Ch-ơng 5 uốn ngang phẳng

Chia sẻ: Nguyen Van Dau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

168
lượt xem 36
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khái niệm chung Khi có lực tác dụng nếu trục thanh bị cong đi, ng-ời ta nói :thanh chịu uốn. Thanh chịu uốn đ-ợc gọi là dầm. P Nếu trục thanh bị cong đi nh-ng vẫn nằm trong 1 mặt phẳng, ta có uốn ngang phẳng. Ngoại lực tác dụng gây nên uốn th-ờng là các lực hoặc mô men nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm và vuông góc với trục của dầm. 2) Nội lực: z P Giả sử có 1 thanh chịu uốn Mx ngang phẳng, ta dùng 1 mặt cắt cắt thanh, ta thấy trên mặt...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ch-ơng 5 uốn ngang phẳng

Ch-¬ng 5 uèn ngang ph¼ng 1 Kh¸i niÖm 1)Kh¸i niÖm chung Khi cã lùc t¸c dông nÕu trôc thanh bÞ cong ®i, ng-êi ta nãi :thanh chÞu uèn. Thanh chÞu uèn ®-îc gäi lµ dÇm. P NÕu trôc thanh bÞ cong ®i nh-ng vÉn n»m trong 1 mÆt ph¼ng, ta cã uèn ngang ph¼ng. Ngo¹i lùc t¸c dông g©y nªn uèn th-êng lµ c¸c lùc hoÆc m« men n»m trong mÆt ph¼ng chøa trôc dÇm vµ vu«ng gãc víi trôc cña dÇm. 2) Néi lùc: z P Gi¶ sö cã 1 thanh chÞu uèn Mx ngang ph¼ng, ta dïng 1 mÆt c¾t c¾t thanh, ta thÊy trªn mÆt c¾t xuÊt hiÖn Qy c¸c thµnh phÇn néi lùc lµ lùc c¾t Qy y vµ m« men uèn Mx ®-îc quy -íc dÊu nh- sau: *DÊu cña lùc c¾t Qy: Mang dÊu d-¬ng khi ph¸p tuyÕn ngoµi cña mÆt c¾t quay 900 theo chiÒu kim ®ång hå ®Õn trïng chiÒu víi nã. Ng-îc l¹i mang dÊu ©m *DÊu cña m« men Mx: Mang dÊu d-¬ng khi nã lµm c¨ng thí vÒ chiÒu d-¬ng cña trôc y. Ng-îc l¹i mang dÊu ©m. Nh-ng khi vÏ biÓu ®å th× biÓu ®å m« men uèn kh«ng ®Ò dÊu, mµ c¨ng thí phÝa nµo th× vÏ vÒ phÝa nÊy. BiÓu ®å néi lùc cña uèn ngang ph¼ng gåm cã 2 biÓu ®å lµ biÓu ®å m« men uèn vµ biÓu ®å lùc c¾t. Ta h·y xem xÐt 1 vÝ dô vÒ vÏ biÓu ®å VÝ dô :VÏ biÓu ®å lùc c¾t vµ m« men uèn cho s¬ ®å dÇm chÞu lùc nh- h×nh vÏ 1
Ta chia dÇm lµm 2 ®o¹n lµ BC vµ AB. XÐt tõng ®o¹n: q M=qa2 *§o¹n BC: dïng mÆt c¾t 1-1 c¾t thanh víi z(0-a) P=qa Mx A B C 2a a Qy z qa P=qa qa Gi¶ thiÕt Qy d-¬ng, Mx c¨ng thí d-íi.Ta cã: - Ph-¬ng tr×nh h×nh chiÕu theo ph-¬ng th¼ng ®øng: qa2/2 qa2 Qy+P=0 cho nªn Qy=-qa dÊu (-) chøng tá chiÒu gi¶ thiÕt sai cho nªn nã ph¶i cã chiÒu ng-îc l¹i, tøc lµ mang dÊu ©m - Ph-¬ng tr×nh m« men: Mx-P.z=0 cho nªn Mx =qa.z khi z=0 th× Mx=0 z=a th× Mx=qa2 (c¨ng thí d-íi) Ta vÏ ®-îc biÓu ®å ®o¹n BC * §o¹n BA: dïng mÆt c¾t 2-2 c¾t thanh víi z(o-2a) Gi¶ thiÕt Qy d-¬ng, Mx c¨ng thí Mx q M=qa2 d-íi. B C - Ph-¬ng tr×nh h×nh chiÕu: Qy z a P=qa Qy+P -qz =0 Qy=qz-qa Khi z=0 th× Qy=-qa (©m) Khi z=2a th× Qy=qa (d-¬ng) Qy=0 khi z=a - Ph-¬ng tr×nh m« men: Mx+ M+ qz.z/2-P(a+z)=0 Ta cã: Mx=qa(a+z)-qa2 -qz2/2 Khi z=0 th× Mx=0 Khi z=2a th× Mx =0 Ta t×m ®iÓm m« men uèn ®¹t cùc trÞ: dM x = qa-qz =0 cho nªn z=a th× m« men ®¹t cùc trÞ vµ cã gi¸ trÞ lµ qa2/2 dz (c¨ng thí d-íi) Ta ®Æt c¸c gi¸ trÞ ®· x¸c ®Þnh ®-îc theo c¸c ph-¬ng tr×nh trªn vµo biÓu ®å vµ vÏ ®-îc nh- trªn h×nh vÏ. 3-Quan hÖ gi÷a néi lùc vµ ngo¹i lùc 2
a)Liªn hÖ vi ph©n:Quan hÖ gi÷a biÓu ®å néi lùc vµ ngo¹i lùc ®-îc biÓu diÔn qua c¸c liªn hÖ vi ph©n sau: dQy  q z  dz dM x  Qy dz d 2 Mx  q z  dz 2 Ta cã thÓ ph¸t biÓu b»ng lêi nh- sau: - §¹o hµm bËc nhÊt cña lùc c¾t theo chiÒu trôc thanh b»ng c-êng ®é lùc ph©n bè - §¹o hµm bËc nhÊt cña m« men theo chiÒu trôc thanh th× b»ng lùc c¾t - §¹o hµm bËc 2 cña m« men theo lùc c¾t th× b»ng c-êng ®é lùc ph©n bè b)NhËn xÐt quan hÖ gi÷a néi lùc vµ ngo¹i lùc Dùa vµo liªn hÖ vi ph©n vµ biÓu ®å ta ®· vÏ ®-îc ë phÇn trªn, ta cã c¸c nhËn xÐt sau: - VÒ d¹ng ®-êng biÓu ®å: + Trong ®o¹n thanh kh«ng cã lùc ph©n bè th× biÓu ®å lùc c¾t lµ ®-êng h»ng sè, biÓu ®å m« men lµ ®-êng bËc nhÊt. + Trong ®o¹n thanh cã lùc ph©n bè h»ng sè th× biÓu ®å lùc c¾t lµ ®-êng bËc nhÊt, biÓu ®å m« men lµ ®-êng cong bËc 2 lu«n høng lÊy t¶i träng. + T¹i ®iÓm biÓu ®å lùc c¾t c¾t trôc hoµnh (Qy=0) th× miÓu ®å m« men ®¹t cùc trÞ. - VÒ b-íc nh¶y: + T¹i ®iÓm cã lùc tËp trung th× biÓu ®å lùc c¾t cã b-íc nh¶y, gi¸ trÞ b-íc nh¶y chÝnh b»ng gi¸ trÞ lùc tËp trung. BiÓu ®å m« men bÞ gÉy khóc t¹i ®iÓm ®ã. +T¹i ®iÓm cã m« men tËp trung th× biÓu ®å m« men cã b-íc nh¶y, gi¸ trÞ b-íc nh¶y chÝnh b»ng gi¸ trÞ m« men tËp trung. Ta cã thÓ dùa vµo c¸c nhËn xÐt trªn ®Ó kiÓm tra biÓu ®å hoÆc vÏ nhanh biÓu ®å. 2 Thµnh lËp c«ng thøc øng suÊt trªn mÆt c¾t ngang khi uèn thuÇn tuý 1-§Þnh nghÜa: Mét thanh chÞu uèn thuÇn tuý khi trªn mäi mÆt c¾t ngang chØ xuÊt hiÖn 1 thµnh phÇn néi lùc lµ m« men uèn Mx 2 ) ThÝ ngiÖm vµ gi¶ thuyÕt: a.ThÝ nghiÖm: 3
Trªn mÉu, ta kÎ c¸c ®-êng song song víi trôc cña thanh ®Æc tr-ng cho thí däc vµ kÎ c¸c ®-êng vu«ng gãc víi trôc cña thanh, ®Æc tr-ng cho mÆt c¾t ngang. C¸c ®-êng ®ã t¹o nªn l-íi h×nh « vu«ng (h×nh vÏ) T¸c dông m« men uèn, ta thÊy c¸c M M ®-êng vu«ng gãc bÞ xoay ®i 1 gãc nh-ng vÉn lµ c¸c ®-êng th¼ng vu«ng gãc. C¸c ®-êng song song víi trôc cña thanh trë thµnh c¸c ®-êng cong nh-ng vÉn song song víi trôc cña thanh. Lµm thÝ nghiÖm nhiÒu lÇn, ta vÉn thu ®-îc kÕt qu¶ nh- trªn, tõ ®ã ng-êi ta ®-a ra c¸c gi¶ thuyÕt sau: b.Gi¶ thuyÕt * Gi¶ thuyÕt 1: MÆt c¾t ngang tr-íc vµ sau biÕn d¹ng vÉn ph¼ng vµ vu«ng gãc víi trôc cña thanh. * Gi¶ thuyÕt 2: C¸c thí däc trong qu¸ tr×nh biÕn d¹ng kh«ng chÌn Ðp hoÆc ®Èy xa nhau. Ngoµi ra ng-êi ta cßn gi¶ thiÕt vËt liÖu vÉn lµm viÖc trong giai ®o¹n ®µn håi,   E nghÜa lµ tu©n theo ®Þnh luËt Hóc:   G 3) Thµnh lËp c«ng thøc øng suÊt trªn mÆt c¾t ngang * Tr-íc tiªn ta h·y xem xÐt biÕn d¹ng khi thanh chÞu uèn thuÇn tuý (h×nh vÏ) . Ta nhËn thÊy thí trªn th× co vµo , thí d-íi d·n ra, nh- vËy chøng tá tån t¹i 1 thí kh«ng bÞ thay ®æi kÝch th-íc gäi lµ thí trung hoµ. C¸c thí trung hoµ t¹o nªn 1 líp trung hoµ. Giao tuyÕn gi÷a líp trung hoµ vµ mÆt (thí trung hoµ) c¾t ngang gäi lµ ®-êng trung hoµ. * T-¬ng tù nh- khi kÐo nÐn ®óng t©m, sö dông c¸c gi¶ thuyÕt ta cã thÓ biÕt r»ng: trªn mÆt c¾t ngang chØ cã øng suÊt ph¸p * XÐt 1 mÆt c¾t ngang bÊt kú, trªn mÆt c¾t ngang cã néi lùc lµ m« men uèn Mx. LËp hÖ trôc to¹ ®é xoy,trong ®ã trôc x lµ ®-êng trung hoµ(h×nh vÏ). T¹i ®iÓm K(x,y), cã gi¸ trÞ -s lµ  z. Xung quanh K lÊy 1 ph©n tè diÖn tÝch dF. Néi lùc trªn dF lµ  z.dF vµ tæng m« men cña nã lÊy ®èi víi trôc x lµ: 4
M x   y. z . dF (1) F vµ tæng h×nh chiÕu h×nh chiÕu cña nã lµ: Mx N z    z . dF  0 (2) x x F x Ta cÇn ph¶i biÕt quy luËt biÕn thiªn cña -s: z * C¾t 1 ®o¹n thanh cã chiÒu dµi z lµ dz sau khi bÞ biÕn d¹ng (h×nh vÏ) XÐt thí trung hoµ cã chiÒu y dµi: dz=  .d  XÐt thí c¸ch thí trung hoµ 1 ®o¹n lµ y. Ta cã chiÒu dµi cña nã lµ:(  +y) d   d vµ biÕn d¹ng tØ ®èi: ( y   ). d  . d y z   y . d  Trong ®ã  lµ b¸n kÝnh thí trung hoµ. Theo ®Þnh luËt Hóc, ta cã: E. y  z  E z  (3)  Thay (3) vµo (1), ta cã: E 2 E Mx=  . y . dF  . J x F   1 Mx Suy ra :  (5.1)  EJ x Thay 5.1 vµo (3), ta cã: Mx z  .y (5.2) Jx (5.2) lµ c«ng thøc tÝnh -s trªn mÆt c¾t ngang cña thanh chÞu uèn thuÇn tuý. Thay (3) vµo (2) ta cã: E E   y. dF  F . S  0 cho nªn Sx=0 nghÜa lµ ®-êng trung hoµ chÝnh lµ 1 trôc  x trung t©m, hay gèc to¹ ®é ®i qua t©m C cña mÆt c¾t. 5
4-Sù ph©n bè øng suÊt ph¸p trªn mÆt c¾t ngang  min Theo c«ng thøc 5.2 ta thÊy -s ph¸p ph©n bè bËc Mx ynmax nhÊt trªn mÆt c¾t ngang theo x trôc y. z ykmax y  max Khi y=0 (trªn ®-êng trung hoµ) th×  z  0 Mx k Khi y=ykmax th× -s ®¹t  max  . y max Jx  Mx n Khi y= y max th× -s ®¹t  min n  . y max Jx Jx Ng-êi ta ®Æt  Wx Gäi lµ m« men chèng uèn, cã thø nguyªn lµ [chiÒu y max dµi3] vµ cã ®¬n vÞ th-êng dïng lµ cm3. Ta h·y xem xÐt m« men chèng uèn cña 1 sè h×nh ®¬n gi¶n th-êng gÆp: - H×nh ch÷ nhËt : xÐt h×nh ch÷ nhËt cã kÝch th-íc lµ :®¸y b,chiÒu cao h. Khi ®ã th× bh 3 bh 2 ykmax=ynmax=h/2 vµ Jx= cho nªn Wx= 12 6 - H×nh trßn: t-¬ng tù ta còng cã: Wx=0,1D3 d - H×nh vµnh kh¨n: Wx=0,1D3 (1-  4 ) trong ®ã   D Ta vÏ ®-îc biÓu ®å nh- h×nh vÏ 5 §iÒu kiÖn bÒn khi uèn thuÇn tuý PhÇn trªn ta ®· x¸c ®Þnh ®-îc -s lín nhÊt cña ®iÓm chÞu kÐo , chÞu nÐn. Tuú theo h×nh d¸ng cña mÆt c¾t ngang vµ vËt liÖu, ta cã c¸c ®iÒu kiÖn bÒn nh- sau: a)MÆt c¾t cã Ýt nhÊt 2 trôc ®èi xøng: Mx V× ykmax=ynmax cho nªn  max   min  cho nªn ®èi víi c¶ vËt liÖu dÎo vµ dßn, Wx ta cã ®iÒu kiÖn bÒn nh- sau: Mx    k  max  Wx b) MÆt c¾t bÊt kú:Khi ®ã ®iÒu kiÖn bÒn ®-îc viÕt cho c¶ 2 ®iÓm chÞu kÐo vµ chÞu nÐn lín nhÊt.§ã lµ:  max    k  min    n 6.MÆt c¾t hîp lý: 6
* §Þnh nghÜa: MÆt c¾t hîp lý lµ mÆt c¾t chÞu lùc tèt nhÊt, nh-ng còng tiÕt kiÖm vËt liÖu nhÊt. * Dùa vµo biÓu ®å ph©n bè -s ph¸p trªn mÆt c¾t ngang, ta thÊy cµng gÇn ®-êng trung hoµ th× vËt liÖu chÞu lùc cµng Ýt, cho nªn ng-êi ta cã xu h-íng khoÐt bá bít phÇn vËt liÖu bªn trong t¹o nªn c¸c mÆt c¾t nh-: h×nh ch÷ I, ch÷ C ghÐp * MÆt kh¸c, mÆt c¾t ph¶i ®-îc t¹o sao cho: §iÓm chÞu kÐo lín nhÊt ®¹t ®Õn -s cho phÐp vÒ kÐo th× ®ång thêi ®iÓm chÞu nÐn lín nhÊt còng ®¹t ®Õn -s cho phÐp vÒ nÐn. NghÜa lµ tho¶ m·n: Mx k k  max  . y max    Jx Mx n . y max    n  min  Jx y max   k k Chia cho 2 vÕ cho nhau, ta ®-îc:  = y max  n n Ta thÊy mÆt c¾t hîp lý ph¶i tho¶ m·n biÓu thøc trªn, nghÜa lµ chiÒu cao ®-îc chia theo tû lÖ trªn. - VËt liÖu dÎo: th×  =1 cho nªn träng t©m chia ®Òu theo chiÒu cao nh- c¸c mÆt c¾t ch÷ I, ch÷ C ghÐp c©n. - VËt liÖu dßn: V× 
bc lµ chiÒu réng cña phÇn c¾t Dùa vµo c«ng thøc trªn, ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®-îc øng suÊt tiÕp cña 1 sè mÆt c¾t sau: - MÆt c¾t h×nh ch÷ nhËt:cã ®¸y lµ b vµ chiÒu cao lµ h. Ta thÊy øng suÊt tiÕp ph©n bè bËc 2 theo chiÒu 3. Qy cao vµ cã gi¸ trÞ lín nhÊt  max   max 2. F - MÆt c¾t trßn cã ®-êng kÝnh D: T-¬ng tù ta cã: Qy 4. Qy  max  3. F 3.§iÒu kiªn bÒn: Ta nhËn thÊy lµ ®iÓm nguy hiÓm cña øng suÊt ph¸p th-êng lÖch so víi ®iÓm nguy hiÓm cña øng suÊt tiÕp. Do vËy: trong thùc tÕ ng-êi ta th-êng viÕt ®iÒu kiÖn bÒn theo øng suÊt ph¸p vµ th-êng khi øng suÊt ph¸p ®-îc tho¶ m·n th× øng suÊt tiÕp còng tho¶ m·n. Tãm l¹i ®iÒu kiÖn bÒn khi uèn ngang ph¼ng còng t-¬ng tù nh- khi uèn thuÇn tuý. Chó ý: §èi víi mÆt c¾t cã ch©n ®Õ nh- mÆt c¾t ch÷ I, T, L… th× ng-êi ta th-êng chó ý kiÓm tra bÒn cho m¾t c¾t s¸t ch©n ®Õ, v× t¹i ®ã øng suÊt ph¸p vµ tiÕp ®Òu ®¹t gi¸ trÞ kh¸ lín, khi ®ã ph©n tè ë tr¹ng th¸i øng suÊt ph¼ng ®Æc biÖt, ph¶i sö dông thuyÕt bÒn ®Ó kiÓm tra. 4 .chuyÓn vÞ cña dÇm chÞu uèn ngang ph¼ng Ta ®· biÕt, khi dÇm chÞu uèn th× trôc dÇm bÞ cong ®i, ®-êng cong cña trôc dÇm gäi lµ ®-êng ®µn håi. NÕu lËp hÖ trôc to¹ ®é yoz, ta cã ph-¬ng tr×nh ®-êng ®µn håi nh- sau: y =y(z) XÐt 1 ®iÓm K bÊt kú, sau khi biÕn d¹ng ®iÓm K di chuyÓn thµnh ®iÓm K’. Khi ®ã KK’ gäi lµ chuyÓn vÞ dµi cña ®iÓm K. Ph©n KK’ thµnh 2 P thµnh phÇn: Thµnh K phÇn vu«ng gãc víi mÆt c¾t v(z) vµ thµnh u K’ v phÇn n»m ngang u(z). Lý thuyÕt ®µn håi ®· chøng minh ®-îc r»ng: thµnh phÇn u(z) lµ v« cïng bÐ bËc cao so víi v(z), cho nªn cã thÓ bá qua. Khi ®ã chuyÓn vÞ cña ®iÓm K cã thÓ coi lµ chuyÓn vÞ th¼ng ®øng. Khi ®ã ta cã: y  v(z) ChuyÓn vÞ th¼ng ®øng cña 1 ®iÓm ®-îc gäi lµ ®é vâng cña ®iÓm ®ã. Khi ®ã, ph-¬ng tr×nh ®-êng ®µn håi cã thÓ ®-îc coi lµ ph-¬ng tr×nh cña ®é vâng. B©y giê ta xÐt 1 mÆt c¾t ngang ®i qua ®iÓm K, sau khi bÞ biÕn d¹ng mÆt c¾t bÞ xoay ®i 1 gãc  gäi lµ gãc xoay. NÕu qua K’ ta kÎ tiÕp tuyÕn víi ®-êng ®µn håi, 8
th× tiÕp tuyÕn ®ã t¹o víi ph-¬ng n»m ngang 1 gãc chÝnh b»ng  . Cho nªn ta cã: §¹o hµm ®é vâng th× b»ng gãc xoay. y’(z)=  (z) Trong thùc tÕ th× ng-êi ta th-êng h¹n chÕ ®é vâng vµ gãc xoay, cho nªn ta cã ®iÒu kiÖn cøng nh- sau: ymax=fmax   f  vµ  max    Trong ®ã ®é vâng vµ gãc xoay cho phÐp ®-îc x¸c ®Þnh theo yªu cÇu kü thuËt ngoµi thùc tÕ. 5 Ph-¬ng tr×nh vi ph©n gÇn ®óng cña ®-êng ®µn håi Trong qu¸ tr×nh chøng minh c«ng thøc øng suÊt trªn mÆt c¾t ngang, ta ®· cã c«ng thøc (5.1) ®Ó x¸c ®Þnh b¸n kÝnh cong cña ®-êng ®µn håi lµ: 1 Mx   EJ x MÆt kh¸c theo to¸n häc, ta cã b¸n kÝnh cong cña 1 ®-êng cong bÊt kú lµ: 1 y"   3 (1  y ' ) 2 2 C©n b»ng vÕ ph¶i cña 2 biÓu thøc ta cã: y" Mx 3  EJ x (1  y ' 2 ) 2 Ta tiÕn hµnh xÐt dÊu biÓu thøc z trªn(h×nh vÏ). Ta thÊy Mx vµ y” lu«n Mx Mx ng-îc dÊu nhau, cho nªn biÓu thøc nµy chØ ®óng khi lÊy dÊu (-). MÆt kh¸c, ta thÊy y’2 lµ v« cïng bÐ bËc cao cho nªn ta cã thÓ bá qua. Khi ®ã Mx>0 Mx
 6 Ph-¬ng ph¸p n¨ng l-îng tÝnh chuyÓn vÞ I) Nguyªn t¾c chung Khi vËt thÓ chÞu lùc t¸c dông, nã sÏ bÞ biÕn d¹ng sinh ra chuyÓn vÞ. NÕu vËt liÖu vÉn lµm viÖc trong giai ®o¹n ®µn håi, khi ®ã ngo¹i lùc sÏ sinh c«ng A lµ hµm cña lùc vµ chuyÓn vÞ. NÕu bá qua mÊt m¸t n¨ng l-îng do sinh nhiÖt hoÆc do nguyªn nh©n vËt lý nµo ®ã, th× c«ng cña ngo¹i lùc ®-îc chuyÓn thµnh thÕ n¨ng biÕn d¹ng ®µn håi U tÝch luü trong vËt thÓ. Theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l-îng, ta cã: U =A Tõ ph-¬ng tr×nh trªn, ta sÏ x¸c ®Þnh ®-îc chuyÓn vÞ cña hÖ. ThÕ n¨ng biÕn d¹ng ®µn håi cña c¸c tr-êng hîp chÞu lùc ®¬n gi¶n: n li 2 N zi .dz - KÐo nÐn ®óng t©m: U   i 1 0 2 Ei Fi n li l 2 2 M xi .dz n i Q yi .dz - Uèn ngang ph¼ng U      i 1 0 2 Ei J xi i 1 0 2Gi Fi 2 n M zi .dz - Xo¾n thuÇn tuý: U  i 1 2Gi J Pi Ngoµi ra, ®Ó thuËn tiÖn cho viÖc tÝnh to¸n, ng-êi ta cßn th-êng sö dông chuyÓn vÞ ®¬n vÞ: lµ chuyÓn vÞ do lùc ®¬n vÞ (P=1) g©y nªn. Ký hiÖu:  §Þnh lÝ lùc ®¬n vÞ: ChuyÓn vÞ do 1 lùc tËp trung g©y ra b»ng chuyÓn vÞ ®¬n vÞ theo ph-¬ng cña lùc ®ã nh©n víi gi¸ trÞ cña lùc ®ã. Ta cã y k  P. k M« men uèn do 1 lùc tËp trung g©y nªn b»ng m« men uèn do lùc ®¬n vÞ g©y nªn nh©n víi gi¸ trÞ cña lùc ®ã. Ta cã Mx=P.Mk II ) §Þnh lý c¸t-sti-gli-a-n«: §Þnh lý: §¹o hµm riªng thÕ n¨ng biÕn d¹ng ®µn håi theo lùc nµo ®ã b»ng chuyÓn vÞ theo ph-¬ng cña lùc ®ã. U Tõ ®Þnh lý, ta biÓu diÔn b»ng biÓu thøc sau: y n  Pn Chøng minh: XÐt mét hÖ chÞu hÖ lùc t¸c dông P1, P2,…, Pn. (h×nh vÏ) P 1 P2 Pn+dPn yn y n Khi ®ã ta x¸c ®Þnh ®-îc thÕ n¨ng biÕn d¹ng ®µn håi U =A lµ c«ng do ngo¹i lùc sinh ra. B©y giê ta t¨ng lùc Pn thªm mét sè gia dPn , Khi ®ã thÕ n¨ng biÕn d¹ng ®µn håi U t¨ng thªm 1 l-îng lµ: dU= dPn Pn 10
Khi ®ã, lùc dPn sinh c«ng gåm: + C«ng di chuyÓn kh¶ dÜ do di chuyÓn 1 ®o¹n yn b»ng dPn.yn dPn .y n + C«ng ®µn håi cã gi¸ trÞ 2 Theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l-îng, ta cã: U dP .y U dPn  A  dPn . y n  n n Pn 2 dPn .y n Bá qua v« cïng bÐ bËc cao vµ biÕn ®æi ta ®-îc: 2 U  yn Pn Ta ®· chøng minh xong ®Þnh lý ViÖc tÝnh chuyÓn vÞ theo ®Þnh lÝ trªn cã nh-îc ®iÓm lµ rÊt khã kh¨n khi ph¶i t×m chuyÓn vÞ t¹i ®iÓm kh«ng cã lùc ®Æt. §Ó kh¾c phôc ®iÒu nµy, ng-êi ta th-êng sö dông c«ng thøc tÝch ph©n Mor III ) C«ng thøc tÝch ph©n Mor XÐt mét thanh chÞu uèn, tõ s¬ ®å t¶i träng ta cã m« men uèn néi lùc Mx. T¹i ®iÓm K cÇn tÝnh chuyÓn vÞ, t-ëng t-îng ®Æt mét lùc Pk vµ ta ®-îc m« men uèn Mxk=Pk.Mk. Trong ®ã Mk lµ m« men uèn do Pk=1 g©y nªn. Khi ®ã, ta tÝnh ®-îc thÕ n¨ng biÕn d¹ng ®µn håi do t¶i träng vµ lùc Pk lµ: l M x  M xk 2 dz l M x2  2M x .M xk  M xk 2 U   dz 0 2 EJ 0 2 EJ Theo ®Þnh lÝ catstigliano, ta cã: M x2  2M x .Pk .M k  Pk M k  l 2 U  yk   Pk Pk  0 2 EJ dz l M x .M k Cho Pk=0, ta cã: yk   dz 0 EJ Chó ý: NÕu Mx ,Mk kh«ng ®ång thêi liªn tôc, th× ta ph¶i chia lµm nhiÒu ®o¹n ®Ó n li M xi .M ki tÝnh. Khi ®ã: yk    dz i 1 0 Ei J i IV ) PhÐp nh©n biÓu ®å veresaghin 1) Thµnh lËp c«ng thøc: Dùa theo c«ng thøc tÝch ph©n Mor, ta cã nhËn xÐt nh- sau: - M« men uèn do t¶i träng g©y ra Mx lµ hµm sè bÊt k× f(z). -M« men uèn Mk do lùc ®¬n vÞ g©y ra lµ hµm sè bËc nhÊt ta cã thÓ ph©n tÝch lµ: Mk =F(z) =az+b Gi¶ sö EJ =const, ta tÝnh tÝch ph©n: l l l l l I=  M x .M k .dz   f  z .F  z dz   f  z az  b dz  a  f  z .z.dz  b  f  z .dz 0 0 0 0 0 Ta nhËn thÊy: f(z).dz lµ diÖn tÝch cña h×nh g¹ch g¹ch, cho nªn: 11
l  f z .z.dz  S 0 f z   .z c (m« men tÜnh cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®-êng f(z) víi trôc f(z)) l  f z .z.dz  0 lµ diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng ®-îc giíi h¹n bëi ®-êng f(z) Thay vµo ta ®-îc: I  a.z c  b.  a.z c  b   . c C f(z) 2) PhÐp nh©n biÓu ®å:  - VÏ biÓu ®å m« men uèn do t¶i träng g©y nªn, ta ®-îc biÓu 0 z ®å m« men ®-îc ký hiÖu lµ z dz l MP. Gi¶ sö ta tÝnh ®-îc diÖn zc F(z) tÝch cña biÓu ®å MP lµ  vµ träng t©m C cña biÓu ®å. c - T¹i ®iÓm cÇn tÝnh chuyÓn vÞ z ta ®Æt 1 lùc ®¬n vÞ (Pk=1) vµ vÏ biÓu ®å m« men do lùc ®¬n vÞ ®ã g©y nªn. Ta ®-îc biÓu ®å Mk gäi lµ biÓu ®å ®¬n vÞ. Giãng tõ träng t©m C cña biÓu ®å MP xuèng biÓu ®å Mk ta ®-îc tung ®é t-¬ng øng lµ  . Khi ®ã chuyÓn vÞ cña ®iÓm K ®-îc x¸c ®Þnh nh- sau: 1 fk= (Mp).(Mk) = . EJ Ta cã quy t¾c nh©n biÓu ®å sau: LÊy diÖn tÝch cña biÓu ®å Mp nh©n víi tung ®é t-¬ng øng víi träng t©m cña biÓu ®å Mp lÊy trªn biÓu ®å Mk 3/Mét sè chó ý khi nh©n biÓu ®å - PhÐp nh©n biÓu ®å chØ ®-îc phÐp thùc hiÖn khi trªn ®o¹n cÇn tÝnh c¶ 2 biÓu ®å Mp vµ Mk ph¶i liªn tôc vµ ®¹o hµm liªn tôc. NÕu kh«ng liªn tôc th× ta ph¶i chia nhá thµnh c¸c ®o¹n ®Ó ®¶m b¶o tÝnh liªn tôc. - Trong tr-êng hîp biÓu ®å Mp lµ h×nh phøc t¹p, ta cã thÓ chia nhá thµnh c¸c h×nh ®¬n gi¶n mµ ta ®· biÕt diÖn tÝch vµ träng t©m. n 1 Khi ®ã ta cã: f k= EJ   . i i i 1 Ta cã diÖn tÝch vµ träng t©m cña 1 sè h×nh ®¬n gi¶n ®-îc t¹o bëi ®-êng cong bËc 2 nh- sau: 12
2 1 ql 3  lh  lh  3 3 12 h h 3 l l l l l l /2 /2 8 4 - Khi nh©n biÓu ®å, nÕu 2 biÓu ®å Mp vµ Mk cïng phÝa th× mang dÊu d-¬ng, ng-îc phÝa th× mang dÊu ©m. - KÕt qu¶ tÝnh ®-îc nÕu mang dÊu d-¬ng th× chøng tá chiÒu chuyÓn vÞ cïng chiÒu víi chiÒu lùc ®¬n vÞ, cßn ©m chøng tá ng-îc chiÒu víi chiÒu lùc ®¬n vÞ. . C¸c tr-êng hîp më réng: - §Ó cÇn tÝnh gãc xoay t¹i 1 ®iÓm, t¹i ®iÓm cÇn tÝnh gãc xoay ta ®Æt 1 m« men ®¬n vÞ Mk=1 - §Ó cÇn tÝnh chuyÓn vÞ t-¬ng ®èi(gãc xoay t-¬ng ®èi), t¹i 2 ®iÓm K vµ K1 ta ®Æt 2 lùc ®¬n vÞ (2 m« men ®¬n vÞ) ng-îc chiÒu nhau råi vÏ biÓu ®å ®¬n vÞ. - Khi kÐo nÐn ta còng cã thÓ sö dông phÐp nh©n biÓu ®å. Pk=1 Mk=1 Pk=1 Mk=1 13