CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG ĐI

Chia sẻ: Nguyễn Thị Giỏi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

326
lượt xem 81
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài toán 7 cây cầu ở Königsberg: Thành phố Königsberg thuộc Phổ (bây giờ gọi là Kaliningrad thuộc Cộng hòa Liên bang Nga) được chia thành bốn vùng bằng các nhánh sông Pregel. Các vùng này gồm 2 vùng bên bờ sông, đảo Kneiphof và một miền nằm giữa 2 nhánh của sông Pregel. Vào thế kỷ thứ XVIII, người ta đã xây 7 cây cầu nối các vùng lại với nhau như sơ đồ sau:

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG ĐI

Chuong 2 ’’ ˜ ¯ AI LU’ONG NGAU NHIEN VA PHAN PHOI XAC SUAT ´´ ´ ˆ ˆ ` ˆ ˆ ˆ .’ D. ˜ ˆ ˆ 1. ’ .’ ¯ AI LUONG NGAU NHIEN D. ˜ 1.1 Kh´i niˆm dai luong ngˆu nhiˆn a e ¯. ’ . a e ’ . 2 ¯ inh nghia 1 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn l` dai luong biˆn dˆi biˆ’u thi gı´ tri kˆt qua ’ ´ ´ ˜ ˜ . a.e ’ D. D. ’.’ a e a ¯. ’.’ e ¯o e ’’ ˆ˜ ’ cua mˆt ph´p thu ngau nhiˆn. o e e . Ta d`ng c´c chu c´i hoa nhu X, Y, Z, ... dˆ’ k´ hiˆu dai luong ngˆu nhiˆn. ˜ ˜a u a ¯e ı e ¯ . ’ .’ a e ’ ’ . ´ ´ ´´ ´. u˘ u˘ • V´ du 1 Tung mˆt con x´c xac. Goi X l` sˆ chˆm xuˆt hiˆn trˆn m˘t con x´c xac ı. o ao a ae e a . . . a . o e’ a ˜ th` X l` mˆt dai luong ngˆu nhiˆn nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ l` 1, 2, 3, 4, 5, 6. ı a o ¯. ’.’ a e aa . . ˜ e`. 1.2 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac D. ’ . a ’ ’ ˜ e`. a) ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac D. ’ .’ a ’ ´o .´ ˜ ˜ 2 ¯ inh nghia 2 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn duoc goi l` roi rac nˆu n´ chi’ nhˆn mˆt sˆ e ¯ ’.’ . a ` . D. D. ’.’ a e a oo ’ . .´ ´ ˜. huu han ho˘c mˆt sˆ vˆ han dˆm duoc c´c gi´ tri. a o o o . ¯e ¯ ’.’ a a. ’ . Ta c´ thˆ’ liˆt kˆ c´c gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn roi rac x1 , x2 , . . . , xn . ˜ e`. a . ’ ¯ . ’ .’ o ee ea a ’ . Ta k´ hiˆu dai luong ngˆu nhiˆn X nhˆn gi´ tri xn l` X = xn v` x´c suˆt dˆ’ X nhˆn ´ ˜ ı e ¯ . ’ .’ a e a a. a aa a ¯e a . . . gi´ tri xn l` P (X = xn ). a. a ´ ´ ´´ ´. ´ u ˘ o. ˘ • V´ du 2 Sˆ chˆm xuˆt hiˆn trˆn m˘t con x´c xac, sˆ hoc sinh vang m˘t trong mˆt ı. oa ae e a a o . . . ’ ˜ e`. buˆi hoc...l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn roi rac. o. a a ¯. ’.’ a ’ ´ ´ ’ b) Bang phˆn phˆi x´c suˆt a oa a Bang phˆn phˆi x´c suˆt d`ng dˆ’ thiˆt lˆp luˆt phˆn phˆi x´c suˆt cua dai luong ´ ´ ´. ´ ´ ’ a ’ ¯ . ’ .’ a oa au ¯e ea a a oa . ngˆu nhiˆn roi rac, n´ gˆm 2 h`ng: h`ng thu nhˆt liˆt kˆ c´c gi´ tri c´ thˆ’ x1 , x2 , . . . , xn ´ a e ea a .o e ´. ˜ ` e`. a oo a a ’ ’ ´ a ’’ ´ ´ ˜ ’ ¯ . ’ .’ cua dai luong ngˆu nhiˆn X v` h`ng thu hai liˆt kˆ c´c x´c suˆt tuong ung p1 , p2 , . . . , pn a e aa e ea a ’ ’ . cua c´c gi´ tri c´ thˆ’ do. ’a a . o e ¯´ 27
´ ´ ˜ 28 Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D. ’ ’ a e a a oa a X x1 x2 . . . xn P p1 p2 . . . pn Nˆu c´c gi´ tri c´ thˆ’ cua dai luong ngˆu nhiˆn X gˆm h˜u han sˆ x1 , x2 , . . . , xn th` ´ ´ ˜ `u.o e a a . o e ’ ¯ . ’ .’ a e o ı ´ cˆ X = x1 , X = x2 , . . . , X = xn lˆp th`nh mˆt nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung ´ ´ o ¯a ¯ ’ ´` c´c biˆn o a e a a o o a e . . ´’ ˘ ` ¯o khac tung dˆi. n Do d´ ¯o pi = 1. i=1 ´` ´ ´´ ´. u ˘ ¯o • V´ du 3 Tung mˆt con x´c xac dˆng chˆt. Goi X l` sˆ chˆm xuˆt hiˆn trˆn m˘t con ı. o a ao a ae e a . . . ´c th` X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac c´ phˆn phˆi x´c suˆt cho boi: ´a ´ ˜ ’’ e`.oa u˘ x´c xa ı a ¯. ’.’ a o a ’ X 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 P 6 6 6 6 6 6 ´ ˜ 1.3 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc v` h`m mˆt dˆ x´c suˆt D. ’ . a e e aa a ¯o a a ’ . . . ˜ a) ¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc D. ’ .’ a e e . a . o e’ ’ ´ ˜ ˜ 2 ¯ inh nghia 3 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn duoc goi l` liˆn tuc nˆu c´c gi´ tri c´ thˆ cua D. D. ’.’ a e ¯ ’.’ . a e . ea ´`o ´ ’ n´ lˆp day mˆt khoang trˆn truc sˆ. o a ¯ˆ e .o . • V´ du 4 ı. - Nhiˆt dˆ khˆng kh´ o mˆi thoi diˆ’m n`o d´. ˜ ı ’’ o ` ¯ e e ¯o o a ¯o ’ .. ´ ¯ ’` - Sai sˆ khi khi do luong mˆt dai luong vˆt l´. o o ¯. ’.’ ay ’ . . ´´’ ` gian giua hai ca cˆp cuu cua mˆt bˆnh viˆn. ˜ ’ - Khoang thoi a oe e ’ ’ ’ .. . ´ b) H`m mˆt dˆ x´c suˆt a a ¯o a a . . ´ ˜ ˜ a ’ ¯. ’.’ 2 ¯ inh nghia 4 H`m mˆt dˆ x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc X l` h`m D. a a ¯o a a e e. aa .. ´ moi x ∈ (−∞, +∞) thoa m˜n ’ khˆng ˆm f(x), x´c d. nh voi . oa a ¯i a ’ P (X ∈ B ) = f (x)dx B ´ . a o .’ ´ voi moi tˆp sˆ thuc B. ’ . ´a ´ ´ 3 T´ chˆt H`m mˆt dˆ x´c suˆt c´ c´c t´ chˆt sau ınh a a ¯o a a o a ınh a .. i) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, +∞) +∞ ii) f (x)dx = 1 −∞ ´ ˜’ Y nghia cua h`m mˆt dˆ a a ¯o . . ˜’ ` ¯i Tu d.nh nghia cua h`m mˆt dˆ ta c´ P (x ≤ X ≤ x + x) ∼ f (x). x a a ¯o o ’ .. Do do ta thˆy x´c suˆt dˆ’ X nhˆn gi´ tri thuˆc lˆn cˆn kh´ b´ (x, x + x) gˆn nhu ´ ´ ` ¯´ aa a ¯e a a. oaa ae a ’ . . . e´ ti’ lˆ voi f(x). .’
˜ 29 1. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn D. ’ ’ a e ´ ´ 1.4 H`m phˆn phˆi x´c suˆt a a oa a ´ ´ ˜ ˜ a ’ ¯. ’.’ 2 ¯ inh nghia 5 H`m phˆn phˆi x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn X, k´ hiˆu F(x), D. a a oa a e ıe . l` h`m duoc x´c d. nh nhu sau a a ¯ ’.’ a ¯i ’ F (x) = P (X < x) * Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’ x1 , x2 , . . . , xn th` ´ ˜ e`. e a ¯. ’.’ a aa a.o e ı ’ . ´ F (x) = P (X = xi ) = pi (voi pi = P (X = xi )) ’ xi
´ ´ ˜ 30 Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D. ’ ’ a e a a oa a  0 ; x≤1     0, 3 ; 1 1 e 5x4 ´ ´ T`m h`m phˆn phˆi x´c suˆt F(x). ı a a oa a ’ Giai x Khi x < 0 th` F (x) = ı f (t)dt = 0 −∞ x x 6 3 tdt = x2 . Khi 0 ≤ x ≤ 1 th` F (x) = ı f (t)dt = 5 5 −∞ 0 Khi x > 1 th` ı x 1 x x 6 6 3 2 2 F (x) = f (t)dt = tdt + dt = + − 3 =1− 4 5x3 5 5t 5 5t 1 −∞ 0 1  0 ; x1 ˜ ´ ´ ˆ D˘ ˆ ’ 2. ’ ’ .’ CAC THAM SO ¯ AC TRUNG CUA ¯ AI LUONG NGAU D. . ˆ NHIEN 2.1 K` vong (Expectation) y. ˜ 2 ¯ inh nghia 6 D. * Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac c´ thˆ’ nhˆn c´c gi´ tri x1 , x2 , . . . , xn ’ ’’ ˜ e`.oeaa a ¯. ’.’ a a. ’ . ´ c´c x´x suˆt tuong ung p1 , p2 , . . . , pn . K` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn X, k´ hiˆu ´ ’’ ´ ˜ ’ ¯. ’.’ voi a a a y. a e ıe ’ ’ . ´ ’’ E(X) (hay M(X)), l` sˆ duoc x´c d. nh boi a o ¯ ’.’ a ¯i
´ ˜ ’ ¯. ’ ’ 31 o ¯˘ 2. C´c tham sˆ dac trung cua dai luong ngˆu nhiˆn a a e ’ n E (X ) = xi pi i=1 ´ ˜ ’’ * Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f (x). K` vong a ¯. ’.’ a e e . oa a ¯o a a y. .. ˜u nhiˆn X duoc x´c d. nh boi ’’ ’ ¯. ’.’ cua dai luong ngˆ a e ¯ ’.’ a ¯i ∞ E (X ) = xf (x)dx −∞ ´ ´ ˜ ’ ¯. ’.’ e o’ • V´ du 7 T` k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn c´ bang phˆn phˆi x´c suˆt sau ı. ım y . a a oa a X 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 2 2 1 1 P 12 12 12 12 12 12 12 Ta c´ o 1 2 3 2 2 1 1 93 31 E (X ) = 5. 12 + 6. 12 + 7. 12 + 8. 12 + 9. 12 + 10. 12 + 11. 12 = = = 7, 75. 12 4 ˜ • V´ du 8 Cho X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ ı. a ¯. ’.’ a e e . oa a ¯o .. ´ 2.e−2x nˆu 0 < x < 2 e f (x) = ´ 0 nˆu x ∈ (0, 2) e / T` E(X). ım ’ Giai ∞ 2 2 x3 1 4 E (X ) = xf (x)dx = x.( x)dx = = 2 6 3 0 −∞ 0 ´ 3 T´ chˆt ınh a ` a˘ i) E (C ) = C , C l` hang. ii) E (cX ) = c.E (X ). iii) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ). ´ ˜ iv) Nˆu X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp th` E (XY ) = E (X ).E (Y ). e a a ¯ . ’ .’ a e ¯ˆ a ı .. ´ ˜’ Y nghia cua k` vong y. Tiˆn h`nh n ph´p thu. Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’ ´ ’’ ’ ’’ ˜ ea e a ¯ . ’ .’ a e aa a .o e . ´ oa´` x1 , x2 , . . . , xn voi sˆ lˆn nhˆn k1 , k2 , . . . , kn . a ’ . ’’ a ˜ ınh ’ ¯ . ’ .’ Gi´ tri trung b` cua dai luong ngˆu nhiˆn X trong n ph´p thu l` a. a e e k1 x1 + k2 x2 + . . . + kn xn k1 k2 kn x= = x1 + x2 + . . . + xn = f1 x1 + f2 x2 + . . . + fn kn n x n n l` tˆn suˆt dˆ’ X nhˆn gi´ tri xi . ´ ´ ki ` voi fi = aa a ¯e a a. ’ . n
´ ´ ˜ 32 Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D. ’ ’ a e a a oa a ´ ´o ´ ı a ´ ¯’ ´ ˜a Theo d.nh nghia x´c suˆt theo lˆi thˆng kˆ ta c´ nlim fi = pi . V` vˆy voi n du lon ¯i a o e o →∞ ’ ’ . ta c´ o x ≈ p1 x1 + p2 x2 + . . . + pn xn = E (X ) ´ ´ ´ ´ ˜ Ta thˆy k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn xˆp xi’ voi trung b` sˆ hoc c´c gi´ tri ’ ¯ . ’ .’ a y. a ea ınh o . a a. ’ ˜ a ’ ¯ . ’ .’ quan s´t cua dai luong ngˆu nhiˆn. a e Do do c´ thˆ’ n´i k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn ch´ l` gi´ tri trung b` (theo ˜ ’ ¯. ’.’ ¯´ o e o y . a e ınh a a . ınh ´t) cua dai luong ngˆu nhiˆn. N´ phan ´nh gi´ tri trung tˆm cua phˆn phˆi x´c ´ ˜ ’ ¯. ’.’ ’a ’ x´c suˆ a a a e o a. a a oa ´ suˆt a 2.2 Phuong sai (Variance) ’’ ˜ ˜ ’ ¯. ’.’ 2 ¯ inh nghia 7 Phuong sai (¯ˆ lˆch b` phuong trung b` D. do e ınh ınh) cua dai luong ngˆu a ’’ ’’ .. ` ´ ˜ bang cˆng thuc nhiˆn X, k´ hiˆu Var(X) hay D(X), duoc d. nh nghia ˘ e ıe ¯ ’.’ ¯i o ’ . V ar(X ) = E {[X − E (X )]2 } * Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’ x1 , x2 , . . . , xn voi ´ ´ ˜ e`. e a ¯. ’.’ a aa a.o e ’ ’ . ´t tuong ung p1 , p2 , . . . , pn th` ´ c´c x´c suˆ ’ ’ aa a ı ’ n [xi − E (X )]2 pi V ar(X ) = i=1 ´ ´ ˜ * Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f(x) th` e a ¯. ’.’ a e e . oa a ¯o a a ı .. +∞ [x − E (X )]2 f (x)dx V ar(X ) = −∞ ` ´ ´ ’` ˘ Ch´ y Trong thuc tˆ ta thuong t´ phuong sai bang cˆng thuc u´ .’ e ınh o ’ ’’ ’ V ar(X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 Thˆt vˆy, ta c´ aa o .. E {X − E (X )]2 } V ar(X ) = E {X 2 − 2X.E (X ) + [E (X )]2 } = E (X 2 ) − 2E (X ).E (X ) + [E (X )]2 = E (X 2 ) − [E (X )]2 = ´ ´ ˜ e`. o’ • V´ du 9 Cho dai luong ngˆu nhiˆn roi rac X c´ bang phˆn phˆi x´c suˆt sau ı. ¯. ’.’ a a oa a ’ X1 3 5 P 0,1 0,4 0,5 ’ T`m phuong sai cua X. ı ’’ ’ Giai E(X)=1.0,1+3.0,4+5.0,5=3,8 E (X 2 ) = 12 .0, 1 + 32 .0, 4 + 52 .0, 5 = 16, 2 Do d´ V ar(X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = 16, 2 − 14, 44 = 1, 76. ¯o
´ ˜ ’ ¯. ’ ’ 33 o ¯˘ 2. C´c tham sˆ dac trung cua dai luong ngˆu nhiˆn a a e ’ ˜ • V´ du 10 Cho dai luong ngˆunhiˆn X c´ h`m mˆt dˆ ı. ¯. ’.’ a e oa a ¯o .. ´ cx3 voi 0 ≤ x ≤ 3 ’ f (x) = ´ 0 voi x ∈ [0, 3] ’ H˜y t`m aı ` ´ ˘ i) Hang sˆ c. o ii) K` vong. y. iii) Phuong sai ’’ ’ Giai 3 3 x4 81 cx3 dx = c i) Ta c´ 1 = o = c. 4 4 0 0 4 Suy ra c = . 81 3 3 4 x5 43 ii) E (X ) = x x dx = = 2, 4. 81 81 5 0 0 iii) Ta c´ o ∞ 3 3 4 x6 43 2 2 x2 E (X ) = x f (x)dx = x dx = =6 81 81 6 0 −∞ 0 Vˆy V ar(X ) = E (X ) − [E (X )] = 6 − (2, 4)2 = 0, 24. 2 2 a . ´ 3 T´ chˆt ınh a ’ i) Var(C)=0; (C khˆng dˆi). o ¯o ii) V ar(cX ) = c2 .V ar(X ). ´ ˜ iii) Nˆu X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp th` e a a ¯ . ’ .’ a e ¯ˆ a ı .. * V ar(X + Y ) = V ar(X ) + V ar(Y ); * Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y); * Var(C+X)=Var(X). ´ ˜’ Y nghia cua phuong sai ’’ ´ Ta thˆy X − E (X ) l` do lˆch khoi gi´ tri trung b` nˆn V ar(X ) = E {[X − E (X )]2 } ’ a. a a ¯ˆ e ınh e .. ´ ¯ˆ a a a ’a l` dˆ lˆch b` phuong trung b` a ¯o e ınh ınh. Do do phuong sai phan ´nh muc do phˆn t´n c´c ¯´ ’’ ’’ ’. .. ˜ ’ dai luong ngˆu nhiˆn chung quanh gi´ tri trung b` gi´ tri cua ¯ . ’ .’ a. a e a. ınh. ’ 2.3 ¯ ˆ lˆch tiˆu chuˆn Do e e a .. ` ˜ D’ . ¯ ’ ’ ’ ¯ ’ . ¯ ’ ¯ . ’ .’ ˘ ¯ on vi do cua phuong sai bang b` phuong don vi do cua dai luong ngˆu nhiˆn. ınh a e ’’ ´ ¯o a a a a . ’ ¯ . ’ ’ ˜ ` danh gi´ muc dˆ phˆn t´n c´c gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn theo don vi cua ¯’ . ’ Khi cˆn ¯´ a a’. a e ’ ´ ¯o a ¯o e ` o ¯˘ n´, nguoi ta d`ng mˆt dac trung moi d´ l` dˆ lˆch tiˆu chuˆn. o u e a ’’ ’ ’ .. ..
´ ´ ˜ 34 Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D. ’ ’ a e a a oa a ’ ’ ¯. ’ ’ ˜ ˜ 2 ¯ inh nghia 8 ¯ ˆ lˆch tiˆu chuˆn cua dai luong ngˆu nhiˆn X , k´ hiˆu l` σ (X ), D. Do e e a a e ıea .. . . ˜ nhu sau: duoc d. nh nghia ¯ ’.’ ¯i ’ σ (X ) = V ar(X ) 2.4 Mode ´. ˜ ˜ a a . ’ ¯. ’.’ o ’a 2 ¯ inh nghia 9 Mod(X) l` gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn X c´ kha n˘ng xuˆt hiˆn D. a e ae ´ nhˆt trong mˆt lˆn cˆn n`o d´ cua n´. ´ o a a a ¯o ’ lon a o ’ . . Do ´ ¯. ’.’ ´’ ´ ´a a´ ´’ ˜ e`. aa.’ ¯ ˆi voi dai luong ngˆu nhiˆn roi rac mod(X) l` gi´ tri cua X ung voi x´c suˆt lon a ’ ’ ’ ´t, c`n dˆi voi dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc th` mod(X) l` gi´ tri cua X tai d´ h`m ´ ´ ¯. ’.’ ˜ aa.’ nhˆ o ¯o ’ a a ee. ı . ¯o a mˆt dˆ dat gi´ tri cuc dai. a ¯o ¯. a . .’ ¯. .. Ch´ y Mˆt dai luong ngˆu nhiˆn c´ thˆ’ c´ mˆt mode ho˘c nhiˆu mode. ˜ e` u´ o ¯ . ’ .’ a e o eo o a . . . a ¯ e’ ’ ’’ ’` ’ • V´ du 11 Gia su X l` diˆm trung b`nh cua sinh viˆn trong truong th` mod(X) l` ı. ı e ı a ’ ’m m` nhiˆu sinh viˆn dat duoc nhˆt. ´ ` diˆ ¯e a e e ¯. ¯ ’.’ a ´ ´a ˜ • V´ du 12 Cho dai luong ngˆu nhiˆn liˆn ı. ¯. ’.’ a ee tuc c´ phˆn phˆi Vˆy−bun voi h`m mˆt .oa oa a ’ . dˆ ¯o .  ´  0 nˆu x ≤ 0 e f (x) =  x − x2 ´ e4 nˆu x > 0 e 2 H˜y x´c d. nh mod(X). a a ¯i ’ Giai ’ mod(X) l` nghiˆm cua phuong tr` a e ınh ’’ . x2 x2 1 x2 f (x) = e− 4 − e− 4 = 0 2 4 x2 ’ Suy ra mod(X) l` nghiˆm cua phuong tr` 1 − a e ınh = 0. Do mod(X ) > 0 nˆn e ’’ . 2 √ mod(X ) = 2 = 1, 414. 2.5 Trung vi . ˜ ˜ . ’ ¯. ’.’ aa.’ 2 ¯ inh nghia 10 Trung vi cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` gi´ tri cua X chia phˆn D. a e a ´i x´c suˆt th`nh hai phˆn c´ x´c suˆt giˆng nhau. K´ hiˆu med(X). ´a ´o ´ ` oa phˆ a o a a a ıe . 1 Ta c´ P (X < med(X )) = P (X ≥ med(X )) = o 2 ⊕ Nhˆn x´t Tu d.nh nghia ta thˆy dˆ’ t` trung vi chi’ cˆn giai phuong tr` F (x) = 1 . ´ ˜ ` ¯i `’ a e a ¯e ım a ınh ’’ ’ . . 2 ´ dung, trung vi l` dac trung vi tr´ tˆt nhˆt, nhiˆu khi tˆt hon ca k` vong, ´ ´ ´ ’ ’y. ` . a ¯˘ Trong ung . . ıo a e o ’ ’ . ´ ´. e` ’ nhˆt l` khi trong sˆ liˆu c´ nhiˆu sai s´t. Trung vi c`n duoc goi l` phˆn vi 50% cua aa oe o o . o ¯ ’ .’ . a a . ´i. phˆn pho a ˆ
´ ˜ ’ ¯. ’ ’ 35 o ¯˘ 2. C´c tham sˆ dac trung cua dai luong ngˆu nhiˆn a a e ’ • V´ du 13 T` med(X) trong v´ du (12). ı. ım ı. ’ Giai ’ med(X) l` nghiˆm cua phuong tr` a e ınh ’’ . med(X ) [med(X )]2 f (x)dx = 0, 5 hay 1 − e− = 0, 5 4 0 Suy ra med(X ) = 1, 665. ´. o ¯˘ Ch´ y N´i chung, ba sˆ dac trung k` vong, mode v` trung vi khˆng tr`ng nhau. u´ o y. a .o u ’ ’ ng han, tu c´c v´ du (12), (13) v` t´ thˆm k` vong ta c´ E (X ) = 1, 772; mod(X ) = `a ı . ˘ Cha a ınh e y. o ’ . ´ phˆn phˆi dˆi xung v` chi’ c´ mˆt mode th` ´ ¯o ´ ´’ 1, 414 v` med(X ) = 1, 665. Tuy nhiˆn nˆu a a ee o a oo ı . ’ ¯˘ ca ba dac trung d´ tr`ng nhau. ’ ¯o u . 2.6 Moment ˜ 2 ¯ inh nghia 11 D. ´ ´ ˜ * Moment cˆp k cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` sˆ mk = E (X k ). ’ ¯. ’.’ a a e ao ´ ´ ˜ * Moment qui tˆm cˆp k cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` sˆ αk = E {[X − E (X )]k }. ’ ¯. ’.’ a a a e ao ⊕ Nhˆn x´t a e . ´ ’ ’ i) Moment cˆp 1 cua X l` k` vong cua X (m1 = E (X )). a ay. ´ ii) Moment qui tˆm cˆp hai cua X l` phuong sai cua X (α2 = m2 − m2 = V ar(X )). ’ ’ a a a ’’ 1 iii) α3 = m3 − 3m2 m1 + 2m3 . 1 2.7 H`m moment sinh a ˜ ˜ ’ ¯. ’.’ 2 ¯ inh nghia 12 H`m moment sinh cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` h`m x´c d. nh D. a a e aa a ¯i ’’ trong (−∞, +∞) cho boi  ´ etx p(x) `.  nˆu X roi rac e ’   x tX φ(t) = E (e ) =  +∞ ´ etx p(x)dx nˆu X liˆn tuc  e e.  −∞ ´ 3 T´ chˆt ınh a i) φ (0) = E (X ). ii) φ (0) = E (X 2 ). ’ iii) Tˆng qu´t: φ(n) (0) = E (X n ), ∀n ≥ 1. o a
´ ´ ˜ 36 Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D. ’ ’ a e a a oa a ´ Chung minh. ’ d d tX E (etX ) = E (e ) = E (XetX ). i) φ (t) = dt dt Suy ra φ (0) = E (X ). d d d φ (t) = E (XetX ) = E (XetX ) = E (X 2 etX ). ii) φ (t) = dt dt dt Suy ra φ (0) = E (X 2 ). 2 Ch´ y u´ ’ ’’ ˜ i) Gia su X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp c´ h`m moment sinh tuong a a ¯ . ’ .’ a e ¯ˆ a o a ’’ .. ´ ’’ ’ ung l` φX (t) v` φY (t). Khi d´ h`m moment sinh cua X + Y cho boi a a ¯o a ’ φX +Y (t) = E (et(X +Y ) ) = E (etX etY ) = E (etX )E (etY ) = φX (t)φY (t) ’ ´a ´ ` (¯ang thuc gˆn cuˆi c´ duoc do etX v` etY doc lˆp) d˘ o o ¯ ’ .’ a ¯ˆ a ’ .. o ’’ ´ ´ ´ ˜a a ’ ¯. ii) C´ tuong ung 1−1 giua h`m moment sinh v` h`m phˆn phˆi x´c suˆt cua dai aa a oa ’ ’ ˜u nhiˆn X . luong ngˆ a e ’ .’ ´ ´ ´ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ´ ˆ 3. MOT SO QUI LUAT PHAN PHOI XAC SUAT . . ´ ´ 3.1 Phˆn phˆi nhi thuc (Binomial Distribution) a o ’ . ˜ ˜ e`. 2 ¯ inh nghia 13 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac X nhˆn mˆt trong c´c gi´ tri 0,1,2,...,n D. D. ’.’ a a o a a. ’ . ´ c´c x´c suˆt tuong ung duoc t´nh theo cˆng thuc Bernoulli ´ ’ ’ ´ ¯ ’.’ ı ´ voi a a a o ’ ’ ’ Px = P (X = x) = Cn px q n−x x (2.1) ´.´´ ´a goi l` c´ phˆn phˆi nhi thuc voi tham sˆ n v` p. K´ hiˆu X ∈ B (n, p) (hay X ∼ B (n, p)). . ao a o o ıe ’’ . ´ Cˆng thuc o ’ ´ Voi h nguyˆn duong v` h ≤ n − x, ta c´ e a o ’ ’’ P (x ≤ X ≤ x + h) = Px + Px+1 + . . . + Px+h (2.2) ´’ ’ ’ ´ ˜ ’e e a o’ ’ • V´ du 14 Ty lˆ phˆ phˆm trong lˆ san phˆm l` 3%. Lˆy ngˆu nhiˆn 100 san phˆm ı. aa a a e a . dˆ kiˆ’m tra. T` x´c suˆt dˆ’ trong d´ ¯e’ e ´ ım a a ¯e ¯o ’ ´ phˆm. i) C´ 3 phˆ a o e ´’ ii) C´ khˆng qu´ 3 phˆ phˆm. oo a ea ’ Giai Ta thˆy mˆi lˆn kiˆ’m tra mˆt san phˆm l` thuc hiˆn mˆt ph´p thu. Do d´ ta c´ ’ ´ ’’ ˜` e o’ a oa a a .’ e o e ¯o o . . . ’’ n=100 ph´p thu. e
´ ´ ´ 37 3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt oo a a oa a ’a ’ ´´ ´ ´a ’’ ˜ ae o’ Goi A l` biˆn cˆ san phˆm lˆy ra l` phˆ phˆm th` trong mˆi ph´p thu. Ta c´ a a e ı o e o . p = p(A) = 0, 03. ’ ´´’ ’ ’ D˘ ¯ at X l` tˆng sˆ phˆ phˆm trong 100 san phˆm th` X ∈ B (100; 0, 03). ao oea a ı . i) P (X = 3) = C100 (0, 03)3 .(0, 97)97 = 0, 2274. 3 ii) P (0 ≤ X ≤ 3) = P0 + P1 + P2 + P3 = C100 (0, 03)0 (0, 97)100 + C100 (0, 03)1 (0, 97)99 0 1 +C100 (0, 03)2 (0, 97)98 + C100 (0, 03)3 (0, 97)97 2 3 = 0, 647. Ch´ y Khi n kh´ lon th` x´c suˆt p khˆng qu´ gˆn 0 v` 1. Khi do ta c´ thˆ’ ´p dung a´ ´ ` u´ ıa a o aa a ¯´ o ea ’ . ´ xˆp xi’ sau ´ cˆng thuc a o ’ i) 1 Px = Cn px q n−x ≈ √ x f (u) (2.3) npq trong d´ ¯o x − np 1 u2 ; f (u) = √ e− 2 ; u= √ npq 2π ´ ¯i (2.3) duoc goi cˆng thuc d.a phuong Laplace. ¯ ’ .’ . o ’’ ’ ii) P (x ≤ X ≤ x + h) ≈ ϕ(u2 ) − ϕ(u1 ) (2.4) trong d´ ¯o u 1 t2 e− 2 dt (H`m Laplace); ϕ(u) = √ a 2π 0 x − np x + h − np u1 = √ ; u2 = √ npq npq ´ ıch a (2.4) duoc goi l` cˆng thuc t´ phˆn Laplace. ¯ ’ .’ . a o ’ ´. o ¯˘ C´c tham sˆ dac trung a ’ ´ Nˆu X ∈ B (n, p) th` ta c´ e ı o i) E (X ) = np. ii) V ar(X ) = npq . iii) np − q ≤ mod(X ) ≤ np + p. ´ ´ . ´ ´a ´ ˜ Chung minh. X´t dai luong ngˆu nhiˆn X c´ phˆn phˆi nhi thuc voi c´c tham sˆ n v` e ¯ . ’ .’ a e oa o o a ’ ’ ’ ’u diˆn ph´p thu biˆn cˆ A xay ra, mˆi ph´p thu c´ c`ng x´c suˆt xay ra biˆn cˆ A ´o ´ ´’ ´o ´ ’’ e ’’ o u ˜ ˜ ’ p biˆe e e o e a a e l` p. a Ta c´ thˆ’ biˆ’u diˆn X nhu sau: ˜ oee e ’ n X= Xi i=1
´ ´ ˜ 38 Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D. ’ ’ a e a a oa a ´ ’’ ´ ´´ e ’’ e ’ 1 nˆu o ph´p thu thu i biˆn cˆ A xay ra eo ’ trong d´ Xi = ¯o ´ 0 nˆu nguoc lai e ’ .’ . ´.´e ˜ V` Xi , i = 1, 2, . . . , n l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp c´ phˆn phˆi nhi thuc nˆn ı a a ¯ . ’ .’ a e ¯ˆ a o a o ’ .. E (Xi ) = P (Xi = 1) = p V ar(Xi ) = E (Xi2 ) − p2 = p(1 − p) = pq (Xi2 = Xi ) Do d´ ¯o n E (X ) = E (Xi ) = np i=1 n V ar(X ) = V ar(Xi ) = npq i=1 2 ’ a ¯e’ a ´ ´ oa’ ’ • V´ du 15 Mˆt m´y san xuˆt duoc 200 san phˆm trong mˆt ng`y. X´c suˆt dˆ m´y ı. a ¯ ’.’ a o a a . . ´’ ´´’ ´´’ ´ ’ o’ san xuˆt ra phˆ phˆm l` 0, 05. T`m sˆ phˆ phˆm trung b` v` sˆ phˆ phˆm c´ kha a eaa ı oea ınh a o e a a’ n˘ng tin ch´c cua m´y d´ trong mˆt ng`y. a a ¯o o a . ’ Giai ´´’ ’ Goi X l` sˆ phˆ phˆm cua m´y trong mˆt ng`y th` X ∈ B (200; 0, 05). ao e a a o a ı . . ´´’ ınh ’ Sˆ phˆ phˆm trung b` cua m´y trong mˆt ng`y l` oea a o aa . E (X ) = np = 200 × 0, 05 = 10 ´´’ ´ ˘ Sˆ phˆ phˆm tin chac trong ng`y l` mod(X). Ta c´ oea aa o np − q = 200 × 0, 05 − 0, 95 = 9, 05 np + p = 200 × 0, 05 + 0, 05 = 10, 05 =⇒ 9, 05 ≤ mod(X ) ≤ 10, 05 V` X ∈ B (200; 0, 05) nˆn mod(X ) ∈ Z . Do d´ mod(X ) = 10. ı e ¯o ´ 3.2 Phˆn phˆi Poisson a o ´ Cˆng thuc Poisson o ’ ´.´´ ´ ’ ’’ ˜ Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi nhi thuc voi tham sˆ (n, p) v` a = np a ¯ . ’ .’ a eoa o o a ’’ a´ a trong d´ n kh´ lon v` p kh´ b´. ¯o ae ’ Ta c´ o n! pk (1 − p)n−k P (X = k ) = (n − k )!k ! n! a a .( )k .(1 − )n−k = (n − k )!k ! n n a n(n − 1) . . . (n − k + 1) ak (1 − n )n = .. a nk k ! (1 − n )k
´ ´ ´ 39 3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt oo a a oa a a´ a Do n kh´ lon v` p kh´ b´ nˆn aee ’ an n(n − 1) . . . (n − k + 1) ak ) ≈ e−a , (1 − ≈ 1, (1 − ) ≈1 nk n n ak Do d´ P (X = k ) ≈ e−a ¯o k! ´ ´a ’´ a `o Vˆy tu cˆng thuc Bernoulli ta c´ cˆng thuc xˆp xi’ oo ’ ’ . ak −a Pk = P (X = k ) = Cn pk q n−k ≈ k e k! Khi d´ ta c´ thˆ’ thay cˆng thuc Bernoulli boi cˆng thuc Poisson ´ ´ ’’ o ¯o oe o ’ ’ ak −a Pk = P (X = k ) = e (2.5) k! ˜ ˜ e`. 2 ¯ inh nghia 14 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac X nhˆn mˆt trong c´c gi´ tri 0,1,...,n D. D. ’.’ a a o a a. ’ . . ´ c´c x´c suˆt tuong ung duoc t´ theo cˆng thuc (2.5) duoc goi l` c´ phˆn phˆi ´ ’ ’ ´ ¯ ’.’ ınh ´ ´ voi a a a o ¯ ’.’ . a o a o ’ ’ ’ ´ ´ Poisson voi tham sˆ a. K´ hiˆu X ∈ P (a) (hay X ∼ P (a)). o ıe ’ . Ch´ y u´ ak − a ´ P (k ≤ X ≤ k + h) = Pk + Pk+1 + . . . + Pk+h voi Pk = e. ’ k! • V´ du 16 Mˆt m´y dˆt c´ 1000 ˆng soi, X´c suˆt dˆ’ mˆt gio m´y hoat dˆng c´ 1 ´ ´ a ¯e o ` a ı. o aeo o a . ¯o o .’ ’ . . . . ´ng soi bi dut l` 0,002. T`m x´c suˆt dˆ’ trong mˆt gio m´y hoat dˆng c´ khˆng qu´ 2 ´a ´ ¯e o`a o ˆ .’ . ¯ ’ ı a a . ¯o oo a ’ . . ´ng soi bi dut. ´ o ˆ .’ . ¯ ’ ’ Giai .´ .’ o . ¯ ´ o `a Viˆc quan s´t mˆt ˆng soi c´ bi dut hay khˆng trong mˆt gio m´y hoat dong l` mˆt e a oo o . ¯ˆ ao ’ ’ . . . . ´ ’’ M´y dˆt c´ 1000 ˆng soi nˆn ta c´ n = 1000 ph´p thu dˆc lˆp. ’’ ¯o a ph´p thu. a ¯e o e o ’e o e . .. . ´ ´´ .’ . ¯ ´ a ´´ .’ . ¯ ´ `a Goi A l` biˆn cˆ ˆng soi bi dut v` X l` sˆ ˆng soi bi dut trong mˆt gio m´y hoat a e oo a oo o ’ ’ ’ . . . dong th` p = P (A) = 0, 002 v` X ∈ B (1000; 0, 002). ¯ˆ ı a . V` n = 1000 kh´ lon v` np = 2 khˆng dˆi nˆn ta c´ thˆ’ xem X ∈ P (a). ’ a´ a ı o ¯o e oe ’ Do d´ x´c suˆt dˆ’ c´ khˆng qu´ 2 ˆng soi bi dut trong mˆt gio l` ´ ´ .’ . ¯ ´ o `a ¯o a a ¯e o o ao ’ ’ . P (0 ≤ X ≤ 2) = P0 + P1 + P2 20 −2 P0 = P (X = 0) = e 0! 21 −2 P1 = P (X = 1) = e 1! 22 −2 P2 = P (X = 2) = e 2! Do d´ P (0 ≤ X ≤ 2) = (1 + 2 + 2)e−2 = 5(2, 71)−2 = 0, 6808. ¯o
´ ´ ˜ 40 Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D. ’ ’ a e a a oa a ´. o ¯˘ C´c tham sˆ dac trung a ’ ´ Nˆu X ∈ P (a) th` E (X ) = V ar(X ) = a v` a − 1 ≤ modX ≤ a. e ı a Chung minh. ¯ ˆ’ nhˆn duoc k` vong v` phuong sai cua dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn ´ ˜ ’ ¯ . ’ .’ De a ¯ ’ .’ y . a a eoa ’’ ’ . ´i Poisson ta x´c d.nh h`m moment sinh phˆ o a ¯i a ψ (t) = E (etX ) Ta c´ o ∞ ∞ ak (aet )k t t etk e−a = e−a = e−a eae = ea(e −1) ψ (t) = k! k! k=0 k=0 t ψ (t) = aet ea(e −1) t t ψ (t) = (aet )2 ea(e −1) + aet ea(e −1) Do d´ ¯o E (X ) = ψ (0) = a V ar(X ) = ψ (0) − [E (X )]2 = a2 + a − a2 = a 2 ’ Ung dung . ´ ˜ Mˆt v`i dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi Poisson: o a ¯ . ’ .’ a eoa o . ´˜ .´ ´ ’ i) Sˆ lˆi in sai trong mˆt trang (ho˘c mˆt sˆ trang) cua mˆt cuˆn s´ch. oo o a oo o oa . . . ’ ´ ’` ´ ´ `o ii) Sˆ nguoi trong mˆt cˆng dˆng sˆng cho toi 100 tuˆi. o o o ¯o o ’ ’ .. ´. iii) Sˆ cuˆc diˆn thoai goi sai trong mˆt ng`y. o o ¯e o a . .. . ´ ` e ’’ . iv) Sˆ transitor hu trong ng`y dˆu tiˆn su dung. o a ¯a ’ ´ v) Sˆ kh´ch h`ng v`o buu diˆn trong mˆt ng`y. oa a a ’ ¯e o a . . ´ `a . vi) Sˆ hat α ph´t ra tu c´t hat ph´ng xa trong mˆt chu k`. o. a o o y ’ . . ´ 3.3 Phˆn phˆi siˆu bˆi a oe o . ´ a) Cˆng thuc siˆu bˆi o e o ’ . ´ a ’’ a ’’ o ınh a ` ` ` X´t mˆt tˆp hop gˆm N phˆn tu, trong do c´ M phˆn tu c´ t´ chˆt A n`o do. e oa .’ o ¯´ o a ¯´ .. ´y ngˆu nhiˆn (khˆng ho`n lai) tu tˆp hop ra n phˆn tu. Goi X l` sˆ phˆn tu c´ t´ ´ a ’’ o ınh ` ’’ ˜ `a ` Lˆ a a e o a. a ao .’ ’. . ´ ´ a ’’ a ` chˆt A c´ trong n phˆn tu lˆy ra. Ta c´ a o o CM CN−x n x −M Px = P (X = x) = (x = 0, 1, . . . , n) (2.6) n CN
´ ´ ´ 41 3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt oo a a oa a ´ b) Phˆn phˆi siˆu bˆi a oe o . ˜ ˜ e`. 2 ¯ inh nghia 15 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac X nhˆn mˆt trong c´c gi´ tri 0,1,...,n D. D. ’.’ a a o a a. ’ . . ´ c´c x´c suˆt tuong ung duoc t´ theo cˆng thuc (2.6) duoc goi l` c´ phˆn phˆi siˆu ´ ’ ’ ´ ¯ ’.’ ınh ´ ´ voi a a a o ¯ ’.’ . a o a oe ’ ’ ’ o´ ´ bˆi voi tham sˆ N, M, n. K´ hiˆu X ∈ H (N, M, n) (hay X ∼ H (N, M, n)). o ıe ’ . . ’ ’ ´ ´ ˜ ’ ’ • V´ du 17 Mˆt lˆ h`ng c´ 10 san phˆm, trong d´ c´ 6 san phˆm tˆt. Lˆy ngˆu nhiˆn ı. ooa o a ¯o o ao a a e . ’m. T`m x´c suˆt dˆ’ c´ 3 san phˆm tˆt trong 4 ’o ´ ¯e o ´ `o a ’ ’ (khˆng ho`n lai) tu lˆ h`ng ra 4 san phˆ o a. a ı a a a ’ ’m duoc lˆy ra. ´ ’ san phˆ ¯ ’.’ a a ’ Giai ’oo ’´ ´ ´ ˜ ao’ ’ Goi X l` sˆ san phˆm tˆt c´ trong 4 san phˆm lˆy ra th` X l` dai luong ngˆu nhiˆn a aa ı a ¯ . ’ .’ a e . ´i siˆu bˆi voi tham sˆ N = 10, M = 6, n = 4. ´ ´ c´ phˆn phˆ e o ’ oa o o . X´c suˆt dˆ’ c´ 3 san phˆm tˆt trong 4 san phˆm lˆy ra l` ’o ’ ´ ´ ´ ’ ’ a a ¯e o a aa a 3 1 C6 .C4 8 P (X = 3) = = = 0, 3809 4 C10 21 Ch´ y u´ n− x x ´ N th` CM CN −M ≈ Cn px q n−x M x Khi n kh´ b´ so voi ae ı (p = , q = 1 − p) ’ n CN N Goi X l` sˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A n`o d´ trong n phˆn tu lˆy ra th` ta c´ thˆ’ xem ´` ´ ´ a o a ’’ o ınh a a ’’ a ` a ¯o ı oe . ´ e a ’’ o ınh a ` X ∈ B (n, p) v´i p l` ti’ lˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A cua tˆp hop. ’a o a ’ . . . ´. o ¯˘ c) C´c tham sˆ dac trung a ’ ´ Nˆu X ∈ H (N, M, n) th` ta c´ e ı o M ´ E (X ) = np (voi p = ) ’ N N −n ´ V ar(X ) = npq (voi q = 1 − p). ’ N −1 ’ ´ ´’ o`. ’ Bang tˆng kˆt c´c phˆn phˆi roi rac o ea a ´ ´ Phˆn phˆi a o K´ hiˆu ıe X´c suˆt P (X = k ) a a E (X ) V ar(X ) . .´ Cn p (1 − p)n−k kk Nhi thuc B (n, p) np npq ’ ak − a Poisson P (a) e a a k! CM .CN−k n k N −n −M M Siˆu bˆi eo H (N, M, n) np (p = ) npq . n N CN N −1
´ ´ ˜ 42 Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D. ’ ’ a e a a oa a ´u 3.4 Phˆn phˆi m˜ a o o u´ ´ ´ ˜ ˜ 2 ¯ inh nghia 16 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn X duoc goi l` c´ phˆn phˆi m˜ voi tham sˆ D. D. ’.’ a e ¯ ’.’ . a o a o ’ ´ ´ λ > 0 nˆu n´ c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt e ooa a ¯o a a .. ´ λe−λx nˆu x > 0 e f (x) = ´ 0 nˆu x ≤ 0 e ´ o u´ ´ ´ ´ ´ a’ ⊕ Nhˆn x´t Nˆu X c´ phˆn phˆi m˜ voi tham sˆ λ th` h`m phˆn phˆi x´c suˆt cua a e e oa o ıa a oa ’ . X l` a x λe−λx dt = 1 − e−λx v´i x > 0 F (x) = o 0 v` a ´ F (x) = 0 voi x ≤ 0. ’ ´. o ¯˘ C´c tham sˆ dac trung a ’ ´ o u´ ´ ´ ˜ Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi m˜ voi tham sˆ λ > 0 th` e a ¯ . ’ .’ a eoa o ı ’ ’ i) K` vong cua X l` y. a +∞ +∞ 1 +∞ −λx −xe−λx e−λx dx = E (X ) = λ xe dx = + λ 0 0 0 ’ ii) Phuong sai cua X l` a ’’ +∞ 1 x2 λe−λx dx − V ar(X ) = λ2 0 +∞ +∞ 2 +∞ 2 −λx −x2 e−λx λxe−λx dx = ıch a ` ` T´ phˆn tung phˆn ta duoc a ¯ ’ .’ x λe dx = +2 . ’ λ2 0 0 0 1 Do d´ V ar(X ) = ¯o . λ2 ’.ı ` ’ ’’ o ¯ e ’’ ’ ˘ • V´ du 18 Gia su tuˆi tho (t´nh bang n˘m) cua mˆt mach diˆn tu trong m´y t´ l` ı. a o a ınh a . . . o u´y. ´ ˜ ` ’a ’ mˆt dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi m˜ voi k` vong l` 6,25. Thoi gian bao h`nh cua o ¯. ’.’ a eoa a ’ ’ . ’’ n`y l` 5 n˘m. mach diˆn tu a a ¯e a . . ´ ¯ e ’’ a `a ’o ` ’ ’ Hoi c´ bao nhiˆu phˆn tr˘m mach diˆn tu b´n ra phai thay thˆ trong thoi gian bao e a e ’ . . h`nh? a ’ Giai ’ ´ .’ Goi X l` tuˆi tho cua mach. Th` X c´ phˆn phˆi m˜ ao ı oa ou . . 1 1 Ta c´ λ = o = E (X ) 6, 25 5 P (X ≤ 5) = F (5) = 1 − e−λ.5 = 1 − e− 6,25 = 1 − e−0,8 = 1 − 0, 449 = 0, 5506
´ ´ ´ 43 3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt oo a a oa a ´ ´ o . ¯ e ’’ a ` ’ ’ ’a Vˆy c´ khoang 55% sˆ mach diˆn tu b´n ra phai thay thˆ trong thoi gian bao h`nh. ao e ’ . . ´’ ´ Ung dung trong thuc tˆ .e ’ . ’ ´. ´ ´ ` ` ’ ae’ ˘ Khoang thoi gian gi˜a hai lˆn xuˆt hiˆn cua mˆt biˆn c´ phˆn phˆi m˜. Chang han u a oeoa ou ’ . . a ´ ’’ o e ´’ `’ ` ˜ ’ o’ khoang thoi gian gi˜ a hai ca cˆp cuu o mˆt bˆnh viˆn, giua hai lˆn hong h´c cua mˆt u e a o ’ ’ .. . . ´ a ˜ ¯ . ’ .’ ´u ˜ ˜ hai trˆn lut hay dˆng dˆt l` nhung dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi m˜. c´i m´y, giua aa a. ¯o ¯a a eoa o ’ ’ . . ´` 3.5 Phˆn phˆi dˆu a o ¯e ´`e ˜ ˜ 2 ¯ inh nghia 17 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc X duoc goi l` c´ phˆn phˆi dˆu trˆn D. D. ’.’ a ee. ¯ ’.’ . a o a o ¯e ´u h`m mˆt dˆ x´c suˆt c´ dang doan [a,b] nˆ a ¯. e a ¯o a ao. ..  1   ´ nˆu x ∈ [a, b] e f (x) =  b − a  ´ 0 nˆu x ∈ [a, b] e ´ ´ ´ o ¯e` e ’’ o’ ⊕ Nhˆn x´t Nˆu X c´ phˆn phˆi dˆu trˆn [a,b] th` h`m phˆn phˆi cua X cho boi a e e oa ıa a . ´ F (x) = 0 nˆu x < a e x x dx x−a ´ F (x) = f (x)dx = = nˆu a ≤ x ≤ b e b−a b−a a −∞ ´ F (x) = 1 nˆu x > b. e Ch´ y Gia su (α, β ) ⊂ [a, b]. X´c suˆt dˆ’ X roi v`o (α, β ) l` ´ ’ ’’ u´ a a ¯e ’a a β β−α P (α < X < β ) = f (x)dx = b−a α ´ o ¯˘ C´c tham sˆ dac trung a ’ b 1 b2 − a 2 xdx a+b (k` vong l` trung diˆ’m cua [a,b]). ’ i) E (X ) = = = y. a ¯e b−a b−a 2 2 a b b x2 dx x3 1 a+b − [E (X )]2 = ii) V ar(X ) = − b−a b−a 3 a 2 a 2 2 2 2 b + ab + a (a + b) (b − a) = − = 3 4 12 iii) modX l` bˆt cu diˆ’m n`o trˆn [a,b]. a a ´ ¯e ´’ a e ´ ` ’ • V´ du 19 Lich chay cua xe bu´t tai mˆt tram xe bu´t nhu sau: chiˆc xe bu´t dˆu ı. y. o y e y ¯a ’ . . . . `´ ˜ a e ’’ a `. tiˆn trong ng`y s˜ khoi h`nh tu tram n`y v`o l´c 7 gio, cu sau mˆi 15 ph´t s˜ c´ mˆt e aau o u eo o ’’ ’ . ´ tram. Gia su mˆt h`nh kh´ch dˆn tram trong khoang thoi gian tu 7 gio dˆn ´. ’´ ’’ o a ` ` ` ¯e ’ ’ xe kh´c dˆn . a ¯e a ¯e ’ ’ . 7 gio 30. T`m x´c suˆt dˆ’ h`nh kh´ch n`y cho ´ ` ` ı a a ¯e a a a ’ ’
´ ´ ˜ 44 Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D. ’ ’ a e a a oa a ´’ a) It hon 5 ph´t. u ´ ´ b) It nhˆt 12 ph´t. a u ’ Giai ´ ´ ˜ `aa Goi X l` sˆ ph´t sau 7 gio m` h`nh kh´ch dˆn tram th` X l` dai luong ngˆu nhiˆn ao u a ¯e ı a ¯ . ’ .’ a e ’ . . ´i dˆu trong khoang (0, 30). c´ phˆn phˆ ¯e` ’ oa o ´´ e ` ıt ’ ˜ ` ` a) H`nh kh´ch s˜ cho ´ hon 5 ph´t nˆu dˆn tram giua 7 gio 10 v` 7 gio 15 ho˘c a a u e ¯e a a ’ ’ ’ ’ . . ´t cˆn t` l` a` ˜ ` ` giua 7 gio 25 v` 7 gio 30. Do do x´c suˆ a ım a a ¯´ a ’ ’ ’ 5 5 1 P (10 < X < 15) + P (25 < X < 30) = + = 30 30 3 ´ ´´ ` ıt a ˜ `a ` b) H`nh kh´ch cho ´ nhˆt 12 ph´t nˆu dˆn tram giua 7gio v` 7 gio 3 ph´t ho˘c a a u e ¯e u a ’ ’ ’ ’ . . ´ a ım a ` ˜ 7 gio 15 ph´t v` 7 gio 18 ph´t. X´c suˆt cˆn t` l` ` ` giua ua u a a ’ ’ ’ 3 3 1 P (0 < X < 3) + P (15 < X < 18) = + = 30 30 5 ’ ´ 3.6 Phˆn phˆi chuˆn (Karl Gauss) a o a ’ ´ a) Phˆn phˆi chuˆn a o a ˜ 2 ¯ inh nghia 18 D. ˜ ¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn D. a e e ’.’ tuc X nhˆn gi´ tri trong a a . . . f(x) ’ khoang (−∞, +∞) duoc goi l` ¯ ’.’ . a ’ ´ ´a c´ phˆn phˆi chuˆn nˆu h`m oa o a e 1 √ ´t c´ dang mˆt dˆ x´c suˆ o . a ¯o a a σ 2π .. 1 (x−µ)2 f (x) = √ e− 2σ2 σ 2π √1 σ 2πe ` ´ a˘ trong d´ µ, σ l` hang sˆ, ¯o o σ > 0, −∞ < x < ∞. o µ−σ µ µ+σ x K´ hiˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) hay (X ∼ N (µ, σ 2 )). ıe . ´. o ¯˘ b) C´c tham sˆ dac trung a ’ ´ Nˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) th` E (X ) = µ v` V ar(X ) = σ 2 . e ı a ´ Chung minh. X´t h`m moment sinh ea ’ +∞ 1 (x−µ)2 etx .e− 2σ2 dx tX φ(t) = E (e ) = √ σ 2π−∞ x−µ D˘ ¯ at y = th` ı . σ
´ ´ ´ 45 3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt oo a a oa a +∞ +∞ eµt 1 y2 y 2 −2tσy √ eµt etx e− 2 dy e− 2 dy √ φ(t) = = 2π −∞ 2π−∞ +∞ +∞ eµt 1 (y −tσ )2 (y −tσ )2 t2 σ 2 σ 2 t2 e− 2 + 2 dy = eµt+ 2 × √ e− 2 dy =√ 2π−∞ 2π−∞ 1 (y −tσ )2 ’ ´ a´ ´ V` f (y ) = √ e− 2 a ¯ˆ ’ ı l` h`m mˆt do cua phˆn phˆi chuˆn voi tham sˆ tσ v` 1 aa a o o a ’ .. 2π +∞ 1 (y −tσ )2 e− 2 dy = 1. nˆn √ e 2π−∞ σ 2 +t2 Do d´ φ(t) = eµt+ ¯o . 2 ´ Lˆy c´c dao h`m ta duoc a a ¯. a ¯ ’ .’ 2 t2 2 t2 φ (t) = (µ + tσ 2 )eµt+σ φ (t) = σ 2 eµt+σ .(µ + tσ 2 ) , 2 2 Khi d´ ¯o E (X ) = φ (0) = µ E (X 2 ) = φ (0) = σ 2 + µ2 V ar(X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = σ 2 2 =⇒ ’ ´ c) Phˆn phˆi chuˆn h´a a o a o ’ ´ ´ ˜ ˜ 2 ¯ inh nghia 19 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn X duoc goi l` c´ phˆn phˆi chuˆn h´a nˆu n´ D. D. ’.’ a e ¯ ’.’ . a o a o aoeo ’ ´ a´ c´ phˆn phˆi chuˆn voi µ = 0 v` σ 2 = 1. K´ hiˆu X ∈ N (0, 1) hay X ∼ N (0, 1). oa o a ıe ’ . X −µ ´ Nˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) th` U = ⊕ Nhˆn x´t a e e ı ∈ N (0, 1). . σ ’ d) Phˆn vi chuˆn a a . ’ ´ Phˆn vi chuˆn muc α, k´ hiˆu uα , a. a ıe ’ . ˜ a a . ’ ¯ . ’ .’ l` gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn U a e ’ ´ a ¯ e` ’ c´ phˆn phˆi chuˆn h´a thoa m˜n diˆu oa o ao kiˆn e . P (U < uα ) = α. Voi α cho truoc c´ thˆ’ t´ duoc c´c gi´ tri cua uα . C´c gi´ tri cua uα duoc t´ ´ ’ ´ o e ınh ¯ ’ .’ a a.’ a.’ a ¯ ’ .’ ınh ’ ’ ˜ ’ ˘ san th`nh bang. a
´ ´ ˜ 46 Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D. ’ ’ a e a a oa a ´ e) Cˆng thuc o ’ ´ Nˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) th` ta c´ e ı o x2 − µ x1 − µ i) P (x1 ≤ X ≤ x2 ) = ϕ( ) − ϕ( ) σ σ ε ii) P (|X − µ| < ε) = 2ϕ( ) σ x 1 t2 e− 2 dt (h`m Laplace). trong d´ ϕ(x) = √ ¯o a 2π 0 ’ ´ ˜ ’ o.’ • V´ du 20 Trong luong cua mˆt loai san phˆm l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi ı. a a ¯. ’.’ a eoa o ’.’ . . ’n voi trong luong trung b`nh µ = 5kg v` do lˆch tiˆu chuˆn σ = 0, 1. T´ ti’ lˆ ’ ´. chuˆa ı a ¯. e e a ınh e ’ ’.’ . . ’m c´ trong luong tu 4,9 kg dˆn 5,2 kg. ´ ` ˜ ’ nhung san phˆ a o. ¯e ’.’ ’ ’ ’ Giai ’ ’ ’ Goi X l` trong luong cua san phˆm th` X ∈ N (5; 0, 1). a. a ı ’ .’ . ’ ´ ` Ti’ lˆ san phˆm c´ trong luong tu 4,9 kg dˆn 5,2 kg l` e’ a o. ¯e a ’ .’ ’ . ϕ( 5,0,−5 ) − ϕ( 4,0,−5 ) 2 9 P (4, 9 ≤ X ≤ 5, 2) = 1 1 = ϕ(2) − ϕ(−1) = 0, 4772 − (−0, 3413) = 0, 8185 f ) Qui t˘c ”k−σ ” a ´ ´´ ε Trong cˆng thuc P (|X − µ| < ε) = 2ϕ( σ ) nˆu lˆy ε = kσ th` P (|X − µ| < ε) = o ea ı ’ 2ϕ(k ). ´ ´ ´o ’` ˘ Trong thuc tˆ ta thuong d`ng qui tac 1, 96σ, 2, 58σ v` 3σ voi nˆi dung l`: .’ e u a a ’ ’. ”Nˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) th` x´c suˆt dˆ’ X nhˆn gi´ tri sai lˆch so voi k` vong khˆng qu´ ´ ´ ´y. e ıa a ¯e a a. e o a ’ . . 1, 96σ ; 2, 58σ v` 3σ l` 95 %, 99% v` 99% ”. a a a ´’ g) Ung dung . ’ ´ ˜ C´c dai luong ngˆu nhiˆn sau c´ phˆn phˆi chuˆn: a ¯ . ’ .’ a e oa o a ’´ ´a ´ a’ - K´ thuoc chi tiˆt m´y do m´y san suˆt ra. ıch e a ’ ’ e` ’ ’ - Trong luong cua nhˆu san phˆm c`ng loai. a u ’ .’ . . ´ ’’ ` ˜ a’ - N˘ng suˆt cua mˆt loai cˆy trˆng trˆn nhung thua ruˆng kh´c nhau. a o .a o e o a ’ . . ´ Phˆn phˆi χ2 3.7 a o ’ ’’ ˜ ˜ 2 ¯ inh nghia 20 Gia su Xi (i=1,2,...,n) l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn dˆc lˆp c`ng D. a a ¯. ’.’ a e ¯o a u .. ’ ´ c´ phˆn phˆi chuˆn h´a. oa o ao