Chương 1: Các bước đầu cơ sở

Chia sẻ: Thanh Tran | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

61
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để bắt đầu một cuộc hành trình, ta không thể không chuẩn bị những hành trang để lên đường. Toán học củng vậy, Muốn khám phá được cái hay , cái đẹp của bất đẳng thức lượng giác ta cần có những vật dụng chắc chắn và hửu dụng đó chính là chương 1 " các bước đầu cơ sở"

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 1: Các bước đầu cơ sở

Chương 1 : CÁC BƯ C ð U CƠ S ð b t ñ u m t cu c hành trình, ta không th không chu n b hành trang ñ lên ñư ng. Toán h c cũng v y. Mu n khám phá ñư c cái hay và cái ñ p c a b t ñ ng th c lư ng giác, ta c n có nh ng “v t d ng” ch c ch n và h u d ng, ñó chính là chương 1: “Các bư c ñ u cơ s ”. Chương này t ng quát nh ng ki n th c cơ b n c n có ñ ch ng minh b t ñ ng th c lư ng giác. Theo kinh nghi m cá nhân c a mình, tác gi cho r ng nh ng ki n th c này là ñ y ñ cho m t cu c “hành trình”. Trư c h t là các b t ñ ng th c ñ i s cơ b n ( AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev …) Ti p theo là các ñ ng th c, b t ñ ng th c liên quan cơ b n trong tam giác. Cu i cùng là m t s ñ nh lý khác là công c ñ c l c trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c (ñ nh lý Largare, ñ nh lý v d u c a tam th c b c hai, ñ nh lý v hàm tuy n tính …) M cl c: 1.1. Các b t ñ ng th c ñ i s cơ b n…………………………………………… 4 1.1.1. B t ñ ng th c AM – GM…...……………. .......................................... 4 1.1.2. B t ñ ng th c BCS…………………………………………………….. 8 1.1.3. B t ñ ng th c Jensen……………………………………………….... 13 1.1.4. B t ñ ng th c Chebyshev…………………………………………. ... 16 1.2. Các ñ ng th c, b t ñ ng th c trong tam giác…………………………….. 19 1.2.1. ð ng th c……………………………………………………………... 19 1.2.2. B t ñ ng th c………………………………………………………. ... 21 1.3. M t s ñ nh lý khác………………………………………………………. 22 1.3.1. ð nh lý Largare ………………………..……………………………. 22 1.3.2. ð nh lý v d u c a tam th c b c hai………………………………….. 25 1.3.3. ð nh lý v hàm tuy n tính…………………………………………….. 28 1.4. Bài t p…………………………………………………………………….. 29 3
1.1. Các b t ñ ng th c ñ i s cơ b n : 1.1.1. B t ñ ng th c AM – GM : V i m i s th c không âm a1 , a 2 ,..., a n ta luôn có a1 + a 2 + ... + a n n ≥ a1 a 2 ...a n n B t ñ ng th c AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means) là m t b t ñ ng th c quen thu c và có ng d ng r t r ng rãi. ðây là b t ñ ng th c mà b n ñ c c n ghi nh rõ ràng nh t, nó s là công c hoàn h o cho vi c ch ng minh các b t ñ ng th c. Sau ñây là hai cách ch ng minh b t ñ ng th c này mà theo ý ki n ch quan c a mình, tác gi cho r ng là ng n g n và hay nh t. Ch ng minh : Cách 1 : Quy n p ki u Cauchy V i n = 1 b t ñ ng th c hi n nhiên ñúng. Khi n = 2 b t ñ ng th c tr thành a1 + a 2 2 ( ≥ a1 a 2 ⇔ a1 − a 2 ≥ 0 2 ) (ñúng!) Gi s b t ñ ng th c ñúng ñ n n = k t c là : a1 + a 2 + ... + a k k ≥ a1a 2 ...a k k Ta s ch ng minh nó ñúng v i n = 2k . Th t v y ta có : (a1 + a 2 + ... + ak ) + (a k +1 + ak +2 + ... + a 2k ) (a1 + a 2 + ... + ak )(ak +1 + ak +2 + ... + a2k ) ≥ 2k k ≥ (k k )( a1 a 2 ...a k k k a k +1 a k + 2 ...a 2 k ) k = 2 k a1 a 2 ...a k a k +1 ...a 2 k Ti p theo ta s ch ng minh v i n = k − 1 . Khi ñó : a1 + a 2 + ... + a k −1 + k −1 a1a 2 ...a k =1 ≥ k k a1 a 2 ...a k −1 k −1 a1a 2 ...a k −1 = k k −1 a1 a 2 ...a k −1 ⇒ a1 + a 2 + ... + a k −1 ≥ (k − 1)k −1 a1 a 2 ...a k −1 Như v y b t ñ ng th c ñư c ch ng minh hoàn toàn. ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a 2 = ... = a n Cách 2 : ( l i gi i c a Polya ) 4
a 1 + a 2 + ... + a n G i A = n Khi ñó b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i a1 a 2 ...a n ≤ A n (*) Rõ ràng n u a1 = a 2 = ... = a n = A thì (*) có d u ñ ng th c. Gi s chúng không b ng nhau. Như v y ph i có ít nh t m t s , gi s là a1 < A và m t s khác, gi s là a 2 > A t c là a1 < A < a 2 . Trong tích P = a1 a 2 ...a n ta hãy thay a1 b i a'1 = A và thay a 2 b i a' 2 = a1 + a 2 − A . Như v y a'1 + a' 2 = a1 + a 2 mà a'1 a' 2 −a 2 a 2 = A(a1 + a 2 − A) − a1a 2 = (a1 − A)(a 2 − A) > 0 ⇒ a'1 a' 2 > a1 a 2 ⇒ a1 a 2 a3 ...a n < a'1 a' 2 a3 ...a n Trong tích P ' = a '1 a' 2 a3 ...a n có thêm th a s b ng A . N u trong P ' còn th a s khác A thì ta ti p t c bi n ñ i ñ có thêm m t th a s n a b ng A . Ti p t c như v y t i ña n − 1 l n bi n ñ i ta ñã thay m i th a s P b ng A và ñư c tích A n . Vì trong quá trình bi n ñ i tích các th a s tăng d n. ⇒ P < A n . ⇒ ñpcm. Ví d 1.1.1.1. Cho A,B,C là ba góc c a m t tam giác nh n. CMR : tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 L i gi i : tan A + tan B Vì tan ( A + B ) = − tan C ⇔ = − tan C 1 − tan A tan B ⇒ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C Tam giác ABC nh n nên tanA,tanB,tanC dương. Theo AM – GM ta có : tan A + tan B + tan C ≥ 33 tan A tan B tan C = 33 tan A + tan B + tan C ⇒ (tan A + tan B + tan C ) ≥ 27(tan A + tan B + tan C ) 2 ⇒ tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 ð ng th c x y ra ⇔ A = B = C ⇔ ∆ABC ñ u. Ví d 1.1.1.2. Cho ∆ABC nh n. CMR : cot A + cot B + cot C ≥ 3 5
L i gi i : Ta luôn có : cot ( A + B ) = − cot C cot A cot B − 1 ⇔ = − cot C cot A + cot B ⇔ cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1 Khi ñó : (cot A − cot B )2 + (cot B − cot C )2 + (cot C − cot A)2 ≥ 0 ⇔ (cot A + cot B + cot C ) ≥ 3(cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A) = 3 2 ⇒ cot A + cot B + cot C ≥ 3 D u b ng x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 1.1.1.3. CMR v i m i ∆ABC nh n và n ∈ N * ta luôn có : n −1 tan n A + tan n B + tan n C ≥3 2 tan A + tan B + tan C L i gi i : Theo AM – GM ta có : tan n A + tan n B + tan n C ≥ 33 (tan A tan B tan C ) = 33 (tan A + tan B + tan C ) n n n −1 tan n A + tan n B + tan n C ⇒ tan A + tan B + tan C ≥ 33 (tan A + tan B + tan C ) ≥ 33 3 3 n −3 ( ) n −3 =3 2 ⇒ ñpcm. Ví d 1.1.1.4. Cho a,b là hai s th c th a : cos a + cos b + cos a cos b ≥ 0 CMR : cos a + cos b ≥ 0 L i gi i : Ta có : cos a + cos b + cos a cos b ≥ 0 ⇔ (1 + cos a )(1 + cos b ) ≥ 1 Theo AM – GM thì : 6
(1 + cos a ) + (1 + cos b ) ≥ (1 + cos a )(1 + cos b ) ≥ 1 2 ⇒ cos a + cos b ≥ 0 Ví d 1.1.1.5. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC nh n ta có : cos A cos B cos B cos C cos C cos A 2  A B B C C A 3 + + ≤  sin sin + sin sin + sin sin  + A cos cos B B cos cos C C cos cos A 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L i gi i : Ta có cos A A A = sin cot A 2 2 2 cos 2 3 cos A cos B 4  A B  3  =  sin sin  cot A cot B  A B  2 2  4  4 cos cos 2 2 Theo AM – GM thì : 2 3  A B 3  cos A cos B  sin sin + cot A cot B  4 ≤ 2 2 4  A B  2  4 cos cos   2 2   cos A cos B 2  A B 3  ⇒ ≤  sin sin + cot A cot B  A cos cos B 3 2 2 4  2 2 Tương t ta có : cos B cos C 2  B C 3  ≤  sin sin + cot B cot C  B cos cos C 3 2 2 4  2 2 cos C cos A 2  C A 3  ≤  sin sin + cot C cot A  C cos cos A 3 2 2 4  2 2 C ng v theo v các b t ñ ng th c trên ta ñư c: 7
cos A cos B cos B cos C cos C cos A + + A B B C C A cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2  A B B C C A 3 ≤  sin sin + sin sin + sin sin  + (cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A) 3 2 2 2 2 2 2 2 2  A B B C C A 3 =  sin sin + sin sin + sin sin  + ⇒ ñpcm. 3 2 2 2 2 2 2 2 Bư c ñ u ta m i ch có b t ñ ng th c AM – GM cùng các ñ ng th c lư ng giác nên s c nh hư ng ñ n các b t ñ ng th c còn h n ch . Khi ta k t h p AM – GM cùng BCS, Jensen hay Chebyshev thì nó th c s là m t vũ khí ñáng g m cho các b t ñ ng th c lư ng giác. 1.1.2. B t ñ ng th c BCS : V i hai b s (a1 , a2 ,..., an ) và (b1 , b2 ,..., bn ) ta luôn có : (a1b1 + a2 b2 + ... + a n bn )2 ≤ (a1 2 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 ) N u như AM – GM là “cánh chim ñ u ñàn” trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c thì BCS (Bouniakovski – Cauchy – Schwartz) l i là “cánh tay ph i” h t s c ñ c l c. V i AM – GM ta luôn ph i chú ý ñi u ki n các bi n là không âm, nhưng ñ i v i BCS các bi n không b ràng bu c b i ñi u ki n ñó, ch c n là s th c cũng ñúng. Ch ng minh b t ñ ng th c này cũng r t ñơn gi n. Ch ng minh : Cách 1 : Xét tam th c : f ( x) = (a1 x − b1 ) + (a 2 x − b2 ) + ... + (a n x − bn ) 2 2 2 Sau khi khai tri n ta có : ( 2 2 2 ) 2 2 ( f ( x) = a1 + a 2 + ... + a n x 2 − 2(a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn )x + b1 + b2 + ... + bn 2 ) M t khác vì f ( x) ≥ 0∀x ∈ R nên : ( 2 2 2 )( ∆ f ≤ 0 ⇔ (a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn ) ≤ a1 + a 2 + ... + a n b1 + b2 + ... + bn 2 2 2 2 ) ⇒ ñpcm. a1 a 2 a ð ng th c x y ra ⇔ = = ... = n (quy ư c n u bi = 0 thì ai = 0 ) b1 b2 bn Cách 2 : 8
S d ng b t ñ ng th c AM – GM ta có : 2 2 ai bi 2 ai bi + 2 ≥ 2 2 a1 + a 2 + ... + a n 2 2 b1 + b2 + ... + bn 2 (a 2 2 + a 2 + ... + a n b1 + b2 + ... + bn 1 2 )( 2 2 2 ) Cho i ch y t 1 ñ n n r i c ng v c n b t ñ ng th c l i ta có ñpcm. ðây cũng là cách ch ng minh h t s c ng n g n mà b n ñ c nên ghi nh ! Bây gi v i s ti p s c c a BCS, AM – GM như ñư c ti p thêm ngu n s c m nh, như h m c thêm cánh, như r ng m c thêm vây, phát huy hi u qu t m nh hư ng c a mình. Hai b t ñ ng th c này bù ñ p b sung h tr cho nhau trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c. Chúng ñã “lư ng long nh t th ”, “song ki m h p bích” công phá thành công nhi u bài toán khó. “Trăm nghe không b ng m t th y”, ta hãy xét các ví d ñ th y rõ ñi u này. Ví d 1.1.2.1. CMR v i m i a,b, α ta có : 2 (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ 1 +  a + b     2  L i gi i : Ta có : (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) = sin 2 α + (a + b )sin α cos α + ab cos 2 α 1 − cos 2α (a + b ) 1 + cos 2α = + sin 2α + ab 2 2 2 1 = (1 + ab + (a + b )sin 2α + (ab − 1) cos 2α ) (1) 2 Theo BCS ta có : A sin x + B cos x ≤ A2 + B 2 (2) Áp d ng (2) ta có : (a + b )sin 2α + (ab − 1) cos 2α ≤ (a + b )2 + (ab − 1)2 = (a 2 )( +1 b2 +1 ) (3) Thay (3) vào (1) ta ñư c : (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ 1 (1 + ab + 2 (a 2 )( +1 b2 +1 )) (4) Ta s ch ng minh b t ñ ng th c sau ñây v i m i a, b : 2 1 2 (1 + ab + (a 2 )( )) a+b +1 b2 +1 ≤ 1 +    2  (5) 9
Th t v y : 1 ab 1 a 2 + b 2 ab (5) ⇔ + + 2 2 2 (a 2 )( ) +1 b2 +1 ≤ 1+ 4 + 2 a2 + b2 + 2 ( ⇔ a +1 b +1 ≤2 )( 2 2 ) ) ( a +1 + b2 +1 ) ( ) 2 2 ( ⇔ a +1 b +1 ≤ 2 )( 2 (6) Theo AM – GM thì (6) hi n nhiên ñúng ⇒ (5) ñúng. T (1) và (5) suy ra v i m i a,b, α ta có : 2 (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ 1 +  a + b     2  ð ng th c x y ra khi x y ra ñ ng th i d u b ng (1) và (6) a 2 = b 2 a = b a = b    ⇔  a+b ab − 1 ⇔  a+b ⇔  1 a+b π  = tgα = α = arctg +k (k ∈ Z )  sin 2α cos 2α  ab − 1  2 ab − 1 2 Ví d 1.1.2.2. Cho a, b, c > 0 và a sin x + b cos y = c . CMR : cos 2 x sin 2 y 1 1 c2 + ≤ + − 3 a b a b a + b3 L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : 1 − sin 2 x 1 − cos 2 y 1 1 c2 + ≤ + − 3 a b a b a + b3 sin 2 x cos 2 y c2 ⇔ + ≥ 3 (*) a b a + b3 Theo BCS thì : ( )( (a1b1 + a 2 b2 )2 ≤ a12 + a 2 2 b1 2 + b2 2 )  sin x cos y a1 = ; a2 = v i  a b b = a a ; b = b b  1 2  sin 2 x cos 2 y  3 ⇒  3 (  a + b  a + b ≥ (a sin x + b cos y ) ) 2   do a + b > 0 và a sin x + b cos y = c ⇒ (*) ñúng ⇒ ñpcm. 3 3 10
a1 a 2 sin x cos y ð ng th c x y ra ⇔ = ⇔ 2 = 2 b1 b2 a b  sin x cos y  = 2 ⇔  a2 b a sin x + b cos y = c   a 2c sin x = 3  a + b3 ⇔ 2 cos y = b c   a3 + b3 Ví d 1.1.2.3. CMR v i m i ∆ABC ta có : a2 + b2 + c2 x+ y+ z≤ 2R v i x, y, z là kho ng cách t ñi m M b t kỳ n m bên trong ∆ABC ñ n ba c nh BC , CA, AB . A L i gi i : Ta có : P S ABC = S MAB + S MBC + S MCA Q z y S MAB S MBC S MCA ha M ⇔ + + =1 S ABC S ABC S ABC x B C z y x N ⇔ + + =1 hc hb ha  x y z  ⇒ ha + hb + hc = (ha + hb + hc ) + +  h   a hb hc  Theo BCS thì : x y z  x y z  x + y + z = ha + hb + hc ≤ (ha + hb + hc )  + +  = ha + hb + hc  ha hb hc  ha hb hc  1 1 mà S = aha = ab sin C ⇒ ha = b sin C , hb = c sin A , hc = a sin B 2 2 ab bc ca ⇒ ha + hb + hc = (a sin B + b sin C + c sin A) = + + 2R 2R 2R T ñó suy ra : ab + bc + ca a2 + b2 + c2 x+ y+ z≤ ≤ ⇒ ñpcm. 2R 2R 11
a = b = c ð ng th c x y ra khi và ch khi  ⇔ ∆ABC ñ u và M là tâm n i ti p ∆ABC . x = y = z Ví d 1.1.2.4. Ch ng minh r ng :  π cos x + sin x ≤ 4 8 ∀x ∈  0 ;   2 L i gi i : Áp d ng b t ñ ng th c BCS liên ti p 2 l n ta có : ( cos x + sin x ) ≤ ((1 4 2 )+ 12 (cos x + sin x ) ) 2 ≤ (1 + 1 ) (1 2 2 2 2 )( + 12 cos 2 x + sin 2 x = 8 ) ⇒ cos x + sin x ≤ 8 4 π ð ng th c x y ra khi và ch khi x = . 4 Ví d 1.1.2.5. Ch ng minh r ng v i m i s th c a và x ta có ( ) 1 − x 2 sin a + 2 x cos a ≤1 1+ x2 L i gi i : Theo BCS ta có : ((1 − x )sin a + 2 x cos a ) 2 2 (( ≤ 1− x2 ) + (2 x ) )(sin 2 2 2 a + cos 2 a ) 2 4 2 2 4 = 1 − 2x + x + 4x = 1 + 2x + x (( ) ⇒ 1 − x 2 sin a + 2 x cos a ) ≤ (1 + x ) 2 2 2 ⇔ (1 − a )sin a + 2 x cos a ≤ 1 2 1+ x2 ⇒ ñpcm. 12
1.1.3. B t ñ ng th c Jensen : Hàm s y = f (x) liên t c trên ño n [a, b] và n ñi m x1 , x 2 ,..., x n tùy ý trên ño n [a, b] ta có : i) f ' ' ( x) > 0 trong kho ng (a, b ) thì :  x + x 2 + ... + x n  f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n ) ≥ nf  1   n  ii) f ' ' ( x) < 0 trong kho ng (a, b ) thì :  x + x 2 + ... + x n  f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n ) ≥ nf  1   n  B t ñ ng th c AM – GM và b t ñ ng th c BCS th t s là các ñ i gia trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c nói chung. Nhưng riêng ñ i v i chuyên m c b t ñ ng th c lư ng giác thì ñó l i tr thành sân chơi riêng cho b t ñ ng th c Jensen. Dù có v hơi khó tin nhưng ñó là s th t, ñ n 75% b t ñ ng th c lư ng giác ta ch c n nói “theo b t ñ ng th c Jensen hi n nhiên ta có ñpcm”. Trong phát bi u c a mình, b t ñ ng th c Jensen có ñ c p ñ n ñ o hàm b c hai, nhưng ñó là ki n th c c a l p 12 THPT. Vì v y nó s không thích h p cho m t s ñ i tư ng b n ñ c. Cho nên ta s phát bi u b t ñ ng th c Jensen dư i m t d ng khác : x+ y Cho f : R + → R th a mãn f ( x) + f ( y ) ≥ 2 f  +  ∀x, y ∈ R Khi ñó v i m i  2  + x1 , x 2 ,..., x n ∈ R ta có b t ñ ng th c :  x + x 2 + ... + x n  f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n ) ≥ nf  1   n  S th t là tác gi chưa t ng ti p xúc v i m t ch ng minh chính th c c a b t ñ ng th c Jensen trong phát bi u có f ' ' ( x) . Còn vi c ch ng minh phát bi u không s d ng ñ o hàm thì r t ñơn gi n. Nó s d ng phương pháp quy n p Cauchy tương t như khi ch ng minh b t ñ ng th c AM – GM. Do ñó tác gi s không trình bày ch ng minh ñây. Ngoài ra, m t s tài li u có th b n ñ c g p khái ni m l i lõm khi nh c t i b t ñ ng th c Jensen. Nhưng hi n nay trong c ng ñ ng toán h c v n chưa quy ư c rõ ràng ñâu là l i, ñâu là lõm. Cho nên b n ñ c không nh t thi t quan tâm ñ n ñi u ñó. Khi ch ng minh ta ch c n xét f ' ' ( x) là ñ ñ s d ng b t ñ ng th c Jensen. Ok! M c dù b t ñ ng th c Jensen không ph i là m t b t ñ ng th c ch t, nhưng khi có d u hi u manh nha c a nó thì b n ñ c c tùy nghi s d ng . 13
Ví d 1.1.3.1. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có : 3 3 sin A + sin B + sin C ≤ 2 L i gi i : Xét f ( x) = sin x v i x ∈ (0 ; π ) Ta có f ' ' ( x) = − sin x < 0 ∀x ∈ (0 ; π ) . T ñó theo Jensen thì :  A+ B+C  π 3 3 f ( A) + f (B ) + f (C ) ≤ 3 f   = 3 sin = ⇒ ñpcm.  3  3 2 ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 1.1.3.2. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ñ u ta có : A B C tan + tan + tan ≥ 3 2 2 2 L i gi i :  π Xét f ( x ) = tan x v i x ∈  0 ;   2 2 sin x  π Ta có f ' ' ( x ) = 3 > 0 ∀x ∈  0 ;  . T ñó theo Jensen thì : cos x  2 A B C  + +   A  B  C π f   + f   + f   ≥ 3 f  2 2 2  = 3 sin = 3 ⇒ ñpcm. 2 2 2  3  6     ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 1.1.3.3. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có : 2 2 2 2 2 2  A  B  C  tan  +  tan  +  tan  ≥ 31− 2  2  2  2 L i gi i : 14
 π Xét f ( x ) = (tan x ) 2 2 v i x ∈  0;   2 ( ) Ta có f ' ( x ) = 2 2 1 + tan 2 x (tan x ) 2 2 −1 ( = 2 2 (tan x ) 2 2 −1 + (tan x ) 2 2 +1 ) (( )( ) f ' ' ( x ) = 2 2 2 2 − 1 1 + tan 2 x (tan x ) ( + 2 2 + 1 1 + tan 2 x (tan x ) 2 2 −2 )( >0 ) 2 2 ) Theo Jensen ta có : A B C  + +  2 2  A B C  π f   + f   + f   ≥ 3 f  2 2 2  = 3 tg  = 31− 2 ⇒ ñpcm. 2 2 2  3   6     ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 1.1.3.4. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có : A B C A B C 3 sin + sin + sin + tan + tan + tan ≥ + 3 2 2 2 2 2 2 2 L i gi i :  π Xét f ( x ) = sin x + tan x v i x ∈  0 ;   2 Ta có f ' ' (x ) = ( 4 sin x 1 − cos x )  π > 0 ∀x ∈  0 ;  4 cos x  2 Khi ñó theo Jensen thì : A B C  + +   A B C   π π 3 f   + f   + f   ≥ 3 f  2 2 2  = 3 sin + tan  = + 3 ⇒ ñpcm. 2 2 2  3   6 6 2     ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 1.1.3.5. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC nh n ta có : 3 3 2 2 (sin A) (sin B ) (sin C ) sin A sin B sin C ≥  3 L i gi i : Ta có 15
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2 cos A cos B cos C   sin A + sin B + sin C ≥ sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C  3 3 và sin A + sin B + sin C ≤ 2 3 3 ⇒ 2 < sin A + sin B + sin C ≤ 2 Xét f ( x ) = x ln x v i x ∈ (0 ;1] Ta có f ' ( x ) = ln x + 1 1 f ' ' ( x ) = > 0 ∀x ∈ (0 ;1] x Bây gi v i Jensen ta ñư c : sin A + sin B + sin C  sin a + sin B + sin C  sin A(ln sin A) + sin B(ln sin B ) + sin C (ln sin C ) ln ≤ 3  3  3 sin A+ sin B + sin C  sin A + sin B + sin C  ≤ ln(sin A) + ln(sin B ) + ln(sin C ) sin A sin B sin C ⇔ ln   3   sin A + sin B + sin C  sin A+sin B +sin C  ⇔ ln   [  ≤ ln (sin A) (sin B ) (sin C ) sin A sin B sin C ]   3    ⇔ (sin A + sin B + sin C )sin A+sin B +sin C ≤ (sin A)sin A (sin B )sin B (sin C )sin C sin A+ sin B + sin C 3 3 3 sin A + sin B + sin C 2 sin A+sin B +sin C  2  2 2 ⇒ (sin A) (sin B ) (sin C ) sin A sin B sin C ≥ sin A+sin B +sin C =   ≥  3 3 3 ⇒ ñpcm. 1.1.4. B t ñ ng th c Chebyshev : V i hai dãy s th c ñơn ñi u cùng chi u a1 , a 2 ,..., a n và b1 , b2 ,..., bn thì ta có : 1 a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn ≥ (a1 + a 2 + ... + a n )(b1 + b2 + ... + bn ) n Theo kh năng c a mình thì tác gi r t ít khi s d ng b t ñ ng th c này. Vì trư c h t ta c n ñ ý t i chi u c a các bi n, thư ng ph i s p l i th t các bi n. Do ñó bài toán c n có yêu c u ñ i x ng hoàn toàn gi a các bi n, vi c s p x p th t s không làm m t tính t ng quát c a bài toán. Nhưng không vì th mà l i ph nh n t m nh hư ng c a b t ñ ng th c Chebyshev trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c lư ng giác, m c dù nó có m t ch ng minh h t s c ñơn gi n và ng n g n. 16
Ch ng minh : B ng phân tích tr c ti p, ta có ñ ng th c : n ∑ (a − a )(b − b ) ≥ 0 n(a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn ) − (a1 + a 2 + ... + a n )(b1 + b2 + ... + bn ) = i , j =1 i j i j Vì hai dãy a1 , a 2 ,..., a n và b1 , b2 ,..., bn ñơn ñi u cùng chi u nên (a − a )(b − b ) ≥ 0 i j i j N u 2 dãy a1 , a 2 ,..., a n và b1 , b2 ,..., bn ñơn ñi u ngư c chi u thì b t ñ ng th c ñ i chi u. Ví d 1.1.4.1. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có : aA + bB + cC π ≥ a+b+c 3 L i gi i : Không m t tính t ng quát gi s : a≤b≤c⇔ A≤ B≤C Theo Chebyshev thì :  a + b + c  A + B + C  aA + bB + cC   ≤  3  3  3 aA + bB + cC A + B + C π ⇒ ≥ = a+b+c 3 3 ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 1.1.4.2. Cho ∆ABC không có góc tù và A, B, C ño b ng radian. CMR :  sin A sin B sin C  3(sin A + sin B + sin C ) ≤ ( A + B + C ) + +   A B C  L i gi i : sin x  π Xét f ( x ) = v i x ∈  0;  x  2 cos x( x − tan x )  π Ta có f ' ( x ) = 2 ≤ 0 ∀x ∈  0 ;  x  2 17
V y f ( x ) ngh ch bi n trên  0 ; π     2 Không m t t ng quát gi s : sin A sin B sin C A≥ B≥C⇒ ≤ ≤ A B C Áp d ng b t ñ ng th c Chebyshev ta có : ( A + B + C ) sin A + sin B + sin C  ≥ 3(sin A + sin B + sin C ) ⇒ ñpcm.    A B C  ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 1.1.4.3. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có : sin A + sin B + sin C tan A tan B tan C ≤ cos A + cos B + cos C 3 L i gi i : Không m t t ng quát gi s A ≥ B ≥ C tan A ≥ tan B ≥ tan C ⇒ cos A ≤ cos B ≤ cos C Áp d ng Chebyshev ta có :  tan A + tan B + tan C  cos A + cos B + cos C  tan A cos A + tan B cos B + tan C cos C   ≥  3  3  3 sin A + sin B + sin C tan A + tan B + tan C ⇔ ≤ cos A + cos B + cos C 3 Mà ta l i có tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 1.1.4.4. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có : 3 sin 2 A + sin 2 B + sin 2C 2(sin A + sin B + sin C ) ≥ 2 cos A + cos B + cos C L i gi i : Không m t t ng quát gi s a≤b≤c 18
sin A ≤ sin B ≤ sin C ⇒ cos A ≥ cos B ≥ cos C Khi ñó theo Chebyshev thì :  sin A + sin B + sin C  cos A + cos B + cos C  sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C   ≥  3  3  3 3 sin 2 A + sin 2 B + sin 2C ⇔ 2(sin A + sin B + sin C ) ≥ 2 cos A + cos B + cos C ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. 1.2. Các ñ ng th c b t ñ ng th c trong tam giác : Sau ñây là h u h t nh ng ñ ng th c, b t ñ ng th c quen thu c trong tam giác và trong lư ng giác ñư c dùng trong chuyên ñ này ho c r t c n thi t cho quá trình h c toán c a b n ñ c. Các b n có th dùng ph n này như m t t ñi n nh ñ tra c u khi c n thi t.Hay b n ñ c cũng có th ch ng minh t t c các k t qu như là bài t p rèn luy n. Ngoài ra tôi cũng xin nh c v i b n ñ c r ng nh ng ki n th c trong ph n này khi áp d ng vào bài t p ñ u c n thi t ñư c ch ng minh l i. 1.2.1. ð ng th c : a b c = = = 2R sin A sin B sin C a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A a = b cos C + c cos B b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B b = c cos A + a cos C c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C c = a cos B + b cos A 1 1 1 S= a.ha = b.hb = c.hc 2 2 2 1 1 1 = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2 abc = = 2 R 2 sin A sin B sin C = pr 4R = ( p − a )ra = ( p − b )rb = ( p − c )rc = p( p − a )( p − b )( p − c ) 19
A 2bc cos A la = 2 r = ( p − a ) tan 2 2b 2 + 2c 2 − a 2 b+c 2 ma = 4 B B 2ca cos = ( p − b ) tan 2 2c + 2a 2 − b 2 2 2 2 mb = lb = 4 c+a C = ( p − c ) tan 2 2a + 2b 2 − c 2 2 C 2 mc = 2ab cos 4 lc = 2 A B C = 4 R sin sin sin a+b 2 2 2  A− B tan  a−b =  2  a+b  A+ B b2 + c2 − a2 tan  cot A =  2  4S  B−C  c + a2 − b2 2 tan  cot B = b−c =  2  4S b+c B+C a + b2 − c2 2 tan  cot C =  2  4S C − A a2 + b2 + c2 tan  cot A + cot B + cot C = c−a =  2  4S c+a C + A tan   2  A ( p − b )( p − c ) A p( p − a ) tan A = ( p − b)( p − c ) sin = cos = 2 bc 2 bc 2 p( p − a ) sin B = ( p − c )( p − a ) cos B = p( p − b ) tan B = ( p − c )( p − a ) 2 ca 2 ca 2 p( p − b ) sin C = ( p − a )( p − b) cos C = p( p − c ) C ( p − a )( p − b ) tan = 2 ab 2 ab 2 p( p − c ) A B C p sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos = 2 2 2 R sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2(1 + cos A cos B cos C ) A B C r cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin = 1 + 2 2 2 R 2 2 2 cos A + cos B + cos C = 1 − 2 cos A cos B cos C 20
tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C A B C A B C cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 2 2 2 A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan = 1 2 2 2 2 2 2 cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1 A B C sin (2k + 1) A + sin (2k + 1)B + sin (2k + 1)C = (− 1) 4 cos(2k + 1) cos(2k + 1) cos(2k + 1) k 2 2 2 sin 2kA + sin 2kB + sin 2kC = (− 1) k +1 4 sin kA sin kB sin kC A B C cos(2k + 1) A + cos(2k + 1)B + cos(2k + 1)C = 1 + (− 1) 4 sin (2k + 1) sin (2k + 1) sin (2k + 1) k 2 2 2 cos 2kA + cos 2kB + cos 2kC = −1 + (− 1) 4 cos kA cos kB cos kC k tan kA + tan kB + tan kC = tan kA tan kB tan kC cot kA cot kB + cot kB cot kC + cot kC cot kA = 1 A B B C C A tan (2k + 1) tan (2k + 1) + tan (2k + 1) tan (2k + 1) + tan (2k + 1) tan (2k + 1) = 1 2 2 2 2 2 2 A B C A B C cot (2k + 1) + cot (2k + 1) + cot (2k + 1) = cot (2k + 1) cot (2k + 1) cot (2k + 1) 2 2 2 2 2 2 cos kA + cos kB + cos kC = 1 + (− 1) 2 cos kA cos kB cos kC 2 2 2 k sin 2 kA + sin 2 kB + sin 2 kC = 2 + (− 1) k +1 2 cos kA cos kB cos kC 1.2.2. B t ñ ng th c : a−b < c < a+b a≤b⇔ A≤ B b−c < a
A B C cos 2 + cos 2 + cos 2 3 2 2 2 cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ≥ 4 A B C sin 2 + sin 2 + sin 2 9 2 2 2 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 4 A B C 2 2 2 tan 2 + tan 2 + tan 2 ≥ 1 tan A + tan B + tan C ≥ 9 2 2 2 cot 2 A + cot 2 B + cot 2 C ≥ 1 A B C cot 2 + cot 2 + cot 2 2 2 2 1 A B C 3 3 cos A cos B cos C ≤ cos cos cos ≤ 8 2 2 2 8 3 3 A B C 1 sin A sin B sin C ≤ sin sin sin ≤ 8 2 2 2 8 A A A 1 tan A tan B tan C ≥ 3 3 tan tan tan ≤ 2 2 2 3 3 1 cot A cot B cot C ≤ A A A 3 3 cot cot cot ≥ 3 3 2 2 2 1.3. M t s ñ nh lý khác : 1.3.1. ð nh lý Lagrange : N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên ño n [a ; b] và có ñ o hàm trên kho ng (a ; b ) thì t n t i 1 ñi m c ∈ (a ; b ) sao cho : f (b ) − f (a ) = f ' (c )(b − a ) Nói chung v i ki n th c THPT, ta ch có công nh n ñ nh lý này mà không ch ng minh. Ví ch ng minh c a nó c n ñ n m t s ki n th c c a toán cao c p. Ta ch c n hi u cách dùng nó cùng nh ng ñi u ki n ñi kèm trong các trư ng h p ch ng minh. Ví d 1.3.1.1. Ch ng minh r ng ∀a, b ∈ R, a < b thì ta có : sin b − sin a ≤ b − a L i gi i : 22