intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề Giải phương trình vô tỉ

Chia sẻ: Hồ Quang Vinh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:30

Thêm vào BST
Báo xấu
133
lượt xem 18
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề Giải phương trình vô tỉ được viết theo chương trình sách giáo khoa hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi học sinh giỏi. Chuyên đề giới thiệu một số phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỷ như nâng lũy thừa, đặt ẩn phụ, phương pháp đánh giá và một số phương pháp khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Giải phương trình vô tỉ

  1. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An LỜI NÓI ĐẦU Phương trình vô tỷ  là một đề  tài ly thú v ́ ị  của Đại số, đã lôi cuốn nhiều người   nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, y t ́ ưởng phong phú và tối ưu.   Tuy đã được nghiên cứu từ  rất lâu nhưng phương trình vô tỷ  mãi mãi vẫn còn là đối  tượng mà những người đam mê Toán học luôn tìm tòi học hỏi và phát triển tư duy.          Mỗi loại bài toán phương trình vô tỷ có những cách giải riêng phù hợp. Điều này  có tác dụng rèn luyện tư duy toán học  mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Bên cánh đó,  các bài toán giải phương trình vô tỷ thường có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán  ở các cấp THCS. Chuyên đề '' Giải phương trình vô tỉ'' được viết theo chương trình SGK hiện hành  nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi học sinh giỏi. Chuyên đề đã giới thiệu một số phương pháp hay dùng để giải phương trình vô tỉ: Ôn thi học sinh đại trà:  Phương pháp 1:  NÂNG LU   Ỹ THỪA                                                                         Phương pháp 2:  Đ   ƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI  Ôn thi học sinh giỏi , lớp chọn:  Phương pháp 3:  Đ   ẶT ẨN PHỤ   Phương pháp 4:  PH   ƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ     Phương pháp 5:  PH   ƯƠNG PHÁP HÀM SỐ             Phương pháp 6:  S   Ử DỤNG BIỂU  THỨC LIÊN HỢP   ­ TR   ỤC CĂN THỨC                      Trong chuyên đề mỗi một phương pháp có dành nhiều bài tập cho học sinh tự luyện. Chúng tôi hy vọng chuyên đề  này sẽ  mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ  ích và  giúp các bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp của Toán học qua các phương trình vô tỷ. Mặc dù đã cố  gắng rất nhiều, nhưng chuyên đề  không tránh khỏi những sai sót. Chúng  tôi mong  nhận được những y kiên đong gop quy bau t ́ ́ ́ ́ ́ ́ ừ các thày cô và các em học sinh để  chuyên đề ngày càng hoàn thiện hơn! Mọi đóng góp xin gửi về : khaiquyet@gmail.com Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  1 Giang
  2. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An Chúng tôi xin cảm ơn! PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỤC NGẠN TRƯỜNG THCS MỸ AN ­ LỤC NGẠN ­ BẮC GIANG  Năm: 2010 ­ 2011 CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I ­ Tác giả: Tổ toán trường THCS Mỹ An ­ Lục Ngạn ­ Bắc giang II ­ Mục Lục:                                                                                                                                      Trang Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA                                                                           3 ­ 6 Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI                                 6 ­ 7 Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ                                                                                    7 ­ 17 Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ                                                         17 ­ 21  Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ                                                             21 ­ 22   Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU  THỨC LIÊN HỢP   ­ TR   ỤC CĂN THỨC         22 ­   24 Bài tập tổng hợp:                                                                                                         24 ­ 27 III ­ Tài liệu tham khảo: Các thầy cô và các em học sinh có thể tham khảo : Nâng cao và phát triển toán 9  ­ Tập 1  ­  Vũ Hữu Bình Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  2 Giang
  3. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA I­KIẾN THỨC: f ( x) 0 1/   f ( x) = g ( x) ۳ g ( x) 0 f ( x) = g ( x) g ( x) 0 2/   f ( x) = g ( x) f ( x) = g 2 ( x ) f ( x) 0 3/   f ( x) + g ( x) = h( x) ۳ g ( x) 0 f ( x ) + g ( x) + 2 f ( x).g ( x) = h( x) f ( x) 0 4/   2 n f ( x) = 2۳� n g ( x) g ( x) 0 (n N *) f ( x) = g ( x ) g ( x) 0 5/   2 n f ( x) = g ( x) �� (n N*) f ( x) = g ( x) 2n 6/   2 n +1 f ( x) = 2 n +1 g ( x) � f ( x) = g ( x) (n �N * ) 7/   2 n +1 f ( x) = g ( x) � f ( x) = g 2 n +1 ( x) (n �N * ) … II­BÀI TẬP Bài 1: Giai ph ̉ ương trinh:  ̀ x + 1 = x − 1  (1)  �x − 1 0 �x 1 x 1 HD: (1)    � � � � � � x=3 �x + 1 = (x − 1) 2 �x − 3x = 0 2 x =3 Bài 2: Giai ph ̉ ương trinh:  ̀ x − 2x + 3 = 0 HD:Ta có:  x − 2 x + 3 = 0   � 2 x + 3 = x Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  3 Giang
  4. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An x 0 2 x + 3 = x2 x 0                                             x2 − 2 x − 3 = 0 x 0 � x = −1 � x = 3 x=3 Bài 3: Giai ph ̉ ương trinh:  ̀ x + 4 − 1− x = 1− 2x HD: Ta có:  x + 4 − 1 − x = 1 − 2 x   � x + 4 = 1 − 2 x + 1 − x 1 − 2x 0 � 1 − x �0 x + 4 = 1 − 2 x + 1 − x + 2 (1 − 2 x)(1 − x) 1 x 1 2 x 2   � 2 x + 1 �0 2 x + 1 = 2 x 2 − 3x + 1 (2 x + 1) 2 = 2 x 2 − 3x + 1 −1 1 −1 1 x � x �2 2 � �2 2 �� � x=0 x=0 �x 2 + 7 x = 0 � x = −7 Bài 4: Giai ph ̉ ương trinh: ̀ x − 2 − 3 x2 − 4 = 0 x−2 0 HD:ĐK: ۳ x 2  (1) x −4 2 0 � x − 2 − 3 ( x − 2)( x + 2) = 0 � ( x − 2. 1 − 3 x + 2 = 0 ) PT  x=2 x−2 =0 � � −17 (2) ( 1− 3 x + 2 = 0 )x= 9 Kết hợp (1) và (2) ta được:x = 2 Bài 5. Giải phương trình :  3 − x = x 3 + x HD:Đk:  0 x 3  khi đó pt đa cho t ̃ ương đương:  x 3 + 3x 2 + x − 3 = 0 3 � 1 � 10 3 10 − 1 � �x + �= �x= � 3� 3 3 3 Bài 6.  Giải phương trình sau : 2 x + 3 = 9 x 2 − x − 4 HD:Đk: x −3   phương trình tương đương :  x =1 x + 3 + 1 = 3 x ( ) 2 1 + 3 + x = 9 x 2 �� −5 − 97 x + 3 + 1 = −3 x x= 18 Bài 7. Giải phương trình sau :  2 + 3 3 9 x 2 ( x + 2 ) = 2 x + 3 3 3 x ( x + 2 ) 2 Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  4 Giang
  5. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An ( ) 3 HD:  pt � 3 x + 2 − 3 3x = 0 � x =1 Bài 8. Giai va biên luân ph ̉ ̀ ̣ ̣ ương trinh:  ̀ x2 − 4 = x − m �x m �x m HD: Ta co:  ́ x2 − 4 = x − m   �2 � �x − 4 = x − 4xm + m 2mx − (m 2 + 4) = 0 2 2 � – Nêu m = 0: ph ́ ương trinh vô nghiêm ̀ ̣ m2 + 4 m2 + 4 – Nêu m ≠ 0:  ́ x= ̀ ̣ ̉ ́ ̣ . Điêu kiên đê co nghiêm: x ≥ m     ≥ m 2m 2m + Nêu m > 0: m ́ 2  + 4 ≥ 2m2   m2 ≤ 4    0 < m 2 2 + Nêu m 
  6. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An 1 19 2 10/   5 x − 1 + 2 = 0 11/  3 − 2 x + 3 = 12/   8 − x − 5 2 = 0 2 6 3 13/   16 x + 17 = 8 x − 23 14/   3x + 1 + 2 − x = 3 15/ 20 − 3 − 2 x = 2 x − 3 Bài 2: Giải phương trình: a)   x 2 − 1 = x − 1 b)   x − 2 x + 3 = 0 c)   x 2 + x + 1 = 1 d)   3 + x + 6 − x = 3 e)   3x − 2 + x − 1 = 3 f)   3 + x − 2 − x = 1 g)   x + 9 = 5 − 2 x + 4 h)   3x + 4 − 2 x + 1 = x + 3   i)   x − 4 x − 3 = 2 Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  − x 2 + 3x − 2 = 2m + x − x 2 Bài 4: Cho phương trình:  x 2 − 1 − x = m a) Giải phương trình khi m = 1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 5: Cho phương trình:  2 x 2 + mx − 3 = x − m a) Giải phương trình khi m=3 b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm. Bài 6: Giải các phương trình sau: a/  x − 7 x − 3 − 9 = 0 d/  1 x − 1 − 9 x − 1 + 3 x − 1 = −17 x −2 6− x 2 2 g/  = x −4 7− x  b/   2 x − 1 = 1 5 3 h/  x + 5 − 5 x − 1 = 0 e/  x − 3 − 9 x − 27 + 4 x − 12 = −1 3 2  c/   3x − 7 x + 4 = 0 f)   ( x + 3) 10 − x 2 = x 2 − x − 12 i/    −5 x + 7 x + 12 = 0 PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI I­KIẾN THỨC: f ( x ) = g ( x) ( f ( x ) 0) Sử dụng hằng đẳng thức sau: f 2 ( x) = g ( x) � f ( x) = g ( x) �    f ( x ) = − g ( x ) ( f ( x) < 0) II­BÀI TẬP: Bài 1: Giải phương trình: x 2 − 4x + 4 + x = 8  (1) HD: (1)    (x − 2) 2 = 8 − x       |x – 2| = 8 – x – Nêu x 
  7. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An Vơi y = 3  ́  x + 1 = 9   x = 8 (thoả mãn)   Vây: x = 8 ̣ Bài 3:Giải phương trình: x − 2 + 2 x − 5 + x + 2 + 3 2 x − 5 = 7 2 5 HD:ĐK: x 2 PT  � 2 x − 5 + 2 2 x − 5 + 1 + 2 x − 5 + 6 2 x − 5 + 9 = 14       � 2 x − 5 + 1 + 2 x − 5 + 3 = 14       � 2 x − 5 = 5       � x = 15  (Thoả mãn)   Vậy:x = 15 Bài 4:Giải phương trình:  x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 HD:ĐK: x 1 Pt  � x − 1 + 2 x − 1 + 1 + x − 1 − 2 x − 1 + 1 = 2      � x − 1 + 1 + x − 1 − 1 = 2 Nếu  x > 2  pt  � x − 1 + 1 + x − 1 − 1 = 2   � x = 2  (Loại)  Nếu  x 2  pt  � x − 1 + 1 + 1 − x − 1 = 2 � 0 x = 0  (Luôn đúng với  ∀x ) Vậy tập nghiệm của phương trình là:  S = {Σ� x R | 1 x 2} III­Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 1/ x 2 + 2 x + 1 = 5 2/  x − 4 x + 4 = 3 3/  x 2 − 6 x + 9 = 2 x − 1 4/   x + 4 x + 4 = 5 x + 2 5/  x 2 − 2 x + 1 + x 2 + 4 x + 4 = 4 6/  x − 2 x + 1 − x − 4 x + 4 = 10 7/ x 2 − 6 x + 9 + 2 x 2 + 8 x + 8 = x 2 − 2 x + 1 8/     x 2 − 4 x + 4 + x 2 − 6 x + 9 = 1                 9/  x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2         10/  x − 3 − 2 x − 4 + x − 4 x − 4 = 1 11/  x + 6 − 2 x + 2 + x + 11 − 6 x + 2 = 1 12/  x − 2 + 2 x − 5 + x + 2 + 3 2 x − 5 = 7 2 13/  x 2 + 2 x − x 2 + 2 x + 1 − 5 = 0 14/ 2 x 4 6 2 x 5 2x 4 2 2x 5 4 15/  x 2 − 4 x + 4 + 2 x = 10 16/  x 2 − 2 x + 1 + 2 x = 8 1 1 1 2 17/           x + x + 2 + x + 4 = 2 18/           4 x x 1 6 2 5 0 x+3 20/  x 2 − 4 x + 4 = 2 − x 19/   x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 21/ ( x − 1) + 4 − 4 x − 1 + x − 1 − 6 x − 1 + 9 = 1 22/ x + 8 − 6 x − 1 = 4 PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ 1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường   Đối với nhiều  phương trình vô vô tỉ , để giải chúng  ta có thể đặt  t = f ( x ) và chú ý  điều kiện của  t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến  t quan  trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo  t thì việc đặt phụ xem như “hoàn  toàn ” .  Bài 1. Giải phương trình:  x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 = 2 Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  7 Giang
  8. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An HD:Điều kiện:  x 1 Nhận xét.  x − x 2 − 1. x + x 2 − 1 = 1 1 Đặt  t = x − x 2 − 1  thì phương trình có dạng:  t + = 2 � t = 1 t Thay vào tìm được  x = 1 Bài 2.  Giải phương trình:  2 x 2 − 6 x − 1 = 4 x + 5 4 HD:Điều kiện:  x − 5 t2 − 5 Đặt  t = 4 x + 5(t 0)  thì  x = . Thay vào ta có phương trình sau: 4 t 4 − 10t 2 + 25 6 2 2. − (t − 5) − 1 = t � t 4 − 22t 2 − 8t + 27 = 0 16 4 � (t 2 + 2t − 7)(t 2 − 2t − 11) = 0 Ta tìm được bốn nghiệm là:  t1,2 = −1 2 2; t3,4 = 1 2 3 Do  t 0  nên  chỉ nhận các gái trị  t1 = −1 + 2 2, t3 = 1 + 2 3 Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l:  x = 1 − 2 vaøx = 2 + 3 Cách khác: Ta có  thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện  2x2 − 6x − 1 0 Ta được:  x 2 ( x − 3) 2 − ( x − 1) 2 = 0 , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng. Đơn giản nhất là ta đặt :  2 y − 3 = 4 x + 5    và đưa về hệ đối xứng  (Xem phần đặt ẩn  phụ đưa về hệ) Bài  3. Giải phương trình sau:  x + 5 + x − 1 = 6 HD:Điều kiện: 1 x 6 Đặt  y = x − 1( y 0)  thì phương trình trở thành:  y 2 + y + 5 = 5 � y 4 − 10 y 2 − y + 20 = 0 1 + 21 −1 + 17 ( với  y 5) � ( y 2 + y − 4)( y 2 − y − 5) = 0 � y = (loaïi), y = 2 2 11 − 17 Từ đó ta tìm được các giá trị của  x = 2 ( )( ) 2 Bài  4. Giải phương trình sau : x = 2004 + x 1 − 1 − x HD: ĐK:  0 x 1 Đặt  y = 1 − x   thì phương trình trở thành:  2 ( 1 − y ) 2 (y 2 + y − 1002 ) = 0 � y = 1 � x = 0 1 Bài 5. Giải phương trình sau :  x 2 + 2 x x − = 3x + 1 x HD:Điều kiện:  −1 x < 0 1 1 Chia cả hai vế cho x ta nhận được: x + 2 x − = 3+ x x 1 Đặt  t = x − , ta giải được. x Bài 6. Giải phương trình :  x 2 + 3 x 4 − x 2 = 2 x + 1 Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  8 Giang
  9. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An � 1� 1 HD:  x = 0  không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được:  �x − �+ 3 x − = 2 � x� x 1 1 5 Đặt t= 3 x − ,  Ta có  :  t 3 + t − 2 = 0 t =1� x = x 2 Bài 7.Giải phương trình: 3x 2 + 21x + 18 + 2 x 2 + 7 x + 7 = 2 HD:Đặt y =  x 2 + 7 x + 7 ; y 0 −5 y= Phương trình có dạng: 3y + 2y ­ 5 = 0  2  3  � y =1 y =1 x = −1 Với y = 1  � x 2 + 7 x + 7 = 1    Là nghiệm của phương trình đã cho. x = −6 Nhận xét  : Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài   đơn giản, đôi khi phương trình đối với  t  lại quá khó giải   2.  Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :  Chúng ta đã biết cách giải phương trình:  u 2 + α uv + β v 2 = 0    (1) bằng cách  2 �u � �u � Xét  v 0  phương trình trở thành  :  � �+ α � �+ β = 0 �v � �v �         v = 0  thử trực tiếp  Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)  a. A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) .B ( x )  α u + β v = mu 2 + nv 2 Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x)  bởi các  biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được  phương trình vô tỉ theo dạng này . a) . Phương trình dạng :  a. A ( x ) + b.B ( x ) = c A ( x ) .B ( x ) Như vậy phương trình  Q ( x ) = α P ( x )  có thể giải bằng phương pháp trên nếu:  P ( x ) = A ( x ) .B ( x ) Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Xuất phát từ đẳng thức :   x + 1 = ( x + 1) ( x − x + 1) 3 2 x 4 + x 2 + 1 = ( x 4 + 2 x 2 + 1) − x 2 = ( x 2 + x + 1) ( x 2 − x + 1) ( )( x4 + 1 = x2 − 2 x + 1 x2 + 2x + 1 ) 4 x 4 + 1 = ( 2 x 2 − 2 x + 1) ( 2 x 2 + 2 x + 1) Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: 4 x 2 − 2 2 x + 4 = x 4 + 1 Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc  hai  at 2 + bt − c = 0   giải  “ nghiệm đẹp” Bài 1. Giải phương trình :  2 ( x 2 + 2 ) = 5 x3 + 1 3 HD: Đặt     u = x + 1 (u 0) ; v = x 2 − x + 1 (v )  2 Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  9 Giang
  10. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An u = 2v phương trình trở thành :  2 ( u + v ) = 5uv 2 2 5 37 1    Tìm được:  x = u= v 2 2 3 4 Bài 2. Giải phương trình : x 2 − 3 x + 1 = − x + x 2 + 1 (*) 3 HD:Dễ thấy:  x + x + 1 = ( x + 2 x + 1) − x = ( x + x + 1) ( x − x + 1) 4 2 4 2 2 2 2 Ta viết  α ( x 2 + x + 1) + β ( x 2 − x + 1) = − 3 (x 2 + x + 1) ( x 2 − x + 1) Đồng nhất vế trái với (*) ta được : −3 ( x 2 + x + 1) + 6 ( x 2 − x + 1) = − 3 (x 2 + x + 1) ( x 2 − x + 1) � 3� � 3� Đặt : u = x 2 + x + 1 �u � ;v = x − x +1 � 2 v � � 4� � 4� phương trình trở thành :­3u+6v=­ 3. uv � u = 3v    Từ đây ta sẽ tìm được x. Bài 3:  Giải phương trình sau : 2 x 2 + 5 x − 1 = 7 x3 − 1 (*) HD:Đk:  x 1 Nhận xét : Ta viết  α ( x − 1) + β ( x 2 + x + 1) = 7 ( x − 1) ( x 2 + x + 1) Đồng nhất vế trái với (*) ta được :   3 ( x − 1) + 2 ( x + x + 1) = 7 ( x − 1) ( x 2 + x + 1) v = 9u Đặt  u = x − 1 0 , v = x + x + 1 > 0 , ta được:   3u + 2v = 7 uv 2 1 v= u 4  Ta được : x = 4 6 ( x + 2) 3 Bài 4. Giải phương trình : x 3 − 3 x 2 + 2 − 6x = 0 HD:Nhận xét : Đặt  y = x + 2  ta biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với  x và y : x= y x 3 − 3x 2 + 2 y 3 − 6 x = 0 � x 3 − 3xy 2 + 2 y 3 = 0 � x = −2 y Pt có  nghiệm : x = 2, x = 2−2 3 Bài 5:Giải phương trình: 10 x3 + 1 = 3 ( x 2 + 2 ) HD:ĐK: x −1 Pt  � 10 x + 1. x 2 − x + 1 = 3( x 2 + 2) u = x +1 Đặt  (u , v 0) v = x − x +1 2 u = 3v Phương trình trở thành:10uv = 3(u2+v2)  ( 3u − v ) ( u − 3v ) = 0 v = 3u Nếu u = 3v  � x + 1 = 3 x 2 − x + 1 � 9 x 2 − 10 x + 8 = 0  (vô nghiệm) x = 5 − 33 Nếu v = 3u   � x 2 − x + 1 = 3 x + 1 � x 2 − 10 x − 8 = 0 �  là nghiệm.                        x = 5 + 33 b).Phương trình dạng :   α u + β v = mu 2 + nv 2 Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  10 Giang
  11. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình  phương hai vế thì đưa về được dạng trên.  Bài 1.  Giải phương trình :  x 2 + 3 x 2 − 1 = x 4 − x 2 + 1 u = x2 HD:Ta đặt : ( u, v 0; u v )   khi đó phương trình trở thành :  u + 3v = u 2 − v 2 v = x −1 2 hay:  2(u + v) ­ (u ­ v)= ( u + v ) ( u − v ) Bài 2.Giải phương trình sau :  x 2 + 2 x + 2 x − 1 = 3x 2 + 4 x + 1 1 HD:Đk  x .  Bình phương 2 vế ta có :  2 (x 2 + 2 x ) ( 2 x − 1) = x 2 + 1 � (x 2 + 2 x ) ( 2 x − 1) = ( x 2 + 2 x ) − ( 2 x − 1) 1− 5 u= v u = x + 2x2 2 Ta có thể đặt :    khi đó ta có hệ :  uv = u − v v = 2x −1 1+ 5 u= v 2 1+ 5 1+ 5 Do  u, v 0 .  u = v � x2 + 2x = ( 2 x − 1) 2 2 Bài 3.  Giải phương trình :  5 x − 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1 2 HD:Đk  x 5 . Chuyển vế bình phương ta được:  2 x 2 − 5 x + 2 = 5 ( x − x − 20 ) ( x + 1) 2 Nhận xét :   Không tồn tại số  α , β  để :  2 x 2 − 5 x + 2 = α ( x − x − 20 ) + β ( x + 1)  vậy ta  2 u = x 2 − x − 20 không thể đặt : . v = x +1 Nhưng may mắn ta có :  ( x − x − 20 ) ( x + 1) = ( x + 4 ) ( x − 5 ) ( x + 1) = ( x + 4 ) ( x − 4 x − 5 ) 2 2 Ta viết lại phương trình:   2 ( x 2 − 4 x − 5 ) + 3 ( x + 4 ) = 5 ( x 2 − 4 x − 5)( x + 4) . Đến đây bài  toán được giải quyết .  3.  Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn   Từ những phương trình tích  ( x +1 −1 )( ) x +1 − x + 2 = 0 , ( 2x + 3 − x )( 2x + 3 − x + 2 = 0 ) Khai  triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào,  độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát . Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể  hiện qua các ví dụ sau . ( Bài 1.  Giải phương trình : x 2 + 3 − x 2 + 2 x = 1 + 2 x 2 + 2 ) t =3 2  , ta có  :  t − ( 2 + x ) t − 3 + 3 x = 0 2 HD:Đặt  t = x 2 + 2 ; t t = x −1 Bài 2. Giải phương trình :  ( x + 1) x 2 − 2 x + 3 = x 2 + 1 HD:Đặt :  t = x 2 − 2 x + 3, t 2 Khi đó phương trình trở thnh :  ( x + 1) t = x 2 + 1 � x 2 + 1 − ( x + 1) t = 0 Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  11 Giang
  12. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có    ∆  chẵn : t=2 x 2 − 2 x + 3 − ( x + 1) t + 2 ( x − 1) = 0 � t 2 − ( x + 1) t + 2 ( x − 1) = 0 � t = x −1 Bài 3:Giải phương trình: x 2 + 3x + 1 = ( x + 3) x 2 + 1 HD:Đặt  t = x 2 + 1; t 1 Phương trình trở thành:t2 ­ (x + 3)t + 3x = 0                                     (t ­ x)(t ­ 3) = 0 t=x                                     t =3 Nếu t = x  � x 2 + 1 = x  (Vô lý) Nếu t = 3  � x 2 + 1 = 3 � x = �2 2 Vậy: x = 2 2 4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích   Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương  trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn  phụ để đưa về hệ Xuất phát từ đẳng thức  ( a + b + c ) = a 3 + b3 + c3 + 3( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) , Ta có 3 a 3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) � ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) = 0 3 Từ  nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ  có chứa căn bậc ba .  3 7 x + 1 − 3 x2 − x − 8 + 3 x2 − 8x + 1 = 2 3 3x + 1 + 3 5 − x + 3 2 x − 9 − 3 4 x − 3 = 0 Bài 1.  Giải phương trình : x = 2 − x . 3 − x + 3 − x . 5 − x + 5 − x . 2 − x HD:ĐK: x 2 u = 2− x ;u 0 2 − u 2 = uv + vw + wu ( u + v ) ( u + w) = 2 � Đặt  v = 3 − x ; v 1 2 ( u + v ) ( v + w ) = 3 , giải hệ ta  ,  ta có :  �3 − v = uv + vw + wu � � � � w = 5− x ;w 3 5 − w2 = uv + vw + wu ( v + w) ( u + w) = 5 30 239 được:  u = � x= 60 120 Bài 2.  Giải phương trình sau : 2 x 2 − 1 + x 2 − 3x − 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x 2 − x + 2 a = 2x2 − 1 b = x 2 − 3x − 2 a+b =c+d HD:Ta đặt :  ,  khi đó ta có :  � x = −2 c = 2x2 + 2x + 3 a 2 − b2 = c2 − d 2 d = x2 − x + 2 Bài  3. Giải các  phương trình sau : 4 x 2 + 5 x + 1 − 2 x 2 − x + 1 = 9 x − 3 a = 4 x2 + 5x + 1 HD:Đặt  ( a; b 0) b = x2 − x + 1 a 2 − 4b 2 = 9 x − 3 Ta được hệ phương trình: a − 2b = 9 x − 3 Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  12 Giang
  13. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An a = 2b Từ đó ta có: a2 ­ 4b2 = a ­ 2b  (a ­ 2b)(a + 2b ­ 1) = 0 a = 1 − 2b 1 Nếu a = 2b  � 4 x 2 + 5 x + 1 = 2 x 2 − x + 1 � x =  (thoả mãn) 3 Nếu a = 1 ­ 2b  � 4 x 2 + 5 x + 1 = 1 − 2 x 2 − x + 1  (*) Ta có : VT(*)  0  (1) 2 1� 3 VP(*) =  1 − 2 x − x + 1 = 1 − 2 � 2 �x − �+ 1 − 3 < 0  (2) � 2� 4 Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*) vô nghiệm 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x = 3 Bài tập áp dụng: Giải các  phương trình sau : x + 4 x ( 1 − x ) + 4 ( 1 − x ) 3 = 1 − x + 4 x 3 + 4 x 2 ( 1 − x ) 5.  Đặt ẩn phụ đưa về hệ: 5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường   Đặt  u = α ( x ) , v = β ( x )   và tìm mối quan hệ giữa  α ( x )  và  β ( x )   từ đó tìm được hệ  theo u,v  3 3 Bài 1. Giải phương trình:  x 35 − x3 x + 35 − x3 = 30 ( ) HD:Đặt  y = 3 35 − x3 � x3 + y 3 = 35 xy ( x + y ) = 30 Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau:  , giải hệ này ta tìm  x3 + y 3 = 35 được  ( x; y ) = (2;3) = (3;2) . Tức là nghiệm của phương trình là  x {2;3} 1 Bài 2. Giải phương trình:  2 − 1 − x + 4 x = 4 2 HD:Điều kiện:  0 x 2 −1 2 −1− x = u 4 Đặt   −�� 0 −u� 2 1,0 v 2 1 4 x =v 1 1 u = 4 −v u+v = 4 � � 2 Ta đưa về hệ phương trình sau:  � 2 � 2 � 2 4 �1 � � 4 u + v = 2 −1 �4 − v �+ v = 2 − 1 �2 � 2 � 1 �2 2 Giải phương trình thứ  2:  (v + 1) − �v + 4 � = 0 , từ đó tìm ra  v  rồi thay vào tìm  � 2� nghiệm của phương trình. Bài 3. Giải phương trình sau:  x + 5 + x − 1 = 6 HD:Điều kiện:  x 1 Đặt  a = x − 1, b = 5 + x − 1(a 0, b 5)  thì ta đưa về hệ phương trình sau: a2 + b = 5 � (a + b)(a − b + 1) = 0 � a − b + 1 = 0 � a = b − 1 b2 − a = 5 Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  13 Giang
  14. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An 11 − 17 Vậy  x − 1 + 1 = 5 + x − 1 � x − 1 = 5 − x � x = 2 6 − 2x 6 + 2x 8 Bài 4. Giải phương trình:  + = 5− x 5+ x 3 HD:Điều kiện:  −5 < x < 5 ( Đặt  u = 5 − x , v = 5 − y 0 < u, v < 10 . ) u 2 + v 2 = 10 (u + v) 2 = 10 + 2uv � � Khi đó ta được hệ phương trình:  � 4 4 8 � � 2� 4 �− − + 2(u + v) = (u + v) � � 1 − �= u v 3 � uv � 3 Bài 5. Giải phương trình:  4 629 x 4 77 x 8 HD:ĐK: −77 x 629 u = 4 629 − x Đặt  (u ; v 0) v = 4 77 + x u v 8, u 4 v4 706 Đặt t = uv t 2 128t 1695 0 t 15 t 113 Với t = 15   x = 4 Với t = 113   x = 548 Bài 6. Giải phương trình:  x3 + x 2 − 1 + x3 + x 2 + 2 = 3 (1) HD:Với điều kiện:  x3 + x 2 − 1 �� 0 x3 + x 2 + 2 > 0 u = x3 + x 2 − 1 Đặt   Với v > u ≥ 0 v = x3 + x 2 + 2 Phương trình (1) trở thành u + v = 3  Ta có hệ phương trình u+v =3 v2 − u 2 = 3 u+v =3 u+v =3 � u =1 �� �� �� (v + u )(v − u ) = 3 v −u =1 v=2 x3 + x 2 − 1 = 1 x3 + x 2 + 2 = 2 x3 + x 2 − 1 = 1 x3 + x 2 + 2 = 4 � x3 + x 2 − 2 = 0 � ( x − 1)( x 2 + 2 x + 2) = 0 � x = 1 (do x 2 + 2 x + 2 > 0 ∀x) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1} 2 2 Bài 7. Giải phương trình:  1 x 2 x 3 Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  14 Giang
  15. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An � 1 − x2 0 −1 �x �1 HD: Điều kiện: � ��� 0 x 1 (*) x 0 x 0 2 2 Với điều kiện (*),đặt  u x ;v x , với u ≥ 0,  v   3 3 1 x2 1 u4 2 Ta có:  2 x v2 3 Do dó ta có hệ 2 2 �u + v = 3 �u + v = � � 3 �1 − u4 = v2 �u +v =1 4 4 2 2 u+v = u+v = �� �� 3 3 ( u + v ) − 2u .v = 1 �� 2 2 2 � (�u + v ) − 2u.v � 2 2 2 2 − 2u 2 v 2 = 1 � 2 2 u+v = u+v = � 3 � 3 �� 2 � � �4 � � �2u 2 .v 2 − 16 u.v − 65 = 0 � − 2u.v �− 2u .v = 1 2 2 �9 � 9 81 2 u+v = 3 8 − 194 u.v = 18 2 u+v = 5 8 + 194 u.v = 18  u và v là nghiệm của phương trình 2 8 194 y2 y 0(a ) 3 18 2 8 194 y2 y 0(b) 3 18 (b) vô nghiệm (a) có 2 nghiệm 97 97 1 3 1 3 2 2 y1 ; y2 2 3 u1 y1 u2 y2 Do đó:  v1 y 2 v 2 y1 97 1 3 Vì u ≥ 0 nên ta chọn  2 u y2 3 Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  15 Giang
  16. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An 2 97 97 1 3 1 3 2 2 x x 3 3 2 1 97 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x 1 3 9 2 Bài 8. Giải phương trình:  4 18 5 x 4 64 5 x 4 HD:Với điều kiện 18 18 5 x 0 x 18 64 5 x (*) 64 5 x 0 64 5 5 x 5 Đặt  u 4 18 5 x , v 4 64 5 x , với u ≥ 0, v  ≥ 0 u4 18 5 x Suy ra  v4 64 5 x Phương trình đã cho tương đương với hệ: u v 4 u v 4 2 2 u v 4 82 4 u 2 v 2(uv) 2 82 v 0, v 0 v 0, v 0 Đặt A = u + v và P = u.v, ta có:  S 4 2 2 S 2P 2P 2 82 P 0, S 0 S 4 S 4 2 p 32 P 87 0 P 3 P 29 P 0 P 0 (1) Với S = 4, P = 3 u và v là nghiệm của phương trình: y =1 y2 − 4 y + 3 = 0 y=3 u 1 u 3 Do đó ta có:  v 3 v 1 � � 18 + 5 x = 1 � 4 � 18 + 5 x = 3 4 Suy ra �4 �4 � 64 − 5 x = 3 � 64 − 5 x = 1 �18 + 5 x = 1 � 18 + 5 x = 81 �� �� � 64 − 5 x = 81 �64 − 5 x = 1 17 63 x x  thoả mãn (*) 5 5 (2) Với S = 4, P = 29   không tồn tại u và v Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  16 Giang
  17. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An 17 x1 = − 5 63 x2 = 5 5.2  Giải phương trình vô tỉ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II  Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ  đối xứng loại II  ( x + 1) = y + 2 2 (1)  Ta  xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :   việc giải hệ  ( y + 1) = x + 2 2 (2) này thì  đơn giản  Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt  y = f ( x )    sao cho (2)  luôn  đúng ,  y = x + 2 − 1 , khi đó ta có phương trình :  ( x + 1) 2 = ( x + 2 − 1) + 1 � x 2 + 2 x = x + 2 Vậy để giải phương trình :  x 2 + 2 x = x + 2    ta đặt lại như trên và đưa về hệ  ( α x + β ) = ay + b 2 Bằng cách tương tự  xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :  , ta sẽ xây dựng  ( α y + β ) = ax + b 2 được phương trình  dạng sau : đặt  α y + β = ax + b , khi đó ta có phương trình :  a β ( α x + β ) = ax + b + b − 2 α α a β Tương tự cho bậc cao hơn :  ( α x + β ) = n ax + b + b − n α α Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng  :  ( α x + β ) = p n a ' x + b ' + γ    đặt  α y + β = n ax + b  để đưa về hệ , chú ý về dấu của  α  ??? n Việc chọn  α ; β   thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : ( α x + β ) = p n a ' x + b ' + γ  là chọn được. n Bài 1: Giải phương trình:  x 2 − 2 x = 2 2 x − 1 1 HD:Điều kiện:  x 2 Ta có phương trình được viết lại là:  ( x − 1) 2 − 1 = 2 2 x − 1 x 2 − 2 x = 2( y − 1) Đặt  y − 1 = 2 x − 1  thì ta đưa về hệ sau:  y 2 − 2 y = 2( x − 1) Trừ  hai vế của phương trình ta được  ( x − y )( x + y ) = 0 Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là:  x = 2 + 2 Cách 2: Đặt  2 x − 1 = t + a � 2 x − 1 = t 2 + 2at + a 2 Chọn a = ­1 ta được:t2 ­ 2t = 2x ­ 2 x 2 − 2 x = 2t − 2 kết hợp với đầu bài ta có hệ phương trình: t 2 − 2t = 2 x − 2 Giải hệ này ta sẽ tìm được x. Bài 2. Giải phương trình:  2 x 2 − 6 x − 1 = 4 x + 5 Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  17 Giang
  18. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An 5 HD:Điều kiện  x − 4 Ta biến đổi phương trình như sau:  4 x 2 − 12 x − 2 = 2 4 x + 5 � (2 x − 3) 2 = 2 4 x + 5 + 11 Đặt  2 y − 3 = 4 x + 5  ta được hệ phương trình sau: (2 x − 3) 2 = 4 y + 5 � ( x − y )( x + y − 1) = 0 (2 y − 3)2 = 4 x + 5 Với  x = y � 2 x − 3 = 4 x + 5 � x = 2 + 3 Với  x + y − 1 = 0 � y = 1 − x � −2 x − 1 = 4 x + 5  (vô nghiệm) Kết luận: Nghiệm của phương trình là  x = 2 + 3 Bài 3:Giải phương trình: x 2 − x + 5 = 5 HD:ĐK: x −5 Pt  � x 2 − 5 = x + 5 ; x � 5  (*) Đặt  x + 5 = t + a � x + 5 = t 2 + 2at + a 2 Chọn a = 0 ta được:t2 ­ 5 = x và kết hợp với (*) ta được hệ phương trình: x2 − 5 = t  từ đây ta sẽ tìm được nghiệm. t2 − 5 = x 4x + 9 Bài 4:Giải phương trình:  7x2 + 7x =  ( x > 0) . 28 4x + 9 4x + 9 2 HD:Đặt  = t + a  � = t + 2at + a 2 28 28 1 4x + 9 2 1 1 Chọn   a =  ta được:  = t + t + � 7t 2 + 7t = x + 2 28 4 2 1 7 x2 + 7 x = t + 2 Kết hợp với đầu bài ta được hệ phương trình:   1 7t + 7t = x + 2 2 Giải hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm. Bài tập áp dụng: Giải phương trình: 2 x 2 + 2 x + 1 = 4 x + 1 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I­KIẾN THỨC: 1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki: Cho hai bộ số : ( a , b), (x , y)  thì ta có:  (ax + by)2  (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) a b Dấu ‘‘=’’ xảy ra  � =   x y 2.Bất đẳng thức côsi: a+b a) Với hai số a, b   0 thì ta có: ab 2 Dấu ‘‘=’’ xảy ra  � a = b   a+b+c b) Với ba số a, b, c   0 thì ta có: 3 abc 3 Dấu ‘‘=’’ xảy ra  � a = b = c Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  18 Giang
  19. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An a+b+c+d c) Với bốn số a, b, c, d   0 thì ta có: 4 abcd 4 Dấu ‘‘=’’ xảy ra  � a = b = c = d a1 + a2 + ... + an e) Với n số a1, a2,…, an   0 thì ta có: n a1.a2 ....an n Dấu ‘‘=’’ xảy ra  � a1 = a2 = ... = an 3.GTLN,GTNN của biểu thức: a/  A = m + f2(x)   m  b/  A = M ­ g2(x)   M A m A M � MinA = m � MaxA = M Dấu ''='' xảy ra  f(x) = 0 Dấu ''='' xảy ra  g(x) = 0 4. Dùng hằng đẳng thức : Từ những đánh giá bình phương :  A2 + B 2 0 , ta xây dựng phương trình dạng  A2 + B 2 = 0 ( ) ( ) 2 2 Từ phương trình  5x − 1 − 2 x + 9 − 5x − 2 + x − 1 = 0  ta khai  triển ra có phương trình : 4 x + 12 + x − 1 = 4 x 5 x − 1 + 9 − 5 x 2 ( ) 5. Dùng bất đẳng thức  A m (1) Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức:     B m (2) nếu dấu bằng ở (1) và (2) cùng đạt được tại  x0   thì  x0   là nghiệm của phương trình  A=B 1 Ta có :  1 + x + 1 − x 2   Dấu bằng khi và chỉ khi  x = 0  và  x + 1 + 2 , dấu bằng  x +1 1 khi và chỉ khi x = 0. Vậy ta có phương trình:  1 − 2008 x + 1 + 2008 x = + 1+ x x +1 A f ( x) Đôi khi một số phương trình được tạo ra  từ ý tưởng :    khi đó :  B f ( x) A = f ( x) A=B B = f ( x)  Nếu ta đoán  trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng  có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức  để đánh giá được. II­BÀI TẬP: 2 2 Bài 1.  Giải phương trình : + x = x+9 x +1 HD:Đk:  x 0 2 2 �2 2 � �1 � x �� ( ) 2 Ta có :  � + x � �2 2 � + x +1 � + � ��= x + 9 � ��x + 1 � x +1 � � � � � x + 1 �� � 2 2 1 1 Dấu bằng  � = � x= x +1 x +1 7 Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  19 Giang
  20. Chuyên đề giải phương trình vô tỉ                                       Tổ Toán Trường THCS Mỹ  An Bài 2.  Giải phương trình : 13 x 2 − x 4 + 9 x 2 + x 4 = 16 HD:Đk:  −1 x 1 ( ) 2 Biến đổi pt ta có :  x 2 13 1 − x 2 + 9 1 + x 2 = 256 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:  ( ) 2 13. 13. 1 − x 2 + 3. 3. 3 1 + x 2 ( 13 + 27 ) ( 13 − 13x 2 + 3 + 3 x 2 ) = 40 ( 16 − 10 x 2 ) 2 �16 � Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x ( 16 − 10 x 2 2 ) � �= 64 �2 � 2 1 + x 2 x = 1 − x2 = 5 Dấu bằng  � 3 � 2 10 x 2 = 16 − 10 x 2 x=− 5 Bài 3.  Giải phương trình:  x 3` − 3x 2 − 8 x + 40 − 8 4 4 x + 4 = 0 ( x − 3) ( x + 3) �x + 13 2 HD:Ta chứng minh :  8 4 4 x + 4 x + 13    và  x 3 − 3 x 2 − 8 x + 40 �� 0 Bài 4: Giải phương trình:   7 − x + x − 5 = x 2 − 12 x + 38 HD:Ta có :VT2=( 7 − x + x − 5 )2 (1 + 1).(7­ x + x ­ 5) = 4 Nên :  0  HD: Điêu kiên  ̀ 4 Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có: x 4x − 1 x 4x − 1 + �� 2 = 2 .  4x − 1 x 4x − 1 x x 4x − 1 Theo giả thiết dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:    = 4x − 1 x � x − 4x + 1 = 0 2                                                                            � (x − 2) 2 = 3 � x = 2� 3 Tháng 1 năm 2011                                                                                       L ục Ng ạn ­ B ắc  20 Giang
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023
240 tài liệu
1111 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2