zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - Bất đẳng thức

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Báo xấu

204
lượt xem 44
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề ôn thi đại học môn toán - bất đẳng thức', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - Bất đẳng thức

Giothoimai2003 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP CÂN BẰNG HỆ SỐ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Trước hết xin nêu ra và chứng minh bất đẳng thức CauChy dạng tổng quát: a1  a2  ...  an n  a1a2 ...an , n  2,n   . Cho n số không âm: a1 , a2 ,..., an . Khi đó: n Dấu “ = “ xảy ra  a1  a2  ...  an Ta chứng minh BĐT trên bằng phương pháp quy nạp. Thật vậy: Với n = 2: Hiển nhiên BĐT đúng. Ta nhận thấy rằng nếu BĐT đúng với n số thì cũng đúng với 2n số vì: a1  a2  ...  a2 n  (a1  a2  ...  an )  (an 1  an 2  ...  a2 n )  n a1a2 ...an  n an 1an  2 ...a2 n  2n a1a2 ...a2 n n n 2n Mặt khác, nếu BĐT đúng với n số thì nó cũng đúng với ( n – 1) số. Thật vậy, ta chỉ cần chọn: a1a2 ...an 1s s s , s=a1  a2  ...  an1 . Từ đó: s  n  s  (n  1) an  a1a2 ...an 1 n 1 n n 1 n 1 n 1 Đẳng thức xảy ra khi tất cả các biến bằng nhau (đpcm). Phương pháp chứng minh trên gọi là phương pháp quy nạp CauChy. Cách chứng minh trên quá hay và quá ngắn gọn do nhà Toán học CauChy đưa ra, chính vì thế đôi khi ta lầm tưởng rằng CauChy là người đầu tiên phát hiện ra nó. Thực ra BĐT trên có tên là BĐT:AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means). Trong chương trình toán THPT ta thường sử dụng BĐT trên cho 2 số hoặc 3 số không âm. ab  ab *) Đối với 2 số không âm a và b, ta có: 2 abc 3  abc *) Đối với 3 số không âm a, b, c , ta có: 3 Xin minh họa phương pháp cân bằng hệ số qua VD dưới đây: abc a3 b3 c3  VD mở đầu: Cho a, b, c dương. CMR: M = + + (*) (b  c) (a  c) ( a  b) 2 2 2 4 Hướng dẫn bc bc a3 Áp dụng BĐT CauChy cho 3 số dương là: ; ; , ta có: (b  c) 2 8 8 bc bc 3a b  c a3 a 3 3a a3 3   + + = - (1) 3 (b  c) (b  c) 2 2 64 4 8 8 4 4 3b c  a 3c a  b b3 c3 - - Hoàn toàn tương tự: (2) và (3) (a  c) ( a  b) 2 2 4 4 4 4 abc a3 b3 c3  Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế, ta có : + + (đpcm) (b  c) (a  c) ( a  b) 2 2 2 4 Dấu “ = “ xảy ra  a  b  c . Bình luận: Cách làm trên rất hay, ngắn gọn. Tuy nhiên có gì đó có vẻ…ăn may??? Cơ sở nào để áp 1
Giothoimai2003 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI bc bc 3 a dụng BĐT CayChy cho 3 số dương ; ; ? Số thứ nhất đã có, còn 2 số sau lấy ở đâu (b  c) 2 8 8 ra? Cách làm trên là hoàn toàn có cơ sở. Chúng ta để ý rằng, vai trò của a, b, c trong bài toán là như nhau nên dự đoán rằng đẳng thức xảy ra khi mà a = b = c ( Kiểm tra thấy đúng). Nhìn vào vế phải thì chỉ xuất hiện a + b + c, không có a + b, b + c hay c + a vì thế ta cần nghĩ cách để khử chúng. a b  c 2a a3 a3 a  Khi a = b = c thì = . Ta cần đi tìm số x sao cho: == . (b  c) (b  c) 2 2 x x 4 4 Từ đó tìm được x = 8. abc a2 b2 c2    Bài 1: Cho a, b, c dương. CMR: bc ca ab 2 Hướng dẫn  a2 bc bc a2 a  b  c 4   a    a    . Dấu “ = “ xảy ra  a  b  c .  Ta có: bc 4 2   a b c 111   Bài 2: Cho a, b, c dương. CMR: b2 c2 a2 a b c Hướng dẫn a 1 a 1 1 1 1  b    2   2 2    . Dấu “ = “ xảy ra  a  b  c . Ta có: 2 a b b b a a  a3 b 3 c 3   abc Bài 3: Cho a, b, c dương. CMR : bc ca ab Hướng dẫn  a3  a3 Ta có:    b  c   3 a   3 a   (b  c)   a . Dấu “ = “ xảy ra  a  b  c .  bc bc  abc a3 b3 c3    Bài 4: Cho a, b, c dương. CMR : . b(a  c) c(a  b) a(b  c) 2 Hướng dẫn  a3 ac b  ac b a3 a a a Ta có:      3   3      .   b(a  c) b(a  c) 4 2 2 2 4 2 2 Dấu “ = “ xảy ra  a  b  c . a3 b3 c3 3   . Bài 5: Cho a, b, c dương: a + b + c = 3. CMR (a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) 4 Hướng dẫn Ta thấy VP ko còn chưa biến, VT có bậc 1. Vậy phải chăng VP cũng phải bậc 1? Liệu VP có thể thay bằng ( a + b + c )/4 ? 2
Giothoimai2003 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Ta có: ab ac ab ac a3 a3 a a ( )  3    3   (    ) (a  b)(a  c) (a  b)(a  c) 8 8 4 4 8 8 a3 1   (4 a  b  c)    8 44 Dấu “ = “ xảy ra  a  b  c  1 . Các bài tập trên chủ yếu các BĐT cần CM ở dạng phân thức nên việc cân bằng hệ số để “ giản ước” ko mấy khó khăn. Tuy nhiên, nếu bài toán yêu cầu tìm GTLN, GTNN của một biểu thức ko có dạng phân thức như trên thf làm thế nào? Ta hãy xét một số bài toán sau đây: Bài 6: Cho x, y, z > 0 : xy + yz + xz = 1. Tìm GTNN của biểu thức: M = x2 + y2 + z2 Hướng dẫn Bài toán trên là một bài rấtđơn giản và có nhiều cách làm. Chẳng hạn có thể nêu một số cách n.sau: *) Cách 1: 1  ( xy  yz  zx )2  ( x 2  y 2  z 2 )( x 2  y 2  z2 )  ( x 2  y 2  z2 )2  x 2  y 2  z2  1 1 Từ đó: minM = 1  x  y  z  . 3 *) Cách 2: Ta nhận thấy ngay BĐT cơ bản: x2 + y2 + z2  xy + yz + xz = 1 *) Cách 3: Nhận thấy vai trò của các biến trong điều kiện và trong biểu thưc M là như nhau nên biểu thức M đạt GTNN thì x = y = z. Do đó ta sẽ phân tích như sau: 12 1 1 M = x 2 + y2 + z 2 = ( x  y 2 )  ( y 2  z 2 )  ( z 2  x 2 )  xy  yz  zx  1 . 2 2 2 Ta thấy rằng 2 cách đều tiên sẽ gặp khó khăn nếu như hệ số của x2 , y2 , z2 trong biểu thức M khác nhau ( cả 3 khác nhau từng đôi một hoặc chỉ có 2 hệ số giống nhau). Khi đó cách số 3 sẽ giải quyết tốt các khả năng còn lại. Hãy xét một bài tập mà chỉ có 2 hệ số giống nhau. Bài 7: Cho x, y, z > 0 : xy + yz + xz = 1. CMR : 15x2 +15y2 + z2  5 Hướng dẫn ¸p dông B§T Cauchy ta cã :  25 2 1 2 x  z  5 xz   1 2 2   x  y  11   52 52 x  y  5 xy   15y2+15y2 + z2  5(xy+yz+xz) =5  ®pcm. DÊu “=”   5 2 2   z   25 2 1 2  11 y  z  5 yz   2 2 3
Giothoimai2003 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Lời giải trên rất hay, ngắn gọn. Tuy nhiên khi đọc lời giải ta thấy có gì đó không mấy tự nhiên! Tại sao lại nghĩ được tách như trên để áp dụng BĐT Cauchy??? Ta thấy rằng, với x, y, z trong điều kiện thì vai trò của chúng là như nhau, còn trong BĐT cần CM thì vai trò của x và y là như nhau, tức là nếu dấu “ = “ xảy ra thì giá trị của x, y là như nhau và khác giá trị của z. Tuy nhiên, nhẩm giá trịn của x, y, z để dấu bằng xảy ra ở bài này lại ko hề đơn giản chút nào. Vậy làm sao lại tách được như trên ??? Ta chú ý rằng BĐT trên còn có thể viết lại như sau: 15 x 2  15 y 2  z2  5( xy  yz  zx ) . Vì thế ta cần áp dụng BĐT sao cho có thể sử dụng được giả thiết. Có x2 , y2, z2 để tạo ra xy, yz, Zx chắc ko khó đúng ko? Vì vai trò của x và y là như nhau nên ta sẽ tiến hành như sau: ax 2  ay 2  2 axy   (15  a) x  cz  2 (15  a)cxz  15 x 2  15 y 2  z 2  2 axy  2 (15  a)cxz  2 (15  a)(1  c) yz (*) 2 2  (15  a) y  (1  c)z  2 (15  a)(1  c) yz 2 2  Giờ ta so sánh (*) và 15 x 2  15 y 2  z2  5( xy  yz  zx ) thì dẽ dàng suy ra a = 5/2, c = 1/2 . Đến đây thì mọi việc đã được sáng tỏ. BẦI TẬP VẬN DỤNG a3 b3 c3 3   . Bài 8: Cho a, b, c dương: abc = 1. CMR (1  b)(1  c) (1  c)(1  a) (1  a)(1  b) 4 a3 b3 c3   1. Bài 9: Cho a, b, c dương: a + b + c = 3. CMR: b(2c  a) c(2 a  b) a(2 b  c) a3 b3 c3 1   . Bài 10 : Cho a, b, c dương: a2  b2  c 2  1 . CMR: b  2c c  2 a a  2 b 3 a3 b3 c3 1   . Bài 11 : Cho a, b, c dương: a2  b2  c 2  1 . CMR: ab bc ca 2 Bài 12 :Cho x, y, z dương thoả mãn: xy+yz+zx = 5. TÌm GTNN của biểu thức M = 28x2 + 28y2 +z2 Bài 13: Cho x, y , z > 0: xy + yz + zx = 1. Tìm GTNN của biểu thức: M  2 x 2  5 y 2  z2 Bài 14: Cho các số dương x,y,z sao cho x + y + z= 1. Tìm các giá trị nhỏ nhất: a) A  x 2  y 2  z2 b) B  x 2  y 2  3z2 c) C  x 2  2 y 2  3z2 Bài 15: Cho x,y,z là các số dương : xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất: a. A  10 x 2  10 y 2  z2 b) B  x 2  2 y 2  3z2 4
Giothoimai2003 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI CHUYÊN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC SVACXƠ VÀ ỨNG DỤNG Bất đẳng thức Svacxơ là hệ quả trực tiếp của BĐT Bunhiacopxki và được phát biểu như sau: Cho hai dãy số thực a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn ( bi  0, i  1, 2,..n ) thì ta có: aa a 2 (a  a  ...  an ) 2 a12 a2 2 (*) .Đẳng thức xảy ra khi i  j , i  j   ...  n  1 2 b1  b2  ...  bn bi b j b1 b2 bn Vì là hệ quả trực tiếp của BĐT Bunhiacopxki nên ta sẽ phát biểu và chứng minh BĐT Bunhiacopxki. Phát biểu: Cho hai dãy số thực a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn ta có: (a1b1  a2b2  ...  anbn ) 2  (a12  a2  ...  an )(b12  b2  ...  bn ) 2 2 2 2 Dấu “ = “ xảy ra  ai  kbi , i  1, 2,...n n n n n Chứng minh: Đặt f ( x)   (ai x  bi )2 , A   ai2 , C   bi2 , B   ai bi  f ( x)  Ax 2  2 Bx  C i 1 i 1 i 1 i 1 +) Trường hợp 1: Nếu A = 0 hoặc C = 0: BĐT hiển nhiên đúng +) Trường hợp 2: A, C  0 . Do f ( x )  Ax 2  2 Bx  C  0x   '  0  B 2  AC (®pcm) Dấu “ = “ xảy ra  ai  kbi , i  1, 2,...n ( Tức là f(x) = 0 ) Ta sẽ chứng minh BĐT (*) bằng BĐT Bunhiacôpxki: an a1 a2 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số vµ b1 , b2 ,... bn , , ,..., b1 b2 bn ai a j  , i  j ta được BĐT (*) .Đẳng thức xảy ra khi bi b j Sau đây là một số bài tập minh hoạ cho sự tiện lợi của BĐT Svacxơ trong việc chứng minh BĐT 1 1 1 Bài số 1:Chứng minh rằng với các số dương a,b,c ta đều có : (   )(a  b  c)  9 (1) a b c Hướng dẫn 111 9 (1)   ( luôn đúng theo BĐT(*)). Dấu “ = “ xảy ra  a  b  c a b c abc Bài số 2: Chứng minh rằng với các số dương a,b,c thoả mãn a2  b2  c 2  1 , ta có: 1 1 1 9 2 2  (2) a  bc b  ca c  ab 2 2 Hướng dẫn 9 . Do a2  b2  c 2  ab  bc  ca  a2  b2  c 2  ab  bc  ca  2(a2  b2  c 2 ) VT  a  bc  b  ca  c 2  ab 2 2 9 9 1  VT   (do a2  b 2  c 2  1) . Dấu “ = “ xảy ra  a  b  c  2(a  b  c ) 2 2 2 2 3 3(ab  bc  ca) a2 b2 c2    Bài số 3:Chứng minh rằng với các số dương a,b,c thì (3) . bc ca ab 2(a  b  c) Hướng dẫn 5
Giothoimai2003 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI (a  b  c) 2 2 2 2 a b c VT     . Ta có (a  b  c)2  (a2  b2  c 2 )  2(ab  bc  ca)  3(ab  bc  ca) b  c c  a a  b 2(a  b  c)  đpcm . Dấu “ = “ xảy ra  a  b  c a2 b2 c2 3    (4) Bài số 4 : Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc = 1. CMR : 1 b 1 c 1 a 2 Hướng dẫn ( a  b  c) 2 2 2 2 a b c VT     . 1  b 1  c 1  a 3  (a  b  c) Ta có: 3 abc ( a  b  c )2 a  b  c 3 1  abc     a  b  c  3  3  a  b  c  2(a  b  c)  VT    (®pcm) 2(a  b  c) 3 2 2   Dấu “ = “ xảy ra  a  b  c  1 a3 b3 c3 1   Bài số 5: Cho a , b , c > 0 . CMR: A     a2  b2  c 2 (5) a  2 b b  2c c  2 a 3 Hướng dẫn ( a 2  b 2  c 2 )2 a3 b3 c3 a4 b4 c4 A   2 2 2  a  2b b  2c c  2a a  2 ab b  2bc c  2ca ( a  b  c)2 ( a 2  b 2  c 2 )2 1 2 a2  b2  c2 1      (a  b)2  0 (lu«n ®óng)  a b c  2 2 Ta cần CM: (a  b  c) (a  b  c) 2 2 3 3 Dấu “ = “ xảy ra  a  b  c abc a4 b4 c4 Bài số 6: Cho a , b , c > 0 . CMR A  2 2  (6) b (c  a ) c ( a  b ) a ( b  c ) 2 2 Hướng dẫn a2 b2 c 2 2 (a  b  c) 4 4 4 c4 a b () a  (a  b  c)  a  b  c ( ®pcm) a4 b4 c4 2 2 2 2 b c a b c A 2 2 2 b (c  a ) c ( a  b ) a ( b  c ) c  a b  a c  b 2(a  b  c) 2(a  b  c) 2 Dấu “ = “ xảy ra  a  b  c BÀI TẬP VẬN DỤNG ab  bc  ca a6 b6 c6 Bài số 7: Cho a , b , c > 0. CMR: A  3 3  (7) b (c  a ) c ( a  b ) a ( b  c ) 3 2 1 1 1 3 Bài số 8: ( IMO - 1995 ) Cho a , b , c > 0: abc = 1. CMR: A  3 3  (8) a ( b  c ) b (c  a ) c  a  b  2 3 a4 b4 c4 Bài số 9: CMR: Với a, b, c dương, ta có: A  2  2  2  a  b  c (9) bc ca ab 6
Giothoimai2003 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI a 2 b2 c 2 9 Bài số 10: CMR: Với a, b, c dương, ta có: A  3  3  3  (10) abc b c a Các bài tập trên ta đã áp dụng BĐT theo chiều “  ” còn khi “  ” thì sao? 11 4  Chẳng hạn với hai số dương x, y ta đều có: (*). Tuy nhiên trong một số bài toán, chẳng x y xy hạn: Tìm GTLN của một biểu thức thì ta lại ko thể dùng BĐT ở dạng (*) mà sử dụng BĐT ở dạng sau 1 11 1  (  ). đây: xy 4 x y 1 11 1 1 ( ) Tương tự, đối với 3 số dương x, y , z ta cũng có: xyz 9 x y z 111 1 1 1    4 . CMR:    1 (11) Bài số 11: Cho x, y, z > 0 sao cho: 2 x  y  z x  2 y  z x  y  2z xyz Hướng dẫn Ta có: 1  1  1  1 1  1  1 1  1 1 1 1 1 4 VT        4   4  x  y   4  x  z    16  x  1  2x  y  z ( x  y )  ( x  z) 4  x  y x  z      abc ab bc ca    Bài số 12: Cho a, b, c > 0. CMR: (12) a  b  2c b  c  2 a c  a  2 b 4 7
Giothoimai2003 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI CHUYÊN ĐỀ 3: SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC e x > 1  x víi x  0 Bài 1: Chøng minh r»ng Gi¶i XÐt hµm sè f  x  = e - 1 - x liªn tôc vµ kh¶ vi víi mäi x  0 x = e x - 1 , f 0  0 f , x nÕu x  0 th× f ,  x   e x  1  0  f  x  ®ång biÕn f  x  > f 0    e x - 1 - x > 0  e x > 1 x (1) NÕu x  0 th× f  x   e  1  0  f  x  nghÞch biÕn , x f  x  > f 0    e x -1- x > 0  e x > 1  x (2) Tõ (1),(2)  e > 1  x víi x  0 ®pcm. x Bài 2 : ( §H KiÕn Tróc Hµ Néi ) x2 ex  1 x  ®óng víi mäi x  0 Chøng minh r»ng bÊt ®¼ng 2 Gi¶i 2 x   x  1  e x < 0 x  0 Yªu cÇu bµi to¸n 2 x2 XÐt f  x    x  1  e x .Ta cã f ,  x  = x  1  e x , f ,,  x   1  e x  0 x  0 2 Do ®ã f ,  x  nghÞch biÕn trong x  0;   f ,  x  < f , 0 =0 víi x  0;   f  x  nghÞch biÕn trong x  0;  f  x  < f 0  0 x  0  x2 x2   x  1  e x 0 víi x  0  f  x  ®ång biÕn  f  x  > f 0  =0 víi x  0  x3 x3 sin x  x  0  x < sin x víi x  0 (2) 6 6 8
Giothoimai2003 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI 3 x Tõ (1),(2)  x < sin x  x víi x  0 ®pcm. 6  2 sin x  2 tan x  2 x 1 víi 0  x  Bài 4: Chøng minh r»ng 2 Gi¶i sin x  tan x sin x  tan x 1 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si: 2 sin x  2 tan x  2. 2 sin x .2 tan x = 2.2 2 2 2 sin x  tan x 1 2 2 2 sin x tan x 2 sin x  tan x sin x  tan x 1  2 x 1 Yªu cÇu bµi to¸n  ViÖc chøng minh  1  x 1 2 2 2   víi 0  x  sin x  tan x  2 x 2  xÐt hµm sè f  x  = sin x  tan x  2 x víi 0  x  f 0  0 , 2 1 1 1 f ,  x  = cos x  . 2  0   cos i  2  cos 2 x  2 2. cos 2 x. 2 cos 2 x cos 2 x cos x  (v× cos x  cos 2 x víi 0  x  ) 2  f ,  x   0  f  x  ®ång biÕn  f  x   f 0  víi 0  x   2 f  x  = sin x  tan x  2 x  0   2 sin x  2 tan x  2 x 1 víi 0  x   sin x  tan x  2 x hay ®pcm. 2 Bài 5: (§H D-îc )  3 x 1 , chøng minh r»ng 2 2. sin x  2 tan x  2 2 Víi 0  x  2 Gi¶i  1 3x XÐt hµm sè f  x   sin x  tan x  víi o  x  2 2 2 1 3 cos x cos x 1 3 Ta cã f , x   cos x       cos i 2 2 2. cos x 2 2 2 2. cos x 2   cos x cos x 1 3 x  0;   f  x  ®ång biÕn trong kho¶ng .   0  f , x  0 3.3 2 2 2 cos x 2  2     1 3x 0; 2   f  x   f 0   sin x  2 tan x  2  0 x  0; 2        1 3. x  sin x  tan x  x  0;  . §¼ng thøc x¶y ra  x  0 2 2  2 1 3x sin x  tan x Mµ 2 2. sin x  2 tan x  2. 2 2 sin x 2 tan x  2.2  2.2 2 2 3x    1 x 0 2 2 2 x  0;  §¼ng thøc chØ x¶y ra  2 sin x tan x 2 2. sin x  tan x  2 3   x 1  x  0 .Do ®ã 2 2. sin x  2 tan x  2 2 víi x  0;  ®pcm.  2 9
Giothoimai2003 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI BÀI TẬP VẬN DỤNG 3 1 Cho 0    Chøng minh r»ng 2.  3 Bài 6 , 2 4 víi 0  a  3 b  a  1 th× Bài 7: Chøng minh r»ng     a  1 a  1  2.b3 a. a 3  2.b 3  b . 2.a  1  b 2.a  b 3 3  Cho 0  a  b  Bài 8 2 Chøng minh r»ng a. sin a  b. sin b > 2.cos b  cos a  Chøng minh r»ng 4. tan 5 0. tan 9 0  3. tan 6 0. tan 10 0 Bài 9: x 2 . y y 2 .z z 2 . x   Cho x  y  z>0 chøng minh  x2  y2  z2 Bài 10: z x y x2  ln 1  x   x víi mäi x  0 x Bài 11: Chøng minh 2 x2 x Chøng minh r»ng x    x víi x  0 Bài 12: x 1 2  4 Chøng minh r»ng : sin x 2  x 2  1  víi 0  x  Bài 13:  2 2 Cho a,b,c>0 vµ a 2  b 2  c 2  1 chøng minh r»ng Bài 14: a b c 3. 3 2 2  b c c a a b 2 2 2 2 2 10
Giothoimai2003 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI CHUYÊN ĐỀ 4: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Xin mở đầu bằng 2 bài toán sau đây:  a, b  0 1 1 , tìm GTNN của P  2  Bài toán 1. Cho  a  b 2 2ab a  b  1 Hướng dẫn 1 1 4 4  4.  2  Ta có: 2 2 2 (a  b)2 2ab a  2ab  b a b 1  a  2 a  b 1   MinP  4 khi b  a  Dấu “=” xảy ra    2  a  b  1 b  1  2   a, b  0 1 1 , tìm GTNN của P   Bài toán 2. Cho  2 2 a  b  1 2ab 1 a  b Hướng dẫn 1 1 4 4 4  2 Lời giải 1. Ta có: P   2  2 2 2 2 2ab a  2ab  b  1 (a  b)  1 2 1 a  b 1  a 2  b2  2ab (a  b)2  1  0   (voâ nghieä m) . Vậy không tồn tại MinP ??? Dấu “=” xảy ra    a  b  1 a  b  1   1 1 1 4 1 4 1 Lời giải 2. Ta có: P    2    1  a 2  b2 6ab 3ab a  6ab  b2  1 3ab (a  b)2  1  4ab 3ab 2 4 1 8 1 ab   . Vậy P    Mặt khác ab   2 2 2 4 3 ab ab 2 6   2 2 1  a 2  b2  3ab 1  Dấu “=” xảy ra  a  b ab . 2 a  b  1  Bình luận: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức 11 4 1 1 1    . Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách ? Làm sao nhận biết 2ab 6ab 3ab a b ab được điều đó? Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị Các bất đẳng thức trong các đề thi thông thường là đối xứng với các biến, và ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên. 11
Giothoimai2003 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI I. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy  a, b  0 1 1  4ab . , tìm GTNN của biểu thức P  2  Bài 1: Cho  a  b2 ab a b 1  Sai lầm thường gặp: *) Sai lầm 1: 1 1 1 4 1 4 1   4ab  2  4ab   4ab  . Ta có : P      2 2 2 2 2ab 2ab a  b  2ab 2ab (a  b)  2ab a b  1 1 .4 ab  2 2 . Vậy P  4  2 2 nên MinP  2(2  2)  4ab  2 Mặt khác 2ab 2ab *) Sai lầm 2: 1 1 1 1 4 1 1 1 1   4ab  2 4ab.  42  6 P 2     2 2 4ab  4ab (a  b) 2ab 4ab 4ab 4ab a b ab  a 2  b2  2ab  1 1 1  Dấu bằng xảy ra  a 2b2   a  b  . Thay a  b  vào ta được P  7 16 2 2  a  b  1  1  MinP  7 khi a  b  . 2 Nguyên nhân sai lầm: 1 1 1   Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách là do thói quen để làm ab 2ab 2ab a  b 1  xuất hiện a 2  b2  2ab  (a  b)2 . MinP  4  2 2    4ab  VN . Dấu “=” bất đẳng thức 2ab  a  b  1  không xảy ra  không kết luận được MinP  4  2 2 1 Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi a  b  nên đã tách các 2 1 số hạng và MinP  7 khi a  b  là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai ví dụ như 2 (1  x)2  x  x , dấu bằng xảy ra khi x  1  Min ( x  1)2  x   1?? .   1 Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với a, b , ta dự đoán MinP đạt tại a  b  , ta có: 2 1 1 1 1 4 1 1   4ab   2 4ab. 7 P     a 2  b 2 2ab  4ab  4ab (a  b)2 2 2ab ab  4  2 12
Giothoimai2003 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI 2 2 a  b  2ab  1 1  Dấu bằng xảy ra  a 2b2  ab . 16 2  a  b  1   a, b  0 1 1 1 , tìm GTNN của biểu thức S  3 3  2  2 . Bài 2: Cho  a  b  1 a b a b ab Sai lầm thường gặp: 1 1 1 2 2 9 2 1 1 Ta có: S  3 3  2   2 3 3   2  2 3a b 3ab2 3a b 3ab2 a  b  3a 2b  3ab2 3  a b ab  a b 9 2 1 1 1 2 4 59 59  .     9 .   . MinS  3 2 3 (a  b) 3 ab  a b  ab ab 3 3.   2  a3  b3  3a 2 b  59 Nguyên nhân sai lầm: MinS   a  b  v« nghiÖm 3 a  b  1  Lời giải đúng 1 , và ta thấy a 3  b3  3a 2b  3ab2  (a  b)3 vì thế ta muốn Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi a  b  2 1 1 1 xuất hiện (a  b)3 ; ta áp dụng bất đẳng thức cho 3 số 3 3  2  và nếu vậy: 2a b 2ab2 a b 1 1 1 9  2  , ta không đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp dụng bất a3  b3 2a b 2ab2 (a  b)3  ab(a  b) đẳng thức cho 5 số: 1 1 1 1 1 25 25  20 S 3 3 2   2   2a b 2ab2 2a b 2ab 2 (a  b)3  ab(a  b) (a  b)3 a b (a  b)3  4 1 Dấu bằng xảy ra khi a  b  . 2 II. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức BCS. Bài 3. Cho x, y, z là ba số dương và x  y  z  1 , chứng minh rằng: 1 1 1 x2   y 2  2  z 2  2  82 2 x y z Nhận xét: chúng ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy như ở phần 1 2  2 1 2 2 1 1 1 1 1    2  x  2  1 1   x    x   x  2  x  Sai lầm : 2 x x x  x  x 13
Giothoimai2003 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI 1  1 1 1  2 1 1 1 ( x  y  z )        (x  y  z)     3 2 Tương tự ta có: P  2 2  x y z  x y z Vậy P  3 2....? x 1 y 1 z 1 ,, Nguyên nhân sai lầm: P  3 2   1 x 1 y 1 z (vn) x  y  z  1  1 Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi x  y  z  ; và biểu thức trong căn gợi cho 3 2 1      tam sử dụng BCS:  x 2  2   2   2    x   với  ,  là những số thỏa mãn: y  x  1 1 1 xx  x2   , chọn   1,   9  9   x 2 1 9 1 1 9     Ta có  x 2  2  12  92   x    x 2  2   x   , tương tự ta có: 82  x x  x  x 1  1 1 1  111 9 x  y  z )  9      , do x  y  z  1;    9 nên ta tách: P 82   x y z  xyz 1  1 1 1  80  1 1 1  2  1 1 1  80 9 (x  y  z)            ( x  y  z)       82 9 x y z 9  x y z 3  x y z 9 x yz 1 Vậy P  82 , dấu “=” xảy ra khi x  y  z  . 3  x, y, z.0 1 1 1  , tìm GTLN của P    Bài 4. Cho  1 1 1 x  y  z 1 2x  y  z x  2 y  z x  y  2z  2 1 1 (  z )2 , ta chọn  sao cho x  y  z  3 và  Hướng dẫn : Ta có: 2x y z 2x  y  z 11   1  2  2x y z 2 (2  2)2 2 11    2x y z 2x  y  z    2  2 1 1 1 (2  2)2 1 1 1 1 Vậy ta có:    P x  y  z    2 2y z x  2y  z  2 2 x 2 2  1 1 (2  2)2 1   2z x  y  2z x y  1 Dấu bằng xảy ra khi x  y  z  3  MaxP  khi x  y  z  3 2 2 14
Giothoimai2003 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI BÀI TẬP VẬN DỤNG  x, y , z  0 1 1 1  . Tìm GTLN của P    Bài 5 : Cho  1 1 1 . x  y  z  4 2x  y  z x  2 y  z x  y  2z   a, b, c  0 . Chứng minh rằng: 3 a  2b  3 b  2c  3 c  2a  3 3 3 . Bài 6: Cho  a  b  c  3 x2 y2 z2  x, y , z  0 3    Bài 7: Cho  , chứng minh rằng:  xyz  1 1 y 1 z 1 x 2 Bài 8. Cho x, y, z là 3 số thỏa x  y  z  0 , chứng minh rằng: 3  4 x  3  4 y  3  4 z  6 (đề tham khảo 2005)  a, b, c  0 1 1 1 3 3 3  Bài 9. Cho  ,chứng minh rằng 3  abc  1 a (b  c) b (c  a) c (a  b) 2 a3 b3 c3  a, b, c  0 , tìm GTNN của P    Bài 10. Cho   abc  1 (1  b)(1  c) (1  c)(1  a) (1  a)(1  b) Lào Cai, ngày 21 tháng 10 năm 2010 Trần Hoài Vũ 15

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023

240 tài liệu

1111 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.