Chương 5: Phép tính vi phân

Chia sẻ: Van Dung Dung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

229
lượt xem 51
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu về phép tính vi phân...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 5: Phép tính vi phân

Chương 5 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 5.1 Tích phân hàm m t bi n 5.1.1 Nguyên hàm và tích phân b t đ nh 1. Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa 5.1. Cho hàm f xác đ nh trên kho ng (a, b). Hàm F (x) xác đ nh trên (a, b) g i là m t nguyên hàm c a hàm f (x) n u F (x) = f (x) v i m i x ∈ (a, b). Ta th y r ng F (x) là m t nguyên hàm c a f (x) thì F (x) + C, trong đó C là h ng s tùy ý cũng là m t nguyên hàm c a f (x). Đ nh lý 5.1. N u F (x) là m t nguyên hàm c a f (x) thì m i nguyên hàm c a f (x) đ u có d ng F (x) + C, trong đó C là h ng s . Đ nh nghĩa 5.2. Cho hàm y = f (x) xác đ nh trên (a, b). Ta g i tích phân không xác đ nh c a f (x), R kí hi u f (x)dx, là t p t t c các nguyên hàm c a f (x) R Đ nh lý 5.1 suy ra n u F (x) là m t nguyên hàm c a f (x) thì f (x)dx = F (x) + C, trong đó C là h ng s tùy ý. R f (x)dx ta g i f (x) là hàm dư i d u tích phân, f (x)dx là bi u th c dư i d u tích Trong kí hi u phân. Đ tính tích phân không xác đ nh, theo đ nh nghĩa, ta ch c n tìm m t nguyên hàm c a nó. 2. Tính ch t R R Tính ch t 5.1. ( f (x)dx) = f (x), d( f (x)dx) = f (x) R dF (x) = F (x) + C Tính ch t 5.2. R R R Tính ch t 5.3. (f (x) ± g (x))dx = f (x)dx ± g (x)dx. R R αf (x)dx = α f (x)dx Tính ch t 5.4. 3. Phương pháp tính • Tính tr c ti p: S d ng các tính ch t và b ng nguyên hàm. x2 − 1 2 R R dx = (1 − 2 )dx = x − 2arctgx + C Ví d 5.1. 2+1 x x +1
47 http://maths3.wordpress.com • Phương pháp đ i bi n: R Công th c 1. Tính: J = f (x)dx R Đ t x = g (t) v ig (t) là hàm s liên t c và có hàm s ngư c. Khi đó: J = f (g (t)).g (t)dt Chú ý: Sau khi tính tích phân xong ph i tr l i bi n. dx R √ Ví d 5.2. Tính I = 2 − x2 a Đ t x = at ⇒ dx = adt adt x R Khi đó: I = √ 2 = arcsint + C V y I = arcsin + C , ( C = const) a 2 t2 a −a R Công th c 2. Tính J = f (x)dx R Đ t t =R ϕ(x) khi đó: f (x)dx = g [ϕ(x)]ϕ (x)dx. Khi đó, n u ta bi t: g (t)dt = G(t) + C thì R R f (x)dx = g (ϕ(x)).ϕ (x)dx = g (t)dt = G(t) + C = G[ϕ(x)] + C. xdx xdx R R Ví d 5.3. Tính I1 = = . x4 2+5 2 + 1)2 + 4 + 2x (x Đ t u = x2 + 1 thì du = 2xdx (x2 + 1) du 1 u 1 R Ta có: I1 = = arctg + C V y I1 = arc + C. 2(u2 + 4) 2 2 2 2 dx R √ Ví d 5.4. Tính I2 = . x2 + 1 √ 1 t2 + 1 √ 1 − t2 1 − t2 1 + t2 Đ t x2 + 1 = x + t ⇒ x = ⇒ dx = − . 2 dt; x2 + 1 = +t= . 2t 2t 2t 2t 2
√ 1 R t t+1
R dt = − ln |t| + C V y I2 = − ln
x2 + 1 − x
+ C. 2 Ta có I2 = − 2 +1 dt = −
2 t 2t t • Phương pháp tính tích phân t ng ph n Gi s u = u(x), v = v (x) là các hàm kh vi, liên t c trên m t kho ng nào đó. Khi đó R R udv = uv − vdu + C ( C = const). R Ví d 5.5. Tính I = e2x . sin 3xdx. 8 ¨ 2x < du = 2e dx 2x u=e ⇒: 1 Đt dv = sin 3xdx v = − cos3x 3 e2x 1 2x 2 R 2x Ta có I = − e cos3x+ e .cos3xdx =...= (2 sin 3x − 3 cos 3x) + C. 3 3 13 4. Tích phân c a các hàm h u t , vô t , lư ng giác x+1 R Ví d 5.6. Tính I = dx x3 + x R x+1 x+1 dx dx R1 x R R R = arctgx+ ( − 2 Ta có I = dx = dx = + )dx 3+x 2 + 1) 2+1 2 + 1) x x(x x x(x x x +1 1 = arctgx + ln |x| − ln |x2 + 1| + C. ( C = const). 2 dx R Ví d 5.7. Tính I = √ √ . 3 x+1− 4x+1 √ Đ t t = 12 x + 1 ⇒ x = t12 − 1, dx = 12t11 dt 11 t8 R 12t dt 1 R R dt = (t7 +t6 + t5 + t4 + t3 + t2 + t + 1 + Do v y I = = 12 )dt = ... 4 − t3 t−1 t−1 t
48 http://maths3.wordpress.com cos3 x R Ví d 5.8. Tính I = dx sinx Đ t t = sinx ⇒ dt = cosxdx 2 t2 R 1−t dt = ln |t| − + C Khi đó: I = t 3 sin2 x V y I = ln |sinx| + + C. 3 5.1.2 Tích phân xác đ nh 1. Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa 5.3. Cho hàm y = f (x) xác đ nh trên [a, b]. Chia đo n [a, b] thành n đo n nh b i phân ho ch P: a = x0 < x1 < ... < xn = b. N u trong m i đo n ∆k [xk−1 , xk ] ch n tùy ý ck , ta có m t phép ch n C. Khi đó t ng n X f (ck )(xk − xk−1 ), σP = k=1 g i là t ng tích phân c a hàm f (x) ng v i phép phân ho ch P và phép ch n C. Kí hi u |P | = max xk − xk−1 là đư ng kính c a phép phân ho ch P. Khi đó n u t n t i lim σP = I |P |→0 theo nghĩa: ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀ phân ho ch |P | < δ, m i phép ch n C đ u có n X |σP − I | = | f (ck )(xk − xk−1 ) − I | < , k=1 thì I g i là tích phân xác đ nh c a hàm f (x) trên [a, b], hàm f (x) g i là kh tích trên [a, b] và kí hi u là Zb I= f (x)dx. a Trong kí hi u trên f (x) là hàm dư i d u tích phân, f (x)dx là bi u th c dư i d u tích phân, a g i là c n dư i, b g i là c n trên c a tích phân, thư ng ta đ c là: tích phân t a đ n b. 2. Đi u ki n kh tích Đ nh lý 5.2. N u hàm f (x) kh tích trên [a, b] thì f(x) b ch n trên [a, b]. Đ nh lý 5.3. N u hàm f(x) liên t c trên [a, b] thì (x) kh tích trên [a, b]. Đ nh lý 5.4. N u hàm f(x) b ch n và ch có h u h n các đi m gián đo n trên [a, b] thì f(x) kh tích trên [a, b] Đ nh lý 5.5. N u hàm f(x) đơn đi u và b ch n trên [a, b] thì kh tích trên [a, b]. 3. Tính ch t c a tích phân xác đ nh Đ nh lý 5.6. N u f(x)=C (h ng s ) v i m i x ∈ [a, b] thì Zb Zb Cdx = C (b − a). f (x)dx = a a
49 http://maths3.wordpress.com Đ nh lý 5.7. N u f(x) và g(x) kh tích trên [a, b], thì f(x) ± g (x) cũng kh tích trên [a, b] và Zb Zb Zb (f (x) ± g (x))dx = f (x)dx ± g (x)dx. a a a Đ nh lý 5.8. N u f(x) kh tích trên [a, b] và α ∈ R thì αf (x) cũng kh tích trên [a, b] và Zb Zb αf (x)dx = α f (x)dx. a a Đ nh lý 5.9. Hàm f(x) kh tích trên [a, b] khi và ch khi m i c ∈ (a, b), f(x) kh tích trên [a, c] và [c, b] và Zb Zc Zb f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c Đ nh lý 5.10. N u f (x) ≤ g (x) v i m i x ∈ [a, b] và các hàm f(x) và g(x) kh tích trên [a, b] thì Z[ Zb f (x)dx ≤ b]g (x)dx a a Đ nh lý 5.11. N u hàm f(x) kh tích trên [a, b] thì |f (x)| cũng kh tích trên [a, b] và Zb Zb f (x)dx| ≤ |f (x)|dx a a Đ nh lý 5.12. [Đ nh lý giá tr trung bình] N u hàm f(x) kh tích trên [a, b], m ≤ f (x) ≤ M thì t n t i µ ∈ [m, M ] sao cho Zb f (x)dx = µ(b − a). a 4. Phương pháp tính tích phân xác đ nh - Phương pháp đ i bi n. - Phương pháp tích phân t ng ph n. 5. Ví d √ 2 R 4 − x2 dx Ví d 5.9. Tính I = 0 Đ t x = 2 sin t ⇒ I = π e R Ví d 5.10. Tính J = ln xdx = ... = 1 1 6. ng d ng c a tích phân xác đ nh - Tính di n tích hình ph ng. - Tính đ dài cung. - Tính v t th tròn xoay. - Di n tích m t tròn xoay
50 http://maths3.wordpress.com 5.1.3 Tích phân suy r ng 1. Tích phân suy r ng v i c n vô t n Đ nh nghĩa 5.4. Cho hàm f (x) xác đ nh trên [a; +∞) và f (x) kh tích trên đo n [a; b] ⊂ [a; +∞) . b R N u t n t i lim f (x)dx thì gi i h n đó đư c g i là tích phân suy r ng v i c n vô t n (tích b→+∞ a +∞ R phân suy r ng lo i 1) c a f (x) trên [a; +∞) và kí hi u: f (x)dx a Vy +∞ Zb Z f (x)dx = lim f (x)dx (5.1) b→+∞ a a N u tích phân (5.1) t n t i và h u h n thì ta nói tích phân h i t . N u tích phân (5.1) b ng ∞ ho c không t n t i thì ta nói tích phân đó phân kỳ.
1
b +∞ dx dx 1 b R R = lim (− )
= lim (1 − ) = 1 Ví d 5.11. a. I = = lim
x2 2 x x 1 b→+∞ b b→+∞ 1 b→+∞ 1 +∞ dx R =1 Do đó tích phân h i t và x2 1 dx π +∞ R = b. Tương t x2 +1 2 0 +∞ dx R = +∞ ⇒ tích phân phân kì. c. x 1 a a R R Đ nh nghĩa 5.5. N u hàm f (x) xác đ nh trên (−∞; a] thì ta đ nh nghĩa f (x)dx = lim f (x)dx. b→−∞ b −∞ +∞ +∞ a R R R N u hàm f (x) xác đ nh trên (−∞; +∞) thì ta đ nh nghĩa f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a −∞ −∞
0
b 1 1 1 +∞ +∞ 0 R R R dx = lim arctgx
+ lim arctgx