Chuyên đề 7: Hình học không gian - Chủ đề 7.2

BTN_7_2<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> <br /> CHỦ ĐỀ : QUAN HỆ VUÔNG GÓC. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN<br /> A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT<br /> Bài 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN<br /> I.<br /> <br /> KIẾ THỨ CƠ BẢ<br /> KIẾN THỨC CƠ BẢN<br /> 1. Định nghĩa và các phép toán:<br /> Định nghĩa, tính chất và các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn<br /> tương tự như trong mặt phẳng.<br /> Phép cộng, trừ vectơ:<br /> • Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kì, ta có: AB + BC = AC .<br /> <br /> • Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC .<br /> • Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , ta có: AB + AD + AA ' = AC ' .<br /> Lưu ý:<br /> • Điều kiện để hai vectơ cùng phương:<br /> Hai vectơ a và b ( b ≠ 0 ) ⇔ ∃!k ∈ ℝ : a = k .b .<br /> • Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( k ≠ 1 ), điểm O tùy ý.<br /> OA − kOB<br /> 1− k<br /> • Trung điểm của đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, điểm O tùy ý.<br /> <br /> Ta có:<br /> <br /> MA = k .MB<br /> <br /> OM =<br /> <br /> Ta có: IA + IB = 0<br /> OA + OB = 2OI<br /> • Trọng tâm của tam giác: Cho G là trọng tâm ∆ ABC, điểm O tùy ý.<br /> Ta có:<br /> <br /> GA + GB + GC = 0<br /> <br /> OA + OB + OC = 3OG<br /> <br /> 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ:<br /> Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt<br /> phẳng.<br /> Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b, c , trong đó a và b không cùng<br /> phương.<br /> <br /> Khi đó: a, b, c đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ ℝ : c = m.a + n.b<br /> Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng, x tùy ý.<br /> <br /> .<br /> .<br /> Khi đó: ∃!m, n, p ∈ℝ : x = ma + nb + p.c<br /> 3. Tích vô hướng của hai vectơ:<br /> Góc giữa hai vectơ trong không gian: Ta có: AB = u, AC = v .<br /> <br /> Khi đó: ( u , v ) = BAC (00 ≤ BAC ≤ 1800 )<br /> Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:<br /> <br /> ( )<br /> <br /> Cho u , v ≠ 0 . Khi đó: u.v = u . v .cos u , v<br /> • Với u = 0 hoặc v = 0 , quy ước: u.v = 0<br /> • Với u , v ≠ 0 , ta có: u ⊥ v ⇔ u.v = 0<br /> II.<br /> <br /> BẢ<br /> KỸ NĂNG CƠ BẢN<br /> Dạng 1: Chứng minh đẳng thức. Phân tích vectơ. Áp dụng công thức tính tích vô hướng.<br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 1|THBTN<br /> <br /> BTN_7_2<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> <br /> • Áp dụng các phép toán đối với vectơ (phép cộng hai vectơ, phép hiệu hai vectơ, phép nhân một<br /> vectơ với một số).<br /> • Áp dụng các tính chất đặc biệt của hai vectơ cùng phương, trung điểm của đoạn thẳng, trọng<br /> tâm của tam giác.<br /> Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ , M<br /> <br /> là trung điểm của BB′ . Đặt CA = a , CB = b ,<br /> <br /> AA ' = c . Khẳng định nào sau đây đúng?<br /> 1<br /> 1<br /> A. AM = b − a + c .<br /> B. AM = a − c + b .<br /> 2<br /> 2<br /> Hướng dẫn :<br /> <br /> 1<br /> C. AM = a + c − b .<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> D. AM = b + c − a .<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> AB + AB′ . Khi đó :<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> AM = AB + AB ′ = AB + AB + BB ′ = AB + AA′ = AC + CB + AA′ = − a + b + c .<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, đường thẳng song song<br /> với mặt phẳng, các tập hợp điểm đồng phẳng<br /> • Ứng dụng điều kiện của hai vectơ cùng phương, ba vectơ đồng phẳng<br /> Ví dụ : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và<br /> đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:<br /> <br /> Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì AM =<br /> <br /> A. OA + OC = OB + OD .<br /> 1<br /> 1<br /> C. OA + OB = OC + OD .<br /> 2<br /> 2<br /> Hướng dẫn:<br /> <br /> B. OA + OB + OC + OD = 0 .<br /> 1<br /> 1<br /> D. OA + OC = OB + OD .<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành thì AB = CD hoặc AC = BD . Khi đó<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> A. OA + OC = OB + OD ⇔ OA − OB = OD − OC ⇔ BA = CD AB = DC .<br /> B. OA + OB + OC + OD = 0 : Với O là trọng tâm của tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD .<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> C. OA + OB = OC + OD ⇔ OA − OC = OD − OB ⇔ CA = BD .<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> D. OA + OC = OB + OD ⇔ OA − OB = OD − OC ⇔ BA = CD .<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> Vậy chọn A.<br /> <br /> Bài 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG<br /> THỨ CƠ BẢ<br /> III. KIẾN THỨC CƠ BẢN<br /> 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:<br /> <br /> Vectơ a ≠ 0 được gọ i là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của a song song hoặc trùng<br /> với đường thẳng d.<br /> 2. Góc giữa hai đường thẳng:<br /> <br /> ( ) (<br /> <br /> Cho a //a ' , b //b ' và a ' , b ' cùng đi qua một điểm. Khi đó: a, b = a ', b '<br /> <br /> )<br /> <br /> ( )<br /> <br /> Giả sử u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và u , v = ϕ .<br /> ϕ<br /> <br /> Khi đó: a, b = <br /> 0<br /> 180 − ϕ<br /> <br /> <br /> ( )<br /> <br /> ( 0 ≤ ϕ ≤ 90 )<br /> ( 90 < ϕ ≤ 180 )<br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 0<br /> <br /> 2|THBTN<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> <br /> BTN_7_2<br /> <br /> ( )<br /> <br /> Nếu a //b hoặc a ≡ b thì a, b = 00 .<br /> 3. Hai đường thẳng vuông góc:<br /> <br /> ( )<br /> <br /> a ⊥ b ⇔ a, b = 900 .<br /> Giả sử u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b. Khi đó: a ⊥ b ⇔ u.v = 0<br /> Cho a //b . Nếu a ⊥ c thì b ⊥ c .<br /> Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.<br /> BẢ<br /> IV. KỸ NĂNG CƠ BẢN :<br /> Xác định góc giữa hai đường thẳng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc<br /> Ví dụ :Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau,<br /> mệnh đề nào sai?<br /> A. A′C ′ ⊥ BD .<br /> B. BB ′ ⊥ BD .<br /> C. A′B ⊥ DC ′ .<br /> D. BC ′ ⊥ A′D .<br /> Hướng dẫn<br /> Theo tính chất hình hộp, các cạnh bên vuông góc các cạnh đáy nên BB ′ ⊥ BD<br /> <br /> Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG<br /> KIẾ THỨ CƠ BẢ<br /> I. KIẾN THỨC CƠ BẢN<br /> 1. Định nghĩa: d ⊥ (α ) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (α )<br /> d ⊥ a<br /> d ⊥ b<br /> <br /> 2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: <br /> ⇒ d ⊥ (α )<br /> a, b ⊂ (α )<br /> a ∩ b = I<br /> <br /> 3. Tính chất:<br /> Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung<br /> điểm của đoạn thẳng đó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách<br /> đều hai đầu mút của đoạn thẳng.<br /> a ∈ b<br />  α ⊥ a ⇒ (α ) ⊥ b<br /> ( )<br /> a ≠ b<br /> <br /> a ⊥ (α ) ⇒ a //b<br /> b ⊥ α<br /> ( )<br /> <br /> (α ) // ( β )<br /> <br /> ⇒ a ⊥ (β )<br /> <br />  a ⊥ (α )<br /> <br /> <br /> (α ) ≠ ( β )<br /> <br /> (α ) ⊥ a ⇒ (α ) // ( β )<br /> <br /> ( β ) ⊥ a<br /> a // (α )<br /> <br /> ⇒b⊥a<br /> <br /> b ⊥ (α )<br /> <br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 3|THBTN<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> <br /> BTN_7_2<br /> <br />  a ⊄ (α )<br /> <br /> a ⊥ b ⇒ a // (α )<br />  α ⊥b<br /> ( )<br /> 4. Định lý ba đường vuông góc:<br /> <br /> Cho a ⊂ (α ) và b ⊄ (α ) , b ' là hình chiếu của b lên (α ) . Khi đó: a ⊥ b ⇔ a ⊥ b '<br /> 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:<br /> <br /> Nếu d vuông góc với (α ) thì góc giữa d và (α ) là 900 .<br /> Nếu d không vuông góc với (α ) thì góc giữa d và (α ) là thì góc giữa d và d ' với d ' là<br /> hình chiếu của d trên (α ) .<br /> Chú ý: góc giữa d và (α ) là ϕ thì 00 ≤ ϕ ≤ 900 .<br /> II.<br /> <br /> KỸ NĂNG CƠ BẢN<br /> BẢ<br /> Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng<br /> Ví dụ : Khẳng định nào sau đây sai ?<br /> A. Nếu đường thẳng d ⊥ (α ) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (α ) .<br /> B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α ) .<br /> C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α ) thì d vuông góc với<br /> <br /> bất kì đường thẳng nào nằm trong (α ) .<br /> D. Nếu d ⊥ (α ) và đường thẳng a || (α ) thì d ⊥ a .<br /> Hướng dẫn :<br /> A. Đúng vì d ⊥ (α ) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (α ) .<br /> B. Sai vì Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α ) thì d ⊥ (α ) .<br /> d ⊥ a<br /> d ⊥ b<br /> <br /> C. Đúng vì <br /> ⇒ d ⊥ (α ) ⇔ d ⊥ c, ∀c ⊂ (α ) .<br />  a, b ⊂ ( α )<br /> a ∩ b = I<br /> <br /> <br /> a // (α )<br /> <br /> D. Đúng vì <br /> ⇒d ⊥a<br />  d ⊥ (α )<br /> <br /> <br /> Bài 4. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG<br /> I.<br /> <br /> KIẾN THỨC CƠ BẢN<br /> KIẾ THỨ CƠ BẢ<br /> 1. Góc giữa hai mặt phẳng:<br /> <br />  a ⊥ (α )<br /> <br /> Nếu <br /> thì góc giữa hai mặt phẳng (α ) và ( β ) là góc giữa hai đường thẳng a và b.<br /> b ⊥ (β )<br /> <br /> <br /> a ⊥ d , a ⊂ (α )<br /> Giả sử (α ) ∩ ( β ) = d . Từ điểm I ∈ d , dựng <br /> thì góc giữa hai mặt phẳng (α )<br /> b ⊥ d , b ⊂ ( β )<br /> và ( β ) là góc giữa hai đường thẳng a và b .<br /> Chú ý: Gọi góc giữa hai mặt phẳng (α ) và ( β ) là ϕ thì ϕ ∈  00 ;900  .<br /> <br /> <br /> 2. Diện tích hình chiếu của một đa giác:<br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 4|THBTN<br /> <br /> BTN_7_2<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> <br /> Gọi S là diện tích của đa giác ℋ nằm trong (α ) và S’ là diện tích của đa giác ℋ’ là hình chiếu<br /> vuông góc của đa giác ℋ lên ( β ) . Khi đó S ' = S .cos ϕ với ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (α ) và<br /> <br /> (β ).<br /> 3. Hai mặt phẳng vuông góc:<br /> <br /> Nếu hai mặt phẳng (α ) vuông góc mặt phẳng ( β ) thì góc giữa hai mặt phẳng (α ) và<br /> <br /> ( β ) bằng 900.<br /> a ⊂ (α )<br /> Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: <br /> ⇒ (α ) ⊥ ( β )<br /> a ⊥ ( β )<br /> 4. Tính chất:<br /> <br /> (α ) ⊥ ( β )<br /> <br /> (α ) ∩ ( β ) = d<br /> ⇒ a ⊥ (β )<br /> <br />  a ⊂ (α )<br /> a ⊥ d<br /> <br /> (α ) ⊥ ( β )<br /> <br />  A ∈ (α )<br /> ⇒ a ⊂ (α )<br /> <br /> A∈ a<br /> a ⊥ ( β )<br /> <br /> (α ) ⊥ ( γ )<br /> <br /> ⇒ d ⊥ (γ )<br /> ( β ) ⊥ ( γ )<br /> <br /> (α ) ∩ ( β ) = d<br /> II.<br /> <br /> BẢ<br /> KỸ NĂNG CƠ BẢN<br /> Dạng 1 : Góc giữa hai mặt phẳng<br /> Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) và đáy là tam giác vuông ở A. Khẳng định nào sau<br /> đây sai?<br /> <br /> S<br /> <br /> A. ( SAB ) ⊥ ( ABC ) .<br /> B. ( SAB ) ⊥ ( SAC ) .<br /> C. Vẽ AH ⊥ BC , H ∈ BC thì góc ∠ASH là góc giữa hai<br /> <br /> mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC )<br /> D. Góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SAC ) là góc<br /> <br /> ∠SCB.<br /> Hướng dẫn :<br /> <br /> SA ⊂ ( SAB )<br /> <br /> A. Đúng vì <br /> ⇒ ( SAB ) ⊥ ( ABC ) .<br /> SA ⊥ ( ABC )<br /> <br />  AB ⊥ AC<br /> B. Đúng vì <br /> ⇒ AB ⊥ ( SAC ) ,<br />  AB ⊥ SA<br /> <br /> B<br /> <br /> A<br /> H<br /> C<br /> <br />  AB ⊂ ( SAB )<br /> <br /> ⇒ ( SAB ) ⊥ ( SAC )<br /> <br />  AC ⊥ ( SAC )<br /> <br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 5|THBTN<br /> <br />