Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011: Lời giải đề thi KSTN các năm 2008, 2009, 2010 - Trần Vũ Trung

Tr n Vũ Trung<br /> <br /> Tài li u này g m: - ð thi tuy n sinh chương trình KSTN môn toán 2008 – 2010 - 12 ñ t ôn t p - Hư ng d n gi i – ðáp s<br /> <br /> Tr n Vũ Trung KSTN ðKTð – K55<br /> <br /> “B tài li u ôn thi Kĩ sư tài năng 2011” bao g m nh ng bài vi t theo ch ñ và m t s ñ thi ñư c biên so n phù h p v i n i dung ñ thi tuy n sinh môn toán vào chương trình ñào t o KSTN & KSCLC c a trư ng ð i h c Bách khoa Hà N i. B tài li u g m: 1) Hàm liên t c 2) Hàm kh vi 3) Dãy s 4) Tích phân 5) L i gi i ñ thi KSTN các năm 2008, 2009, 2010 6) M t s ñ luy n t p (12 ñ ) (Tài li u tham kh o khác ñi kèm: 0.1. ð thi và ñáp án môn toán KSTN 1999 – 2007 (Vũ H u Ti p). 0.2. ð thi và ñáp án môn gi i tích kì thi Olympic Sinh viên các năm.) Các bài vi t ñư c trình bày v i m c ñích h th ng hóa m t cách tr ng tâm các lí thuy t và phương pháp gi i toán gi i tích b c ph thông. V i các bài toán ví d nhi u d ng bài thư ng xu t hi n trong ñ thi KSTN các năm trư c ñây, bài vi t mong mu n ñem ñ n m t s ñ nh hình cơ b n v c u trúc ñ thi cũng như nh ng n i dung ki n th c c n thi t mà các b n c n ôn t p, chu n b cho kì thi s p t i. Các bài vi t không ñơn thu n ch là t p h p bài toán và l i gi i mà còn cung c p m t s nh n xét quan tr ng ñ ti p c n l i gi i b ng cách ñ t v n ñ m t cách t nhiên, có h th ng. Mong r ng ñây s là m t tài li u b ích ph c v cho quá trình h c t p môn gi i tích ph thông nói cũng như giúp các b n ôn thi m t cách hi u qu . M c dù ñã có nhi u c g ng trong quá trình biên so n nhưng ch c ch n không th nào tránh kh i thi u sót, tác gi r t cám ơn nh ng ý ki n ñóng góp ñ b tài li u ñư c hoàn ch nh hơn. M i th c m c, góp ý xin g i v ñ a ch hòm thư: vutrunglhp@gmail.com Hà N i, tháng 8 năm 2011 Tr n Vũ Trung, Sinh viên l p KSTN ðKTð – K55<br /> <br /> 2<br /> <br /> Tr n Vũ Trung KSTN ðKTð – K55<br /> <br /> ð năm 2008<br /> Bài 1: Cho dãy s ( xn ) th a mãn:<br /> <br /> Tìm gi i h n lim ( n 2 xn ) .<br /> n →∞<br /> <br />  x1 = 2  2  x1 + x2 + … + xn = n xn<br /> <br /> Bài 2:<br /> <br /> Cho s nguyên dương n . Tính tích phân: I = ∫<br /> Bài 3:<br /> Cho hàm s<br /> <br /> π<br /> <br /> sin nx . sin x 0<br /> <br /> f ( x) liên t c trên [0;1] th a mãn f (0) > 0 ,<br /> 2007<br /> <br /> ∫ f ( x) dx < 2008 .<br /> 0<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> Ch ng minh r ng phương trình f ( x) = x<br /> <br /> có ít nh t 1 nghi m thu c kho ng (0;1).<br /> <br /> Bài 4: Cho hàm s f ( x) liên t c trên [0;1] và kh vi trên (0;1) th a mãn f (0) = 0 , f (1) = 1 . Ch ng minh r ng t n t i 2 s phân bi t a, b ∈ (0;1) sao cho f '(a ) f '(b) = 1 . Bài 5: Cho hàm s<br /> <br /> f : [a ; b] → [a ; b] th a mãn: f ( x ) − f ( y ) < x − y v i m i x, y ∈ [ a ; b ] ; x ≠ y . Ch ng minh r ng phương trình f ( x) = x có nghi m duy nh t trên [a ; b] .<br /> <br /> Bài 6: Cho IK là ño n vuông góc chung c a 2 ñư ng th ng chéo nhau a và b ( I ∈ a, K ∈ b ), M và N là hai ñi m b t kì l n lư t thu c a và b sao cho IM + KN = MN . Trong s các ñi m cách ñ u các ñư ng th ng a , b và MN , hãy tìm ñi m có kho ng cách ñ n m i ñư ng nói trên là ng n nh t.<br /> <br /> ***<br /> <br /> 3<br /> <br /> Tr n Vũ Trung KSTN ðKTð – K55<br /> <br /> ð năm 2009<br /> Câu I: Cho phương trình x 4 + x 2 − mx + 4 = 0 1) Gi i phương trình (1) khi m = 6 .<br /> <br /> (1)<br /> <br /> trong ñó m là tham s .<br /> <br /> 2) Tìm m ñ phương trình (1) có nghi m.<br /> Câu II: 1) Ch ng minh r ng v i m i s th c a cho trư c thì hàm s f(x) = |x – a| có ñ o hàm t i m i ñi m x ≠ a và không có ñ o hàm t i ñi m x0 = a.<br /> <br /> 2) Cho trư c các s th c λ1 , λ2 ,...., λn khác nhau t ng ñôi m t. Ch ng minh r ng:<br /> <br /> k1 x − λ1 + k2 x − λ2 + … + kn x − λn = 0 ∀x ∈ ℝ khi và ch khi k1 = k2 = … = kn = 0 .<br /> Câu III:<br />  x2 + y2 + z2 − 2x − 2 z − 7 = 0  1) Tìm các s th c x, y , z , p, q, r th a mãn  2 2 2  p + q + r + 10 p − 6q − 14r + 47 = 0  sao cho P = x 2 + y 2 + z 2 + p 2 + q 2 + r 2 − 2 xp − 2 yq − 2 zr ñ t giá tr l n nh t. 2) Cho 2 n a ñư ng th ng chéo nhau Ax, By và AB = a (a > 0) là ño n vuông góc chung. Góc gi a Ax, By b ng 30o. Hai ñi m C, D l n lư t ch y trên Ax, By sao cho AC+BD = d (d > 0) không ñ i. Xác ñ nh v trí các ñi m C, D sao cho th tích t di n ABCD ñ t giá tr l n nh t.<br /> <br /> Câu IV:<br /> Tìm hàm s<br /> <br />  f ( x) ≤ x v i m i x, y ∈ ℝ . f : ℝ → ℝ th a mãn:   f ( x + y ) ≤ f ( x) + f ( y )<br /> f : ℝ → ℝ liên t c th a mãn:<br /> b<br /> <br /> Câu V: Cho hàm s<br /> <br /> f ( λ x + (1 − λ ) y ) ≥ λ f ( x) + (1 − λ ) f ( y ) v i m i x, y ∈ ℝ và λ ∈ (0;1) . Ch ng minh r ng:<br /> <br /> ∫ f ( x)dx ≤ (b − a) f  <br /> a<br /> <br />  a+b  v i m i a, b ∈ ℝ ; a < b . 2 <br /> <br /> ***<br /> <br /> 4<br /> <br /> Tr n Vũ Trung KSTN ðKTð – K55<br /> <br /> ð năm 2010<br /> Câu I.<br /> 2π<br /> <br /> 1)<br /> 2)<br /> <br /> Tính<br /> <br /> ∫ sin ( sin x + nx ) dx<br /> 0<br /> <br /> v i n∈ℤ.<br /> <br /> Cho hàm s<br /> <br /> y = f ( x) xác ñ nh trên t p s th c, th a mãn:<br /> <br /> f ( x) − f ( y ) ≤ x − y<br /> <br /> ∀x, y ∈ ℝ<br /> <br /> và f ( f ( f (0))) = 0 . Ch ng minh r ng f (0) = 0 .<br /> Câu II. 1)<br /> <br /> Cho hàm s<br /> <br /> f ( x) kh vi liên t c c p hai trên [0;1], có f " (0) = 1 và f " (1) = 0 .<br /> <br /> Ch ng minh r ng t n t i c ∈ (0;1) sao cho f " (c) = c . 2)<br /> Câu III. 1)<br /> <br /> Tính lim 30 + 30 + 30 + ⋯ + 30<br /> <br /> ( n d u căn th c b c hai).<br /> <br /> Hàm s<br /> <br /> f ( x) kh vi t i x0 ñư c g i là l i (lõm) t i ñi m này n u t n t i lân<br /> <br /> c n c a ñi m x0 là U ( x0 ) sao cho: ∀x ∈ U ( x0 ) ta có:<br /> f ( x) ≥ f ( x0 ) + f '( x0 ) ( x − x0 ) (tương ng f ( x) ≤ f ( x0 ) + f '( x0 ) ( x − x0 ) ) Ch ng minh r ng hàm s b t kì kh vi trên (a ; b) s l i (lõm) t i ít nh t m t ñi m x0 ∈ (a ; b) . 2) S nào l n hơn trong hai s sau:<br /> 11 + 22 + 33 + ⋯ + 10001000 và 22 .<br /> 22 2<br /> <br /> Câu IV. Trong m t phòng có 5 ngư i, gi a 3 ngư i b t kì luôn tìm ñư c 2 ngư i quen nhau và 2 ngư i không quen nhau. Ch ng minh r ng nhóm này có th ng i quanh m t bàn tròn sao cho m i ngư i ñ u quen v i 2 ngư i ng i c nh mình. Câu V. Cho A, B, C là các góc c a m t tam giác nh n. Ch ng minh r ng:<br /> tan n A + tan n B + tan n C ≥ 3 + *** 3n 2<br /> ∀n ∈ ℕ .<br /> <br /> 5<br /> <br />