CHƯƠNG 3 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Chia sẻ: Tu Oanh04 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

133
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho các bạn sinh viên tham khảo và củng cố kiến thức trong thời gian học đại học tại các trường cao đẵng, đại học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHƯƠNG 3 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Trong thự c tế, phần lớn các bài toán mà ta gặp thường liên quan đến các hàm có nhiều hơn mộ t biến. Thật vậy, xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Thể tích của một khối trụ tròn xoay phụ thuộc vào bán kính đáy R và chiều cao h của nó bởi vì ta có công th ức V   .R 2 .h . Vì thế ta có th ể nói V là một hàm theo hai biến R và h và có thể viết: V  R, h    .R 2 .h . Ví dụ 2: Nhiệt độ T tại một điểm trên bề mặ t trái đất ở mộ t thời điểm cho trước nào đó phụ thuộc vào kinh độ x và vĩ độ y của điểm đó. Vì thế ta có thể cho rằng T là một hàm của hai biến x và y và có th ể viết T  f  x, y  . Ví dụ 3: Vào tháng 5/2006, một nhóm sinh viên khoa kinh tế, ĐHQG TPHCM, đ ã tiến hành điều tra về tiền lương của viên chức làm tạ i các công sở trên đ ịa bàn thành phố. Họ đã đưa ra kết quả phân tích như sau: WAGE  3, 475  4, 096 MBA  3, 283 FL  1,536 EXPER  0, 775 EF * EXPER Trong đó, WAGE là tiền lương; MBA là trình độ học vấn; FL là trình độ ngoại ngữ; EXPER là chỉ số năm công tác. Như vậy, tiền lương WAGE là mộ t hàm theo 3 biến: MBA, FL và EXPER. I. Giới hạn và liên tục 1. Định nghĩa hàm số nhiều biến số 2 Cho D là một tập hợp trong , người ta gọi ánh xạ f : D  , tức là một quy tắc cho tương ứng với mỗi cặp số thực  x, y   D m ột số thực duy nhất z , ký hiệu là f  x, y  là hàm số hai biến số, x và y là hai biến số độc lập . Ta ký hiệu f :  x, y   z  f  x, y  D được gọi là miền xác định của hàm số f . Tập hợp f  D  z  z  f  x, y  ,   x, y   D gọi là miền giá trị củ a hàm số f . 2 Chú ý: Theo định nghĩa trên thì miền xác định của f thuộc , còn miền giá trị của .Hàm số n b iến số f  x 1 , x2 ,..., xn  được định nghĩa tương tự. nó thuộc Ví dụ 4: Hàm chi phí củ a hai sản phẩm. 1
Một công ty sản xu ất hai loại sản ph ẩm A và B. Hàm chi phí mỗ i tuần củ a mỗi loại sản phẩm như sau: Sản ph ẩm A: C  x   500  70 x , x là số lượng sản phẩm A. Sản ph ẩm B: C  y   200  100 y , y là số lượng sản ph ẩm B. Hàm chi phí củ a hai sản phẩm A và B là C  x, y  : C  x, y   C  x   C  y   700  70 x  100 y Tính chi phí để sản xu ất ra 10 sản ph ẩm A và 5 sản phẩm B C 10,5   700  70.10  100.5  1900 . 2. Miền xác định Nếu người ta cho hàm số hai biến số bởi biểu thứ c z  f  x, y  mà không nói gì về miền xác định của nó thì miền xác định của hàm số đó được hiểu là tập hợp những cặp  x, y  sao cho biểu thức f  x, y  có nghĩa. Ví dụ 5: Hàm số z  2 x  3 y  5 xác đ ịnh với mọi cặp  x, y   2 , m iền xác định của nó là toàn bộ m ặt phẳng. Ví dụ 6 : Hàm số z  1  x 2  y 2 xác định khi 1  x 2  y 2  0 h ay x 2  y 2  1 , miền xác định của nó là hình tròn đóng, tâm O , bán kính I ( h ình 1). Ví dụ 7: Hàm số z  ln  x  y  1 được xác định khi x  y  1  0 h ay x  y  1 , miền xác định của nó là nửa mặt phẳng mở ở phía trên đường thẳng x  y  1 (hình 2). y y 1 x x O O 1 1 ( hình 1) (hình 2) Ví dụ 8: Tìm miền xác định của các hàm số sau: 2
1 a) f  x, y   b) f  x, y   x 2  y x  y 1 3. Giới hạn của hàm số hai biến số sin(x 2  y 2 ) Ví dụ 9: Cho hai hàm số f (x, y)  . Khi cho x,y dần về 0 ( (x,y) dần về gố c x 2  y2 tọa độ thì ta có bảng giá trị của hàm số f(x,y) như sau: y x -1 -0.5 -0.2 0 0.2 0.5 1 -1 0.45 0.76 0.83 0.84 0.83 0.76 0.45 -0.5 0.76 0.96 0.99 0.99 0.99 0.96 0.76 -0.2 0.83 0.99 1.00 1.00 1.00 0.99 0.83 0 0.84 0.99 1.00 1.00 0.99 0.84 0.2 0.83 0.99 1.00 1.00 1.00 0.99 0.83 0.5 0.76 0.96 0.99 0.99 0.99 0.96 0.76 1 0.45 0.76 0.83 0.84 0.83 0.76 0.45 Bảng trên chỉ ra rằng khi (x,y) dần về gốc tọa độ thì f(x,y) dần về 1 từ bất kỳ mộ t phía sin(x 2  y 2 ) nào. Vậ y 1 lim x 2  y2 ( x,y)  (0,0) 3.1 Định nghĩa. Giới hạn củ a hàm số f(x,y) khi (x,y) d ần về (x 0 , y0 ) là L, ta viết f  x, y   L lim  x,y   x 0 ,y0  nếu với mọi   0 , tồn tại   0 sao cho f (x, y)  L  , (x, y)  D va` 0< (x-x 0 )2  (y  y 0 ) 2   Chú ý: Một cách ký hiệu khác củ a giới hạn là lim f  x, y   L , f(x,y)  L khi (x,y) x x0 y  y0 (x0, y0). xy f  x, y  v ới f  x , y   Ví dụ 10 :: Tính lim  x , y   0,0  x  y2 2 Hàm số f  x, y  xác định trên 2 \  0, 0  . x   x, y    0,0  , nên Vì  1, x  y2 2 3
x f  x, y     x, y    0, 0  y  y, x  y2 2 Do đó với mọ i dãy  xn , yn  d ần tới  0, 0  , ta đều có  0. lim  xn , yn   0,0  Vậy 0 lim  x , y   0,0  xy g  x, y  với g  x, y   Ví dụ 11 : Tính . lim x2  y 2  x , y  0,0 Hàm số g  x, y  xác định trên 2 \  0, 0  . g  x, y  không tồn tại. Ta thấy rằng lim  x , y  0,0 Thật vậy, ta có: + Với dãy (x,y) dần tới  0, 0  , ta chọn y=0, do đó g  x, 0   0, x  0 thì g  x, y   0 lim  x , y   0,0  x2 1 + Với dãy (x,y) dần tới  0, 0  , ta chọn y=x, do đó g  x, x    , x  0 thì 2 2x 2 1 g  x, y   . lim  x , y   0,0  2 1 g  x, y  . n ên không tồn tại Vì 0  lim  x , y   0,0  2 3.2 Định nghĩa. Nếu f(x,y) dần về L1 khi (x,y) tiến về (x0,y0) d ọc theo đường cong C1 và f(x,y) dần về L2 khi (x,y) tiến về (x0,y0) dọc theo đường cong C2 mà L1  L 2 thì f  x, y  không tồn tại lim  x,y   x 0 ,y0  Ví dụ 12 : Tìm giới hạn khi  x, y    0,0  của các hàm số sau: 5 xy 2  3x 2 y  1 2x2  3 y2 a) f  x, y   b ) f  x, y   . 3x 2  2 y 2 2 xy  1 4. Tính liên tục của hàm số hai biến số Cho hàm số f  x, y  xác định trong miền D . M 0  x0 , y0  là điểm thuộ c D . Ta nói rằng hàm số f  x, y  liên tụ c tạ i M 0 nếu: f  x, y  , i) Tồn tại lim  x , y   x0 , y0  f  x, y   f  x0 , y0  ii) (1.1) lim  x , y   x0 , y0  4
Hàm số f  x, y  được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm củ a miền D .  xy ,   x, y    0, 0  2 2 Ví dụ 13 : Xét tính liên tục của hàm số G  x, y    x  y 0,  x, y    0, 0   Giải: 2 G  x, y  xác định trên toàn . Nó liên tụ c tại mọ i điểm  x, y    0, 0  vì nó là thương củ a hai hàm sô liên tục với mẫu số khác 0. Chỉ còn phải xét tính liên tụ c của G  x, y  xy tại  0, 0  . Vì không tồn tại (xem ví d ụ 5 ) nên G  x, y  không liên tục tại lim  x , y  0,0 x  y 2 2  0, 0  . Tóm lại G  x, y  liên tục tại mọi điểm  x, y    0, 0  . Chú ý: Nếu đặt x  x0  x, y  y0  y , ta có f  x, y   f  x0  x, y0  y  Lại đặt f  f  x0  x, y0  y   f  x0 , y0  . Khi đó công thức (1.1) có thể được viết là (1.2) f  0 lim  x , y  0,0  Nói cách khác, hàm số f  x, y  liên tục tại M 0  x0 , y0  nếu hệ thức (1.2) được thỏ a mãn. Ví dụ 14 : a) Xét tính liên tụ c của hàm số f (x, y)  x 4  5x 3 y 2  6xy4  7y  6  sin  x3  y 3  ,  x, y    0,0   b) Xét tính liên tụ c của hàm số f  x, y    x 2  y 2 . 0 ,  x, y    0, 0   II. Đạ o hàm riêng và vi phân tòan phầ n 1. Đạo hàm riêng 1.1 Định nghĩa: z  f  x, y  là mộ t hàm số xác định trong miền D ,  x0 , y0  là m ột điểm thuộ c D . Nếu cho y  y0 , y0 là hằng số, mà hàm số một biến số x  f  x, y0  có đạo hàm tại x  x0 thì đ ạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng đối với x của hàm số f  x, y  f  x0 , y0  . tại  x0 , y0  và được ký hiệu là: f x  x0 , y0  hay x Vậy theo định ngh ĩa của đ ạo hàm hàm số một biến số, ta có: 5
f  x0  x, y0   f  x0 , y0  f x  x0 , y0   lim x x  0 Tương tự , đạo hàm riêng đối với y củ a hàm số f  x, y  tại  x0 , y0  ký hiệu là f  x0 , y0  y   f  x0 , y0  f y  x0 , y0   lim y y  0 Như vậy khi tính đạo hàm riêng đối với x củ a f , chỉ việc xem y là hằng số và lấy đạo hàm củ a f đối với x ; khi tính đạo hàm riêng đối y củ a f chỉ việc xem x là hằng số và lấy đạo củ a f đối với y . Trong tính tóan người ta thư ờng ký hiệu đạo hàm riêng theo các cách sau: f  z , tương tự cho y f x (x, y)  f x   f (x, y)  x x x Ví dụ 15 : Tính các đạo hàm riêng của z  x 4  5 x3 y 2  2 y 4 z z  4 x3  15 x 2 y 2 ;  10 x 3 y  8 y 3 x y Ví dụ 16 : Tính đạo hàm riêng củ a z  x y  x  0 . z z  yx y 1 ;  x y ln x x y x Ví dụ 17 : Tính đạo hàm riêng củ a z  cos   , y  0 y  x  x z 1 x   sin .     .sin x y x  y  y y x  x x z x   sin .    2 sin y y y  y  y y Chú ý 1: Đạo hàm riêng của hàm số n   2  biến số được đ ịnh nghĩa tương tự. Khi tính đạo hàm riêng củ a f đối với mộ t biến số nào đó, ta xem các biến số khác là hằng số và tính đạo hàm của f đố i với biến số ấy. 2 Ví dụ 18 : Tính các đạo hàm riêng của hàm số z  e x y 2. Đạo hàm riêng cấp cao Các đạo hàm riêng f x , f y gọ i là đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số z  f  x, y  . Chúng là những hàm số của  x, y  . Vì vậ y có thể xét các đạo hàm riêng của chúng:  f x  x ,  f x  y , f  , f  gọ i là đạo hàm riêng cấp hai của f  x, y  . Ta dùng các ký hiệu sau: yx y y 6
  f   2 f  2 z  fx x  f xx     x  x  x 2 x 2   f   2 f 2 z  fx y  f xy     y  x  xy xy   f   2 f 2 z f   f yx     yx x  y  xy xy   f   2 f  2 z f   f yy     y y  y  y 2 y 2 y Ví dụ 19 : f  x, y   x 2e y  x3 y 2  y 5 f x  2 xe y  3x 2 y 2 , f y  x 2e y  2 x 3 y  5 y 4 f xx  2e y  6 xy 2 f xy  2 xe y  6 x 2 y f yy  x 2 e y  2 x 3  20 y 3 fyx  2 xe y  6 x 2 y Ví dụ 20 : Tính các đạo hàm riêng cấp 2 củ a các hàm số sau x a) f  x, y   x 2 y 2  x 3  y 3  b ) f  x, y   x  y2 2 Các đạo hàm riêng cấp cao hơn đư ợc định nghĩa tương tự. Ch ẳng hạn:    2 f  3 f f xyy   f xy   .   y  yx  y 2x y Ta thừa nh ận mà không chứng minh định lý quan trọng sau: Định lý Schwarz: Nếu hàm số f  x, y  có các đ ạo hàm riêng f xy và f yx trong m ột miền D và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tịa điểm  x0 , y0   D thì f xy  x0 , y0   f yx  x0 , y0  Ta đã thấy kết qu ả n ày ở ví dụ 19. Từ định lý Schwarz dễ dàng suy ra rằng f xyy  f yxy  f yyx n ếu chúng liên tụ c. Đạo hàm riêng cấp cao của hàm số n   2  biến số được đ ịnh nghĩa tương tự . Ví dụ 21 : u  z 2 e x  yz u x  z 2 e x  yz u xx  z 2 e x  yz u xxy  z 2 e x yz   z    z 3 .e x  yz u xxyz  3 z 2 e x  yz  z 3e x  yz   y   3 z 2 e x  yz  yz 3e x  yz Ví dụ 22 : Tính 2 a) f  x, y   x3 y 2  5x 4 y , tính f xxx b) f  x, y   e xy , tính f xxy . 7
3. Vi phân toàn phần 3.1 Định nghĩa: Biết rằng nếu hàm số của một biến số f  x  xác định trong khoảng và nếu tồn tại đạo hàm f '  x0  , x0  I thì số gia f  x0   f  x0  x   f  x0  , I trong đó x0  x  I , có thể được biểu diễn dưới dạng: f  x0   f '  x0  x  x , trong đó   0 khi x  0 . Biểu th ức f '  x0  x ( ph ần chính củ a f  x0  khi x  0 ) gọi là vi phân của f  x  tại x0 . Vậy nếu đạo hàm f '  x0  tồn tại thì f  x  khả vi tại x0 . 2 Bây giờ, xét hàm số hai biến số f  x, y  xác định trong miền D  . M 0  x0 , y0  và M 0  x0  x, y0  y  là hai điểm thuộc D .Nếu số gia f  x0 , y0   f  x0  x, y0  y   f  x0 , y0  có thể biểu diễn dư ới dạng: f  x0 , y0   Ax  By  x  y , (3.1) trong đó A, B là những số không phụ thuộc x, y , còn   0 và   0 khi  x, y    0, 0  (tức là M  M 0 ) thì ta nói rằng hà số f  x, y  kh ả vi tại M 0 , biểu thức Ax  By gọi là vi phân toàn phần của hàm số f  x, y  tại  x0 , y0  ứng với các số gia x, y và đư ợc ký hiệu là df  x0 , y0  . Nếu hàm số f  x, y  kh ả vi tại  x0 , y0  thì nó liên tụ c tại đó, vì từ công thức (3.1) suy ra f  x0 , y0   0 khi  x, y    0, 0  . Hàm số f  x, y  gọi là kh ả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộ c D . Chú ý 2: Nếu f  x, y  khả vi tại  x0 , y0  thì nó tồn tại các đạo hàm riêng f x  x0 , y0  , f y  x0 , y0  . Chú ý 3 : Khác với hàm số mộ t biến số , nếu hàm số h ai biến số f  x, y  có các đạo hàm riêng f x  x0 , y0  và f y  x0 , y0  thì chưa chắc nó đã khả vi tại  x0 , y0  . Chẳng hạn như, xét hàm số sau:  xy  x, y    0, 0 , 2 2 G  x, y    x  y 0,  x, y    0,0   Theo đ ịnh ngh ĩa củ a đ ạo hàm riêng ta có 8
G  h, 0   G  0, 0  G  h, 0  Gx  0, 0   lim  0 vì G  h, 0   0, h  0  lim h h h0 h0 Tương tự ta có: Gy  0, 0   0 . Vậy tồ n tại các đạo hàm riêng Gx  0, 0  , G y  0, 0  , nhưng hàm số G  x, y  không liên tục tại  0, 0  nên không khả vi tại  0, 0  . 3.2 Điều kiện khả vi của hàm số nhiều biến số 3.2 Định lý . Nếu hàm số f  x, y  có đ ạo hàm riêng trên một miền D chứa điểm M 0  x0 , y0  và nếu các đạo hàm riêng ấ y liên tục tại M 0 thì hàm số f  x, y  khả vi tại M 0 , vi phân toàn phần của f  x, y  tại M 0 được tính bằng công thức: df  x0 , y0   f x  x0 , y0  .x  f y  x0 , y0  y (3.2) Chú ý 4: Cũng như đối với hàm số một biến số , vì x, y là biến số độc lập nên ta có x  dx, y  dy , do đó công thức (3.2) còn được viết là: df  x0 , y0   f x  x0 , y0  .dx  f y  x0 , y0  .dy Ví dụ 23 : Tính vi phân toàn phần của hàm số z  x 2  y 2 . 2 Hàm số xác định trên toàn . z z x y là liên tụ c tại mọi  x, y    0, 0  Vì các đạo hàm riêng   , x y 2 2 x  y2 2 x y xdx  ydy 2 \  0, 0  và dz  nên z kh ả vi trên . x2  y2 Chú ý 5: Đối với hàm số n   2  b iến số, định nghĩa hàm số khả vi, điều kiện khả vi củ a hàm số , công thức củ a vi phân toàn ph ần cũng tương tự như hàm số của hai biến số . Ví dụ 24 : Tính vi phần toàn phần của hàm số u  xe yz . 3 Hàm số xác định trên toàn . Các đ ạo hàm riêng: u u u  e yz ;  xze yz ,  xye yz x y z 3 3 liên tụ c trên toàn n ên hàm số u khả vi trên toàn và du  e xz dx  xze yz dy  xye xz dz  e yz  dx  xzdy  xydz  . Ví dụ 25 : Tính vi phân toàn phần của các hàm số 9
x b ) f  x, y   a) f  x, y   x3  y 3  3xy . x  y2 2 3.3 Ứng dụng vi phân toàn phầ n vào tính gần đúng Từ đ ịnh lý 3.2 ta có công thức: f  x0 , y0   f x  x0 , y0  x  f y  x0 , y0  y  x  y Ta thấy rằng f x  x0 , y0  x  f y  x0 , y0  y là vô cùng bé b ậc nh ất đối với   x 2  y 2 khi   0 , còn x  y là vô cùng bé cấp cao đối với  . Vì vậy, khi x, y khá nhỏ, ta có th ể xem f  x0 , y0   df  x0 , y0  , tức là: f  x0 , y0   f x  x0 , y0  .x  f y  x0 , y0  y Hay f  x0  x, y0  y   f  x0 , y0   f x  x0 , y0  x  f y  x0 , y0  y (2.3) Ví dụ 26: Cho hàm số f  x, y   x 2  2 xy  y 2 . Tính f  x, y  và df  x, y  , nếu x0  2, y0  3, x  0.03, y  0.02 . df  x, y    2 x  2 y  .x   2 x  2 y  y df  2, 3   2.2  2.3  0.03   2.2  2.3  .  0.02   0.34 2 2 f  2,3  f  2.03; 2.98   f  2,3    2.03  2.2, 03.2,98   2.98     22  2.2.3  32   0.3434    Ta thấy df  2, 3  f  2,3  nhưng tính df  2,3  dễ hơn. 1.02 Ví dụ 27 : Tính gần đúng arctg 0.95 y Ta cần tính z  x0  x, y0  y  , trong đó z  acrtg , x0  1, y0  1, x  0.05, y  0.02 x z z 1  y y 1 1 x Ta có ,   2    2  .2 2 2 2 2 x x y y  y x x  y  y  x  1   1   x x Theo công thức (3) z 1  0.05;1  0.02   z 1,1  z x 1,1 x  z y 1,1 y 1.0, 05  1.0, 02  1.02 hay arctg   0.35  0.785  0.035  0.82 radian.  arctg1  0.95 2 4 Ví dụ 28 : Tính gần đúng các số sau 2 2 3 3 b) ln  0, 09    0,99   . 9.1,95   8,1 a)   3.4 Điều kiện để biểu thức P  x, y  dx  Q  x, y  dy là một vi phân toàn phầ n 10
Ta biết rằng vi phân toàn phần của hàm số kh ả vi f  x, y  là f f df  .dx  .dy x y Bây giờ, cho hai hàm số P  x, y  , Q  x, y  . Định lý sau cho ta biết khi nào biểu thức P  x, y  dx  Q  x, y  dy là một vi ph ần toàn phần của một hàm số f  x, y  n ào đó 3.4 Định lý. Giả sử các hàm số P  x, y  , Q  x, y  có các đạo hàm riêng liên tụ c trong mộ t miền D nào đó. Biểu thức P  x, y  dx  Q  x, y  dy là một vi phân toàn phần khi và ch ỉ khi: P Q (4)  , x, y  D y x Chú ý 6: Nếu điều kiện (4) được thỏa mãn, ta có th ể tìm được hàm số f  x, y  sao cho df  P  x, y  dx  Q  x, y  dy . Việc tìm hàm số f  x, y  được trình bày trong ví dụ sau Ví dụ 29 : Chứng minh rằng biểu thứ c sau đây là vi phân toàn phần a) 1   2 x  5 y 2  dx   6 y 2  10 xy  dy , x3   b ) 2  3x 2 1  ln y  dx   2 y   dy , với y  0 . y  Tìm các hàm số fi  x, y  sao cho dfi  i , i  1, 2 . Ta có: P Q P  x, y   2 x  5 y 2 , Q  x, y   6 y 2  10 xy , do đó .  10 y  y x Vậy 1 là một vi phân toàn phần. ta phải tìm hàm số f1  x, y  sao cho df1  1 , do dó: f1  2x  5 y2 (*) x f1  6 y 2  10 xy (**) y Lấy nguyên hàm theo x h ai vế củ a (*) ta được f1  x, y   x 2  5 y 2 x    y  (***) Trong đó   y  là một hàm số khả vi b ất kì củ a biến số y ,   y  được xem là h ằng số tùy ý đố i với x , vì x và y là hai biến số độc lập. Lấy đ ạo hàm đố i với y củ a hai vế củ a (***) ta được: 11
f1  10 xy   '  y  (****) y So sánh (**) và (****) ta đư ợc  '  y   6 y 2 . Do đó   y   2 y 3  C , C là một hằng số tùy ý. Thay   y  vào (***) ta được: f1  x, y   x 2  5 xy 2  2 y 3  C Lưu ý rằng ta cũng có thể bắt đầu tính bằng cách lấy nguyên hàm theo y hai vế của (**) như trong ph ần b) dưới đây x3 b) Ta có P  x, y   3 x 2 1  ln y  , Q  x, y    2 y . Do đó y P 3 x 2 Q   y x y Vậy 2 là mộ t vi phân toàn ph ần. Ta sẽ tìm hàm số f 2  x, y  sao cho df 2  2 , do đó\ f 2  3 x 2 1  ln y  (i) x f 2 x 3 (ii)   2y y y Lấy nguyên hàm theo y hai vế của (ii) ta được f 2  x, y   x 3 .ln y  y 2    x  , (iii) trong đó,   x  là mộ t hàm số kh ả vi b ất kì. Lấy đạo hàm theo x hai vế của (iii) ta được: f 2  3 x 2 ln y   '  x  (iv) x So sánh (iv) với (i), ta được  '  x   3 x 2 . Do đó   x   x3  C , C là mộ t hằng số tùy ý. Thay   x  vào (iii) ta được: f 2  x, y   x3 1  ln y   y 2  C . 4. Đạo hàm của hàm số hợp, hàm ẩn 4.1 Đạo hàm của hàm số hợp * Trư ờng hợp 1: Cho hàm số z  f  u , v  trong đó u  u  x  , v  v  x  là những hàm số củ a x . Ta nói rằng z  f  u  x  , v  x   là hàm số hợp của x qua các biến số trung 12
gian u, v . Định lý sau đây cho ta quy tắc tính đ ạo hàm củ a hàm số hợp z  f u  x  , v  x  . 4.1 Định lý. Nếu z  f  u , v  là hàm số khả vi của u, v và n ếu u  u  x  , v  v  x  là những hàm số khả vi củ a x thì z là hàm số khả vi của x và ta có dz f du f dv   dx u dx v dx dz nếu z  u 2  uv  2v 2 , u  e  x , v  sin x . Ví dụ 30 : Tính dx Theo công thức trên ta có: dz z du z dv   2u  v   e x    u  4v   cos x     2e x  sin x  e x   4sin x  e x  cos x   dx u dx v dx Chú ý 1: Nếu z  f  x, y  là hàm số kh ả vi củ a x, y và n ếu y  y  x  là hàm số khả vi củ a x thì z  f  x, y  x   là hàm số hợp của x , khả vi đố i với x và ta có: dz z z dy (4.1)  dx x y dx z dz Đạo hàm ở vế trái gọi là đạo hàm toàn phần củ a z đố i với x , còn đạo hàm ở x dx vế ph ải là đ ạo hàm riêng củ a z  f  x, y  đối với x . dz nếu z  ln  x 2  y 2  , y  sin 2 x . Ví dụ 31 : Tính dx Theo công thức trong chú ý 1 ta có 2 x  4sin 3 x cos x dz z z dy 2x 2y .  2 2 .2sin x cos x  dx x y dx x  y 2 x  y 2 x 2  sin 4 x dz nếu z  ln  u  v 2  , trong đó u  1  x , v  1  x . Ví dụ 32 : Tính dx Trường hợp 2: Bây giờ xét hàm số z  f  u , v  trong đó u  u  x, y  , v  v  x, y  là những hàm số của hai biến độ c lập x, y . Khi đó z  f  u  x, y  , v  x, y   là hàm số h ợp củ a x, y thông qua các biến số trung gian u, v . Để tính đạo hàm riêng củ a x đối với hàm số z ta xem y không đổ i, khi đó z  f  u  x, y  , v  x, y   là hàm số hợp củ a một biến số độ c lập x thông qua hai biến số trung gian u , v . Do đ ịnh lý 1, ta có 13
z f u f v ... x u x v x z Cũng lập lu ận tương tự như vậy khi tính , ta được đ ịnh lý sau: y 4.2 Định lý. Nếu hàm số z  f  v, u  là hàm số khả vi của u, v và các hàm số u  u  x, y  , v  v  x, y  có các đ ạo hàm riêng như ux , u y , vx , v y thì tồn tại các đạo hàm z z riêng và ta có , x y z f u f v .. x u x v x z f u f v .. y u y v y z z x , n ếu z  eu cos v, Ví dụ 33 : Tính . u  xy, v  , x y y z z u u v 1 v x  eu cos v,  eu sin v, Ta có:  y,  x, ,  2 u v x y x y y y Do đó:   x  x x 1 x 1 z  e xy cos   . y  e xy .sin   .  e xy  y cos    sin    x  y  y y  y y  y     x  x x  x  x x z  e xy cos   .x  e xy .sin   .   2   e xy  x cos    2 sin    y  y  y  y   y y  y   z z Ví dụ 34:: Dùng quy tắc lấy đạo hàm của hàm số hợp tính , x y a) z  u 2 sin v , trong đó u  x 2  y 2 , v  2 xy 2 b) z  sin u.cos v , trong đó u   x  y  , v  x 2  y 2 . Chú ý 2 : Quy tắc tính đạo hàm củ a ham số hợp cũng được m ở rộng cho trường h ợp hàm số f p hụ thuộc vào nhiều biến số trung gian hơn và các biến số trung gian phụ thuộc nhiều biến số độc lập hơn. 4.3 Đạo hàm của hàm số ẩ n 4.3.1 Định nghĩa hàm ẩ n. Xét phương trình F(x,y) = 0 (4.3) , nói chung không giải ra đối với y, trong đó F(x,y) là một hàm số xác đ ịnh. Nếu x  E thì (4.3 ) có nghiệm duy nh ất y = f(x) thì y đư ợc gọi là hàm ẩn theo biến số x trên E. 14
Nhận xét: 1. Từ định nghĩa ta có: F(x, f (x))  0, x  E 2. Trường hợp với mọi x thuộc E, phương trình (4.3) có nhiều hơn 1 nghiệm y = f(x) thì ta nói phương trình (4.3 ) xác đ ịnh 1 h àm ẩn đa trị. Ví d ụ 35: Phương trình x 2  y 2  a 2  0 xác đ ịnh hai hàm số ẩn y  a 2  x 2 và y   a2  x2 trong khoảng  a  x  a , vì khi th ế chúng vào phương trình x 2  y 2  a 2  0 ta được đồng nhất thức. x 2   a 2  x 2   a 2  0, x   a, a  Chý ý rằng không phải mọi hàm số ẩn đ ều có thể biểu diễn được dưới d ạng y  f  x  . Chẳng hạn, hàm số ẩn xác định b ởi phương trình: xy  e x  e y  0 không thể biểu diễn dưới d ạng y  f  x  . Người ta chứng minh được rằng, n ếu hàm số F  x, y  kh ả vi trừ một số điểm, hàm số y  f  x  kh ả vi. Lấ y đ ạo hàm hai vế phương trình F  x, y   0 theo x , công thức (4 .1) cho ta: Fx  x, y   Fy  x, y  . y '  0 Do đó Fy  x, y   0 ta có Fx  x, y  (4.4 ) y'   Fy  x, y  Ví dụ 36 : Tính y ' nếu x 3  y 3  3axy  0 . 2 Vì F  x, y   x3  y 3  3axy khả vi trên toàn nên theo công thứ c (4.4) ta có Fx  x, y  3 x 2  3ay x 2  ay nếu y 2  ax  0 y'    2  2 Fy  x, y  3 y  3ax y  ax Ví dụ 37 : Tính y ' nếu xy  e x  e y  0 2 Vì F  x, y   xy  e x  e y khả vi trên toàn n ên Fx  x, y  y  ex n ếu x  e y  0 . y'    y Fy  x, y  xe Ví dụ 38 : Tính đạo hàm của các hàm số ẩn b) y 3   x 2  1 y  x 4  0 , tính y ' ? a) y 5  3 x 2 y 2  5 x 4  9 , tính y ' ? 15
Ta nói rằng hàm số hai biến số z  f  x, y  là hàm số ẩn xác đ ịnh bởi phương trình: F  x, y , z   0 (4.5 ) nếu F  x , y , f  x, y    0 Với mọi x, y thuộc miền xác định của f . Cũng nh ư trong trường hợp trước, nếu F  x, y, z  kh ả vi thì trừ tại một số điểm đ ặc biệt hàm số f  x, y  khả vi. Lấy đạo hàm hai vế phương trình (3.4) đ ối với x và đố i với y ta được lần lư ợt F F z  x, y, z    x, y, z  .  0 x z x F F z  x, y, z    x, y, z  .  0 y z y F  x, y, z   0 ta có Do đó, nếu z F  x, y, z  z  x Fz  x, y, z  x F  x, y , z  z  y Fz  x, y, z  y z z , n ếu xyz  cos  x  y  z  . Ví dụ 39 : Tính , x y 3 Vì F  x, y, z   xyz  cos  x  y  z  khả vi trên nên công thức trên cho ta F  x, y, z  yz  sin  x  y  z  z  x  Fz  x, y, z  xy  sin  x  y  z  x Fy  x, y, z  xz  sin  x  y  z  z   Fz  x, y, z  xy  sin  x  y  z  y Ví dụ 40 : Cho ln 1  y  z   z  x  0 , tính z x , z y ? 5. Cực trị của hàm số hai biến số 5.1 Định nghĩa Ta nói rằng hàm số z  f  x, y  đạt cực trị tại điểm M 0  x0 , y0  nếu với mọ i điểm M  x, y  khá gần với M 0 nhưng khác M 0 một hiệu f  M   f  M 0  có dấu không đổi, n ếu f  M   f  M 0   0 thì f  M 0  là cực tiểu, n ếu f  M   f  M 0   0 thì f  M 0  là cực đại. Cự c đ ại và cực tiểu được gọ i chung là cực trị và điểm M 0 được gọi là điểm cực trị. 16
Ví dụ 41 : Hàm số z  x 2  y 2 đạt cực tiểu tại  0, 0  vì x 2  y 2  0 ,   x, y    0, 0  . 5.2 Điều kiện cần của cực trị Định lý. Nếu hàm số f  x, y  đ ạt cực trị tại điểm M 0  x0 , y0  và tại đó các đạo hàm riêng tồn tạ i thì: f x  x0 , y0   0; f y  x0 , y0   0 (5.1) Điều kiện (5.1) là điều kiện cần củ a cực trị, nó không là điều kiện đủ vì tại những điểm mà các đ ạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 chưa chắc hàm số đạt cự c trị. Tuy nhiên định lý sau đây cho phép ta chỉ tìm cự c trị tại những điểm mà ở đó các đạo hàm riêng cấp 1 đều b ằng 0, gọ i là điểm dừng. 5.3 Điều kiện đủ của cực trị Định lý. Giả sử rằng M 0  x0 , y0  là một điểm dừng của hàm số f  x, y  và hàm số f  x, y  có đạo hàm riêng cấp 2 ở lân cận điểm M 0 . Đặt: A  f xx  x 0 , y 0  , B  f xy  x 0 , y 0  , C  f yy  x 0 , y 0  Khi đó:  B2  AC  0 : hàm số đạt CT tại M 0 (x 0 , y 0 ) * A0   B2  AC  0 : hàm số đạt CĐ tại M 0 (x 0 , y 0 ) * A0  * B2  AC  0 : hàm số không đạt cực trị tại M 0 (x 0 , y0 ) * B2  AC  0 : không kết luận về cực trị tại M 0 (x 0 , y 0 ) . Khi đó dùng đ ịnh ngh ĩa đ ể xét cự c trị tại M 0 (x 0 , y 0 ) . Ví dụ 42 : Tìm cự c trị củ a hàm số z  x 2  y 2  4 x  2 y  8 Ta có: z x  2 x  4; z y  2 y  2 Tọa độ củ a điểm dừng là nghiệm của hệ 2 x  4  0  2 y  2  0 Vậy điểm dừng duy nh ất là điểm  2, 1 . 17
z yy  2 nên B2  AC  4  0 , còn C  2  0 , vậy ham số đạt cực Vì z xx  2; z xy  0; tiểu tại điểm  2, 1 và zmin  22  12  4.  2   2.1  8  3 . 2 2 Nếu viết lại z   x  2    y  1  3 , ta th ấy z  3 tại mọ i  x, y   2 , đ ẳng thức xảy ra khi và ch ỉ khi x  2, y  1 ta đ ã thấy kết quả trên. Ví dụ 43 : Tìm cự c trị củ a hàm số z  x3  y 3  3 xy Ta có: z x  3 x 2  3 y; z y  3 y 2  3x Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ:  x2  y  0  2 y  x  0  Đó là mộ t hệ phương trình đố i xứng. Thế y  x 2 từ phương trình đ ầu vào phương trình sau ta được 0  x 4  x  x  x3  1  x  x  1  x 2  x  1 Phương trình này có hai nghiệm x  0; x 1. Vậy ta có hai điểm dừng M 0  0, 0  và M 1 1, 1 . Vì z xx  6 x, z xy  3, z yy  6 y n ên: Tại M 0  0, 0  ta có B 2  AC  9  0 , điểm M 0 không là điểm cực trị. Tại M 1 1,1 ta có B 2  AC  9  36  27  0 , C  6  0 , M 1 là điểm cực tiểu, zmin  1  1  3  1 . Ví dụ 44 : Tìm cự c trị củ a hàm số z  x3  y 3 . Ta có: z x  3x 2 , z y  3 y 2 Vậy chỉ có mộ t điểm dừng là M 0  0, 0  . z yy  6 y , nên tại M 0 ta có B 2  AC  0 . Vậ y chưa kết lu ận ngay Vì z xx  6 x, z xy  0, được. Chú ý rằng z  M 0   z  0,0   0, z  x, y   z  0, 0   x3  y 3 . Hiệu ấy là dương nếu điểm M  x, y  nằm trong góc ph ần tư thứ nh ất, là âm nếu M  x, y  nằm trong góc phần tư thứ b a. Do đó dấu củ a hiệu z  M   z  M 0  thay đổ i ở lân cận điểm M 0 nên M 0 không là điểm cực trị. 18
1,  2, 0  đến mặt phẳng Ví dụ 45 : Tìm khoảng cách ngắn nhất từ đ iểm 3x  2 y  z  1 . Khoảng cách từ đ iểm 1,  2, 0  đến điểm  x, y, z  bằng: 2 2  x  1   y  2   z2 d Vì điểm cực trị của d trùng với điểm cực trị của d 2 , ta tìm cực trị của: 2 2 d 2   x  1   y  2   z 2 : f  x, y, z  (*) Vì điểm  x, y, z  nằm trên mặt ph ẳng 3x  2 y  z  1 nên các biến số x, y, z trong (*) thỏ a mãn điều kiện (**) 3x  2 y  z  1 Thế z  1  3x  2 y trong (**) vào (*) ta được: 2 2 2 d 2   x  1   y  2   1  3 x  2 y  : F  x, y  Bài toán trở thành tìm cực tiểu của hàm số hai biến số F  x, y  . Ta có: Fx  2  x  1  6 1  3 x  2 y   4  5 x  3 y  2  Fy  2  y  2   4 1  3 x  2 y   2  6 x  5 y  4  Tọa độ củ a điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình 5 x  3 y  2  0   6 x  5 y  4  0  2 8  Giải h ệ trên, ta được một điểm dừng duy nh ất là  , . 7 7 Vì Fxx  20, Fxy  12, Fyy  10 , nên B 2  AC  144  200  56  0 , C  20  0 nên M 0 là điểm cực tiểu. Hơn nữa ta biết rằng trên m ặt ph ẳng 3x  2 y  z  1 có một điểm m à khoảng cách tới điểm A 1,  2, 0  bé nh ất, đó là chân củ a đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng đó. Khoảng cách đó là: 2 2 2 9 3 6 6  x  1   y  2   1  3x  2 y            2 2 2 d       7  7  7  14 Chú ý: Cực trị củ a hàm số 3 biến số (*) trong đó các biến số x , y , z thỏa mãn điều kiện (**) gọ i là cực trị có điều kiện (hay cực trị tương đối). Trong ví d ụ 45, ta đã thấy bài toán tìm cực trị có điều kiện củ a hàm số 3 biến số f  x, y, z  vào điều kiện 19
z    x, y  được đưa về b ài toán tìm cực trị của hàm số h ai biến số f  x, y,   x, y   : F  x, y  . Cũng vậy, bài toán tìm cực trị tương đối củ a hàm số hai biến số f  x, y  với điều kiện y    x  được đưa về b ài toán tìm cực trị củ a h àm số một biến số f  x,   x   : F  x  . Ví dụ 46 : Cho hàm lợi nhuận P  x, y   2 x 2  2 xy  y 2  10 x  4 y  107 . Tìm mức sản lượng  x, y  sao cho lợi nhuận lớn nhất? 6. Cực trị hàm 3 biến Điều kiện cầ n: Nếu hàm số u =f(x,y,z) đạt cực trị tại M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) và hàm số có các đ ạo hàm riêng cấp 1 tại M 0 thì u 'x  M 0   u 'y  M 0   u z  M 0   0 . Khi đó ta nói M 0 (x 0 , y0 , z 0 ) là điểm dừng ' củ a hàm số u =f(x,y,z). Điều kiện đủ: Cho M 0 (x 0 , y0 , z 0 ) là điểm d ừng củ a hàm số u=f(x,y,z). Giả sử hàm số có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong lân cận của M0. Đặt  u 'xx (M 0 ) u ''xy (M 0 ) u ''xz (M 0 )  '   H   u ''yx (M 0 ) u ''yy (M 0 ) u ''yz (M 0 )   M 3  u '' (M ) u '' (M ) u '' (M )   zx 0 0 zy 0 zz Thì H đ gl ma trận Hessain và H1  u 'xx (M 0 ) ' u ''xx (M 0 ) u xy (M 0 ) '' H2  u ''yx (M 0 ) u ''yy (M 0 ) H3  H Khi đó  H1  0  *  H 2  0 : hàm số đạt cực tiểu tại M 0 (x 0 , y0 , z 0 ) H  0 3  H1  0  *  H 2  0 : hàm số đạt cực đại tại M 0 (x 0 , y0 , z 0 ) H  0 3 H2 H và 3 trái dấu: hàm số không đạt cực trị tại M 0 (x 0 , y0 , z 0 ) . * H1 H2 20