Chuyên đề Đại số tổ hợp - Phương Xuân Trịnh

Chia sẻ: Trần Thị Thủy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

158
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm đánh giá lại thực lực học tập của các em học sinh trước khi tham dự các kỳ thi. Mời các em và giáo viên tham khảo chuyên đề Đại số tổ hợp - Phương Xuân Trịnh sẽ giúp bạn định hướng kiến thức ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải bài tập về đại số tổ hợp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Đại số tổ hợp - Phương Xuân Trịnh

CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð ð I S T H P I/ LÝ THUY T CƠ B N 1) Quy t c c ng: Có n1 cách ch n ñ i tư ng A1. n2 cách ch n ñ i tư ng A2. A1 ∩ A2 = ∅ ⇒ Có n1 + n2 cách ch n m t trong các ñ i tư ng A1, A2. 2) Quy t c nhân: Có n1 cách ch n ñ i tư ng A1. ng v i m i cách ch n A1, có n2 cách ch n ñ i tư ng A2. ⇒ Có n1.n2 cách ch n dãy ñ i tư ng A1, A2. 3) Hoán v : − M i cách s p th t n ph n t g i là m t hoán v c a n ph n t . − S hoán v : Pn = n!. 4) Ch nh h p: − M i cách l y ra k ph n t t n ph n t (0 < k ≤ n) và s p th t c a chúng g i là m t ch nh h p ch p k c a n ph n t . n! − S các ch nh h p: A k = (n − k)! n 5) T h p: − M i cách l y ra k ph n t t n ph n t (0 ≤ k ≤ n) g i là m t t h p ch p k c a n ph n t . n! − S các t h p: Ck = k!(n − k)! n − Hai tính ch t Ck = Cn −k n n Ck −1 + Ck −1 = Cn n −1 n k 6) Nh th c Newton n (a + b)n = ∑ C k a n − k b k n k =0 = C0 a n + C1 a n −1b + ... + Cn b n n n n − S h ng t ng quát (S h ng th k + 1): Tk +1 = Cn a n −k b k k − ð c bi t: (1 + x) n = C0 + xC1n + x 2C 2 + ... + x n Cn n n n T Toán 1 Trương THPT Lương Tài
CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn II / M T S VÍ D 1. Bài toán ñ m. 1.1 ð m các s t nhiênñư c thành l p. Ví d 1. T các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 l p ñư c bao nhiêu s t nhiên g m 5 ch s sao cho a) Các ch s ñ u khác nhau. b) Ch s ñ u tiên là 3. c)Các ch s khác nhau và không t n cùng b ng ch s 4. Gi i a) M i s có 5 ch s khác nhau ñư c thành l p tương ng v i m t ch nh h p ch p 5 c a 7 ph n t ⇒ Có A 5 = 2520 s 7 b) G i s c n thi t l p là abcde Ch s ñàu tiên là 3 ⇒ a có 1 cách ch n b, c, d, e ñ u có 7 cách ch n ⇒ Có 1.7.7.7.7 = 2401 s . c) G i s c n thi t l p là abcde Ch s cu i cùng khác 4 ⇒ e có 6 cách ch n (tr s 4) a có 6 cách ch n b có 5 cách ch n c có 4 cách ch n d có 3 cách ch n ⇒ Có 6.6.5.4.3 = 2160 s . Ví d 2.(ðH An ninh 97) T b y ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành l p ñư c bao nhiêu s ch n có 5 ch s khác nhau Gi i Gói s c n thi t l p là abcde Xét hai trư ng h p + Trư ng h p 1: Ch n e = 0 ⇒ e có 1 cách ch n Khi ñó a có 6 cách ch n b có 5 cách ch n c có 4 cách ch n d có 3 cách ch n ⇒ Có 6.5.4.3 = 360 s . + Trư ng h p 2: Ch n e ∈ { 2, 4, 6 } ⇒ e có 3 cách ch n Khi ñó a có 5 cách ch n tr s 0 và e b có 5 cách ch n c có 4 cách ch n d có 3 cách ch n T Toán 2 Trương THPT Lương Tài
CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn ⇒ Có 3.5.5.4.3 = 900 s V y có 360 + 900 = 1260 s Ví d 3. T các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 l p ñư c bao nhiêu s có 4 ch s sao cho s t o thành g m các ch s khác nhau và nh t thi t có ch s 5. Gi i Cách 1: Thành l p s có 3 ch s khác nhau và không có m t ch s 5 ⇒ Có A 3 = 120 s 6 V i m i s v a thành l p có 4 v trí ñ xen s 5 t o thành s có 4 ch s khác nhau và có m t ch s 5. ⇒ Có 120.4 = 480 s . Cách 2: − S c n tìm có 1 trong b n d ng 5bcd, a5bc, ab5d, abc5 − M i d ng có 120 s ⇒ có 480 s Ví d 4: Có bao nhiêu s t nhiên g m 2008 ch s sao cho t ng các ch s b ng 3. Gi i Xét các trư ng h p + Trư ngh p 1: S t o thành g m 1 ch s 3 và 2007 ch s 0 ⇒ Ch có 1 s 3000…000 (2007 ch s 0) + Trư ng h p 2: S t o thành g m 1 ch s 1, 1 ch s 2 và 2006 ch s 0 Ch n ch s ñ u tiên có 2 cách ch n s 1 ho c 2 Ch s còn l i có 2007 v trí ñ ñ t, còn các v trí khác ñ t s 0 ⇒ Có 2.2007 = 4014 s + Trư ng h p 3: S t o thành g m 3 ch s 1 và 2005 ch s 0 Ch n ch s ñ u tiên là 1 Ch n 2 trong 2007 v trí ñ ñ t ch s 1 ⇒ có C2 = 2007.1003 = 2013021 2007 V y có 1 + 4014 + 2013021 = 2017036 s Ví d 5(ðHQG TPHCM 2001) Có bao nhiêu s t nhiên g m b y ch s bi t r ng ch s 2 có m t ñúng hai l n, ch s ba có m t ñúng ba l n, các ch s còn l i có m t không quá m t l n. Gi i + Coi m t dãy g m 7 ch s tương ng v i m t s g m 7 ch s (K c b t ñ u b ng 0). Khi ñó ta thành l p s b ng cách x p các ch s vào 7 v trí 2 Ch n 2 trong 7 v trí ñ x p ch s 2: có C7 cách Ch n 3 trong 5 v trí còn l i ñ x p ch s 3: có C3 cách 5 T Toán 3 Trương THPT Lương Tài
CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn 2 Ch n 2 trong 8 ch s 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ñ ñ t vào 2 v trí còn l i có A8 cách ⇒ Có C7 . C3 . A8 = 11 760 cách. 2 5 2 + C n ph i lo i các trư ng h p ch s 0 ñ ng ñ u. L p lu n tương t cho 6 v trí ⇒ có C6 . C3 . A1 = 420 s 2 4 7 V y có 11 760 − 420 = 11 340 s . 1.2 ð m s phương án. Ví d 6: (ðH Thái nguyên 99) M t l p h c có 25 nam và 15 n . C n ch n m t nhóm g m ba h c sinh. H i có bao nhiêu cách: a) Ch n 3 h c sinh b t kì. b) Ch n 3 h c sinh g m 2 nam và m t n . c) Ch n 3 h c sinh trong ñó có ít nh t 1 nam. Gi i a) M i cách ch n là m t t h p ch p3 c a 40 ⇒ S cách ch n là: C3 = 9880 cách. 40 b) Ch n 1 nam có C25 = 25 cách 1 Ch n 2 n có C15 = 105 cách 2 ⇒ Có 25.105 = 2625 cách ch n c) Ch n 3 h c sinh b t kì có 9880 cách Ch n 3 h c sinh n có C15 = 455 cách 3 ⇒ Có 9880 − 455 = 9425 cách ch n có ít nh t 1 nam. Ví d 7: (ðHSP Quy Nhơn 97) Cho hai ñư ng th ng song song a và b. Trên a l y 17 ñi m phân bi t, trên b l y 20 ñi m phân bi t. Tính s tam giác có các ñ nh là 3 trong s 37 ñi m ñã ch n trên. Gi i Cách 1 M i tam giác ñư c hình thành b i ba ñi m không th ng hàng S b ba ñi m t 37 ñi m trên là: C 3 37 S b ba ñi m th ng hàng trên a là: C 3 17 S b ba ñi m th ng hàng trên b là: C 3 20 V y s tam giác t o thành là: C 3 − C 3 − C 3 = 11 340 tam giác 37 17 20 Cách 2: T Toán 4 Trương THPT Lương Tài
CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn M i tam giác ñư c t o thành b i m t ñi m trên ñư ng th ng này và hai ñi m trên ñư ng th ng kia. Xét 2 trư ng h p + TH1: Tam giác t o thành b i 1 ñi m trên a và 2 ñi m trên b: có 17.C2 20 2 + TH2: Tam giác t o thành b i 2 ñi m trên a và 1 ñi m trên b: có 20.C17 ⇒ S tam giác là: 17.C2 + 20.C17 = 11 340 20 2 Ví d 8: (ðH C nh sát nhân dân) Cho tam giác ABC. Xét b g m 4 ñư ng th ng song song v i AB, 5 ñư ng th ng song song v i BC và 6 ñư ng th ng song song v i CA trong ñó không có ba ñư ng th ng nào ñ ng quy. H i các ñư ng th ng trên t o ñư c bao nhiêu tam giác và bao nhiêu t giác (không k hình bình hành). Gi i a) M i tam giác ñư c t o thành b i ba ñư ng th ng thu c ba nhóm khác nhau ⇒ S tam giác là 4.5.6 = 120 b) M i hình thang không ph i hình bình hành ñư c t o thành b i hai ñư ng th ng thu c nhóm này và m t ñư ng th ng thu c m i nhóm còn l i ⇒ S hình thang là C2 .C1 .C1 + C1 .C5 .C1 + C1 .C1 .C6 = 720 hình thang 4 5 6 4 2 6 4 5 2 2. Gi i phương trình, b t phương trình và h ñ i s t h p Ví d 1: (CðSP TPHCM99) Tìm k th a mãn: Ck + Ck +2 = 2Ck +1 14 14 14 Gi i k ∈ N ðK   k ≤ 12 Phương trình tương ñương v i 14! 14! 2.14! + = k!(14 − k)! (k + 2)!(12 − k)! (k + 1)!(13 − k)! 1 1 2 ⇔ + = (14 − k)(13 − k) (k + 2)(k + 1) (k + 1)(13 − k) ⇔ (k + 2)(k + 1) + (14 − k)(13 − k) = (k + 2)(14 − k) ⇔ k2 − 12k + 32 = 0 ⇔ k = 4, k = 8 (Th a mãn) V y phương trình có nghi m: k = 4, k = 8 Ví d 2: (ðH Hàng h i 99) T Toán 5 Trương THPT Lương Tài
CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn Cn −3 1 n −1 Gi i b t phương trình: 4 > A 14P n +1 3 Gi i ðK: 4≤ n+1 ⇔ n ≥ 3, n nguyên dương Cn −3 n −1 > 1 ⇔ 14.P .Cn −3 > A 4 ⇔14.3! ( n − 1)! > n + 1 .n. n − 1 . n − 2 3 n −1 n +1 ( ) ( )( ) A4 n +1 14P 3 ( n − 3)!2! ⇔ n 2 + n − 42 < 0 ⇔ ( n − 6 ) .( n + 7 ) < 0 ⇔ −7 < n < 6 K t h p v i ðk n≥ 3 ñư c t p nghi m c a b t phương trình là: {3, 4, 5}. Ví d 3: (ðHBK HN2001) 2.A y + 5.C y = 90  x x Gi i h phương trình:  y − 2.C y = 80 5.A x  x Gi i ðK: x, y ∈ N*, y ≤ x 2.u + 5.v = 90 u = 20 ð t u = Ax , y v = C x ⇒ u, v ∈N ta có h  y * ⇔ 5.u − 2.v = 80  v = 10  x! A y = 20  (x − y)! = 20  y! = 2 y = 2   x Thay vào ta có  y ⇔  ⇔  x! ⇔  x!  C x = 10   x! = 10  (x − y)! = 20  (x − 2)! = 20  y!(x − y)!     x(x − 1) = 20  x = 5, x = −4 ⇔ ⇔ y = 2 y = 2 x = 5 K t h p ñi u ki n ⇒ H phương trình có nghi m  y = 2 3) Xác ñ nh m t s h ng c a khai tri n Newuton. Ví d 1: (ðH Kinh t qu c dân, 1997) T Toán 6 Trương THPT Lương Tài
CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn 12  1 Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n Newton c a  x +   x Gi i k 12 − k 1 12 − 2k S h ng t ng quát Tk +1 = C .x k 12   = C12 .x k . x S h ng không ch a x tương ng v i 12 − 2k = 0 ⇔ k = 6. 12.11.10.9.8.7 ðáp s :s h ng không ch a x ph i tìm là: C6 .x 0 = = 924 12 1.2.3.4.5.6 Ví d 2:(ðH và Cð, kh i A, 2003). n 1  Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n nh th c Niutơn c a  + x5  , 8  3  x  bi t r ng Cn +1 − Cn = 7 ( n + 3) n +4 n +3 Gi i (n + 4)! (n + 3)! Ta có Cn +1 − Cn = 7 ( n + 3) ⇔ − = 7(n + 3) n +4 n +3 (n + 1)!.3! (n)!.3! ⇔ (n + 4)(n + 3)(n + 2) − (n + 3)(n + 2)(n + 1) = 42(n + 3) ⇔ (n + 4)(n + 2) − (n + 2)(n + 1) = 42 ⇔ 3n = 36 ⇔ n = 12 12−k k 5k −36+3k S h ng t ng quát T k . 1  =C    5  = Ck .x 2 k +1 12  x3    x  12 .    S h ng ch a x8 tương ng v i 5k − 36 + 3k = 8 ⇔ 11k = 88 ⇔ k = 8. 2 ðáp s :H s c a s h ng ch a x8 ph i tìm là: C8 = 495 12 T Toán 7 Trương THPT Lương Tài
CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn Ví d 3: Khai tri n ña th c: P(x) = (1 + 2x ) thành d ng : P ( x ) = a 0 + a1x + a 2 x + ... + a12 x12 12 Tìm max ( a1 , a 2 ,..., a12 ) Gi i k S h ng t ng quát T = Ck .( 2x ) = Ck .2k.x k . k +1 12 12 Xét hai h s liên ti p a = Ck .2k và a = Ck +1.2k +1 . Gi s ak < ak + 1 ⇔ k 12 k +1 12 23 Ck .2k < Ck +1.2k +1 ⇔ 12! 12! < .2 ⇔ k < a9 > … > a12. V y h s l n nh t là: a 8 = C8 28 = 126720 12 4) Tính t ng ho c ch ng minh ñ ng th c. Ví d 1 : Ch ng minh r ng ∀ n, k ∈ N* và n ≥ k ≥ 1 thì: kC k = nCk −1 n n −1 Gi i Th t v y ∀ n, k ∈ N và n ≥ k ≥ 1 ta có: * n! n(n − 1)! kC k = k = k!(n − k)! (k − 1)!(n − k)! n (n − 1)! =n = nCnk−−11 (ñpcm) (k − 1)!(n − k)! Lưu ý :(ðây là m t k t qu có nhi u ng d ng trong các bài t p ch ng minh ñ ng th c t h p khi chưa có công c ñ o hàm và tích phân) Ví d 2 : (ðH Qu c gia Hà N i, kh i D, 1997) Tính t ng S = C11 + C11 + C11 + C11 + C11 + C11 6 7 8 9 10 11 Gi i Do C11 = C11 ,C11 = C11 ,... nên 6 5 7 4 S = C11 + C11 + C11 + C11 + C11 + C11 → 2S = C11 + C11 + C11 + ...C11 + C11 (1) 5 4 3 2 1 0 0 1 2 10 11 n Áp d ng khai tri n Niu tơn ( x + 1) = ∑ Ck .x k v i x = 1, n = 11 ñư c n n k =0 11 (1 + 1) = ∑ C11 = C11 + C11 + C11 + ... + C10 + C11 (2) 11 k 0 1 2 11 11 k =0 T (1), (2) suy ra 2S = 211 → S = 210 = 1024. T Toán 8 Trương THPT Lương Tài
CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn ðáp s : S = 210 = 1024 Ví d 3 : (ðH Bách Khoa Hà N i, 1999) Cho n là s t nhiên l n hơn 2, tính t ng : S = C1 − 2.C2 + 3.C3 − 4.C4 + ... + (−1)n −1.n.Cn n n n n n Gi i Cách 1: (S d ng k t qu ví d 1) Áp d ng k t qu ví d 1 ta có: C1 = n.C0 n n −1 −2.Cn = −n.C1 2 n −1 ... (−1)n −1 n.Cn = (−1)n −1 n.Cn −1 n n −1 C ng theo v các ñ ng th c trên ta ñư c S = C1 − 2.C2 + 3.C3 − 4.C4 + ... + (−1)n −1.n.Cn n n n n n = n(C0 −1 − C1 −1 + C2 −1 − C3 −1 +, ,, + (−1) n −1 C n −1 ) n n n n n −1 = n(1 − 1) n −1 = 0 Cách 2: (S d ng ñ o hàm) Xét khai tri n (1 + x) n = C0 + xC1 + x 2C2 + ... + x n Cn n n n n n −1 n −1 n ⇒ n.(1 + x) = Cn + 2xCn + ... + nx Cn 1 2 Ch n x = − 1 ⇒ n.(1 − 1) n −1 = C1 − 2Cn + ... + (−1) n .nCn n 2 n V y: S=0 Ví d 4: (ðHDL Duy Tân, kh i A, 2001) 1 1 1 1 1 Tính t ng sau : S = .C0 + .C1n + C2 + C3 + ... + Cn n +1 n n n n 1 2 3 4 Gi i Cách 1( S d ng k t qu ví d 1) Âp d ng k t qu ví d 1 ta có: 1 1 kC k = nCk −1 ⇔ (k + 1)C k +1 = (n + 1)C k ⇔ n −1 n +1 Ck = C k +1 n +1 k +1 n +1 n n n Thay k = 0, 1, 2 … , n ta có T Toán 9 Trương THPT Lương Tài
CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn 1 0 1 1 Cn = Cn +1 1 n +1 1 1 1 Cn = C2 +1 n 2 n +1 1 2 1 Cn = C3 +1 n 3 n +1 1 1 ... Cn = C n +1 n +1 n +1 n +1 n 1 1 2 1 3 1 ⇒ S = .C0 + .Cn + Cn + Cn + ... + 1 n Cn n +1 n 1 2 3 4 1 = (C1 +1 + C 2 +1 + C3 +1 + ... + Cn +1 ) n 1 + n +1 n n n 1 = (2 n +1 − 1) n +1 1 V y S= (2n +1 − 1) n +1 Cách 2:(S d ng tích phân) Xét khai tri n (1 + x) n = C0 + xC1 + x 2C2 + x 3C3 + ... + x n Cn n n n n n 1 1 ⇒ ∫ (1 + x) dx = ∫ (C0 + xC1 + x 2C 2 + x 3C3 + ... + x n Cn )dx n n n n n n 0 0 Ta có: (1 + x) n +1 2n +1 − 1 1 ∫ (1 + x) dx == n + 1 1 n = 0 0 n +1 n +1 2 − 1 1 0 1 1 1 n ⇒ =  x.Cn + .x 2C1n + x 3C2 + x 4C3 + ... + x n +1Cn  1 n +1 n +1 n n 1 2 3 4  0 1 1 1 1 = .C0 + .C1 + C2 + C3 + ... + Cn n +1 n n n n n 1 2 3 4 1 V y V y S= (2n +1 − 1) n +1 Ví d 5: Ch ng minh ñ ng th c sau: 26 0 25 1 24 2 23 3 22 4 2 5 1 6 37 − 27 .C + .C + C + C + C + C + C = 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 7 Gi i Xét khai tri n (2 + x)6 = 26 C0 + 25 xC1 + 24 x 2C6 + 23 x 3C3 + 22 x 4C6 + 2x 5C5 + x 6C6 6 6 2 6 4 6 6 T Toán 10 Trương THPT Lương Tài
CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn 1 1 ⇒ ∫ (2 + x) dx = ∫ (26 C0 + 25 xC1 + 24 x 2C6 + 23 x 3C3 + 22 x 4C6 + 2x 5C5 + x 6C6 )dx 6 6 6 2 6 4 6 6 0 0 1 1 ⇔ (2 + x)7 = 7 0 x2 1 4 x 3 3 x 4 2 x 5 x6 5 x7 6 1 (2 C x + 2 6 0 6 5 C6 + 2 C6 + 2 2 C6 + 2 3 C6 + 2 C6 + C6 ) 4 2 3 4 5 6 7 0 37 − 27 26 0 25 1 24 2 23 3 22 4 2 5 1 6 ⇔ = .C + .C + C + C + C + C + C 7 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 26 0 25 1 24 2 23 3 22 4 2 5 1 6 37 − 27 V y .C + .C + C + C + C + C + C = (ñpcm) 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 7 T Toán 11 Trương THPT Lương Tài
CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn BÀI TÂP T L ƯY N : 1) Có bao nhiêu cách s p x p 5 ngư i khách g m 3 nam và 2 n ng i vào m t hàng 8 gh n u: a) h ng i ch nào cũng ñư c? b) h ng i k nhau? c) 3 nam ng i k nhau, 2 n ng i k nhau và gi a hai nhóm này có ít nh t m t gh tr ng? 2) Có bao nhiêu cách s p x p ch ng i cho 5 ngư i khách a) vào 5 gh x p thành m t dãy. b) vào 5 gh chung quanh m t bàn tròn, n u không có s phân bi t gi a các gh này. 3) Mư i ngư i mu n ch p nh chung. H mu n ch p nhi u nh khác nhau b ng cách ñ i ch ñ ng l n nhau. Cho r ng m i l n ñ i ch và ch p nh m t 1 phút, h i c n bao lâu ñ có th ch p t t c các nh khác nhau? 4) Có bao nhiêu s t nhiên g m ba ch s khác nhau và khác 0 bi t r ng t ng ba ch s này b ng 8? 5) M t dãy 5 gh dành cho 3 nam sinh và 2 n sinh. Có bao nhiêu cách s p x p ch ng i n u: a) h ng i ch nào cũng ñư c. b) nam sinh ng i k nhau, n sinh ng i k nhau. c) ch có n sinh ng i k nhau. 6) Có bao nhiêu s t nhiên g m ba ch s khác nhau bi t r ng t ng ba ch s này b ng 12? M t phòng khách có 3 ch có th ñ t tranh, nh ho c tư ng. Ch nhà mu n trang trí b ng cách x p ñ t 4 b c tranh khác nhau vào m t ch , 3 t m nh khác nhau vào ch th hai và 2 pho tư ng khác nhau vào ch còn l i. H i có bao nhiêu cách trang trí phòng khách? 7) Ta mu n m i 6 ngư i ng i vào m t dãy 6 gh . Có bao nhiêu cách s p x p ch ng i n u: a) Có 3 ngư i trong b n h mu n ng i k nhau? b) Có 2 ngư i trong b n h không mu n ng i k nhau? c) Có 3 ngư i trong b n h không mu n ng i k nhau ñôi m t? 8) M t bàn dài có 12 gh , m i bên 6 gh . Ngư i ta mu n x p ch ng i cho 12 ngư i khách g m 6 nam và 6 n . H i có bao nhiêu cách s p x p ch ng i n u: a) h ng i ch nào cũng ñư c ? b) nam ng i m t bên, n ng i m t bên ? c) nam n ng i ñ i di n nhau ? d) nam n ng i xen k và ñ i di n nhau ? 9) Cho các s 0,1,2,3,4,5,6. Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 4 ch s khác nhau ñư c l y t các s ñã cho, sao cho: a) S ñó ch n b) S ñó chia h t cho 5 c) Luôn có m t ch s 1 và 3 T Toán 12 Trương THPT Lương Tài
CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn 10) Cho các s : 0,1,2,3,4,5,6,7. Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 5 ch s khác nhau ñư c l y t các ch s ñã cho sao cho các s l luôn ñ ng li n nhau. 11) Cho các s : 0,1,2,3,4,5,6 a) Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 9 ch s ñư c l y t các s ñã cho sao cho s 3 có m t 3 l n, các s khác có m t ñúng 1 l n. b) Có th l p ñư c bao nhiêu s có 5 ch s ñư c l y t các s ñã cho sao cho s 3 có m t 1 l n, các s khác có m t m t vài l n. 12) Cho các s : 0,1,2,3,4,5. Có th l p ñư c bao nhiêu s t 4 s khác nhau ñư c l y t các s ñã cho. Sao cho: a) Luôn có m t ch s 5. b) S ñó chia h t cho 3. c) Không b t ñ u t ch s 3. 13) Cho các s : 0,1,2,3,4,5,6. Có th l p ñư c bao nhiêu s có 6 ch s ñư c l y t các s ñã cho sao cho: a) S ñ u và s cu i gi ng nhau, các s gi a khác nhau. b) 2 ch s ñ u và 2 ch s cu i gi ng nhau. 14) Cho các s : 0,1,2,3,4,5,6,7 a) Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 10 ch s sao cho s 0 có m t 2 l n, s 3 có m t 2 l n. Các s khác có m t m t l n. b) Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 6 ch s sao cho s 2 có m t 2 l n, các s khác có m t m t vài l n. 15) Cho các s : 0,1,2,3,4,5. Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 5 ch s sao cho các s ch n không ñ ng li n nhau. 16) M t nhóm ngư i thành l p m t công ty. H mu n ch n m t ban ñi u hành g m m t giám ñ c,m t phó giám ñ c và m t th qũy. Có 10 ngư i h i ñ ñi u ki n ñ ñư c ch n. H i có bao nhiêu cách ch n ban ñi u hành? 17) Hu n luy n viên m t ñ i bóng mu n ch n 5 c u th ñ ñá qu luân lưu 11m. Có bao nhiêu cách ch n n u: a) C 11 c u th có kh năng như nhau? ( K c th môn) b) Có 3 c u th b ch n thương và nh t thi t ph i b trí c u th A ñá qu s 1 và c u th B ñá qu s 4? 18) M t ngư i mu n x p ñ t m t s pho tư ng vào m t dãy 6 ch tr ng trên m t k trang trí. Có bao nhiêu cách s p x p n u: a) Ngư i ñó có 6 pho tư ng khác nhau? b) Ngư i ñó có 4 pho tư ng khác nhau? c) Ngư i ñó có 8 pho tư ng khác nhau? 19) V i năm s 1,2,3,4,5 có th l p ñư c bao nhiêu s g m 6 ch s trong ñó s 1 có m t hai l n các s còn l i m i s có m t ñúng m t l n? 20) Có bao nhiêu s t nhiên g m 6 ch s khác nhau bi t r ng: a) các s này chia h t cho 5? b) trong các s này ph i có m t ba ch s 0,1,2 ? 32) V i sáu s 2,3,5,6,7,8, ta mu n thành l p nh ng s g m b n ch s khác nhau. T Toán 13 Trương THPT Lương Tài
CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn a) Có bao nhiêu s nh hơn 5000 ? b) Có bao nhiêu s ch n nh hơn 7000 ? 21) M t l p h c có 30 h c sinh. Trong ñó có 12 n , c n thành l p m t t công tác g m 8 ngư i. Có bao nhiêu cách l p sao cho trong t có ñúng 2 n . 22) Trong không gian cho m t t p h p g m 9 ñi m trong ñó không có 4 ñi m nào ñ ng ph ng. H i có th l p ñư c bao nhiêu hình t di n v i ñ nh thu c t p h p ñã cho. 23) M t b ñ thi có 15 câu h i. M i thí sinh ph i rút ra 4 câu (4 câu rút ra là “ ñ thi ” c a thí sinh này). a) Có bao nhiêu ñ thi khác nhau? ( Hai ñ thi ñư c coi là khác nhau n u có ít nh t m t câu khác nhau. ) b) Tham gia kỳ thi có 2736 thí sinh. Ch ng t r ng có ít nh t 3 thí sinh g p cùng m t ñ thi. 24) M t t tr c g m 9 nam sinh và 3 n sinh. Giáo viên tr c mu n ch n 4 h c sinh ñ tr c thư vi n. Có bao nhiêu cách ch n n u: a) Ch n h c sinh nào cũng ñư c? b) Có ñúng m t n sinh ñư c ch n? c) Có ít nh t m t n sinh ñư c ch n? 25) M t h n ñư ng th ng song song c t m t h m ñư ng th ng song song. H i có bao nhiêu hình bình hành ñư c t o thành. 26) Cho t p X = {a, b, c, d }. Có bao nhiêu t p con c a X a) Không ch a ph n t a? b) Ch a ph n t a? 27) M t bình ñ ng 5 viên bi xanh, 3 viên bi ñ , chúng ch khác nhau v màu. L y ra hai viên. a) Có bao nhiêu k t qu khác nhau? b) Có bao nhiêu cách l y ra ñư c 2 viên bi xanh?, hai viên bi ñ ? Hai viên bi khác màu? 28) Giáo viên hư ng d n lao ñ ng mu n chia 9 h c sinh ra làm 3 nhóm g m 4, 3, và 2 h c sinh. Có bao nhiêu cách chia? 29) Cho m t ña giác l i có n ñ nh ( n ≥ 4 ). a) Tính s ñư ng chéo c a ña giác này; b) Bi t r ng ba ñư ng chéo không cùng ñi qua m t ñ nh thì không ñ ng quy, hãy tính s các giao ñi m ( không ph i là ñ nh ) c a các ñư ng chéo y. 30) M t t tr c g m 8 nam sinh và 6 n sinh. Giáo viên tr c mu n ch n m t nhóm 5 h c sinh. Có bao nhiêu cách ch n n u nhóm này ph i có ít nh t m t n sinh? 31) Giám ñ c m t công ty mu n ch n m t nhóm 5 ngư i vào h i ñ ng tư v n. Trong công ty có 12 ngư i h i ñ ñi u ki n ñ ñư c ch n, trong ñó có hai c p v ch ng. H i có bao nhiêu cách ch n n u: a) H i ñ ng này có ñúng m t c p v ch ng? b) H i ñ ng này không th g m c v l n ch ng ( n u có )? T Toán 14 Trương THPT Lương Tài
CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn 32) Tính s ñư ng chéo c a m t ña giác l i có n c nh. Tìm ña giác có s c nh b ng s ñư ng chéo. 33) (ðH-B-2002) Cho ña giác ñ u A1 A2 ... A2 n (n ≥ 2, n ∈ Z ) n i ti p ñư ng tròn (O). Bi t r ng s tam giác có các ñ nh là 3 trong 2n ñi m A1 , A2 ,..., A2 n nhi u g p 20 l n s hình ch nh t có các ñ nh là 4 trong 2n ñi m A1 , A2 ,..., A2 n , tìm n?. 34) (ðH-B-2004) Trong m t môn h c, th y giáo có 30 câu h i khác nhau g m 5 câu h i khó, 10 câu h i trung bình, 15 câu h i d . T 30 câu h i ñó có th l p ñư c bao nhiêu ñ ki m tra, m i ñ g m 5 câu h i khác nhau, sao cho trong m i ñ nh t thi t ph i có ñ 3 lo i câu h i ( khó, trung bình, d ) và s câu h i d không ít hơn 2?. 35) (ðH-B-2005) M t ñ i thanh niên tình nguy n có 15 ngư i g m 12 nam và 3 n . H i có bao nhiêu cách phân công ñ i thanh niên tình nguy n ñó v giúp ñ 3 t nh mi n núi, sao cho m i t nh có 4 nam và 1 n ?. 36) Ch ng minh r ng: Cnk + 2Cnk −1 + Cnk −2 = Cnk+ 2 ( 2 ≤ k ≤ n ) . 37) Ch ng minh r ng: Cnk + 3Cnk −1 + 3Cnk −2 + Cnk −3 = Cnk+3 ( 3 ≤ k ≤ n ) . 38) a) Ch ng minh : Cnk + Cnk +1 = Cnk++11. b) Ch ng minh r ng v i 4 ≤ k ≤ n thì: Cn + 4.Cn −1 + 6.Cn − 2 + 4.Cnk −3 + Cn − 4 = Cnk+ 4 . k k k k 39) Gi i phương trình: 3.Cx2+1 − 2. Ax2 = x. 40) Gi i phương trình: a) Ax3+1 + Cxx+11 = 14 ( x + 1) ; b) C x2+1. Ax2 − 4 x 3 = ( A2 x ) . − 1 2 41) Gi i b t phương trình: 5 Ax4+1 a) C x4−1 − C x3−1 − Ax2−2 < 0. b) − > 14.P3 . 4 Cxx−13 42) Gi i b t phương trình: C xx+−12 − C xx+−11 ≤ 2000. +1 43) Ch ng minh: Ckk + Ckk+1 + Ckk+ 2 + ... + Ckk+ m−1 = Ckk+ m . 44) Cho m ≤ k ≤ n. Ch ng minh: CmCnk + CmCnk −1 + CmCnk −2 + ... + Cm Cnk −m = Cm +n . 0 1 2 m k 45) Ch ng minh r ng: Cn0 − Cn + Cn2 − ... + ( −1) Cnk + ... + ( −1) Cnn = 0. 1 k n n −1  2n − 2  46) a) Ch ng minh: C .C .C ...C ≤  0 1 2  n .  n −1  n n n n b. Ch ng minh: C2nn + k .C2nn −k ≤ ( C2nn ) . 2 47) a) Ch ng minh: 2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + ... + n. ( n − 1) .Cnn = n. ( n − 1) .2n− 2. T Toán 15 Trương THPT Lương Tài
CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn b) Ch ng minh: ( Cn0 ) + ( Cn ) + ... + ( Cnn ) = C2nn . 1 2 2 2 6  lg x +1 12  1 48) Tìm x ñ trong khai tri n:  x + x  có s h ng th 4 b ng 200.   17  1  49) Trong khai tri n  3 2 + 4 x3  . Tìm s h ng không ch a x c a khai tri n.  x  50) (ðH-D-2004) Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n nh th c 7  1  Newton c a  3 x + 4  v i x > 0.  x 51) Khi khai tri n và rút g n các ñơn th c ñ ng d ng t bi u th c: (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + ... + (1 + x ) . Ta ñư c m t ña th c: 5 6 7 11 P( x ) = A0 + A1.x + A2 .x 2 + ... + A11.x11. Tính A7 =?. 52) Khi khai tri n và rút g n các ñơn th c ñ ng d ng t bi u th c (1 + x 2 − x 3 ) . Ta 9 ñư c m t ña th c: Px = A0 + A1 x 2 + A2 x 2 + ... . Tính A7 . 53) (ðH-A-2004) Tìm h s c a x8 trong khai tri n c a bi u th c: 1 + x 2 (1 − x )  . 8   54) Tìm h s c a x3 trong khai tri n c a bi u th c: P( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) . 2 3 4 5 7  1  55) Trong khai tri n:  3 2 + x  .Tìm s h ng ch a x 2 c a khai tri n ñó.  x    56) (ðH-A-2003) Tìm h s c a s h ng ch a x8 trong khai tri n nh th c n Newton c a:  3 + x5  , bi t r ng: Cnn+ 4 − Cnn+3 = 7(n + 3) ( n là s nguyên dương, x 1 +1   x  > 0 ). 57) (ðH-D-2003) V i n là s nguyên dương, g i a3n −3 là h s c a x3n −3 trong khai tri n thành ña th c c a ( x 2 + 1) ( x + 2 ) . Tìm n ñ a3n −3 = 26n. n n 58) (ðH-A-2006) Tìm h s c a s h ng ch a x 26 trong khai tri n nh th c n Newton c a:  4 + x 7  , bi t r ng: C2 n +1 + C22n +1 + C23n+1 + ... + C2nn+1 = 220 − 1. ( n là s 1 1   x  nguyên dương, x > 0 ). 21  a b  59) Trong khai tri n:  3  + 3  . Tìm s h ng có s mũ c a a và b như nhau.   b a  T Toán 16 Trương THPT Lương Tài
CHUYÊN ð : ð I S T H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn 60) Tìm giá tr l n nh t trong các giá tr : Cn0 , Cn , Cn2 ,..., Cnn . 1 61) Tìm h s có giá tr l n nh t c a khai tri n: ( a + b ) , bi t r ng t ng các h s n b ng 4096. Cho khai tri n: (1 + 2 x ) = a0 + a1 x + ... + an x n . Trong ñó n ∈ N * và n 62) (ðH-A-2008) a1 a các h s a0 , a1,....., an th a mãn h th c: a0 + + ... + n = 4096 . Tìm s l n nh t trong 2 2n các s : a0 , a1 ,..., an . 63) (ðH-A-2002) Cho khai tri n nh th c: −x n n n −1 n −1 n −  x2 1  0 x −1  1  −3x  x −1  n  x −1   −x   −x    2  + ... + Cn −1  2 2   2 3  + Cnn  2 3  ( n là s 2 + 2 3  = Cn  2 2  + C n  2 2               nguyên dương ). Bi t r ng trong khai tri n ñó Cn = 5Cn và s h ng th tư b ng 20n, 3 1 tìm n và x. 64) (ðH-A-2005) Tìm s nguyên dương n sao cho: C 1 2 n +1 − 2.2C 2 2 n +1 + 3.2 C2 n +1 − 4.23 C24n +1 + ... + ( 2n + 1) .2 2 n C2 n +1 = 2005. 23 2 n +1 65) (ðH-B-2003) Cho n là s nguyên dương. Tính t ng: 2 −1 1 2 −1 2 2 3 2n +1 − 1 n Cn + 0 Cn + Cn + ... + Cn . 2 3 n +1 66) (ðH-D-2002) Tìm s nguyên dương n sao cho: C + 2C + 4C + ... + 2 Cn = 243. 0 n 1 n n 2 n n An4+1 + 3 An 3 67) (ðH-D-2005) Tính giá tr c a bi u th c: M = , bi t r ng: ( n + 1)! Cn2+1 + 2Cn + 2 + 2Cn +3 + Cn + 4 = 149 2 2 2 ( n là s nguyên dương ). T Toán 17 Trương THPT Lương Tài