BĐT CÔSI TRONG CÁC KỲ THI

Chia sẻ: Abcdef_6 Abcdef_6 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

65
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bđt côsi trong các kỳ thi', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: BĐT CÔSI TRONG CÁC KỲ THI

www.VNMATH.com B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG L i nói đ u : Th c hi n nhi m v năm h c 2008 – 2009, Trư ng THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa khuy n khích các giáo viên d y môn chuyên, làm chuyên đ đ xây d ng tài nguyên c a t chuyên môn. Chính vì v y tôi đã th c hi n và làm chuyên đ v : B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG Trong các kì thi tuy n sinh đ i h c và cao đ ng, có m t hay hai câu khó đ phân lo i thí sinh và thư ng có m t câu v b t đ ng th c. 1) Đ nh lý (B t đ ng th c Cô si) : Cho n s th c không âm : a1 ; a2 ; ...; an Ta có : √ a1 + a2 + ... + an ≥ n a1 a2 ...an n Đ ng th c x y ra khi và ch khi a1 = a2 = · · · = an 2) M t s b t đ ng th c liên quan đ n b t đ ng th c Cô si : 2.1) Các B t đ ng th c d ng phân th c V i x, y > 0. Ta có : 11 4 +≥ (1) xy x+y 1 4 ≥ (2) (x + y )2 xy Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y. V i x, y, z > 0. Ta có : 111 9 ++≥ (3) xyz x+y+z Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z . 2.2) Các b t đ ng th c d ng đa th c : x2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx (4) 3 x2 + y 2 + z 2 ≥ (x + y + z )2 (5) (x + y + z )2 ≥ 3 (xy + yz + zx) (6) Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z. 3) M T S BÀI TOÁN THI Đ I H C : Bài toán 1 : Đ thi tuy n sinh Đ i h c kh i A năm 2005 Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn : 111 + + =4 xyz Huỳnh Kim Linh Trang th 1 trong 12 trang
www.VNMATH.com B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG Ch ng minh r ng : 1 1 1 ≤ 1. + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z L i gi i : Cách 1 : Áp d ng b t đ ng th c : 11 4 +≥ xy x+y V i x, y > 0, ta đư c : 111 11 11 11 1 1 1 ≥4 8=2 ++ = + + + + + + + (1) xyz xy yz zx x+y y+z z+x Tương t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 + + = x+y + x+z x+y + + x+y y +z z +x y +z y +z z +x 1 1 + x+y1+2z ≥4 + (2) 2x+y +z x+2y +z T (1) và (2) suy ra 1 1 1 1 1 1 8≥8 ⇔ ≤ 1. + + + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Đ ng th c x y ra khi 3 x=y=z= . 4 Cách 2 : Áp d ng b t đ ng th c : 11 4 +≥ xy x+y v i x, y > 0, và b t đ ng th c Côsi ta có : √ √ 2x + y + z = (x + y ) + (x + z ) ≥ 2 xy + xz Do đó : 1 1 1 1 1 1 √ √ +√ ≤ ≤ √ 2x + y + z 2 xy + xz 8 xy xz Tương t : 1 1 1 1 ≤ √ +√ x + 2y + z 8 xy yz 1 1 1 1 √ +√ ≤ x + y + 2z 8 xz yz C ng v theo v 3 b t đ ng th c trên ta đư c : 1 1 1 1 1 1 1 √ +√ +√ ≤ + + (3) 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 4 xy yz zx Huỳnh Kim Linh Trang th 2 trong 12 trang
www.VNMATH.com B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG M t khác theo b t đ ng th c Côsi 1 11 1 11 11 1 1 1 1 ≥√ +√ +√ 4= + + + + + (4) 2 xy 2 yz 2z x xy yz zx T (3) và (4) suy ra : 1 1 1 ≤ 1. + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Cách 3 : Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 4 s dương 1111 ≥ 16 (x + x + y + z ) +++ xxyz Suy ra 1 1 211 ≤ ++ 2x + y + z 16 xyz Tương t 1 1 121 ≤ ++ x + 2y + z 16 xyz 1 1 112 ≤ ++ x + y + 2z 16 xyz C ng v theo v 3 b t đ ng th c trên ta đư c : 1 1 1 ≤ 1. + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z M r ng bài toán 1 : Cho n s th c dương cho trư c : a1 , a 2 , . . . a n th a đi u ki n : 1 1 1 + ··· + + =k a1 a2 an V i n > 1 và k > 0 cho trư c. Ch ng minh r ng : 1 1 1 k +· · ·+ ≤ + m1 a1 + m2 a2 + · · · + mn an m2 a1 + · · · + mn an−1 + m1 an mn a1 + m1 a2 + · · · + mn−1 an m1 + m2 + Bài toán 2 : Đ thi tuy n sinh Đ i h c kh i B năm 2005 Ch ng minh r ng : v i m i x ∈ R ta có : x x x 12 15 20 ≥ 3x + 4x + 5x + + 5 4 3 Khi nào đ ng th c x y ra. L i gi i : Huỳnh Kim Linh Trang th 3 trong 12 trang
www.VNMATH.com B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG Áp d ng b t đ ng th c Côsi x x x x 12 15 12 15 = 2.3x ≥2 + 5 4 5 4 x x x x 15 20 15 20 = 2.5x ≥2 + 4 3 4 3 x x x x 12 20 12 20 = 2.4x ≥2 + 5 3 5 3 C ng v theo v ba b t đ ng th c trên ta đư c : x x x 12 15 20 ≥ 3x + 4x + 5x + + 5 4 3 Đ ng th c x y ra khi và ch khi x x x 12 15 20 ⇔ x = 0. = = 5 4 3 Đ t a = 3, b = 4, c = 5 ta đi đ n bài toán t ng quát sau : M r ng bài toán 2 : Cho a, b, c là ba s th c dương tùy ý. Ch ng minh r ng : v i m i x ∈ R, ta có : x x x ab bc ca ≥ ax + b x + c x + + c a b Bài toán 3 : Đ thi tuy n sinh Đ i h c kh i D năm 2005 Cho các s th c dương x, y, z th a xyz = 1. Ch ng minh r ng : √ √ √ √ 1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 ≥3 3 + + xy yz zx L i gi i : Đt √ √ √ 1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 P= + + xy yz zx Áp d ng b t đ ng th c Côsi √ 1 + x3 + y 3 ≥ 3 3 x3 y 3 = 3xy √ 1 + y 3 + z 3 ≥ 3 3 y 3 z 3 = 3yz √3 1 + z 3 + x3 ≥ 3 z 3 x3 = 3zx T đó suy ra √ √ √ √ √ xy yz zx 1 1 1 3 √ +√ +√ P≥ 3 + + = (1) xy yz zx xy yz zx L i áp d ng b t đ ng th c Côsi 1 1 1 1 √ + √ + √ ≥ 3√ =3 (2) xy yz zx 2 xyz T (1) và (2) suy ra đi u c n ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z = 1. Huỳnh Kim Linh Trang th 4 trong 12 trang
www.VNMATH.com B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG M r ng bài toán 3 : Cho các s th c dương a1 , a 2 , . . . a n th a mãn : a1 . a2 · · · an = 1 Ch ng minh r ng : 1 + ap + · · · ap −1 1 + ap + ap + · · · ap −2 1 + ap + · · · ap m m m √ n n 1 n 1 n 2 + ··· + ≥nmn + q q q (a1 a2 · · · an−1 ) (a2 a3 · · · an ) (an a1 · · · an−2 ) Trong đó m≥2 là s nguyên dương, p, q là các s th c tùy ý Hư ng d n : Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho n s 1 + ap + · · · ap −1 ≥ n n (a1 .a2 · · · an−1 )p 1 n Bài toán 4 : D B 1 KH I A Năm 2005 : Cho x, y, z là ba s th c th a x + y + z = 0. Ch ng minh r ng : √ √ √ 3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ≥ 6 L i gi i : Ta có: √ √ √ √ 3 + 4x = 1 + 1 + 1 + 4x ≥ 4 4x ⇒ 3 + 4x ≥ 2 4 4 8 4x = 2. 4x Tương t √ √ √ √ 8 8 3 + 4y ≥ 2 4x ; 3 + 4z ≥ 2 4z Vy √ √ √ √ √ √ √ √ 3 24 8 8 8 8 3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ≥ 2 4x + 4y + 4z ≥ 6 4x .4y .4z ≥ 6 4x+y+z = 6 Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z = 0. Bài toán 5 : D B 2 KH I A Năm 2005 : 2 y 9 ≥ 256 Ch ng minh r ng : v i m i x, y > 0 ta có : (1 + x) 1 + 1+ √ x y Đ ng th c x y ra khi nào? L i gi i : Ta có: 3 xxx 4x + + ≥4 3 1+x=1+ 333 3 Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = 3 y3 y y y y 4 ≥4 3 3 1+ =1+ + + x 3x 3x 3x 3 .x Huỳnh Kim Linh Trang th 5 trong 12 trang
www.VNMATH.com B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG Đ ng th c x y ra khi và ch khi y = 3x = 9 2 33 36 9 3 3 3 9 ≥ 16 4 1+ √ =1+ √ + √ + √ ≥44 √ ⇒ 1+ √ 3 y3 y y y y y y Đ ng th c x y ra khi và ch khi y = 9. Vy 2 x3 y 3 36 y 9 ≥ 256 4 (1 + x) 1 + 1+ √ = 256 33 33 .x3 y 3 x y Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = 3 và y = 9. Bài toán 6 : D B 1 KH I B Năm 2005 : Cho a, b, c là ba s dương th a mãn : 3 a+b+c= 4 √ √ √ 3 3 a + 3b + b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 Ch ng minh r ng : Khi nào đ ng th c x y ra ? L i gi i : Cách 1: Ta có : a+3b+1+1 1 (a + 3b) 1.1 ≤ 3 = 3 (a + 3b + 2) 3 b+3c+1+1 = 1 (b + 3c + 2) (b + 3c) 1.1 ≤ 3 3 3 c+3a+1+1 = 1 (c + 3a + 2) (c + 3a) 1.1 ≤ 3 3 3 Suy ra √ √ √ 1 1 3 3 3 3 c + 3a ≤ [4 (a + b + c) + 6] ≤ a + 3b + b + 3c + 4. + 6 = 3 3 3 4 D u = x y ra   a+b+c= 3 1 4 ⇔ ⇔a=b=c= 4 a + 3b = b + 3c = c + 3a = 1 Cách 2: Đt √ a + 3b ⇒ x3 = a + 3b 3 x= √ b + 3c ⇒ y 3 = b + 3c 3 y= √ c + 3a ⇒ z 3 = c + 3a 3 z= ⇒ x3 + y 3 + z 3 = 4 (a + b + c) = 4. 3 = 3 4 B t đ ng th c c n ch ng minh ⇔x+y+z ≤3 Ta có : √3 x3 + 1 + 1 ≥ 3 x3 .1.1 = 3x √ y 3 + 1 + 1 ≥ 3 3 y 3 .1.1 = 3y √3 z 3 + 1 + 1 ≥ 3 z 3 .1.1 = 3z ⇒ 9 ≥ 3 (x + y + z ) Huỳnh Kim Linh Trang th 6 trong 12 trang
www.VNMATH.com B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG Vì x3 + y 3 + z 3 = 3 Vy x+y+z ≤3 Hay √ √ √ 3 3 3 c + 3a ≤ 3 a + 3b + b + 3c + Đ ng th c x y ra khi và ch khi 1 a=b=c= 4 Bài toán 7 : DB 2 KH I B Năm 2005 : √ √ 1 Ch ng minh r ng n u 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x y − y x ≤ 4 Đ ng th c x y ra khi nào? L i gi i : Ta có √ 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ x ≥ x2 √ √ √ √ 1 1 x y−y x≤ ⇔x y ≤ +y x (1) 4 4 Theo b t đ ng th c Cauchy : √ √ √ √ 1 1 1 1 y x + ≥ yx2 + ≥ 2 y x2 . = x y ⇒ x y − y x ≤ 4 4 4 4 D u = x y ra   0≤y≤x≤1    x=1 √   x = x2 ⇔ ⇔  y=1   4 1 yx2 =   4 Bài toán 8 : D B 1 KH I D Năm 2005 : Cho x, y, z là ba s dương và xyz = 1. Ch ng minh r ng : y2 x2 z2 3 ≥ + + 1+y 1+z 1+x 2 L i gi i : Ta có: x2 x2 1+y 1+y ≥2 + . =x 1+y 4 1+y 4 y2 2 1+z y 1+z ≥2 + =y 1+z 4 1+z 4 z2 2 1+x 1+x z ≥2 + =z 1+x 4 1+x 4 C ng ba b t đ ng th c trên v theo v ta có: y2 x2 z2 + 1+y + 1+z + 1+z + 1+x + 1+x ≥ (x + y + z ) 1+y 4 4 4 y2 x2 z2 3(x+y +z ) x+y +z 3 3 ⇔ 1+y + 1+z + 1+x ≥ − 4 − 4 + (x + y + z) ≥ − 4 4 ≥ 3 .3 − 4 = 9 − 4 = 6 = 3 3 3 4 4 4 2 vì √ x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3 Huỳnh Kim Linh Trang th 7 trong 12 trang
www.VNMATH.com B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG Vy x2 y2 z2 3 ≥ + + 1+y 1+z 1+x 2 Bài toán 9 : Đ thi tuy n sinh Đ i h c kh i A năm 2006 Cho hai s th c x = 0, y = 0 thay đ i và th a mãn đi u ki n: (x + y ) xy = x2 + y 2 − xy 1 1 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = + . x3 y3 L i gi i : 1 1 1 1 1 − + = + . T gi thi t suy ra: x2 y2 x y xy 1 1 = a, =b Đt x y ta có: a + b = a2 + b2 − ab (1) Khi đó a + b = a2 + b2 − ab (1) 2 T (1) suy ra: a + b = (a + b) − 3ab. 2 nên a + b ≥ (a + b)2 − 4 (a + b)2 ⇒ (a + b)2 − 4 (a + b) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ a + b ≤ 4 a+b 3 Vì ab ≤ 2 Suy ra: A = (a + b)2 ≤ 16. 1 V ix=y= thì A = 16. 2 V y giá tr l n nh t c a A là 16. Bài toán 10 : Đ D b 1 Đ i h c kh i A năm 2006 Cho các s th c x, y, z th a mãn đi u ki n: 3−x + 3−y + 3−z = 1. 9x 9y 9z 3x +3y +3z ≥ + + . Ch ng minh r ng: 3x +3y+z 3y +3z+x 3z +3x+y 4 L i gi i : 1 +1+ 1 Đ t 3x = a, 3y = b, 3z = c. Ta có: a, b, c > 0 và = 1 ⇔ ab + bc + ca = abc. a b c B t đ ng th c c n ch ng minh tương đương v i: a2 b2 c2 + b+ca + c+ab ≥ a+4+c b a+bc a3 b3 c3 + b2 +abc + c2 +abc ≥ a+4+c b ⇔ a2 +abc a3 3 3 + (b+cb b+a) + (c+ac c+b) a+b+c ⇔ ≥ (1). (a+b)(a+c) )( )( 4 3 a3 a + a+b + a+c . a+b . a+c = 3 a (2) ≥33 (a+b)(a+c) 8 8 (a+b)(a+c) 8 8 4 b3 b3 b+c b+a b+c b+a 3 ≥ 3 (b+c)(b+a) . 8 . 8 = 4 b (3) Áp d ng b t đ ng th c Cô si ta có +8+8 3 (b+c)(b+a) c3 3 + c+a + c+b ≥ 3 3 (c+ac c+b) . c+a . c+b = 3 c (4). (c+a)(c+b) 8 8 )( 8 8 4 3 3 3 ra (a+ba a+c) + (b+cb b+a) + (c+ac c+b) a+b+c ≥ . C ng theo t ng v các b t đ ng th c (2), (3), (4) ta suy )( )( )( 4 V y (1) đúng và ta có đi u ph i ch ng minh. Bài toán 11 : Đ D b 1 Đ i h c kh i B năm 2006 11 7 Tìm giá tr nh nh t c a hàm s : y = x + + 4 1+ ,v ix>0 x2 2x L i gi i : Áp d ng b t đ ng th c : (a2 + b2 ) (c2 + d2 ) ≥ (ac + bd)2 2 7 7 ≥ 3+ Ta có : (9 + 7) 1 + x2 x 11 1 7 9 3 3 15 ⇒y ≥ x+ ≥6+ + 3+ = x+ + = 2x 2 x x 2 2 2 15 15 Khi x = 3 thì y = nên giá tr nh nh t c a y là . 2 2 Bài toán 12 : Đ D b 2 Đ i h c kh i B năm 2006 Cho hai s dương x, y thay đ i th a mãn đi u ki n x + y ≥ 4 Huỳnh Kim Linh Trang th 8 trong 12 trang
www.VNMATH.com B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG 2+y 3 3x2 +4 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : A = + . y2 4x L i gi i : y3 3x2 +4 + 2+2 = 34x + x + y22 1 Ta có A = +y 4x y ⇒ A = x + x + 2 y12 + y + y + x+y 1 ≥ 1 + 3 + 2 = 9. 4 8 8 2 2 2 9 V i x = y = 2 thì A = 2 . V y giá tr nh nh t c a A là 9 2 Bài toán 13 : Đ D b Đ i h c kh i A năm 2007 Cho x, y, z là các s dương. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: x y z 3 3 3 4(x3 + y 3 ) + 4(x3 + z 3 ) + 4(z 3 + x3 ) + 2 P= + 2+ 2 2 y z x L i gi i : V i x, y > 0 ta ch ng minh : 4 x3 + y3 ≥ (x + y)3 (∗) D u = x y ra khi và ch khi x = y Th t v y b t đ ng th c (*) ⇔ 4 (x + y) (x2 − xy + y2 ) ≥ (x + y)3 ⇔ 4 (x2 − xy + y2 ) ≥ (x + y)2 dox, y > 0 3 ⇔ 3 (x2 + y2 − 2xy) ⇔ (x − y)2 ≥ 0 Tương t ta có 4 y3 + z3 ≥ (y + z)3 D u = x y ra khi và ch khi y = z 4 z3 + x3 ≥ (z + x)3 D u = x y ra khi và ch khi z = x Do đó √ 3 3 3 4 (x3 + y 3 ) + 4 (y 3 + z 3 ) + 4 (z 3 + x3 ) ≥ 2 (x + y + z ) ≥ 6 3 xyz Ta l i có x y z 6 ≥√ 2 + 2+ 2 2 y z x xyz 3 Suy ra √ 1 P ≥6 ≥ 12 xyz + √ 3 xyz 3 D u = x y ra khi x = y = z = 1 V y minP = 12 khi x = y = z = 1 Bài toán 14 : Đ D b Đ i h c kh i D năm 2007 Cho a, b > 0 th a mãn ab + a + b = 3 Ch ng minh : 3a 3b ab 3 ≤ a2 + b 2 + + + b+1 a+1 a+b 2 Huỳnh Kim Linh Trang th 9 trong 12 trang
www.VNMATH.com B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG L i gi i : T gi thi t a, b > 0 và ab + a + b = 3 Suy ra: ab = 3 − (a + b), (a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1 = 4 B t đ ng th c đã cho tương đương v i 3a(a+1)+3b(b+1) 3 3 a2 + b 2 + ≥ + a+b − 1 2 (a+1)(b+1) a2 + b2 + 3 ≥ 3 (a2 + b2 ) + 4 (a + b) 3 3 ⇔ −1 + 2 4 a+b 12 2 2 2 2 ⇔ 4 (a + b ) + 6 ≥ 3 (a + b ) + 3 (a + b) + −4 a+b 12 2 2 ⇔ a + b − 3 (a + b) − + 10 ≥ 0 (∗) a+b Đt x = a + b > 0 ⇒ x2 = (a + b)2 ≥ 4ab = 4(3 − x) ( vì x > 0) ⇒ x2 + 4x − 12 ≥ 0 ⇒ x ≤ −6 hay x ≥ 2 ⇒ x ≥ 2 Ta có x2 = a2 + b2 + 2ab ⇒ a2 + b2 = x2 − 2(3 − x) = x2 + 2x − 6 Khi đó b t đ ng th c (*) thành 12 x2 − x − + 4 ≥ 0, ∀x ≥ 2 x ⇔ x3 − x + 4x − 12 ≥ 0, ∀x ≥ 2 2 ⇔ (x − 2) (x2 + x + 6) ≥ 0, ∀x ≥ 2 hi n nhiên đúng. V y b t đ ng th c cho đã đư c ch ng minh. 4) M t s bài toán đ các b n t làm : Bài toán 15 : Cho x, y > 0 th a : x + y + z = 1. Ch ng minh : x + y ≥ 16xyz Bài toán 16 : Ch ng minh r ng v i a + b + c = 0 thì 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c Bài toán 17 : Cho a, b, c > 0 : a + b + c = 1. Ch ng minh (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8(1 − a)(1 − b)(1 − c) Bài toán 18 : Cho a, b, c > 0. Ch ng minh : a b c a b c + + < + + b+c c+a a+b b+c c+a a+b Bài toán 19 : Cho a, b, c > 0 th a : 1 1 1 ≥2 + + 1+a 1+b 1+c Ch ng minh : 1 abc ≤ 8 Huỳnh Kim Linh Trang th 10 trong 12 trang
www.VNMATH.com B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG Bài toán 20 : Ch ng minh r ng : v i a > b > 0 thì 4 ≥3 a+ (a − b) (b + 1)2 Bài toán 21 : Cho a, b, c > 0. Ch ng minh : a4 b4 c4 13 a + b3 + c 3 ≥ + + b+c c+a a+b 2 Bài toán 22 : Cho các s th c dương a, b, c, d th a : a3 + b3 + c3 + d3 = 1 Ch ng minh : √ a2 b2 c2 d2 434 ≥ + + + b3 + c3 + d3 a3 + c3 + d3 a3 + b3 + d3 a3 + c3 + b3 3 Bài toán 23 : Cho các s th c dương a, b, c, d th a : a + b + c + d = 1. Ch ng minh : 1 1 1 1 ≥ 256 P= +2 +2 +2 a2 (3c + 3b + 3d − 2) b (3c + 3a + 3d − 2) c (3a + 3b + 3d − 2) d (3c + 3b + 3a − 2) Bài toán 24 : Cho a, b, c > 0. Ch ng minh : abc a+b+c ++≥√ 3 bca abc Bài toán 25 : Cho a, b, c, d > 0. Ch ng minh : 1 1 4 16 64 ≥ +++ abc d a+b+c+d Bài toán 26 : Cho a, b, c > 0 Ch ng minh : 111 4 4 4 ++≥ + + abc 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Bài toán 27 : Cho x, y, z là các s th c dương th a tích xyz = 1. Ch ng minh: x3 y3 z3 3 ≥ + + (1 + y ) (1 + z ) (1 + z ) (1 + x) (1 + x) (1 + y ) 4 Bài toán 28 : Cho a, b, c > 0. Ch ng minh : 2 1 1 1 4 1 1 1 ≥ ++ + + ab bc ca 3 a+b b+c c+a Bài toán 29 : Cho a.b > 0 và a+b≤1 Ch ng minh : 2 3 ≥ 14 +2 ab a + b2 Huỳnh Kim Linh Trang th 11 trong 12 trang
www.VNMATH.com B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG Bài toán 30 : Cho a, b, c > 0. Ch ng minh : 1 1 1 3 ≥ + + (a + b + c)2 (2a + b) (2c + b) (2b + c) (2a + c) (2b + a) (2c + a) Bài toán 31 : Cho a, b, c > 0 th a a + b + c = 1. Ch ng minh : 1 1 1 ≥9 +2 +2 a2 + 2bc b + 2ca c + 2ab Bài toán 32 : Cho x, y, z > 0 th a : x + y + z = 1. Chúng minh : x y z 3 ≤ + + x+1 y+1 z+1 4 Bài toán 33 : Ch ng minh v i a, b, c > 0 thì : 111 a8 + b8 + c8 ≥ a3 b3 c3 ++ abc Bài toán 34 : Cho a, b, c > 0 th a : ab + cb + ca = 1. Ch ng minh : √ √ √ 1 + a2 + 1 + b2 + 1 + c2 ≤ 2 (a + b + c) Bài toán 35 : Cho a, b, c > 0 th a a + b + c = 1. Ch ng minh : 2 2 2 1 1 1 100 ≥ a+ + b+ + c+ a b c 3 Bài toán 36 : Ch ng minh : v i m i x, y, z > 0 ta luôn có : x3 y3 z3 ≥x+y+z + + yz zx xy Bài toán 37 : Ch ng minh : v i a, b, c > 0 th a a + b + c = 3 ta có : a b c 3 ≥ + + 2 2 2 1+b 1+c 1+a 2 Bài toán 38 : Cho a, b, c không âm. Ch ng minh : a2 b2 c2 ≥1 + + a + 2b2 b + 2c2 c + 2a2 Bài toán 39 : Cho a, b, c, d dương v i a + b + c + d = 4. Hãy Ch ng minh a b c d + 1+c2 + 1+d2 + 1+a2 ≥ 2 1) 1+b2 a + 1+b 2 d + 1+c 2 a + 1+d 2 b ≥ 2) 2 1+b2 c c d a a+1 b+1 c+1 d+1 + 1+c2 + 1+d2 + 1+a2 ≥ 4 3) 1+b2 Bài toán 40 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Hãy ch ng minh : √ √ √ c ≥ ab + cb + ca a+ b+ Huỳnh Kim Linh Trang th 12 trong 12 trang