Chương 1 : Thiết kế hệ thống điều khiển số sử dụng vi điều khiển và máy tính

Chia sẻ: Nguyễn Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

170
lượt xem 33
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các hệ thống dữ liệu lấy mẫu hay còn gọi l các hệ thống điều khiển số l m việc với các tín hiệu rời rạc theo thời gian. Các hệ thống điều khiển n y khác với các hệ thống điều khiển t-ơng tự trong đó các tín hiệu l liên tục theo thời gian. Một máy tính số có thể đ-ợc sử dụng nh- một bộ điều khiển số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 1 : Thiết kế hệ thống điều khiển số sử dụng vi điều khiển và máy tính

Ch−¬ng 1 C¸c hÖ thèng d÷ liÖu lÊy mÉu vµ phÐp biÕn ®æi z C¸c hÖ thèng d÷ liÖu lÊy mÉu hay cßn gäi l c¸c hÖ thèng ®iÒu khiÓn sè l m viÖc víi c¸c tÝn hiÖu rêi r¹c theo thêi gian. C¸c hÖ thèng ®iÒu khiÓn n y kh¸c víi c¸c hÖ thèng ®iÒu khiÓn t−¬ng tù trong ®ã c¸c tÝn hiÖu l liªn tôc theo thêi gian. Mét m¸y tÝnh sè cã thÓ ®−îc sö dông nh− mét bé ®iÒu khiÓn sè. Kh¸i niÖm m¸y tÝnh sè ®−îc bao h m c¸c thiÕt bÞ tÝnh to¸n ®−îc x©y dùng tõ c¸c vi ®iÒu khiÓn c«ng nghiÖp hay m¸y tÝnh c¸c nh©n (PC). Mét bé chuyÓn ®æi tõ sè sang t−¬ng tù (A/D converter) th−êng ®−îc dïng ®Ó kÕt nèi ®Çu ra cña m¸y tÝnh phôc vô cho qu¸ tr×nh ®iÒu khiÓn c¸c thiÕt bÞ chÊp h nh v× tÝn hiÖu ®iÒu khiÓn c¸c thiÕt bÞ chÊp h nh n y l tÝn hiÖu t−¬ng tù. Mét bé chuyÓn ®æi t−¬ng tù sang sè (A/D converter) ®−îc sö dông ®Ó ®äc c¸c tÝn hiÖu v o m¸y tÝnh sè. C¸c thêi ®iÓm tÝn hiÖu ®−îc ®äc v o ®−îc gäi l c¸c thêi ®iÓm lÊy mÉu. S¬ ®å khèi mét hÖ thèng ®iÒu khiÓn sè cã ph¶n håi ®−îc tr×nh b y trªn h×nh 1.1. M¸y tÝnh sè l trung t©m cña hÖ thèng ®iÒu khiÓn chøa ch−¬ng tr×nh ®iÒu khiÓn. Bé biÕn ®æi A/D chuyÓn tÝn hiÖu sai lÖch t−¬ng tù th nh tÝn hiÖu sè thuËn tiÖn cho viÖc xö lý b»ng m¸y tÝnh sè. T¹i ®Çu ra cña m¸y tÝnh sè, bé biÕn ®æi D/A chuyÓn tÝn hiÖu sè th nh tÝn hiÖu t−¬ng t−¬ng tù ®Ó ®iÒu khiÓn thiÕt bÞ chÊp h nh. §Çu v o §Çu ra ThiÕt bÞ A/D M¸y tÝnh sè D/A chÊp h nh C¶m biÕn H×nh 1.1. S¬ ®å khèi hÖ thèng ®iÒu khiÓn sè 1.1. Quy tr×nh lÊy mÉu v gi÷ mÉu Tr−íc tiªn ta ®Þnh nghÜa bé lÊy mÉu. Mét bé lÊy mÉu vÒ c¬ b¶n cã thÓ xem nh− l mét c«ng t¾c ®−îc ®ãng sau mçi chu kú l T gi©y nh− tr×nh b y trªn h×nh 1.2. Khi tÝn hiÖu liªn tôc ký hiÖu l r ( t ) ®−îc lÊy mÉu t¹i c¸c kho¶ng thêi gian T , tÝn hiÖu rêi r¹c ®Çu ra ®−îc ký hiÖu l r * (t ) cã d¹ng nh− trªn h×nh 1.3. r (t ) r* ( t ) TÝn hiÖu liªn tôc TÝn hiÖu lÊy mÉu H×nh 1.2. Bé lÊy mÉu Mét qu¸ tr×nh lÊy mÉu lý t−ëng cã thÓ xem nh− l tÝch cña mét chuçi xung víi mét tÝn hiÖu t−¬ng tù: r* ( t ) = P ( t ) r ( t ) (1.1) ë ®©y P ( t ) ®−îc gäi l xung delta hay l xung ®¬n vÞ cã d¹ng nh− h×nh 1.4.
r (t ) t 2 T 3T 4 T 5 T 6 T 0 T r* ( t ) t 2 T 3T 4 T 5 T 6 T 0 T H×nh 1.3. TÝn hiÖu r ( t ) sau khi lÊy mÉu P (t ) t 2 T 3T 4 T 5 T 6 T T 0 H×nh 1.4. Chuçi xung delta Xung delta ®−îc biÓu diÔn nh− sau: ∞ ∑ δ ( t − nT ) P (t ) = (1.2) n =−∞ Do ®ã ta cã ∞ ∑ δ ( t − nT ) r* ( t ) = r ( t ) (1.3) n =−∞ hoÆc ∞ ∑ r ( nT ) δ ( t − nT ) r* ( t ) = (1.4) n =−∞ Khi t < 0 ta cã r ( t ) = 0 nªn ∞ r * ( t ) = ∑ r ( nT ) δ ( t − nT ) (1.5) n=0 BiÕn ®æi Laplace ph−¬ng tr×nh (1.5) ta cã:
∞ R * ( p ) = ∑ r ( nT ) e − pnT (1.6) n=0 Ph−¬ng tr×nh (1.6) ®Æc tr−ng cho biÕn ®æi Laplace cña tÝn hiÖu liªn tôc ®−îc lÊy mÉu r (t ) . * Mét hÖ thèng lÊy mÉu v gi÷ mÉu cã thÓ xem nh− l mét sù kÕt hîp cña bé lÊy mÉu v mét m¹ch gi÷ bËc kh«ng (zero-order hold/ZOH) nh− trªn h×nh 1.5. M¹ch gi÷ bËc kh«ng n y cã kh¶ n¨ng nhí th«ng tin cuèi cïng cho ®Õn khi thu ®−îc mét mÉu míi. VÝ dô ZOH lÊy mÉu gi¸ trÞ r ( nT ) v gi÷ nã trong kho¶ng thêi gian nT ≤ t ≤ ( n + 1) T . Bé lÊy mÉu r (t ) r* ( t ) Gi÷ bËc y (t ) kh«ng (ZOH) TÝn hiÖu TÝn hiÖu lÊy t−¬ng tù mÉu H×nh 1.5. Mét bé lÊy mÉu v gi÷ bËc kh«ng §¸p øng xung cña mét bé gi÷ bËc kh«ng ®−îc tr×nh b y trªn h×nh 1.6. H m truyÒn cña gi÷ bËc kh«ng cã d¹ng nh− sau: G (t ) = H (t ) − H (t − T ) (1.7) ë ®©y H ( t ) l h m b−íc nh¶y v nÕu biÕn ®æi Laplace ph−¬ng tr×nh (1.7) ta cã 1 e− Tp 1 − e − Tp G ( p) = − (1.8) = p p p g (t ) 1 t 0 T H×nh 1.6. Ph¶n øng xung cña gi÷ bËc kh«ng Mét bé lÊy mÉu v gi÷ bËc kh«ng cã thÓ b¸m hay thÓ hiÖn gÇn trung thùc tÝn hiÖu t−¬ng tù ®Çu v o nÕu thêi lÊy mÉu T ®ñ nhá so víi sù biÕn thiªn qu¸ ®é cña tÝn hiÖu. §¸p øng cña mét bé lÊy mÉu v gi÷ bËc kh«ng ®èi víi mét ®Çu v o tÝn hiÖu dèc (ramp) ®−îc tr×nh b y nh− trªn h×nh 1.7.
r (t ) r (t ) y (t ) y (t ) t 0 T 2 T 3T 4 T 5 T 6 T T H×nh 1.7. §¸p øng cña mét bé lÊy mÉu v gi÷ bËc kh«ng ®èi víi tÝn hiÖu dèc 1.2. BiÕn ®æi z Ph−¬ng tr×nh (1.6) ®Þnh nghÜa mét chuçi v« h¹n cña c¸c lòy thõa e− pnT víi to¸n tö p . To¸n tö z ®−îc ®Þnh nghÜa sau: z = e pT (1.9) BiÕn ®æi z cña h m r ( t ) ký hiÖu l Z  r ( t )  = R ( z ) nªn ta cã   ∞ R ( z ) = ∑ r ( nT ) z − n (1.10) n=0 Chó ý r»ng biÕn ®æi z cña r ( t ) bao gåm mét chuçi v« h¹n cña c¸c biÕn z cã d¹ng nh− sau R ( z ) = r ( 0 ) + r ( T ) z −1 + r ( 2 T ) z −2 + r ( 3T ) z −3 + ... (1.11) ë ®©y r ( nT ) l c¸c hÖ sè cña chuçi lòy thõa t¹i c¸c thêi ®iÓm lÊy mÉu kh¸c nhau. Chóng ta cã thÓ xem biÕn ®æi z trong c¸c hÖ thèng d÷ liÖu lÊy mÉu t−¬ng tù nh− l biÕn ®æi Laplace cña c¸c hÖ thèng thêi gian liªn tôc. §¸p øng cña mét hÖ thèng d÷ liÖu lÊy mÉu cã thÓ x¸c ®Þnh dÔ d ng b»ng c¸ch t×m biÕn ®æi z cña ®Çu ra sau ®ã t×m biÕn ®æi z ng−îc nh− l kü thuËt biÕn ®æi Laplace trong hÖ thèng thêi gian liªn tôc. Sau ®©y chóng ta sÏ t×m hiÓu biÕn ®æi z cña mét sè h m th«ng dông. 1.2.1. H m b−íc ®¬n vÞ H m b−íc ®¬n vÞ ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau 0 n < 0 r ( nT ) =  1 n ≥ 0 ∞ ∞ R ( z ) = ∑ r ( nT ) z − n = ∑ z − n = 1 + z −1 + z −2 + z −3 + ... n=0 n =0 z R ( z) = , ®èi víi z > 1 z −1 1.2.2. H m ramp H m ramp hay cßn gäi l h m dèc ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau
 0 n 1 2 ( z − 1) 1.2.3. H m mò Chóng ta quan t©m ®Õn h m mò ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau 0 n 1 = − aT −1 z − e − aT 1− e z 1.2.4. H m mò tæng qu¸t H m mò tæng qu¸t ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau 0 n
Cho nªn e jnω T − e − jnω T e jnω T e− jnω T r ( nT ) = = − 2j 2j 2j Tuy nhiªn ta ®· biÕt ®−îc biÕn ®æi z cña mét h m mò l z ( ) R e− anT = R ( z ) = z − e− aT Cho nªn  1  ( ) z e jω T − e − jω T 1 1 1 2  R ( z) =  − = ( ) 2 j  z − e jω T z − e − jω T  2 j  z − z e jω T + e − jω T + 1    hay z sin (ω T ) R ( z) = z 2 − 2 z cos (ω T ) + 1 1.2.6. H m cos H m cos ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau  n
z ( z − cos (ω T ) ) R ( z) = z − 2 z cos (ω T ) + 1 2 1.2.7. H m xung rêi r¹c H m xung rêi r¹c ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau 1 n = 0 δ (n) =  0 n ≠ 0 ∞ ∞ R ( z ) = ∑ r ( nT )z − n = ∑ z − n = 1 n=0 n=0 1.2.8. H m xung rêi r¹c cã trÔ H m xung rêi r¹c cã trÔ ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau 1 n = k > 0 δ (n − k) =  n≠k 0 ∞ ∞ R ( z ) = ∑ r ( nT )z − n = ∑ z − n = z − n n=0 n= 0 1.2.9. B¶ng biÕn ®æi z B¶ng biÕn ®æi z cña c¸c h m th«ng dông ®−îc tr×nh b y nh− trªn b¶ng 1.1. Khi biÕt d¹ng biÕn ®æi z, chóng ta quan t©m ®Õn ®¸p øng ®Çu ra y ( t ) cña hÖ thèng v ph¶i sö dông biÕn ®æi z ng−îc ®Ó thu ®−îc y ( t ) tõ Y ( z ) . 1.2.10. T×m biÕn ®æi z qua biÕn biÕn ®æi Laplace MÆc dï chóng ta biÓu thÞ biÕn ®æi z t−¬ng ®−¬ng cña G ( p ) l G ( z ) , nh−ng ®iÒu ®ã G ( z ) ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch thay thÕ to¸n tö p b»ng to¸n tö z . Thay kh«ng cã nghÜa l v o ®ã chóng ta sö dông mét trong c¸c ph−¬ng ph¸p sau ®©y ®Ó x¸c ®Þnh biÕn ®æi z cña mét h m qua biÕn ®æi Laplace cña h m ®ã. G ( p ) . Tõ ®©y -Ph−¬ng ph¸p 1: Gi¶ thiÕt chóng ta cã biÕn ®æi Laplace cña mét h m l g ( t ) b»ng phÐp biÕn ®æi z ng−îc. chóng ta tÝnh to¸n ®¸p øng theo thêi gian l G ( p ) . Tõ ®©y -Ph−¬ng ph¸p 2: Gi¶ thiÕt chóng ta cã biÕn ®æi Laplace cña mét h m l G ( z ) b»ng c¸ch tra b¶ng víi c¸c biÕn ®æi Laplace v biÕn ®æi z ta t×m biÕn ®æi z cña h m l t−¬ng ®−¬ng. G ( p ) . MÆt -Ph−¬ng ph¸p 3: Gi¶ thiÕt chóng ta cã biÕn ®æi Laplace cña mét h m l kh¸c ta cã thÓ biÓu diÔn G ( p ) = N ( p ) / D ( p ) v sö dông c«ng thøc sau ®©y ®Ó x¸c ®Þnh biÕn ®æi z: N ( xn ) q 1 G ( z) = ∑ (1.12) n =1 D ( x n ) 1 − e x n T −1 ' z
xn víi n = 1, 2,..., q l gèc cña ph−¬ng tr×nh D ( p ) = 0 . ë ®©y D' = ∂D / ∂p v B¶ng 1.1. BiÕn ®æi Laplace v biÕn ®æi z cña mét sè h m th«ng dông TÝn hiÖu t−¬ng TÝn hiÖu lÊy BiÕn ®æi Laplace BiÕn ®æi z tù mÉu 1 1 δ (t ) δ ( kT ) δ (t − a) e − pt z−a δ ( k − a ) T    1 1 ( kT ) 1 z z −1 p t kT 1 Tz 2 p2 ( z − 1) T 2 z ( z + 1) 2 1 t2 ( kT ) p3 3 2 ( z − 1) 2 2 e − at e− akT 1 z z − e − aT p+a te − at kTe − akT zTe− aT 1 2 ( p + a) 2 (z − e ) − aT z (1 − e ) 1 − e− at 1 − e − akT a − aT p ( p + a) ( z − 1) ( z − e ) − aT sin ( akT ) sin ( akT ) z sin ( aT ) a p + a2 2 z − 2 z cos ( aT ) + 1 2 z ( z − cos ( aT ) ) cos ( akT ) cos ( akT ) p p + a2 2 z − 2 z cos ( aT ) + 1 2 VÝ dô 1.1: Cho biÕn ®æi Laplace cña mét h m cã d¹ng nh− sau: 1 G ( p) = 2 p + 5p + 6 X¸c ®Þnh biÕn ®æi z t−¬ng ®−¬ng cña h m trªn. Lêi gi¶i: -Ph−¬ng ph¸p 1: Sö dông biÕn ®æi Laplace ng−îc Chóng ta cã thÓ biÓu diÔn G ( p ) l mét tæng cña c¸c ph©n sè nh− sau: 1 1 1 G ( p) = = + ( p + 3)( p + 2 ) p+2 p+3 BiÕn ®æi Laplace ng−îc cña G ( p ) l : g ( t ) = L−1  G ( p )  = e−2 t − e −3 t  
Theo ®Þnh nghÜa cña biÕn ®æi z, chóng ta cã thÓ x¸c ®Þnh G ( z ) tõ g ( t ) nh− sau: ∞ G ( z ) = ∑ e −2 nT − e−3 nT z − n = 1 + e−2 T z −1 + e−4 T z −2 + ... − 1 + e−3 T z −1 + e −6 T z −2 + ... ( ) ( )( ) n=0 ( ) z e −2 T − e −3 T z z G ( z) = − = ( )( ) z − e −2 T z − e−3 T z − e −2 T z − e −3 T -Ph−¬ng ph¸p 2: Sö dông b¶ng biÕn ®æi z Tõ b¶ng biÕn ®æi z cña mét sè h m th«ng dông (b¶ng 1.1) ta cã biÕn ®æi z cña ( ) 1 / ( p + a ) l z / z − e − aT . Do ®ã biÕn ®æi z cña h m G ( p ) l ( ) z e −2 T − e −3 T z z G ( z) = − = ( )( ) z − e −2 T z − e−3 T z − e −2 T z − e −3 T 1.2.11. C¸c tÝnh chÊt cña biÕn ®æi z §a sè c¸c tÝnh chÊt cña biÕn ®æi z t−¬ng tù nh− c¸c tÝnh chÊt cña biÕn ®æi Laplace. Trong phÇn n y chóng ta sÏ ®Ò cËp ®Õn mét sè tÝnh chÊt quan träng cña biÕn ®æi z. 1. TÝnh chÊt tuyÕn tÝnh Gi¶ sö biÕn ®æi z cña f ( nT ) l F ( z ) v biÕn ®æi z cña g ( nT ) l G ( z ) . Khi ®ã ta cã: Z  f ( nT ) ± g ( nT )  = Z  f ( nT )  ± Z  g ( nT )  = F ( z ) ± G ( z ) (1.13)       Z  af ( nT )  = aZ  f ( nT )  = aF ( z ) (1.14)     ë ®©y a l mét ®¹i l−îng v« h−íng 2. TÝnh chÊt dÞch tr¸i F ( z ) v y ( nT ) = f ( nT + mT ) . Khi ®ã Gi¶ sö biÕn ®æi z cña f ( nT ) l m −1 Y ( z ) = z m F ( z ) − ∑ f ( iT )z m −i (1.15) i =0 NÕu tÊt c¶ c¸c ®iÒu kiÖn ®Çu l kh«ng vÝ dô f ( iT ) = 0 , i = 0,1, 2,..., m − 1 th× Z  f ( nT + mT )  = z m F ( z ) (1.16)   3. TÝnh chÊt dÞch ph¶i Gi¶ sö biÕn ®æi z cña f ( nT ) l F ( z ) v y ( nT ) = f ( nT − mT ) . Khi ®ã m −1 Y ( z ) = z − m F ( z ) − ∑ f ( iT − mT )z − i (1.17) i =0 NÕu f ( nT ) = 0 ®èi víi k < 0 khi ®ã ta cã
Z  f ( nT − mT )  = z − m F ( z ) (1.18)   4. TÝnh chÊt suy gi¶m Gi¶ sö biÕn ®æi z cña f ( nT ) l F ( z ) . Khi ®ã Z e − anT f ( nT )  = F  ze aT  (1.19)     §iÒu n y cã nghÜa l nÕu mét h m ®−îc nh©n víi mét lòy thõa e− anT th× biÕn ®æi z cña h m z n y ®−îc thay b»ng zeaT . 5. TÝnh chÊt gi¸ trÞ ®Çu Gi¶ sö biÕn ®æi z cña f ( nT ) l F ( z ) . Khi ®ã gi¸ trÞ ®Çu cña ®¸p øng theo thêi gian ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: lim f ( nT ) = lim F ( z ) (1.20) n →∞ z →∞ 6. TÝnh chÊt gi¸ trÞ cuèi Gi¶ sö biÕn ®æi z cña f ( nT ) l F ( z ) . Khi ®ã gi¸ trÞ cuèi cña ®¸p øng theo thêi gian ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: lim f ( nT ) = lim (1 − z −1 ) F ( z ) (1.21) n →∞ z →1 ( ) Chó ý tÝnh chÊt n y chØ cã hiÖu lùc nÕu c¸c cùc cña 1 − z −1 F ( z ) n»m bªn trong vßng trßn ®¬n vÞ hay t¹i z = 1 . VÝ dô 1.2: BiÕn ®æi z cña h m dèc (ramp) r ( nT ) cã d¹ng nh− sau: Tz R ( z) = 2 ( z − 1) T×m biÕn ®æi z cña h m 5r ( nT ) . Lêi gi¶i: Sö dông tÝnh chÊt tuyÕn tÝnh ta dÔ d ng suy ra 5 Tz Z 5r ( nT )  = 5 Z  r ( nT )  =     2 ( z − 1) VÝ dô 1.3: Cho biÓu thøc cña biÕn ®æi z nh− sau: 0, 792 z G ( z) = ( ) ( z − 1) z − 0, 416 z + 0, 208 2
X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cuèi cïng cña g ( nT ) Lêi gi¶i: Sö dông tÝnh chÊt gi¸ trÞ cuèi ta cã: 0, 792 z ( ) ( z − 1) lim g ( nT ) = lim 1 − z −1 ( ) 2 z − 0, 416 z + 0, 208 n →∞ z →1 0, 792 0, 792 = lim = =1 2 z − 0, 416 z + 0,208 1 − 0, 416 + 0, 208 z →1 1.2.12. BiÕn ®èi z ng−îc BiÕn ®æi z ng−îc t−¬ng tù nh− biÕn ®æi Laplace ng−îc. Nãi mét c¸ch tæng qu¸t, biÕn ®æi z l tû sè cña c¸c ®a thøc ®èi víi biÕn z víi bËc cña ®a thøc tö sè kh«ng ®−îc lín h¬n bËc cña ®a thøc mÉu sè. B»ng phÐp biÕn ®æi z ng−îc, chóng ta cã thÓ t×m ®−îc chuçi kÕt hîp víi c¸c ®a thøc biÕn ®æi z ®· cho. Khi x¸c ®Þnh ®−îc biÕn ®æi z ng−îc, chóng ta quan t©m ®Õn ®¸p øng thêi gian cña hÖ thèng cã nghÜa l chóng ta z¸c ®Þnh ®−îc h m thêi gian y ( t ) tõ h m Y ( z ) . Chóng ta cã thÓ sö dông mét trong c¸c ph−¬ng ph¸p sau ®©y ®Ó t×m biÕn ®æi z ng−îc: -Ph−¬ng ph¸p 1: Ph−¬ng ph¸p chuçi lòy thõa (chia d i) -Ph−¬ng ph¸p 2: Ph−¬ng ph¸p khai triÓn Y ( z ) th nh c¸c ph©n sè tõng phÇn v sö dông b¶ng ®Ó t×m biÕn ®æi z ng−îc. -Ph−¬ng ph¸p 3: Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n ®¶o §èi víi mét h m biÕn ®æi z cho tr−íc Y ( z ) , chóng ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc c¸c hÖ sè cña chuçi tæ hîp y ( nT ) t¹i c¸c thêi ®iÓm lÊy mÉu kh¸c nhau b»ng c¸ch sö dông biÕn ®æi z ng−îc. H m thêi gian y ( t ) khi ®ã ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: ∞ y ( t ) = ∑ y ( nT )δ ( t − nT ) n=0 Trong ch−¬ng n y chóng ta sÏ giíi h¹n chØ t×m hiÓu ph−¬ng ph¸p 1 v 2 th«ng qua c¸c vÝ dô. 1. Ph−¬ng ph¸p 1: Chuçi lòy thõa Ph−¬ng ph¸p n y ®−îc thùc hiÖn b»ng c¸ch chia mÉu sè cña Y ( z ) cho tö sè ®Ó thu ®−îc mét chuçi lòy thõa cã d¹ng nh− sau: Y ( z ) = y0 + y1 z −1 + y2 z −2 + y3 z −3 + ... VÝ dô 1.4: T×m biÕn ®æi z ng−îc cña ®a thøc sau: z2 + z Y ( z) = 2 z − 3z + 4 Lêi gi¶i: Chia mÉu sè cña h m cho tö sè ta cã
1 + 4 z −1 + 8z −2 + 8z −3 + ... z 2 − 3z + 4 z 2 + z z 2 − 3z + 4 4z − 4 4 z − 12 + 16 z −1 8 − 16 z −1 8 − 24 z −1 + 32 z −2 8z −1 − 32 z −2 8z −1 − 24 z −2 + 32 z −3 ... Ta cã hÖ sè cña chuçi lòy thõa nh− sau: y (0) = 1 y (T) = 4 y ( 2T ) = 8 y ( 3T ) = 8 ... Hay h m thêi gian y ( t ) cã d¹ng: y ( t ) = δ ( t ) + 4δ ( t − T ) + 8δ ( t − 2 T ) + 8δ ( t − 3T ) + ... H×nh 1.8 l mét sè mÉu ®Çu cña y ( t ) . y (t ) 8 4 1 t 0 2 T 3T T H×nh 1.8. Mét sè mÉu ®Çu cña y ( t ) trong vÝ dô 1.4 VÝ dô 1.5: T×m biÕn ®æi z ng−îc cña ®a thøc sau: z Y ( z) = 2 z − 3z + 2 Lêi gi¶i: Chia mÉu sè cña h m cho tö sè ta cã
1 + 4 z −1 + 8z −2 + 8z −3 + ... z 2 − 3z + 2 z z − 3 + 2 z −1 3 − 2 z −1 3 − 9 z −1 + 6 z −2 7 z −1 − 6 z −2 7 z −1 − 21z −2 + 14 z −3 15 z −2 − 14 z −3 15 z −2 − 45 z −3 + 30 z −4 ... Ta cã hÖ sè cña chuçi lòy thõa nh− sau: y (0) = 0 y (T) = 1 y ( 2T ) = 3 y ( 3T ) = 7 y ( 4 T ) = 15 ... Hay h m thêi gian y ( t ) cã d¹ng: y ( t ) = δ ( t − T ) + 3δ ( t − 2 T ) + 7δ ( t − 3T ) + 15δ ( t − 4 T ) ... Nh−îc ®iÓm cña ph−¬ng ph¸p chuçi lòy thõa l ph−¬ng ph¸p n y kh«ng ®−a ®Õn d¹ng chÝnh x¸c cña kÕt qu¶ cÇn t×m. Khi cÇn t×m d¹ng chÝnh x¸c cña h m thêi gian, chóng ta cÇn sö dông c¸c ph−¬ng ph¸p kh¸c. 1. Ph−¬ng ph¸p 2: Khai triÓn thµnh c¸c ph©n sè riªng T−¬ng tù nh− kü thuËt biÕn ®æi Laplace ng−îc, mét h m Y ( z ) cã thÓ ®−îc khai triÓn th nh c¸c ph©n sè riªng. Sau ®ã chóng ta dïng b¶ng cña c¸c biÕn ®æi z cña c¸c h m th«ng dông ®Ó t×m ra biÕn ®æi z ng−îc cña c¸c ph©n sè n y. NÕu nh×n v o b¶ng biÕn ®æi z, chóng ta thÊy chØ cã th nh phÇn z ë tö sè. Do ®ã sÏ thuËn tiÖn h¬n nÕu chóng ta t×m biÕn ®æi z cña c¸c ph©n sè riªng cña h m y ( z ) / z v sau ®ã nh©n c¸c ph©n sè riªng n y víi z ®Ó x¸c ®Þnh ®−îc y ( z ) . VÝ dô 1.6: T×m biÕn ®æi z ng−îc cña h m sau: z y ( z) = ( z − 1)( z − 2 )
Lêi gi¶i: Tr−íc tiªn chóng ta cã thÓ biÓu diÔn l¹i ph−¬ng tr×nh trªn nh− sau y ( z) 1 A B = = + ( z − 1)( z − 2 ) z −1 z − 2 z C¸c gi¸ trÞ cña A v B ®−îc x¸c ®Þnh tõ ph−¬ng tr×nh sau A ( z − 2 ) + B ( z − 1) = ( A + B ) z − ( 2 A + B ) = 1 DÔ d ng suy ra A = −1 v B = 1 do ®ã Y ( z) −1 1 = + z −1 z − 2 z hay −z z Y ( z) = + z −1 z − 2 MÆt kh¸c ta l¹i cã z R ( an ) = z−a Cho nªn y ( nT ) = −1 + 2 n Ta cã c¸c hÖ sè cña chuçi lòy thõa nh− sau y (0) = 0 y (T) = 1 y ( 2T ) = 3 y ( 3T ) = 7 y ( 4 T ) = 15 ... Hay h m thêi gian y ( t ) cã d¹ng y ( t ) = δ ( t − T ) + 3δ ( t − 2 T ) + 7δ ( t − 3T ) + 15δ ( t − 4 T ) ... 1.3. H m truyÒn xung v thao t¸c c¸c s¬ ®å khèi H m truyÒn xung l tû sè biÕn ®æi z cña ®Çu ra so víi ®Çu v o lÊy mÉu t¹i c¸c thêi ®iÓm lÊy mÉu kh¸c nhau. Gi¶ thiÕt chóng ta muèn lÊy mÉu mét hÖ thèng víi ®¸p øng ®Çu ra nh− trªn h×nh 1.9: y ( p ) = e* ( p ) G ( p )
e( p) e* ( p ) y ( p) y* ( p ) G ( p) H×nh 1.9. LÊy mÉu mét hÖ thèng D¹ng tÝn hiÖu lÊy mÉu cña tÝn hiÖu ®Çu ra cã d¹ng nh− sau * y * ( p ) =  e* ( p ) G ( p )  = e* ( p ) G * ( p ) (1.22)   v y ( z) = e ( z) G ( z) (1.23) Ph−¬ng tr×nh (1.22) v (1.23) cã nghÜa l nÕu cã tèi thiÓu mét h m liªn tôc ®−îc lÊy * mÉu th× biÕn ®æi z cña tÝch b»ng tÝch biÕn ®æi z cña mçi h m (chó ý r»ng e* ( p )  = e* ( p )  ,    ®iÒu n y cã nghÜa l mét tÝn hiÖu ®· ®−îc lÊy mÉu råi sÏ kh«ng cã t¸c dông víi lÊy mÉu n÷a). G ( z ) l h m truyÒn gi÷a tÝn hiÖu hiÖu ®Çu ra v ®Çu v o lÊy mÉu t¹i c¸c thêi ®iÓm lÊy mÉu kh¸c nhau v ®−îc gäi l h m truyÒn xung. Chó ý tõ ph−¬ng tr×nh (1.23), chóng ta kh«ng cã th«ng tin ®Çu ra vÒ y ( z ) gi÷a c¸c thêi ®iÓm lÊy mÉu. 1.3.1. C¸c hÖ thèng vßng hë Trong phÇn n y chóng ta sÏ kh¶o s¸t mét sè vÝ dô thao t¸c c¸c s¬ ®å khèi cña c¸c hÖ vßng hë. VÝ dô 1.7: H×nh 1.10 tr×nh b y mét hÖ thèng d÷ liÖu lÊy mÉu vßng hë. X¸c ®Þnh biÕn ®æi z cña ®Çu ra hÖ thèng. e* ( p ) y ( p) e( p) y* ( p ) G ( p) H×nh 1.10. HÖ vßng hë vÝ dô 1.7 Lêi gi¶i: §èi víi hÖ thèng n y, chóng ta cã thÓ viÕt y ( p ) = e* ( p ) G ( p ) hoÆc * y * ( p ) =  e* ( p ) G ( p )    v y ( z) = e ( z) G ( z)
VÝ dô 1.8: H×nh 1.11 tr×nh b y mét hÖ thèng lÊy mÉu vßng hë. X¸c ®Þnh biÕn ®æi z cña ®Çu ra hÖ thèng. y ( p) e( p) e* ( p ) y* ( p ) G1 ( p ) G2 ( p ) H×nh 1.11. HÖ vßng hë vÝ dô 1.8 Lêi gi¶i: §èi víi hÖ thèng n y chóng ta cã thÓ viÕt y ( p ) = e* ( p ) G1 ( p ) G2 ( p ) hoÆc * * y * ( p ) = e* ( p ) G1 ( p ) G2 ( p )  = e* ( p ) [ G1 G2 ] ( p )   v y ( z ) = e ( z ) G1 G2 ( z ) ë ®©y G1 G2 ( z ) = Z  G1 ( p ) G2 ( p )  ≠ G1 ( z ) G2 ( z )   VÝ dô nÕu 1 G1 ( p ) = p v a G2 ( p ) = p+a Tõ b¶ng biÕn ®æi z ta cã: ( ) z 1 − e− aT     a Z  G1 ( p ) G2 ( p )  = Z  =   ( )  p ( p + a )  ( z − 1) z − e − aT   v ®Çu ra cña hÖ thèng sÏ l ( ) z 1 − e − aT y ( z) = e ( z) ( z − 1) ( z − e− aT )
VÝ dô 1.9: H×nh 1.12 tr×nh b y mét hÖ thèng lÊy mÉu vßng hë. X¸c ®Þnh d¹ng biÕn ®æi z cña ®Çu ra hÖ thèng. x ( p) y ( p) e( p) e* ( p ) x* ( p ) y* ( p ) G1 ( p ) G2 ( p ) H×nh 1.12. HÖ vßng hë vÝ dô 1.9 §èi víi hÖ vßng hë n y chóng ta cã thÓ viÕt x ( p ) = e* ( p ) G1 ( p ) hoÆc x * ( p ) = e* ( p ) G1* ( p ) v y ( p ) = x * ( p ) G2 ( p ) hoÆc y * ( p ) = x * ( p ) G2 ( p ) = e* ( p ) G1* ( p ) G2 ( p ) * * Cuèi cïng ta cã biÕn ®æi z cña tÝn hiÖu ra cã d¹ng nh− sau: y ( z ) = e ( z ) G1 ( z ) G2 ( z ) VÝ dô: 1 a G1 ( p ) = G2 ( p ) = v p+a p Khi ®ã ta cã z az Z  G1 ( p )  = Z  G2 ( p )  = v     z − ze − aT z −1 §Çu ra cña hÖ thèng sÏ l z az az y ( z) = e ( z) = e ( z) ( ) − aT ( z − 1) 1 − e− aT z − 1 z − ze 1.3.2. §¸p øng thêi gian vßng hë §¸p øng thêi gian cña mét hÖ thèng d÷ liÖu lÊy mÉu cã thÓ thu ®−îc b»ng c¸ch t×m biÕn ®æi z ng−îc cña h m ®Çu ra. Chóng ta sÏ l m râ kh¸i niÖm n y th«ng qua c¸c vÝ dô. VÝ dô 1.10:
Mét tÝn hiÖu b−íc nh¶y ®¬n vÞ ®−îc ®Æt v o mét hÖ RC ®iÖn nh− trªn h×nh 1.13. TÝnh v vÏ ®¸p øng ®Çu ra cña hÖ thèng, gi¶ thiÕt chu kú lÊy mÉu l T = 1s . R y ( p) u( p) u* ( p ) C H×nh 1.13. HÖ thèng RC víi tÝn hiÖu ®Çu v o b−íc nh¶y Lêi gi¶i: H m truyÒn cña hÖ RC l 1 G ( p) = RCp + 1 §èi víi hÖ thèng n y ta cã thÓ viÕt y ( p ) = u* ( p ) G ( p ) v y * ( p ) = u* ( p ) G * ( p ) BiÕn ®æi z cña h m ®Çu ra cã d¹ng nh− sau y ( z) = u( z) G ( z) BiÕn ®æi z cña h m b−íc nh¶y ®¬n vÞ cã d¹ng nh− sau z u( z) = z −1 H m truyÒn G ( p ) cã thÓ viÕt l¹i nh− sau 1 1 1 1 G ( p) = = =a RCp + 1 RC  1 p+a p+   RC  trong ®ã a = 1 / RC . MÆt kh¸c theo b¶ng biÕn ®æi z cña mét sè h m th«ng dông (b¶ng 1.1) 1 z Z = − aT  p + a z −e
Ta dÔ d ng suy ra a az Z = − aT  p + a z −e Do ®ã biÕn ®æi z cña h m ®Çu ra l  z   az  2 az y ( z) =  =  ( ) − aT  ( z − 1) z − e − aT  z −1  z − e NÕu chu kú lÊy mÉu T = 1s , R = 1Ω , C = 1F th× z2 z2 y ( z) = = ( ) ( z − 1) z − e−1 ( z − 1)( z − 0,368 ) §¸p øng ®Çu ra cã thÓ thu ®−îc b»ng c¸ch t×m biÕn ®æi z ng−îc cña y ( z ) . B»ng c¸ch khai triÓn y ( z ) th nh c¸c phÇn sè tõng phÇn ta cã y ( z) 1,582 0,582 = − z − 1 z − 0,368 z hay 1,582 z 0,582 z y ( z) = − z − 1 z − 0,368 MÆt kh¸c ta cã biÕn ®æi z ng−îc cña z / ( z − a ) nh− sau z Z −1  n =a z − a §¸p øng ®Çu ra sÏ cã d¹ng n y ( nT ) = 1,582 − 0, 582 ( 0, 368 ) Tõ ph−¬ng tr×nh trªn ta cã mét sè mÉu ®Çu nh− sau y (0) = 1 y ( T ) = 1,367 y ( 2 T ) = 1,503 y ( 3T ) = 1,552 y ( 4 T ) = 1, 571 ... §¸p øng ®Çu ra l
y ( t ) = δ ( t ) + 1,367δ ( t − T ) + 1,503δ ( t − 2 T ) + 1,552δ ( t − 3T ) + +1,571δ ( t − 4 T ) + ... y (t ) 1,503 1,552 1,571 1,367 1 t 0 2T 3T 4T T H×nh 1.14. §¸p øng ®Çu ra cña hÖ thèng RC. Mét ®iÒu quan träng l ®¸p øng chØ ®−îc biÕt t¹i c¸c thêi ®iÓm lÊy mÉu. NÕu ®iÖn tÝch cña tô ®−îc x¶ qua ®iÖn trë gi÷a c¸c kho¶ng chu kú lÊy mÉu th× sÏ x¶y ra hiÖn t−îng suy gi¶m theo h m mò cña ®¸p øng gi÷a c¸c kho¶ng thêi gian lÊy mÉu. Tuy nhiªn hiÖn t−îng n y kh«ng thÓ x¸c ®Þnh ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p biÕn ®æi z cña qu¸ tr×nh ph©n tÝch. VÝ dô 1.11: Gi¶ thiÕt chóng ta cã mét hÖ thèng ®iÒu khiÓn nh− trªn h×nh 1.15 víi gi÷ bËc kh«ng (ZOH). X¸c ®Þnh ®¸p øng ®Çu ra nÕu ®Çu v o cña hÖ thèng l mét xung b−íc ®¬n vÞ. u( p) u* ( p ) y ( p) 1 ZOH p +1 H×nh 1.15. HÖ thèng RC víi gi÷ bËc kh«ng Lêi gi¶i: H m truyÒn cña gi÷ bËc kh«ng cã d¹ng nh− sau: 1 − e− Tp G1 ( p ) = p H m truyÒn cña m¹ch RC cã d¹ng nh− sau: 1 1 1 1 1 G2 ( p ) = víi a = = =a RCp + 1 RC  1 p+a RC p+   RC  §èi víi hÖ thèng n y, ®Çu ra cña hÖ thèng cã d¹ng nh− sau y ( p ) = u* ( p ) G1 G2 ( p ) v * y * ( p ) = u* ( p ) [ G1 G2 ] ( p ) ë d¹ng biÕn ®æi z ®Çu ra cña hÖ thèng cã d¹ng