Các bài toán về dạng đại số của số phức (phần 2)

Chia sẻ: Le Van Nhan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

92
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đến với tài liệu "Các bài toán về dạng Đại số của số phức (phần 2)" các bạn sẽ được củng cố các kiến thức cơ bản về phần lý thuyết xác định tập hợp điểm M trong mặt phẳng phức và các ví dụ cùng bài tập cụ thể để các bạn có thể làm bài tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các bài toán về dạng đại số của số phức (phần 2)

CÁC BÀI TOÁN VỀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC -----------Phần 2--------- B. Xác định tập hợp điểm M trong mặt phẳng phức I. Kiến thức cần nhớ Dạng 1: Số phức z thỏa mãn biểu thức về độ dài (môđun). Khi đó ta sử dụng công thức z  a 2  b2 Dạng 2: Số phức z là số thực (thực âm hoặc thực dương), số ảo. Khi đó, ta sử dụng kết quả sau: a. Để z là số thực điều kiện là b=0. a  0 b. Để z là số thực âm điều kiện là:  . b  0 a  0 c. Để z là số thực dương điều kiện là:  . b  0 d. Để z là số ảo điều kiện là a=0. II. Bài tập Ví dụ 1: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: z i a. z  i  1 b. 1 z i c. z  z  3  4i Giải: Với số phức z  x  yi  x, y  R  được biểu diễn bởi điểm M  x; y  . a. Ta có: 1  z  i  x  yi  i  x   y  1 i  x 2   y  1 2  x 2   y  1  1. 2 Vậy tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  1 . z i b. Ta có: 1   z  i  z  i  x   y  1 i  x   y  1 i z i  x 2   y  1  x 2   y  1  y  0 2 2 Vậy tập hợp điểm M thuộc trục Ox (trục thực). c. Ta có: z  z  3  4i  x  yi  x  yi  3  4i  x  3   4  y  i  x2  y 2   x  3   4  y   6 x  8 y  25  0 2 2 Vậy tập hợp điểm M thuộc đường thẳng  d  : 6 x  8 y  25  0 . Ví dụ 2: a) Cho số phức z  x  yi  x, y  R  . Khi z  i , hãy tìm phần thực và phần ảo của số z i phức . z i b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z i là số thực dương. z i z  i x  yi  i x   y  1 i  x   y  1 i   x   y  1 i  Giải: a) Ta có: w     z  i x  yi  i x   y  1 i x 2   y  1 2
 x 2  y 2  1  2 xi x 2   y  1 2 Do đó số phức w có phần thực là x 2  y 2  1 , phần ảo là 2x . x   y  1 x   y  1 2 2 2 2  x2  y 2 1  0  y 1  b) Để w là số thực dương điều kiện là:   . 2 x  0 x  0  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc trục Oy (trục ảo) trừ các điểm có tung độ y  1 . Ví dụ 3: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn điều kiện z  z 3  4. Giải: Với số phức z  x  yi  x, y  R  được biểu diễn bởi điểm M  x; y  . Ta có: 4  x  yi  x  yi  3  2 x  3  2 x  3  4  1 x  2  . x   7  2 1 7 Vậy tập hợp điểm M thuộc hai đường thẳng x  và x   . 2 2 Ví dụ 4: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn điều kiện  2  z   i  z  là số ảo tùy ý. Giải: Với số phức z  x  yi  x, y  R  được biểu diễn bởi điểm M  x; y  .   Ta có: w   2  z  i  z   2  x  yi  i  x  yi    x 2  y 2  2 x  y   2  x  2 y  i Để w là số ảo điều kiện là: 2  1 5  x  y  2 x  y  0   x  1   y    . 2 2 2  2 4  1 5 Vậy tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm I 1;  , bán kính R   2 2 Ví dụ 5: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z  2i z  1  2i  z  3  4i và là một số thuần ảo. z i Giải: Đặt z= x+ yi (x,y  R ) Theo bài ra ta có x  1   y  2 i  x  3   4  y  i   x  1   y  2    x  3   y  4   y  x  5 2 2 2 2 z  2i x   y  2  i x   y  2  y  1  x  2 y  3 i 2 Số phức w    z i x  1  y  i x 2   y  1 2
 x 2   y  2  y  1  0  12   x  w là một số ảo khi và chỉ khi  x 2   y  1  0 2 7  y  x 5  y  23   7 12 23 Vậy z    i 7 7 Ví dụ 6: Tìm tất cả các số phức z biết z 2  z  z 2 Giải: Gọi z= a+ bi (a,b  R ) ta có: z 2  z  z   a  bi   a 2  b 2  a  bi 2 2  a 2  b 2  2abi  a 2  b 2  a  bi  a  b  0 a  b  a  b  a 2 2 2 2 a  2b 2  1 1    a   ; b  2ab  b b  2a  1  0   2 2 1 1 a   ; b   2 2 1 1 1 1 Vậy z=0; z    i; z    i 2 2 2 2 Ví dụ 7: Tìm số phức z biết z   2  3i  z  1  9i Giải: Gọi z= a+ bi (a,b  R ) ta có: z   2  3i  z  1  9i  a  bi   2  3i  a  bi   1  9i a  3b  1 a  2  a  3b   3a  3b  i  1  9i    3a  3b  9 b  1 Vậy z= 2-i Ví dụ 8: Tìm số phức z thỏa mãn z  2 và z2 là số thuần ảo. Giải: Gọi z= a+ bi (a,b  R ) Ta có z  a 2  b2 và z 2  a 2  b2  2abi a 2  b 2  2  a 2  1 a  1  Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi  2 2  2    a  b  0  b  1 b  1 Vậy các số phức cần tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i 5i 3 Ví dụ 9: TÌm số phức z biết z  1  0 z Giải: Gọi z= a+ bi (a,b  R ) và a 2  b2  0 ta có
5i 3 5i 3 z  1  0  a  bi   1  0  a 2  b 2  5  i 3  a  bi  0 z a  bi a 2  b 2  a  5  0     a b a 5  b 3 i  0   2 2  b  3  0 a 2  a  2  0  a  1; b   3   b   3  2  a  2; b   3 Vậy z  1  i 3 hoặc z  2  i 3 Bài tập áp dụng: 1. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn điều kiện 2 z  i  z  z  2i . x2 ĐS: M thuộc parabol  P  : y  . 4 2. Xác định tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  k , k là số thực dương cho trước. z i 1  k2  ĐS: M thuộc đường thẳng y  hoặc M thuộc đường tròn tâm I  0; 2  , bán kính 2  k 1  k R . k 1 2 3. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn zz   z   z  k  0 , trong đó  là số phức cho trước, k là số thực cho trước. z 1 z  3i 4. Tìm số phức z thỏa mãn đông thời  1 và  1. z i z i  z i  4 5. Tìm số phức z thỏa mãn    1.  z i  6. Xác định tập hợp cac điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: z i a) z  i  1 b) 1 c) z  z  3  4i z i