CHUYÊN ĐỀ 3:Đa thức và những vấn đề liên quan.

Chia sẻ: Kata_1 Kata_1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

308
lượt xem 58
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề 3:đa thức và những vấn đề liên quan.', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHUYÊN ĐỀ 3:Đa thức và những vấn đề liên quan.

CHUYÊN ĐỀ 3: Đa thức và những vấn đề liên quan. x2  5 a b . Với những giá trị nào của a,b thì Bài 1:Cho P  &Q  2 3 x  2 x  2x  1 x  3x  2 P=Q với mọi giá trị của x trong tập xác định của chúng. Giải: Điều kiện: x  2,1. x2  5 ax 2  (2a  b) x  a  2b Ta có: P=Q (x  2,1)   x  2,1 x 3  3x  2 x 3  3x  2 a  1 a  1   2 a  b  0   b  2 a  2b  5  Bài 2:Cho số nguyên n, A= n5 - n. a-Phân tích A thành nhân tử. b-Tìm n để A=0. c-CMR: A chia hết cho 30. Giải: a) A= n5 - n = n.(n4 -1) = n.(n-1).(n+1).(n2 + 1) b) A=0  n = 0,1,-1. c) Theo Định Lý Fecma: n 5  n(mod 5)  n 5  n   A (1). 5 5 Lại có: n(n  1)   A (2) và: (n  1).n.(n  1)   A (3). 2 2 3 3 Vì 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên từ (1),(2)&(3) suy ra A2.3.5) (đpcm). (
Bài 3: CMR: Nếu x,y là những số nguyên thỏa mãn điều kiện x2 + y2 chia hết cho 3 thì cả x và y đều chia hết cho 3. Giải: Nhận xét:Số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1. Vì vậy từ giả thiết x2 + y2 chia hết cho 3  x, y . 3 Bài 4:Tìm giá trị của p,q để đa thức (x4 + 1) chia hết cho đa thức x2 + px + q. Giải: Giả sử (x4 + 1) = (x2 + px + q).( x2 + mx + n) Khai triển và đồng nhất hệ số ta được hệ:  m   p m  p  0    n  pm  q  0  qn  1 qn  1  1  p2  q   q  q  0 Vậy có thể thấy các giá trị của p,q cần tìm là:  1  p  q  q  Bài 5:Cho đa thức: A( x)  x 4  14 x 3  71x 2  154 x  120 x  Z . a)Phân tích A(x) thành nhân tử. b)Chứng minh đa thức A(x) chia hết 24.
Giải: a).Ta có: A( x)  x 4  14 x 3  71x 2  154 x  120  ( x  2).( x3  12 x 2  47 x  60)  ( x  2).( x  3).( x 2  9 x  20) b).Ta có:A(x)= ( x 1).( x 1).( x   )  72 2 144 x  120  14  x      x     24 B( x) -Nếu x chia hết cho 4,x-14 chia hết cho 2  B(x) chia hết cho 8. -Nếu x chia cho 4 dư 1 thì x-1 chia hết cho 4,x+1 chia hết cho 2  B(x) chia hết cho 8. -Nếu x chia cho 4 dư 2 thì x-14 chia hết cho 4,x chia hết cho 2  B(x) chia hết cho 8. -Nếu x chia cho 4 dư 3 thì x + 1 chia hết cho 4,x-1 chia hết cho 2  B(x) chia hết cho 8. Vậy trong mọi trường hợp ta đều có B(x) chia hết cho 8 (1). Mà tích của ba số nguyên liên tiếp thì chi hết cho 3 nên (x-1).x.(x+1) chia hết cho 3  B(x) chia hết cho 3 (2). Mà (3,8)=1 nên từ (1) và (2) suy ra B(x) chia hết cho 24. Vậy ta có đpcm. Bài 6:Tìm tất cả các số nguyên x để: x2 + 7 chia hết cho x-2. Giải:
Ta có: x2 + 7 = (x-2).(x + 2) +11 chia hết cho x-2 khi và chỉ khi 11 chia hết cho x- 2.  x-2=-1,-11,1,11. Từ đó ta dễ dàng tìm ra các giá trị x thỏa mãn bài ra. Bài 7: Một đa thức chia cho x-2 thì dư 5, chia cho x-3 thì dư 7.Tính phần dư của phép chia đa thức đó cho (x-2).(x-3). Giải: Gọi đa thức đã cho là F(x).Theo bài ra ta giả sử đa thức dư cần tìm là ax+b. Ta có: F(x) = (x-2).(x-3).A(x) + ax + b. (trong đó A(x) là đa thức thương trong phép chia) Theo giả thiết và theo định lý Bơdu ta có: F(2)=2a +b=5 và F(3)=3a+b=7. Giải hệ hai phương trình trên ta tìm được a = 2, b = 1. Vậy đa thức dư là 2x+1. Bài 8: Cho biết tổng các số nguyên a1, a2, a3..., an chia hết cho 3.Chứng minh rằng: A(x) = a13  a 2  ...  a n cũng chia hết cho 3. 3 3 Giải: Theo định lý fecma ta có: n 3  n(mod 3)n  Z . Áp dụng ta có: a13  a1 (mod 3) , a 2  a 2 (mod 3) ,..., a n  a n (mod 3) . 3 3 Suy ra: a13  a 2  ...  a n  a1  a 2  ...  a n (mod 3)  0(mod 3) 3 3
Ta có đpcm. Bài 9:Chứng minh rằng (7.5 2 n +12.6 n ) luôn chia hết cho 19, với mọi số n tự nhiên. Giải: Ta có: A = 7.52n + 12.6n = 7.25n + 12.6n. Ta có: 25  6(mod19)  25 n  6 n (mod 19) .Suy ra: A  7.6 n  12.6 n  19.6 n (mod 19)  0(mod19) . Ta có đpcm. Bài 10: Phân tích thành nhân tử x10 + x5 + 1. Giải: Ta có: x10 + x5 + 1 = (x2 + x + 1).(x8-x7 + x5-x4 + x3-x + 1).