Chương 5 - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Chia sẻ: Danh Anh Vo | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

435
lượt xem 119
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y) - Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y’(x) là đạo hàm của nó - Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho hằng số c một giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 5 - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Chương 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 1.Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng F(x, y, y’) = 0 y’ = f(x,y) hay x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết Ở đây: y’(x) là đạo hàm của nó và • Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp y=φ(x,c) 1 là hàm Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
• Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát c một giá trị cụ thể được gọi là khi cho hằng số nghiệm riêng. • Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 nhưng nghiệm này không nhận được từ nghiệm tổng c lấy bất kỳ giá trị nào được gọi là quát cho dù nghiệm kỳ dị Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD: Xét phương trình vi phân cấp 1 y' = 1 − y 2 (*) dy y' = = 1 − y 2 Ta có: dx dy ⇒ = dx ( ĐK :y ≠ ± 1) 1− y 2 dy ⇒∫ = x + c ⇒ arcsin y = x + c 1− y 2 Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
⇒ y = sin( x + c) Đây là nghiệm tổng quát y=±1 Trường hợp: thỏa phương trình (*) nên cũng là nghiệm của phương trình vi phân này nhưng chúng không nhận được từ nghiệm tổng quát nên là nghiệm kỳ dị 2. Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của y’=f(x,y) thỏa điều phương trình vi phân cấp 1 y(xo) = yo . kiện ban đầu Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
y y' = y(1) = 2 thỏa VD: Xét bài toán Cauchy x dy y Ta có: y ' = = dx x dy dx ⇒= ĐK :y ≠ 0 y x dy dx ⇒ ln y = ln x + c ⇒∫ =∫ y x ⇒ y = c. x Từ điều kiện đầu y(1)=2 ta giải được c=2 Vậy nghiệm của bài toán thỏa điều kiện đầu y(1)=2 là y=2.x Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
Nhận xét: Nghiệm của mọi bài toán Cauchy đều là nghiệm riêng. 3 Các loại phương trình vi phân cấp 1 3.1 Phương trình tách biến a. Dạng: f(x)dx + g(y)dy = 0 b. Cách giải: Bằng cách lấy tích phân ta được nghiệm tổng quát của phương trình là: ∫ f ( x)dx + ∫ g ( y )dy = c Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD: Giải phương trình vi phân xdx + ydy = 0 ∫ xdx + ∫ ydy = c Ta có: 2 x + y =c 2 ⇒ 22 ⇒ x + y = 2c 2 2 là nghiệm của phương trình. Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
c. Một số phương trình vi phân cấp 1 có thể đưa về dạng tách biến ∗ Phương trình dạng: y’=f(y) • Nếu f(y) ≠ 0 thì phương trình trên đưa về dạng tách biến: dy = dx f ( y) • Nếu f(y) = 0 y=b y=b có nghiệm thì là nghiệm riêng của phương trình. Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD: Tìm nghiệm của phương trình − 1− y 2 1 )= 1 y' = y( thỏa điều kiện y 2 2 1− y 2 dy y' = = − Ta có: dx y y ⇒− dy = dx ( ĐK : y ≠ ±1) 1− y 2 y ⇒ ∫− dy = ∫ dx 1− y 2 Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
⇒ 1− y = x + c2 y( 1 ) = 1 Từ điều kiện đầu 2 2 c=0 ta giải được 1− y = x 2 Vậy nghiệm của bài toán là y = ±1 không Trường hợp: thỏa điều kiện đầu nên ta loại nghiệm này Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
∗ Phương trình dạng: f1 ( x) . g1 ( y )dx + f 2 ( x) . g 2 ( y )dy = 0 g1 ( y ) . f 2 ( x) ≠ 0 • Nếu chia 2 vế phương g1 ( y ) . f 2 ( x) trình cho ta được phương trình tách biến: f1 ( x) g2 ( y) dx + dy = 0 f 2 ( x) g1 ( y ) Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
f2(x) = 0 tại x=a thì x=a là 1 nghiệm • Nếu của phương trình. g1( y) = 0 tại y=b thì y=b là 1 nghiệm • Nếu riêng của phương trình. VD1: Tìm nghiệm của phương trình x(1 + y )dx + y (1 + x )dy = 0 2 2 (1 + x ).(1 + y ) ≠ 0 2 2 Vì Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
chia 2 vế phương trình cho (1 + x ).(1 + y ) 2 2 ta được phương trình tách biến: x dx + y dy = 0 2 2 1+ x 1+ y y x dx + ⇒∫ ∫ 1 + y2 dy = c 1+ x 2 1 ln(1 + x2) + 1 ln(1 + y2) = c ⇒ 2 2 ⇒ (1 + x ).(1 + y ) = e = c 2 2 2c * Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD2: Tìm nghiệm của phương trình: xy dy = −( y + 1)dx 2 (*) x.( y + 1) ≠ 0 , chia 2 vế phương trình cho •Nếu 2 y dy + 1 dx = 0 x.( y + 1) ta được y +1 x 2 y dy + ∫ 1 dx = c ⇒∫ y +1 x 2 y ⇒ − y + ln y + 1 + ln x = c 2 Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
x=0 y = −1 thỏa phương trình (*) •Ta thấy và nên đều là nghiệm của phương trình này. ∗ Phương trình dạng y ' = f (ax + by + c) z = ax + by + c (với z=z(x)) Đặt y(x) z(x). Thay vì tìm hàm ta tìm hàm z ' = a + by ' Ta có: Thay vào phương trình đầu ta được:z ' = a + bf ( z) Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD: Tìm nghiệm của phương trình y' = 2 x + y z = 2 x + y ⇒ y ' = z '−2 Đặt y’ vào phương trình đầu ta đươc: z '−2 = z Thay z+2≠0 •Trường hợp ta có: dz = dx z+2 ⇒ ln z + 2 = x + c Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
x ⇒ z + 2 = c.e x ⇒ z = −2 + c.e ⇒ 2 x + y = −2 + c.e x x ⇒ y = c.e − 2x − 2 z + 2 = 0 ⇒ y = −2 x − 2 •Trường hợp Đây là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát v= ứng c ới 0 Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
3.2 Phương trình đẳng cấp: y) y' = f ( a) Dạng: x b) Cách giải: y u = ⇒ y = u.x ⇒ y ' = u + xu ' Đặt x y’ vào phương trình đầu ta sẽ được: Thay xu ' = f (u ) − u Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1
VD1: Tìm nghiệm của phương trình: y y' = e + +1 yx x y u = ⇒ y = u.x ⇒ y ' = u + xu ' Đặt x y’ và vào phương trình đầu ta được Thay phương trình: u + xu ' = e + u + 1 ⇒ xu ' = e + 1 u u du = dx ⇒u (đây là phương trình tách biến) e +1 x Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1