Các bài toán về vành đa thức

Chia sẻ: Kieu Dinh Tuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

503
lượt xem 78
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'các bài toán về vành đa thức', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các bài toán về vành đa thức

Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 29 tháng 4 năm 2005 Bài 15. Các Bài Toán V Vành Đa Th c Lý thuy t các vành đa th c cũng như các d ng toán liên quan t i chúng là r t phong phú và đa d ng. Tuy nhiên trong gi i h n c a chương trình, chúng ta ch quan tâm ch y u t i các d ng toán c a vành đa th c liên quan t i các khái ni m cơ b n c a lý thuy t vành. R i rác, đây đó trong các m c khác nhau c a chuyên đ ôn t p này, ta đã có m t s ví d v chúng. Ph n còn l i này, chúng ta đ ý nhi u hơn t i các d ng toán liên quan t i lý thuy t chia h t trong vành đa th c, nh ng v n đ v đa th c b t kh qui, đa th c nguyên t cùng nhau, ... liên quan v i nghi m c a đa th c. Xin nh c l i r ng, riêng đ i v i m t vành đa th c trên m t trư ng K, K[x] luôn luôn là m t vành Ơclít. Và vì v y khi x lý các bài t p trong vành đa th c, các k t qu , tính ch t c a vành Ơclit (và do đó c c a vành chính) thư ng đư c áp d ng khá hi u qu . Ta cũng không quên nh c t i m t k t qu cũng r t hay đư c s d ng trong vành đa th c thư ng đư c bi t dư i cái tên "đ nh lý Bezout", đó là vành đa th c f (x) chia h t cho đa th c b c nh t g(x) khi và ch khi nghi m c a g(x) là nghi m c a f (x). Hơn n a khi x lý các bài toán trong các vành đa th c c th , ta cũng c n t i các tri th c c th c a các vành đó; đ c bi t là v i các vành đa th c trên các trư ng s : C[x], R[x], Q[x], mà vi c h th ng l i xin phép đư c dành cho đ c gi . Ví d 1: Cho g(x), f (x) ∈ C[x] là các đa th c khác 0. Ch ng minh r ng f (x), g(x) là nguyên t cùng nhau khi và ch khi chúng không có nghi m chung nào. GI I N u f (x), g(x) không nguyên t cùng nhau, t t n t i h(x) v i deg(h) ≥ 1 sao cho (f (x), g(x)) = h(x). Theo đ nh lý cơ b n c a đ i s , do deg(h) ≥ 1 nên h(x) có ít nh t m t nghi m ph c x0 . Hi n nhiên x0 là nghi m chung c a c f (x) và g(x). Ngư c l i, n u f (x) và g(x) có chung nghi m x0 . Theo đ nh lý Bezout c f (x) và g(x) có ch a chung nhân t (x − x0 ), nên (f (x), g(x)) = 1. V y (f (x), g(x)) = 1 ⇔ f (x), g(x) không có nghi m chung 1
Ví d 2: Cho các trư ng K ⊂ F và đa th c f (x) ∈ K[x] là b t kh qui trong K[x] nhưng có nghi m x = x0 ∈ F . Cho g(x) ∈ K[x] là đa th c cũng nh n x = x0 ∈ F làm nghi m. Ch ng minh r ng f (x)\g(x). GI I Trong vành đa th c K[x] xem như m t vành chính, m i quan h c a m t đa th c b t kh qui f (x) v i đa th c b t kì g(x) ch có th n m trong hai kh năng là ho c f (x)\g(x) ho c (f (x), g(x)) = 1. N u (f (x), g(x)) = 1, t t n t i các đa th c t(x), s(x) ∈ K[x] sao cho s(x).f (x) + t(x).g(x) = 1. H th c sau cùng này, do K[x] ⊂ F [x] nên cũng có trong F [x], t c là trong F [x] thì v n có (f (x), g(x)) = 1. Tuy nhiên theo gi thi t bài toán các đa th c f (x), g(x) nh n x0 ∈ F làm nghi m, nên theo đ nh lý Bezout, trong F [x] c f (x), g(x) có nhân t chung (x − x0 ). T c là không th x y ra trư ng h p (f (x), g(x)) = 1. V y ch có th x y ra : f (x)\g(x) Ví d 3: Trong vành đa th c K[x] v i K là trư ng, cho đa th c f (x). S d ng phép đ i bi n x = ay + b (a = 0) ta xây d ng đa th c g(y) = f (ay + b). Ch ng minh r ng đa th c f (x) b t kh qui khi và ch khi đa th c g(y) b t kh quy. GI I D th y m nh đ trên là tương đương v i m nh đ sau : f (x) không b t kh qui ⇔ g(y) không b t kh qui Trư c h t n u f (x) không b t kh qui, t t n t i các đa th c f1 (x), f2 (x) ∈ K[x] v i deg(f1 ) ≥ 1, deg(f2 ) ≥ 1 sao cho f (x) = f1 (x).f2 (x). Khi đó ta cũng có: g(y) = f (ay + b) = f1 (ay + b).f2 (ay + b) = g1 (y).g2 (y) v i g1 (y) = f1 (ay + b) có deg(g1 ) = deg(f1 ) ≥ 1 g2 (y) = f2 (ay + b) có deg(g2 ) = deg(f2 ) ≥ 1 t c g(y) cũng không b t kh qui. Ti p theo đ ý r ng n u x = ay + b (a = 0) thì y = cx + d, trong đó c = a−1 và d = −ba−1 . Vì v y n u g(y) = f (ay + b) thì f (x) = g(cx + d). Do đó n u g(y) = g1 (y).g2 (y) v i deg(g1 ) ≥ 1 và deg(g2 ) ≥ 1 thì f (x) = g(cx + d) = g1 (cx + d).g2 (cx + d) = f1 (x).f2 (x) v i f1 (x) = g1 (cx + d) có deg(f1 ) = deg(g1 ) ≥ 1 f2 (x) = g2 (cx + d) có deg(f2 ) = deg(g2 ) ≥ 1 2
t c n u g(y) không b t kh qui thì f (x) không b t kh qui. Ví d 4: Trong vành Q[x] cho đa th c: f (x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an ) − 1 trong đó a1 , a2 , . . . , an là các s nguyên phân bi t. Ch ng minh r ng f (x) là b t kh qui trong Q[x]. Đa th c f (x) có b t kh qui trong R[x] hay trong C[x] không ? GI I N u f (x) không b t kh qui, t t n t i các đa th c h s nguyên h(x), g(x) b c l n hơn hay b ng 1 sao cho f (x) = g(x).h(x) Khi đó ta cũng có degg(x) < degf (x) và degh(x) < degf (x) do degf = degg+degh và degg ≥ 1, degh ≥ 1). Do f (ai ) = −1 v i i = 1, 2, . . . , n, nên g(ai ).h(ai ) = −1, ∀i. B i g(ai ), h(ai ) ∈ Z nên t đó suy ra g(ai ) + h(ai ) = 0. N u g(x) + h(x) = 0 thì deg(h(x) + g(x)) ≤ max{deg(g), deg(h)} t c deg(h(x) + g(x)) < deg(f (x)) = n. Và ta có h(x) + g(x) là đa th c b c bé hơn n l i có n nghi m a1 , a2 , . . . , an ; là đi u không th đư c. V y ph i có : h(x) + g(x) = 0, do đó h(x) = −g(x) và f (x) = g(x).h(x) = −[g(x)]2 . Đi u này cũng không th x y ra vì h s cao nh t c a f (x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an ) − 1 là +1, trong khi đó h cao nh t c a −(g(x))2 là s âm. Mâu thu n này ch ra r ng f (x) b t kh qui trong Q[x]. N u xét trong R[x] hay C[x], d th y f (x) b t kh quy ⇔ deg(f (x)) = 1, t c n = 1 3
BÀI T P 1. Cho các trư ng K ⊂ F và các đa th c f (x), g(x) ∈ K[x]. Ch ng minh r ng (f (x), g(x)) = 1 trong K[x] ⇔ (f (x), g(x)) = 1 trong F [x]. 2. Cho K là trư ng và f (x) ∈ K[x] mà f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn v ia0 .an = 0 và n ≥ 1 Ch ng minh r ng f (x) là b t kh quy trong K[x] khi và ch khi g(x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an là b t kh quy. 3. Cho a1 , a2 , . . . , an là các s nguyên phân bi t. Ch ng minh r ng các đa th c sau là b t kh quy trong Q[x] : (a) (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an ) + 1 v i n l . (b) (x − a1 )2 (x − a2 )2 . . . (x − an )2 + 1. 4. Ch ng minh r ng v i vành K giao hoán, có đơn v thì các kh ng đ nh sau là tương đương. (a) K là trư ng (b) K[x] là vành Ơclít (c) K[x] là vành chính 4
THAY CHO L I K T Đ c gi thân m n ! Th là b n đã d o qua trang web chuyên đ ôn thi Đ i s cơ s c a chúng tôi và gi đây đã t i ... "đi m d ng"! Có th b n cho r ng, đã không tìm đư c thêm nh ng đi u m i m như b n kỳ v ng. B n thông c m, b i đây v n là chuyên đ ôn t p ch đư c phép nói nhi u và nói l i v nh ng đi u... "bi t r i... nói mãi"! Có th b n cho r ng đâu đó, trong quá trình tri n khai chuyên đ , có đôi chút sa đà l ch l c so v i yêu c u "cơ b n" c a m t chuyên đ ôn t p ? R t có th b n đã đúng, nhưng b n ơi đ l a ch n đư c m t n i dung có th làm hài lòng h t th y m i ngư i th t quá khó khăn! Dù b n đã thu lư m đư c nhi u hay ít t chuyên đ c a chúng tôi; dù b n đã r t h ng thú hay ch là "cư i ng a xem hoa",... t i đi m k t thúc này, xin đư c nói l i chia tay. T m bi t b n, chúc b n m t mùa thi k t qu mĩ mãn. Và h n g p b n trong m t tương lai g n trên gi ng đư ng Cao h c c a ĐHSPTPHCM. Khi đó t h n có nhi u chuyên đ m i m , h p d n đ chúng ta có th trao đ i tr c ti p. L i cu i cùng chúng tôi mu n nh n g i l i b n là : Trư c khi kh i công d ng ti p các t ng l u m i cho lâu đài tri th c c a mình, b n hãy gia c l i n n móng c a tòa lâu đài th t ch c ch n, th t v ng chãi! Chúc các b n thành công! 5