Chỉ tiêu chất lượng (Hàm mục tiêu)

Chia sẻ: Nguyen Dinh Tung | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

136
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khảo sát vấn đề duy trì trạng thái của hệ thống ở giá trị là 0, chống tác động nhiễu, đồng thời với cục tiểu tiêu hao năng lượng - Q là ma trận đối xứng xđd hay bán xđd, thường là ma trận chéo - R là ma trận đối xứng xđd, thường là ma trận chéo - Chọn luật điều khiển hồi tiếp trạng thái u = - Kx, K là hằng số, thay vào biểu thức của J

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chỉ tiêu chất lượng (Hàm mục tiêu)

CHỈ TIÊU CHẤT LƯỢNG Chỉ tiêu chất lượng (Hàm mục tiêu): 2 ∞ min ISE = min ∫ ( y (t ) − yr ) dt Integral of square error 0 Giới hạn tín hiệu điều khiển : max |u(t)|
TỐI ƯU THAM SỐ E ( s) s Hàm truyền sai = s +K R( s) số Với tín hiệu vào hàm nấc: e(t) = e - Kt ∞2 1 min ISE = min ∫ e (t ) dt = min 2K 0 Kết quả là K phải vô cùng Dùng chỉ tiêu J = min ∫ (e (t ) + u (t ) )dt = ∞ 1 K 2 2 + 2K 2 0 d 1 K + ) =0 ( J cực tiểu khi suy ra K = 1, J = 1 dK 2 K 2 ∂2 1 J= 3>0 ∂2 K K
ĐIỀU CHỈNH TRẠNG THÁI (LQR) LINEAR QUADRATIC REGULATOR Khảo sát vấn đề duy trì trạng thái của hệ thống ở giá trị là 0, chống tác đ ộng nhiễu, đồng thời với cục tiểu tiêu hao năng lượng x = Ax +Bu , x (0) = x 0  y =Cx [ ] 1∞ T min J = ∫ x Qx +u T Ru dt , 20 Q là ma trận đối xứng xđd hay bán xđd, thường là ma trận chéo R là ma trận đối xứng xđd, thường là ma trận chéo Chọn luật điều khiển hồi tiếp trạng thái u = - Kx, K là hằng số, thay vào biểu thức của J 1 ∞ = T x (Q + K RKT) xdt J = ∫ x 1 ∫(Q + K RK ) xdt ∞ T T J 20 2 0 Tính K dùng phương trình Lyapunov, chọn hàm Lyapunov là J: 1∞ T 1 V ( x (t )) = ∫ x (Q + K T RK ) xdt = x T Px 2t 2 V(x(0)) = J = xT(0)Px(0) Đạo hàm theo thời gian
ĐIỀU CHỈNH TRẠNG THÁI 1 ∞ V ( x ) = x T (Q +K T RK ) x |t  2 [ ] [ ] 1 1 = x T (∞ Q +K T RK x (∞ − x T (t ) Q +K T RK x (t ) ) ) 2 2 Gỉa sử chọn K để hệ ổn định, x(∞ ) →0 [ ] 1 V ( x ) =− x T (t ) Q +K T RK x (t )  2 Mặt khác [ ] V ( x) = ( xT Px + x T Px ) = xT ( A − BK )T P + P ( A − BK ) x 1 1    2 2 [ ] 1T 1 Suy ra x ( A − BK )T P + P ( A − BK ) x = − x T (Q + K T RK ) x 2 2 Ma trận P thỏa phương trình Lyapunov ( A − BK )T P + P ( A − BK ) = −(Q + K T RK )
ĐIỀU CHỈNH TRẠNG THÁI Các bước giải bài toán tối ưu •Giải phương trình Lyapunov ta được các phần tử của ma trận P theo các phần tử của ma trận K chưa biết 1 •Sau đó ta tính J = V(x(0)) = xT (0) Px (0) là hàm theo các ph ần t ử c ủa 2 ma trận K ∂J ∂P =0 =0 •Để J cực tiểu ta giải phương trình hay ∂kij ∂kij •Suy ra ma trận K, luật điều khiển u = - Kx •Xét ổn định của ma trận A-BK •Nêú muốn điêù chỉnh ngõ ra y=cx ta chọn 1∞ T T J = ∫ x (C QC + K T RK ) xdt 20
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ RICCATI Đặt R = ΓT Γ, Γ là ma trận vuông không suy biến Phương trình Lyapunov viết lại là: ( AT − K T B T ) P + P ( A − BK ) + Q + K T ΓT ΓK = 0 AT P + PA +[ΓK − (ΓT ) −1 B T P ]T [ΓK − (ΓT ) −1 B T P ] − PBR −1 B T P + Q = 0 Lấy đạo hàm phương trình theo kij và dùng tính chất ∂P = 0 ∂kij ∂ Ta suy ra [(ΓK − (ΓT ) −1 B T P )T (ΓK − (ΓT ) −1 B T P )] = 0 ∂kij Cực tiểu xảy ra khi số hạng trong ngoặc là 0 Γ = (Γ ) − B T P T 1 K K = Γ− (Γ ) −1 B T P = R − B T P 1 T 1 Phương trình Lyapunov trở thành phương trình đại số Riccati AT P + PA − PBR −1 B T P + Q = 0
VÍ DỤ1 y = −y +u  ∞ J = ∫ ( y 2 +u 2 ) dt 0 u = −ky Các thông số của bài toán: A = -1, B = 1, Q = 2, R = 2 Phương trình Riccati ATP + PA - PBR-1BTP + Q = 0 -P – P - 0.5 P2 + 2 = 0 Giải phương trình bậc hai theo P và chọn nghiệm dương P = 2( 2 −1) − Luật điều khiển tối ưu : u (t ) = −R B Py (t ) = −( 2 −1) y (t ) 1T y (t ) = − 2 y (t ) Phương trình hệ  kín:
VÍ DỤ2 0 1  0 x = x +  u   0 0 1  y =[1 0] x Tìm luật điều khiển u duy trì x1= r, x2 = 0 u = - k1(x1-r) - k2x2 ∞ cực tiểu chỉ tiêu J = ∫ (( x1 −r ) 2 +u 2 ) dt 0 ~ = x −r x1 1 Đặt biến mới ~ =x x2 2 2 0 Q = ; R =2 0 0  Phương trình Riccati: ATP + PA - PBR-1BTP + Q = 0
VÍ DỤ2 0 p11 p12   p11 p12 0 0 1  +p 0 p12 p22 0 1 0 p22   12      p11 p12 01   p11 p12  2 0 0 0 1 2 [ 0 1]  −  + 0  = 0 0 p22     p12  p12 p22   0   2 p12 − +2 = 0 2 pp p11 − 12 22 = 0 2 2 p22 − +2 p12 = 0 2 Cuối cùng : 2 2 2 P =  2 2 2 u = −R −1 B T P~ (t ) = −~1 (t ) − 2~2 (t ) = − x1 −r ) − 2 x2 x x x (
VÍ DỤ 3 Điều khiển tối ưu với tích phân Trở lại ví dụ 1 ta muốn thêm vào khâu tích phân để tính chống nhiễu tốt hơn y = −y +u  ∞ J = ∫ ( y 2 +u 2 ) dt 0 u = −ky Đặt biến mới z(t) y = −y +u  z (t ) = y (t )  ∞ J = ∫ ( y 2 + z 2 +u 2 ) dt 0 u = −k1 y −k 2 z −1 0 1  A = , B =  0 1 0  2 0  Q = , R = 2 0 2
VÍ DỤ 3 Điều khiển tối ưu với tích phân Phương trình Riccati −1 1  p11 p12   p11 p12 −1 0 +  0 0 p p22   p12 p22  1 0   12    p p12 1 1  p p12  2 0  0 0 02 [1 0]  11 −  11  + 0  = 0 0 p22     p12  p12 p22   2   2 p11 −2 p11 +2 p12 − +2 = 0 2 pp − p12 + p22 − 11 12 = 0 2 2 p12 − +2 = 0 2  2 2 P = 4 Kết quả 2   K =R − B T P =[1 1] 1 t u =−y (t ) −z (t ) =−y (t ) −∫ y (t ) dt 0
VÍ DỤ 4 ∞ Tìm hệ số đệm ζ sao cho cực tiểu J = ∫ (e 2 + e 2 ) dt  0 e 1 y r s ( s +2ζ) Phương trình liên hệ y và r  + 2ζy + y = r y  Phương trình vi phân của e e + 2ζe + e = 0   e = r − y; e(0) = 1; e(0) = 0  Phương trình trạng thái của e e   0 1  e  e  = −1 − 2ζ  e; x1 = e; x2 = e       2 0 ∞ 1∞ T J= + x2 ) dt = ∫ x Qxdt ; Q =  2 2 ∫ ( x1 2 20 0  0
VÍ DỤ 4 Phương trình Riccati: ATP + PA + Q = 0 1  Giải pt ζ + 2ζ 1 P= 1 1  ζ    1T 1 x (0) Px(0) = ζ + J= 2ζ 2 1 Đạo hàm theo ζ suy ra trị tối ưu ứng với ζ = 2
VÍ DỤ 5 e u k1 100/s2 y r sk2 [ ] ∞ J = ∫ e 2 (t ) + 0.25u 2 (t ) dt Tìm k1 và k2 cực tiểu 0 Phương trình trạng thái: ~ = 0 1~ +  0 u; ~ (0) = −1  x  x 100 x 0  0 0    ~ = y − r ; ~ = y; u = −k ~ − k k ~ = −K~ x1 x2  1 x1 1 2 x2 x K = [ k1 k1k 2 ]
VÍ DỤ 5 2 0 Q = ; R = 0.5 0 0 GiảI phương trình Riccati  0.2 0.01  P = 0.001 0.01  K = [ 2 0.2] k1 = 2; k 2 = 0.1
MATLAB Hàm [K, P, e] = lqr (A, B, Q, R) giải bài toán cực tiểu [ ] ∞ min J = ∫ x T Qx +u T Ru dt 0 Phương trình Riccati ATP + PA - PBR-1BTP + Q = 0 u = -Kx e là nghiệm riêng của ma trận A-BK k= Ví dụ 4: Lấy lại ví dụ 2 1.0000 1.4142 >> A = [0 1; 0 0]; p= >> B = [0; 1]; 2.8284 2.0000 >> C = [1 0]; 2.0000 2.8284 >> Q = [2 0; 0 0]; e= >> R = [2]; -0.7071 + 0.7071i >> [k ,p, e] = lqr (A, B, Q, R) -0.7071 - 0.7071i
MATLAB Điều kiện đầu là [5 0], điều khiển sao cho y → 2 >> ptttk = ss (A - B*k, B*k(1,1), C, 0) 5 4 >> t = 0:0.1:10; 3 >> r = 2*ones (size(t)); 2 >> [y, t, x] = lsim (ptttk, r, t, [5 0]); 1 >> plot (t, y) 0 -1 >> hold on -2 >> u = -k*x' + k (1,1) *r; -3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >> plot(t,u) Điều kiện đầu là [5 0], điều khiển sao cho y → 05 >> ptttk = ss (A - B*k,[0; 0], C, 0) 4 3 >> [y, t, x] = lsim (ptttk, r, t, [5 0]); 2 1 >> plot (t, y) 0 >> hold on -1 -2 >> u = -k*x‘; -3 -4 >> plot (t,u) -5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU HỆ RỜI RẠC x ( k +1) = Fx (k ) + Gu (k ); x (0) = x 0 y ( k ) = Cx (k ) [ ] 1∞ T J = ∑ x (k )Qx (k ) + u T (k ) Ru (k ) 2 k =0 u ( k ) = −Kx (k ) Phương trình Riccati rời rạc P = Q + F T PF − F T PG ( R + G T PG ) −1 G T PF K = ( R + G T PG ) −1 G T PF Dùng Matlab [K, P, e] = dlqr (F, G, Q, R)
VÍ DỤ 6 K ZOH 1/s r=1(t) T=1s [ ] ∞ Tìm K cực tiểu J = ∑ e 2 ( k ) +0.75u 2 ( k ) k=0 Pttt: y(k+1) = y(k) + u(k) ; u(k) = - K[y(k) - r] ~ ( k +1) = ~ ( k ) +u ( k ); u ( k ) = −K~ ( k ) x x x ~ ( k ) = y ( k ) −r x [ ] ∞ J = ∑ ~ 2 ( k ) +0.75u 2 ( k ) x k =0 Q = 2; R =1.5 P2 P =2 +P − Giải pt Riccati rời rạc, suy ra 1.5 +P P =3 K =2 / 3
VÍ DỤ 7 • Điêù khiển đối tượng 1/(s+1) với tín hiệu đặt yr = hằng số, cực tiểu 1 ∞ ~2 ~ J = ∑ y ( k ) +u 2 ( k )] [ 2 k =0 G(z)=0.632/(z-0.368) y(k+1)=0.368y(k)+0.632u(k) F=0.368, G=0.632, Q=1, R=1 Phương trình Riccati: P=Q+FTPF-FTPG (R+GTPG) -1 GTPF =1+0.135P-0.054P2/(1+0.4P) P=1.11 K= (R+GTPG) -1 GTPF=0.18 1/N=-C(F-GK-1) -1 G N=1.18