Chương 6: Khảo sát dãy số và phương trình sai phân (tt)

Chia sẻ: Tran Cong Dat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

253
lượt xem 79
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 6: khảo sát dãy số và phương trình sai phân (tt)', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 6: Khảo sát dãy số và phương trình sai phân (tt)

302 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân √ √ √ √ u v2 − 1 = 3 v 2 − 1 + v, ∀u, v ∈ [ 3, +∞). L y phương trình th hai tr v theo v cho phương trình th nh t c a h ta đư c √ √ √ √ √ √ u v 2 − 1 − v u2 − 1 = 3 v 2 − 1 − 3 u2 − 1 + v − u. Vi t l i phương trình này dư i d ng √ √ √ √ v 2 − 1 u − 3 − u2 − 1 v − 3 = v − u. Ta ch ng minh u = v. Gi s trái l i, u > v, khi đó v ph i âm. Ta ch ng √ t− 3 √ minh v trái dương. Th t v y, xét hàm s f (t) = √t2 −1 , t 3. D th y, f là hàm đơn đi u tăng. Do đó ta có f (u) > f (v) √ √ u− 3 v− 3 √ >√ u2 − 1 v2 − 1 √ √ √ √ v 2 − 1 u − 3 > u2 − 1 v − 3 √ √ √ √ v 2 − 1 u − 3 − u2 − 1 v − 3 > 0. Đi u này ch ng t v trái dương. Ta có đi u vô lý. Do đó u = v. Xét phương trình √ √ = 3+ √ , ∈ [ 3, +∞). (∗) 2 −1 √ 1 1 Vì ∈ [ 3, +∞) nên 0 < < 1. Do đó t n t i θ ∈ (0, π/2) sao cho = sin θ. Khi đó phương trình có d ng 1 √ 1 √ = = 3+ ⇔ (sin θ − cos θ) + 3 sin θ cos θ = 0. sin θ cos θ √ Gi i phương trình (∗) v i đi u ki n ∈ [ 3, +∞) ta đư c nghi m duy nh t √ √ 1 3( 5 + 1) = = . sin θ 2
6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 303 V y, m i nghi m c a phương trình sai phân trên v i đi u ki n ban đ u thu c √ [ 3, +∞) h i t đ n s dương √ √ 3( 5 + 1) = . 2 Nh n xét 6.3. D th y r ng, n u (yn , zn ) là nghi m c a h phương trình sai phân yn+1 = βyn + αzn , y 0 = x0 , zn+1 = Byn + Azn, z0 = 1 yn thì xn = zn là nghi m c a phương trình (4.13). Do đó, vi c kh o sát s h i t c a nghi m phương trình (4.13) có th chuy n v vi c tìm nghi m (yn , zn ) c a yn h phương trình sai phân trên, sau đó tính gi i h n zn khi n ti n ra vô cùng. Tuy nhiên, cách này không g n b ng cách s d ng đ nh lý 6.16. V m t s phương trình sai phân h u t b c hai Trong m c này ta kh o sát s h i t c a nghi m phương trình sai phân sau βxn + α xn+1 = , (4.14) A + xn + Cxn−1 trong đó n ∈ N và x0 , x1 là 2 s th c không âm cho trư c. Ta gi thi t các tham s trong phương trình (4.14) là các s th c dương. Trong m c này ta luôn gi thi t f : [0, +∞) × [0, +∞) → [0, +∞) là hàm liên t c. Các b đ sau r t c n thi t đ kh o sát s h i t c a nghi m phương trình (4.14). B đ 6.1. N u m i nghi m c a phương trình xn+1 = f (xn , xn−1 ), n ∈ N, (x0 , x1 > 0 cho trư c) (4.15) h i t đ n m t s dương , thì h phương trình x = f (y, x),
304 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân y = f (x, y) có nghi m dương duy nh t x = y = . Ch ng minh: G i (x, y) là m t nghi m dương c a h phương trình trên. Xét phương trình (4.15) v i x1 = x và x0 = y. Th thì x2 = f (x1 , x0) = f (x, y) = y và x3 = f (x2, x1 ) = f (y, x) = x. Ta ch ng minh b ng quy n p r ng x2k = y và x2k+1 = x v i m i k. Gi s x2k = y, x2k+1 = x v i m t s t nhiên k nào đó, ta s ch ng minh x2(k+1) = y, x2(k+1)+1 = x. Th t v y, ta có x2(k+1) = f (x2k+1 , x2k ) = f (x, y) = y, x2(k+1)+1 = f (x2k+2 , x2k+1) = f (y, x) = x. Như v y x2k = y, x2k+1 = x v i k ∈ N0. Theo gi thi t {xn }n h i t đ n s dương , nên ta đư c các dãy con {x2k }∞ , {x2k+1}∞ h i t đ n , t c là k=0 k=0 x = y = . B đ đư c ch ng minh. B đ sau s ch ra r ng đi u ki n c a b đ 6.1 là đ n u hàm f b ch n và đơn đi u gi m theo bi n x, đơn đi u tăng theo bi n y. Trư c h t ta xét ví d sau: Ví d 6.50. Xét phương trình sai phân xn + 1 xn+1 = , x0 , x1 cho trư c . xn + xn−1 + 1 Ch n x0, x1 ∈ (0, 1). Xét hàm s x+1 f (x, y) = . x+y+1 D th y f đ ng bi n theo x, ngh ch bi n theo y. M t khác, infx,y 0 f (x, y) = 0 := α0 , supx,y 0 f (x, y) = 1 := β0 và xn ∈ (α0, β0), ∀n 2.
6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 305 Đ t α1 = infx,y∈(α0 ,β0 )f (x, y), β1 = supx,y∈(α0 ,β0 )f (x, y). Ta có 1 α1 = f (α0 , β0) = , β1 = f (β0 , α0) = 1. 2 Tương t αn+1 = infx,y∈(αn ,βn )f (x, y) = f (αn , βn ), βn+1 = supx,y∈(αn ,βn )f (x, y) = f (βn , αn ), v i n = 0, 1, 2, · · · . Ta đư c {αn }n là dãy đơn đi u tăng và b ch n trên b i 1, {βn }n là dãy đơn đi u gi m và b ch n dư i b i 0, do đó chúng h i t . Gi s lim αn = α, n→∞ lim βn = β. n→∞ Ta thu đư c h sau α = f (α, β) β = f (β, α). Suy ra 1 α=β= √ . 2 M t khác, ta ch ng minh b ng quy n p đư c xn+2k ∈ (αk , βk ), k = 0, 1, 2, · · · . Do đó 1 lim xn = √ . 2 B đ 6.2. Gi s hàm f đơn đi u gi m theo bi n x v i m i y > 0 và đơn đi u tăng theo bi n y v i m i x > 0. Gi thi t thêm r ng, M := supx,y 0 f (x, y) < ∞ và h phương trình u = f (v, u),
306 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân v = f (u, v) có nghi m duy nh t u = v = . Khi đó m i nghi m c a (4.15) h i t đ n . Ch ng minh: Theo gi thi t ta có xn+1 = f (xn , xn−1 ) < M v i m i n ∈ N2 . Không m t tính t ng quát ta gi s xn < M v i m i n ∈ N0. Ta xét h phương trình sai phân sau un+1 = f (vn , un ), vn+1 = f (un , vn ) v i n ∈ N0. đây ta đ t u0 = 0, v0 = M. Rõ ràng, u0 < xn < v0 v i m i n ∈ N0 . Do hàm f đơn đi u gi m theo bi n x và đơn đi u tăng theo bi n y, nên xn+2 = f (xn+1 , xn ) < f (u0 , v0) = v1 và tương t , xn+2 = f (xn+1 , xn ) > f (v0, u0) = u1 v i m i n ∈ N0 . B ng phương pháp ch ng minh quy n p, ta có th th y r ng uk < xn+2k < vk v i m i k, n ∈ N0 . M t khác u0 < u1 và v0 > v1. Cũng do hàm f đơn đi u gi m theo bi n x và đơn đi u tăng theo bi n y nên ta có u2 = f (v1 , u1) > f (v0, u0 ) = u1 và tương t v2 < v1. B ng ch ng minh quy n p ta có dãy {uk }k đơn đi u tăng và dãy {vk }k đơn đi u gi m. G i u, v l n lư t là gi i h n c a các dãy {uk }k và {vk }k . Ta có u và v th a mãn h phương trình u = f (v, u),
6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 307 v = f (u, v). Theo gi thi t u = v = . Như v y các dãy {uk }k và {vk }k là h i t và gi i h n c a hai dãy này là . Theo trên ta có uk < xn+2k < vk , k, n ∈ N0 nên ta đư c dãy {xn }∞ h i t và limn→∞ xn = . B đ đư c ch ng minh. n=0 Chú ý 6.5. N u hàm f b ch n thì v i m i nghi m {xn }n c a (4.15), t n t i hai dãy gi i h n đ y {un }n∈Z và {vn }n∈Z tho mãn (4.15) v i m i n ∈ Z sao cho u0 = lim sup xn , v0 = lim inf xn , un , vn ∈ [v0, u0] v i m i n ∈ Z. n→∞ n→∞ Hai dãy gi i h n đ y này đư c ch n t t p gi i h n ω c a nghi m {xn }n . B đ 6.3. Gi s hàm f đơn đi u gi m theo bi n y v i m i x > 0 và M := sup f (x, y) < ∞. x,y 0 Th thì v i m i nghi m {xn }n c a (4.15) ta có max f (x, 0) lim sup xn lim inf xn min f (x, M). 0 x M n→∞ n→∞ 0 x M Ch ng minh: Ch n hai dãy gi i h n đ y {un }n∈Z và {vn }n∈Z t t p gi i h n ω c a {xn }n sao cho u0 = lim sup xn , v0 = lim inf xn , un , vn ∈ [v0, u0 ] v i m i n ∈ Z. n→∞ n→∞ Ta có u0 u1 = f (u0 , u−1 ) f (u0 , u0). Tương t , ta nh n đư c v0 f (v0, v0 ). T đây suy ra nghi m dương duy nh t c a phương trình x = f (x, x) ph i n m trong [v0, u0]. M t khác, u0 = f (u−1 , u−2) f (u−1 , 0) max f (x, 0). 0 x M
308 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân Tương t , ta có v0 min f (x, M). 0 x M B đ đư c ch ng minh. Bây gi ta kh o sát tính ch t c a nghi m phương trình (4.14). Đ ti n theo dõi ta nh c l i k t q a sau c a Đ.V. Giang. Đ nh lý 6.17. Gi s β α/A. N u m t trong các đi u ki n sau tho mãn thì d đoán c a G. Ladas là đúng. (i) β A; (ii) β > A và C 1; (iii) β > A, C > 1 và (β − A)2 4α/(C − 1). Nh n xét 6.4. K t h p đ nh lý 6.17 và b đ 6.3 ta th y r ng, n u các đi u ki n (i)-(iii) c a đ nh lý 6.17 không x y ra thì v i m i nghi m {xn }n c a (4.14) ta có a lim inf xn lim sup xn b, n→∞ n→∞ trong đó 1 4α a = β−A− (β − A)2 − , 2 C−1 1 4α b = β−A+ (β − A)2 − . 2 C −1 Ti p theo ta nghiên c u d đoán c a Ladas trong trư ng h p β = A. Đáng ti c trong trư ng h p này ta v n ph i h n ch trên các tham s β, α và C. Đ nh lý 6.18. Gi s β = A và C < 1. N u α < 4β 2/(C + 1) thì d đoán c a G. Ladas là đúng.
6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 309 Ch ng minh: Trư c h t đ ý r ng n u α β 2, ta có th áp d ng trư ng h p (i) c a đ nh lý 6.17. Vì v y, không m t tính t ng quát ta gi s r ng α > β 2. M t khác ta có α = (4.16) C +1 và |(β − )(xn − ) − C (xn−1 − )| |xn+1 − | = . (4.17) xn + Cxn−1 + β Đ t δn = |xn − |. Ta nh n đư c |β − |δn + C δn−1 δn+1 . β Xét phương trình sai phân tuy n tính |β − |yn + C yn−1 yn+1 = v i n ∈ N, (y0 = δ0 , y1 = δ1 ). β D th y δn yn v i m i n ∈ N0 và yn có d ng yn = α1 λn + α2 λn , 1 2 trong đó λ1,2 là các nghi m c a phương trình βλ2 =| β − | λ + C . (4.18) Ta ch ng minh r ng các nghi m c a phương trình (4.14) có giá tr tuy t đ i nh hơn 1 (và h qu là yn → 0 khi n → ∞). Đi u này tương đương v i vi c ch ng minh β > |β − | + C . (4.19) Cu i cùng ta hãy xét hai trư ng h p có th x y ra: N u α < β 2(C + 1), ta có β > và h qu là |β − | + C = β + (C − 1) < β (vì C < 1). Trư ng h p th hai là α ≥ β 2(C + 1). Ta có β và |β − | + C = (C + 1) − β = α(C + 1) − β < 2β − β = β (vì α < 4β 2 /(C + 1)). Đ nh lí đư c ch ng minh.
310 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân Đ nh lý 6.19. Gi s β = A và 1 C 2. N u α < 9β 2 /(C + 1) thì d đoán c a Ladas là đúng. Ch ng minh: Trư c h t chú ý r ng n u α β 2, ta có th áp d ng trư ng h p (i) đ nh lý 6.17. Vì v y không m t tính t ng quát, ta gi s α > β 2. Xét hàm βx + α f (x, y) = . x + Cy + β Ta s ch ng t supx,y 0 f (x, y) = α . Th t v y, ta có β βx + α α αx + αCy − β 2x f (x, y) = = − x + Cy + β β x + Cy + β α α αCy + βx( β − β) α = − . β x + Cy + β β v i m i x, y ≥ 0. L y > 0 nh tùy ý, ta ch ng minh t n t i (x, y) ∈ [0, ∞) × [0, ∞) sao cho α f (x, y) > β − , t c là αx + αCy − β 2x < x + Cy + β hay (x + Cy)( − α) + β + β 2x > 0. x + Cy + β N u ≥ α thì b t đ ng th c trên hi n nhiên đúng v i m i (x, y) ∈ [0, ∞) × 1 [0, ∞). Còn n u < α thì ta ch n x = β2 (x + Cy)(α − ) và y tùy ý thu c [0, ∞), khi đó b t đ ng th c trên th a mãn. V y supx,y≥0 f (x, y) = α . β ∂ −C M t khác, ta có ∂y f (x, y) = (x+Cy+β)2 < 0, ∀x, y 0 nên hàm f (x, y) đơn đi u gi m theo bi n y trên [0, ∞), do đó f (x, y) f (x, α/β), ∀y ∈ [0, α/β]. ∂ Cβy+(β 2 −α) Hơn n a, ta có ∂x f (x, y) = (x+Cy+β)2 và do C ≥ 1 nên ∂ f (x, α/β) > 0. ∂x
6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 311 Suy ra f (x, y) f (x, α/β) f (0, α/β), ∀x, y ∈ [0, α/β]. T đó ta thu đư c βα βα β inf f (x, y) = f (0, α/β) = > = . x,y∈(0,α/β) β2 + Cα (C + 1)α C+1 Đ ý r ng xn+1 = f (xn , xn−1 ) nên β xn > v i n ∈ N4 . C +1 M t khác, đ t δn = |xn − |, t (4.17) ta có |β − |δn + C δn−1 δn+1 . 2β Xét phương trình sai phân tuy n tính |β − |yn + C yn−1 yn+1 = v i n ∈ N5 , (y4 = δ4 , y5 = δ5 ). 2β D th y δn yn v i m i n ∈ N4 và yn có d ng yn = α1 λn + α2 λn , 1 2 trong đó λ1,2 là 2 nghi m phân bi t c a phương trình 2βλ2 = |β − |λ + C . (4.20) Ta ch ng minh r ng các nghi m c a phương trình (4.20) có giá tr tuy t đ i nh hơn 1 (và h qu là yn → 0 khi n → ∞). Đi u này tương đương v i vi c ch ng minh 2β > |β − | + C . (4.21) Xét hai trư ng h p sau có th x y ra: N u α < (C + 1)β 2 , ta có β > = α/(C + 1) và h qu là |β − | + a = β + (C − 1) β+ < 2β (vì a 2). Trư ng h p th hai là α ≥ (C + 1)β 2. Ta nh n đư c β và
312 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân |β− |+C = (C+1) −β = α(C + 1)−β < 3β−β = 2β (vì α < 9β 2/(C+1)). Đ nh lý đư c ch ng minh Đ nh lý sau cho m t đi u ki n đ đ m i nghi m c a (4.14) h i t . Đ nh lý 6.20. N u γ < A thì m i nghi m c a (4.14) h i t t i . Ch ng minh: Xét hàm s γy + α H(x, y, u, v) = . v + Bu + A Đ ý r ng H(x, y, x, y) = f (x, y). Hơn n a, H(x, y, u, v) là hàm đơn đi u tăng theo các bi n x, y và đơn đi u gi m theo các bi n u, v. Xét h phương trình sai phân sau un+1 = H(un , un−1 , λn , λn−1 ), λn+1 = H(λn , λn−1 , un , un−1 ) v i n ∈ N. Trong đó, λ0 = λ1 = 0, α u0 = u 1 = M + . A−γ Rõ ràng, xn+1 = f (xn , xn−1 ) M = supx,y 0 f (x, y) v i m i n ∈ N. Vì v y không m t tính t ng quát ta gi s x0 , x1 M. Ta có u0 u1 u2 , λ0 λ1 λ2 , λ0 x0 u0 , λ1 x1 u1 . B ng quy n p, ta có th ch ng minh r ng {λn }n là dãy đơn đi u không gi m, {un }n là dãy đơn đi u không tăng và λn xn un v i n ∈ N. G i λ là gi i
6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 313 h n c a dãy {λn }n và u là gi i h n c a {un }n . Th thì γu+α u = (B+1)λ+A , γλ+α λ = (B+1)u+A . Theo gi thi t γ < A, do đó t h phương trình này ta thu đư c u = λ = . Đ nh lí đư c ch ng minh. V l p phương trình sai phân h u t b c k trên b c (k − 1) Xét phương trình sai phân h u t b c k trên b c (k − 1) xn−k xn+1 = α + , n = 0, 1, · · ·, (4.22) f (xn , xn−1 , · · ·, xn−k+1 ) trong đó α ≥ 0, k ∈ N, đi u ki n ban đ u x−k , x−k+1 , · · ·, x0 là các s th c dương cho trư c. Gi s f là hàm th a gi thi t (H) sau đây: f : [0; ∞)k → (0; ∞) là hàm liên t c. Vì đi u ki n ban đ u là các s th c dương và do gi thi t (H) nên nghi m c a phương trình (4.22) là dương. Đ t g(u) := f (u, u, · · ·, u) , u ≥ 0. Do gi thi t (H) nên g là hàm tăng và luôn nh n giá tr trong kho ng (0; ∞). Karakostas và Stevic đã nghiên c u tính b ch n, tính hút toàn c c, tính dao đ ng và tính tu n hoàn c a nghi m c a phương trình (4.22) v i các đi u ki n trên. Đ nh lý sau cho phép ta xác đ nh đư c đ dài t i đa c a m i n a chu trình c a nghi m. k+1 Đ nh lý 6.21. Gi s hàm H đi t t p [0; ∞) vào t p [0; ∞) có các tính ch t: ∃ i0 ∈ {1, 2, · · ·, k} sao cho H (z1, z2, · · ·, zk , y) là hàm không tăng theo
314 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân m i bi n zi , i ∈ {1, 2, · · ·, k} \ {i0 }, gi m theo zi0 và tăng theo y. G i x là ¯ đi m cân b ng c a phương trình sai phân xn+1 = H (xn , · · ·, xn−k+1 , xn−k ) , n = 0, 1, · · ·. (4.23) Khi đó, tr n a chu trình đ u tiên, m i nghi m dao đ ng c a phương trình sai phân (4.23) v i đi u ki n ban đ u dương đ u có các n a chu trình có đ dài t i đa là k. Ch ng minh: G i (xn )∞ n=−k là nghi m dao đ ng c a phương trình (4.23) mà nghi m này có ít nh t hai n a chu trình. Gi s t n t i m t n a chu trình có đ dài l n hơn k, khi đó t n t i s t nhiên N sao cho xN −k < x < xN −k+1 , · · ·, xN , xN +1, ¯ ho c xN −k ≥ x > xN −k+1 , · · ·, xN , xN +1. ¯ Trư ng h p xN −k < x < xN −k+1 , · · ·, xN , xN +1. ¯ Ta có xN +1 = H (xN , · · ·, xN −k+1 , xN −k ) < H (¯, x, · · ·, x) = x, x ¯ ¯ ¯ suy ra xN +1 < x ¯ (vô lý). Trư ng h p xN −k ≥ x > xN −k+1 , · · · , xN , xN +1 . ¯ Ta có xN +1 = H (xN , · · ·, xN −k+1 , xN −k ) > H (¯, x, · · ·, x) = x, x ¯ ¯ ¯ suy ra xN +1 > x ¯ (vô lý). Như v y, c hai trư ng h p ta đ u đưa ra đi u vô lý. Do đó m i nghi m
6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 315 dao đ ng v i đi u ki n ban đ u dương đ u có các n a chu trình v i đ dài không vư t quá k (tr n a chu trình đ u tiên). H qu 6.3. Gi s hàm f th a mãn gi thi t (H) và x là m t đi m cân ¯ b ng dương c a phương trình (4.22). Khi đó, tr n a chu trình đ u tiên, m i nghi m dao đ ng v i giá tr ban đ u dương có các n a chu trình v i đ dài không vư t quá k. Ch ng minh: Đ t y H (z1, z2, · · ·, zk , y) = α + . f (z1 , z2, · · ·, zk ) Do f : [0; ∞)k → (0; ∞) là hàm liên t c và luôn nh n giá tr dương nên H (z1 , z2, · · ·, zk , y) là hàm liên t c. M t khác, f là hàm không gi m v i m i bi n và tăng v i ít nh t m t bi n nên v i cách đ t như trên thì hàm H không tăng v i m i bi n zi , i ∈ {1, 2, · · ·, k} \ {i0}; gi m theo bi n zi0 và tăng theo y. Khi đó hàm H th a mãn gi thi t c a Đ nh lý 6.21. Vì v y, tr n a chu trình đ u tiên, m i nghi m dao đ ng c a phương trình sai phân xn+1 = H (xn , · · ·, xn−k+1 , xn−k ) , n = 0, 1, · · ·, v i đi u ki n ban đ u dương đ u có các n a chu trình v i đ dài không vư t quá k. Hay, tr n a chu trình đ u tiên, m i nghi m dao đ ng c a phương trình xn−k xn+1 = α + , n = 0, 1, · · ·, f (xn , xn−1 , · · ·, xn−k+1 ) v i đi u ki n ban đ u dương có các n a chu trình v i đ dài không vư t quá k. Ti p theo ta nghiên c u tính b ch n, h i t và tu n hoàn c a nghi m phương trình (4.22). • Trư ng h p g (α) > 1. Ta có g là hàm tăng trên [0; ∞), nên v i m i u > α thì g (u) > g (α) > 1.
316 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân N u α = 0 thì 0 là đi m cân b ng duy nh t c a phương trình xn−k xn+1 = . (4.24) f (xn , · · ·, xn−k+1 ) Th t v y, gi s x là đi m cân b ng c a phương trình (4.24), t c là ¯ x ¯ x= ¯ , f (¯, x, · · ·, x) x ¯ ¯ hay 1 x 1− ¯ = 0. g (¯) x Do đó x = 0. ¯ Ta có xn−k xn+1 = f (xn , xn−1 , · · ·, xn−k+1 ) xn−k xn−k < = , f (0, 0, · · ·, 0) g (0) suy ra đi m cân b ng x = 0 là hút toàn c c. ¯ Gi s α > 0. Hai đ nh lý sau đây cho ta d u hi u nh n bi t phương trình (4.22) có duy nh t đi m cân b ng dương và m i nghi m dương c a phương trình này b ch n. Đ nh lý 6.22. Gi s g (α) > 1 và hàm f th a mãn gi thi t (H). Khi đó phương trình sai phân (4.22) có duy nh t đi m cân b ng dương x. ¯ Ch ng minh: Gi s x là đi m cân b ng c a phương trình (4.22). Ta có ¯ x ¯ x=α+ ¯ . g (¯) x Xét hàm s F : [α, ∞) → R x x → x−α− . g(x)
6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 317 Rõ ràng F liên t c trên [0; ∞), th a F (0) = −α < 0 và lim F (x) = +∞. x→+∞ Do đó t n t i x ∈ (0; ∞) sao cho F (¯) = 0, hay ¯ x x ¯ x=α+ ¯ . g (¯) x Ta ch ng minh x là duy nh t. Th t v y, ∀x, y ∈ [0; ∞) : x > y, ta có ¯ x y F (x) − F (y) = x−α− − y−α− g (x) g (y) xg (y) − yg (x) = (x − y) − g (x) g (y) (x − y) g (x) g (y) − (x − y) g (x) + x [g (x) − g (y)] = g (x) g (y) (x − y) g (x) [g (y) − 1] + y [g (x) − g (y)] = . g (x) g (y) Do g (x) > g (y) > g (α) > 1 nên F (x) − F (y) > 0, suy ra F là hàm tăng trên [0; ∞). V y x là đi m cân b ng dương duy nh t c a phương trình (4.22). ¯ Đ nh lý 6.23. Gi s g (α) > 1 và hàm f th a mãn gi thi t (H). Khi đó m i nghi m v i đi u ki n ban đ u x−k , x−k+1 , · · ·, x0 là các s th c dương s b ch n b i s αg (α) M0 := max {x−k , x−k+1 , · · ·, x0} + . g (α) − 1 Ch ng minh: Th t v y, gi s (xn )∞ n=−k là m t nghi m tuỳ ý c a phương trình (4.22). Vì xn > α, ∀n ≥ 1 nên xn−k xn−k xn+1 = α +
318 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân M t khác x(k+1)m+r−k = x(k+1)m+r−k−1+1 = x(k+1)(m−1)+r+1 x(k+1)(m−1)+r−k
6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 319 suy ra α xn max {x−k , · · ·, x0} + 1 . 1 − g(α) Hay αg (α) xn max {x−k , · · ·, x0} + := M0 . g (α) − 1 Các đ nh lý sau đ c p đ n tính hút toàn c c c a nghi m dương phương trình (4.22). Đ nh lý 6.24. Gi s α > 0, g (α) > 1 và hàm f th a mãn gi thi t (H). g(x)−g(α) Khi đó, n u hàm x → x−α gi m trên (α; ∞) thì m i nghi m dương c a phương trình (4.22) h i t . Ch ng minh: Gi s (xn )∞ n=−k là nghi m dương c a phương trình (4.22), theo Đ nh lý 6.23 thì (xn )∞ n=−k b ch n. Do đó t n t i lim inf xn := l (α l < ∞) và lim sup xn := L (l L < ∞) . Hi n n→∞ n→∞ nhiên g(L) là m t s th c xác đ nh. L y gi i h n trên và gi i h n dư i hai v c a (4.22), ta đư c l L l≥α+ g(L) và L α+ g(l) . Ta có l l≥α+ , g (L) suy ra (l − α) g (L) ≥ l. Hay (l − α) [g (L) − g (α)] ≥ αg (α) + [1 − g (α)] l. (4.25) Tương t L L α+ g (l)
320 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân ⇔ (L − α) [g (l) − g (α)] ≥ αg (α) + [1 − g (α)] L. (4.26) α N u l = α thì α ≥ α + g(L) , suy ra α 0 (vô lý). Do đó l > α, nên g (l) > g (α) . Gi s r ng l < L. T (4.25) và (4.26), ta có (l − α) [g (L) − g (α)] ≥ αg (α) + [1 − g (α)] l ≥ αg (α) + [1 − g (α)] L ≥ (L − α) [g (l) − g (α)] , suy ra (l − α) [g (L) − g (α)] ≥ (L − α) [g (l) − g (α)] . Nên g (L) − g (α) g (l) − g (α) ≥ . L−α l−α g(x)−g(α) M t khác, hàm x−α gi m trên (α; ∞), nên v i α < l < L ta có g (l) − g (α) g (L) − g (α) > . l−α L−α Khi đó g (l) − g (α) g (l) − g (α) > . l−α l−α (Ta có đi u vô lý). V y L = l, t c là m i nghi m dương c a phương trình (4.22) h i t . H qu 6.4. Gi s α > 0, g (α) > 1 và hàm f th a mãn gi thi t (H). Khi đó, n u hàm g lõm ch t trên (α; ∞) thì m i nghi m dương c a phương trình (4.22) h i t . Ch ng minh: Đ t G : (α; ∞) → R g(x)−g(α) x → G (x) = x−α .
6.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 321 Theo Đ nh lý 6.24, ta ch c n ch ng minh hàm G(x) gi m trên (α; ∞) . T c là ch ng minh G (x) < 0, ∀x ∈ (α; ∞). Ta có (x − α) g (x) − [g (x) − g (α)] G (x) = . (x − α)2 Vì g kh vi trên (α; ∞), nên theo Đ nh lý Langrange t n t i c ∈ (α; x) sao cho g (x) − g (α) = g (c) , x−α hay g (x) − g (α) = (x − α) g (c) . M t khác, g lõm ch t trên (α; ∞) nên g (x) < 0, ∀x ∈ (α; ∞), t c là g (x) gi m trên (α; ∞), suy ra g (c) > g (x) . Vy (x − α) g (x) − (x − α) g (c) G (x) = (x − α)2 (x − α) [g (x) − g (c)] = < 0, ∀x ∈ (α; ∞) . (x − α)2 αg(α) Ta kí hi u M1 := g(α)−1 . Đ nh lý 6.25. Gi s α > 0, g (α) > 1 và hàm f th a mãn gi thi t (H). N u hàm g th a mãn b t đ ng th c |ug (u) − vg (v)| g 2 (α) |u − v| , u, v ∈ [α; M1 ] , thì m i nghi m dương c a phương trình (4.22) h i t v đi m cân b ng x. ¯ ∞ Ch ng minh: Gi s (xn )n=−k là nghi m dương c a phương trình (4.22). Theo Đ nh lý 6.23 thì xn ∈ (α; M0] , ∀n ≥ 1, v i M0 := M1 + max {x−k , · · · , x0 }. S