B= n Chia cả hai vế của (3.2) cho n ta có định lý 3.1 sau Định lý 3.1. Nếu a1 ,..., an là các số thực dương thỏa mãn a12 + ... + an 2 ≠ 0 thì ( a12 + ...an 2 a1 + ... + an 1 n nai − ( a1 + ... + an ) ) 2 2 2 2 ≥ + ∑ ai n n 4n i = ` n 2 a 4 + ( a 2 + ... + a 2 )2 i i n 4. Sự làm mịn mới của bất đẳng thức tam giác Ta đã biết, với hai vecto u, v bất kỳ trong không gian ( X ,|| . ||) trên trường số thực hoặc trên trường số phức ta có || u + v ||≤|| u || + || v || . Có rất nhiều sự làm mịn của bất đẳng thức tam giác này. Ví dụ, Maligranda chứng minh rằng với hai vec tơ bất kỳ khác không x và y trong không gian ( X ,|| . ||) bất đẳng thức sau luôn đúng  x y   x y  2− +  min{|| x ||,|| y || } ≤|| x || + || y || − || x − y ||≤ 2  2 − +   || x || || y ||   || x || || y ||  Minculete and Păltanea chứng minh rằng: Cho ( X , ⋅, ⋅ ) là không gian tích trong TẠP CHÍ KHOA HỌC 15 QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ với chuẩn là ⋅ , với mọi phần tử khác không x, y ∈ X ta có 1
 x y   x y  2− +  min{|| x ||,|| y || } ≤|| x || + || y || − || x − y ||≤ 2  2 − +   || x || || y ||   || x || || y ||  Minculete and Păltanea chứng minh rằng: Cho ( X , ⋅, ⋅ ) là không gian tích trong với chuẩn là ⋅ , với mọi phần tử khác không x, y ∈ X ta có  1  || x || + || y || − || x − y ||≤ 1 − || v ( x, y ) ||  (|| x || + || y ||)  2  x y  x, y  trong đó || v ( x, y ) ||= + = 2 1 + t || x || || y ||  || x || . || y ||  Trong bài này đưa ra sự làm mịn mới của bất đẳng thức tam giác trong không gian Euclidean R n tích trong chuẩn tắc. Định lý 4.1. Cho u = ( u1 ,..., un ) ; v = ( v1 ,..., vn ) là hai vecto trong R n sao cho u, v ≠ 0 và 6 ui 2 + vi 2 ≠ 0, ∀i =1, n , khi đó 1 n ( ui || v || −vi || u || ) 2 2 2 2 2 || u + v || + ∑ 4 ui vi ≤ (|| u || + || v ||) 2 2 4 4 4 2 i =1 ui || v || +vi || u || Chứng minh. Vì u + v = ( u1 + v1 ,..., un + vn ) ;|| u ||= u12 + ... + un 2 ;|| v ||= v12 + ... + vn 2 1 n ( ui || v || −vi || u || ) 2 2 2 2 2 ta có || u + v || + ∑ 4 2 ui vi 2 i =1 ui || v ||4 +vi 4 || u ||4 n n  n 1 ( = ∑ ui 2 + ∑ vi 2 + 2  ∑ ui vi + ∑ 4 u 2 || v ||2 − v 2 || u || ) u v  ≤ || u || + || v || 2 2 2 ( ) i i i i =i 1 =i 1  i =1 4 ui || v ||4 +vi 4 || u ||4    Nhận xét: Nếu || u ||=|| v || ui 2 + vi 2 ≠ 0, ∀i =1, n thì bất đẳng thức tam giác cải tiến trở thành 1 n ( ui − vi ) 2 2 2 || u + v || + ∑ 4 2 ui vi ≤ 4 || x ||2 2 i =1 ui + vi 4 TÀI LIỆU THAM KHẢO 16 TẠP CHÍ KHOA HỌC [1]QUẢN H. LÝ Alzer (1998), VÀ CÔNG NGHỆ A refinement of the Cauchy –Schwarz inequality, J. Math.Anal. Appl.
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H. Alzer (1998), A refinement of the Cauchy –Schwarz inequality, J. Math.Anal. Appl. [2] K. Bhattacharyya (2019), Improving the Cauchy –Schwarz inequality, ArXiv. [3] S.S. Dragomir (2019), Improving Schwarz inequality in inner product spaces, Linear and Multilinear Algebra. [4] S. Filipovski (2019), Improved Cauchy-Schwarz inequality and its applications, Turkish Journal ò Inequality. [5] L. Maligranda (2008), Some remarks on the triangle inequality for norm, Banach J. Math. Anal. [6] N. Minculete and R. Păltanea (2017), Improved estimates for the triangle inequality, Journal o Inequalityies and Applications. [7] A. Ostrowski (2017), A sefl-improvement to the Cauchy – Schwarz inequality, Statistics and Probability Letters. TẠP CHÍ KHOA HỌC 17 QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ