CHƯƠNG IV : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Chia sẻ: Paradise10 Paradise10 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

107
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức: - Phương pháp biến đổi tương đương: Dng cc tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh về một bất đẳng thức đúng. -

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHƯƠNG IV : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHƯƠNG IV : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I - BẤT ĐẲNG THỨC Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức: - Phương pháp biến đổi tương đương: Dng cc tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh về một bất đẳng thức đúng. - Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô-si: ab a) Đối với 2 số không âm a và b: hay a  b  2 ab .  ab 2 a. Đẳng thức xảy ra  a = b. abc 3 b) Đối với 3 số không âm a, b và c: hay  abc 3 a  b  c  33 abc . a. Đẳng thức xảy ra  a = b = c. c) Tổng quát: Đối với n số không âm a1 ; a 2 ; a 3 ;...; a n : a1  a 2  a3  ...  a n n a.  a1.a 2 .a 3 .....a n n d) Ch ý: a. a 2  b 2  2ab với mọi số thực a, b.
b. Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng có thể áp dụng được bất đẳng thức Cô-si với các kỹ thuật tách – gộp, ghép cặp 2, ghép cặp 3, ví dụ: a  2b  a  b  b; e) aa ab  b 22 aa 11 f) a  1   1  a   . 22 22 : Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2) a  b  a  b 3) a 2  ab  b 2  0 . abc 4)    3 , với a, b, c > 0. bca 5) 3a 3  6b 3  9ab 2 a , b  0 6) Tìm GTNN của A  x  12  x  32 7) Tìm GTLN của A  5  3 x  x x  8 , x  0. 3 8) Tìm GTNN của A  x 2  , x  0. x2 1 9) Tìm GTNN của A  x  , x2 x2
10) . 11) Chứng minh bất đẳng thức: ac  bd 2  a 2  b 2 .c 2  d 2  (BĐT Bunhiacopxki) a , b, c, d  R , HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức về ad  bc 2  0 . a b 12)  a  b , a  0; b  0  b a HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức về:    2 a.  0, a b a b a  b  2a 2  b 2  , a  0; b  0 HD: Do 2 vế của bất đẳng thức không âm nên ta bình phương 2 vế. x 2  4 y 2  3z 2  14  2 x  12 y  6 z , với mọi x, y, z. 13) HD: biến đổi tương đương. Cho 4 x  3 y  15. Chứng minh: x 2  y 2  9 14) HD: Rt x hoặc y từ 4 x  3 y  15, thế vo x 2  y 2 . 15) Chứng minh: a  b  c  ab  bc  ca với a , b, c  0 HD: Dùng bất đẳng thức Cô-si đối với 3 cặp (a và b); (b và c); (c và a).
Chứng minh: a  1b  1a  c b  c   16abc với a, b, c dương. 16) a2  6 17) Với a bất kì, chứng minh:  4. a2  2 a2  6 a2  2  4 4  a2  2  HD: Tch  2 2 2 a 2 a 2 a 2 Cho a, b, c  0 , chứng minh: a  b b  c c  a   8abc . 18) 19) Cho a, b  0 , chứng minh: a  b  1  ab  a  b . 1 1 Cho a, b  0 , chứng minh: a  b  20)    2.   2a 2b  1 Với x  R , tìm GTNN của A  3x 2  21) . x2 Tìm GTNN: A  x  12  x  32 . 22) HD: Khai triển x  12  x  32 , nhóm hằng đẳng thức. Chứng 23) minh: A  2 . 3 24) Tìm GTNN của A  x  1  với x  1. x 1 2 25) Tìm GTNN của: A  x  , với x  2 . x2
2 26) HD: Phn tích: A  x  2   2 . Áp dụng bất đẳng thức đối x2 2 với 2 số x  2; . x2 (Đáp án: min A  2 2  1 27) Tìm GTLN của: A  x  31  x  với 1  x  3 . 28) 3 Tìm GTLN của: A  2 x  35  x  , với   x  5 . 29) 2 3 HD: Phn tích: A  2 x  5  x  . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si 30)   2  3 đối với 2 số x  ;5  x . 2 Tìm GTNN v GTLN của hm số: y  1  2 x 2 x  4 với 31) 1 . 2 x  2 1 32) Tìm GTNN của: A   x  với x  2 . 2x 1 Tìm GTNN của: A  x 2  x  33)  2010 . 2 x x 1 34) Chứng minh rằng :  a  1  a  1, a  1 . a 1 1 35) Tìm GTNN của y   ,0  x  1. x 1 x
4 9 36) Tìm GTNN của y   ,0  x 1 x 1 x Tìm GTLN của y  4 x3  x 4 , 0  x  4 37) Chứng minh rằng : x 4  y 4  x3 y  xy 3 . 38) Chứng minh rằng : x 2  4 y 2  3 z 2  14  2 x  12 y  6 z . 39) a b 40) Chứng minh rằng :  a b.  b a 11 4 41) Chứng minh rằng : .  a b ab a bcd 4 42) Chứng minh rằng :  abcd . 4 1111 16 43) Chứng minh rằng : .  a b c d a bc d 1 Chứng minh rằng : a 2b   2a . 44) b Chứng minh rằng :  a  b   b  c   c  a   8abc. 45) 2    2 2  a  b  ab . 46) Chứng minh rằng : a b 111 9 47) Chứng minh rằng : .  a b c abc 2 2 Chứng minh rằng :  x 2  y 2   4 xy  x  y  , x, y. 48)
Chứng minh rằng : x 2  2 y 2  2 xy  y  1  0, x, y. 49) Chứng minh rằng :  a  1  b  1  a  c   b  c   16abc.a, b, c  0. 50) 51) Chứng minh rằng 1 111 : a  b  c   a 2b  b 2c  c 2 a     a, b, c  0.   a b c 2 1 1 1 1 1 1      52) a  2b  c b  2c  a c  2a  b a  3b b  3c c  3a 53) Chứng minh rằng : 2x 2y 2z 1 1 1      x6  y 4 y6  z 4 z 6  x4 x4 y 4 z 4 54) Cho 3 số thực dương a, b v c thoả :ab+bc+ca = abc. chứng minh rằng : a 4  b4 b4  c4 c4  a4   1 55)     3  b3 bc b3  c3 ca c3  a3 ab a 56) Tìm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức xt t  y y  z z  x A    57) t  y y  z z x xt a 2 b2 c 2    a  b  c với a, b, c là các số 58) Chứng minh rằng : b ca thực dương.
59) Tìm gi trị nhỏ nhất của biểu thức a6 b6 c6 B 3 3  3  60) trong đó a, b, c là các số thực b  c c  a3 a 3  b3 dương thỏa mn a  b  c  1. 1 2 2 2 Cho x,y,z>0 v thoả : x  y  z  61) 3 62) Tìm gi trị nhỏ nhất của: y3 x3 z3   2 x  3 y  5 z 2 y  3z  5 x 2 z  3x  5 y 63) Cho a,b,c>0 v thoả : a.b.c = 1 . 2 2 2   3 64) Chứng minh rằng: a3  b  c  b3  c  a  c3  a  b  Cho 3 số thực dương x,y,z >o thoả : x  y  z  3 .Tìm GTNN 65) của y2 x2 z2   66) A= x  yz y  zx z  xy Với x, y, z là số dương và x. y.z  1 67) x y z 3    68) Chứng minh rằng: 2 x  yz y  zx z  xy