CƠ SỞ LÝ THUYẾT CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Chia sẻ: Lo Canh Sanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

341
lượt xem 69
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong phần này của tài liệu bạn đọc làm quen hoặc nhớ lại những điểm chính của quá trình ngẫu nhiên. Các công thức trình bày tại chương này sẽ được dùng tại phần bàn về sóng biển, gió trên biển, chòng chành tàu, momen uốn, lực cắt tàu, công trình nổi trên sóng

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Trong phần này của tài liệu bạn đọc làm quen hoặc nhớ lại những điểm chính của quá trình ngẫu nhiên. Các công thức trình bày tại chương này sẽ được dùng tại phần bàn về sóng biển, gió trên biển, chòng chành tàu, momen uốn, lực cắt tàu, công trình nổi trên sóng. 1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Đại lượng ngẫu nhiên, ví dụ độ dâng mặt sóng biển, xuất hiện trong tự nhiên, tại một vị trí nhất định, có thể mang giá trị lớn hay nhỏ, trên mặt trung bình (dương) hay dưới mực trung bình (âm) và có thể nói không sai, khó xác định trước. Tập họp các đại lượng ngẫu nhiên theo diễn tiến thời gian đưa đến hình ảnh của một biểu đồ diễn tiến sự kiện, ví dụ diễn tiến của độ dâng sóng tại vị trí đo. Với sóng biển, độ dâng mặt sóng tại mỗi vị trí được xét như quá trình ngẫu nhiên, có thể diễn đạt bằng hàm ζ = f(t), và hàm này trong thực tế là hàm liên tục. Từ băng ghi liên tục đo trong thời gian τ = t – t0, nếu chúng ta chỉ ghi nhận những kết quả đo sau mỗi khoảng thời gian vô cùng ngắn, ví dụ Δt = ( t – t0)/ N, với N số khoảng thời gian được chọn trước, sẽ thu được kết quả không phải dạng hàm liên tục như vừa tả, mà ở dạng hàm rời rạc theo khoảnh khắc thời gian ζi = ζ(iΔt). Bảng 1.1 Δt 2Δt 3Δt iΔt … t 0 … ζ0 ζ1 ζ2 ζ3 ζi ζ … … Từ kết quả quan sát và đo đạc có thể thu nhận hàng ngàn, nhiều ngàn giá trị ζi, i=1,2,…. Dữ liệu vừa thu nhận, ngoài cách sắp xếp theo thời gian t vừa đề cập, còn có thể tập họp dưới dạng hàm phân bố theo tần suất xuất hiện của đại lượng ngẫu nhiên. Một trong các cách làm là sắp xếp các dữ liệu theo tần suất xuất hiện độ lớn. Giả sử độ dâng mặt sóng đo được từ thực tế mang giá trị nhỏ nhất ζ = –ζA đến giá trị lớn nhất ζ = +ζB. Nếu chia đều đoạn từ –ζA đến +ζB ra một số phân đoạn, ví dụ m phân đoạn, trong mỗi phân đoạn có thể xác định tổng số lần xuất hiện của ζ. Bảng 1.2 -ζA
Tỷ lệ giữa mi/N, ký hiệu bằng pi được gọi là tần suất. Biểu đồ tần suất sắp xếp trên suốt chiều dài của miền đang xét gọi là biểu đồ chuỗi thống kê. Cách lập biểu đồ tiến hành theo bảng 1.3. Ví dụ 1: Kết quả đo độ lắc của vật thể nằm trên sóng, sau 500 lần ghi nhận, được tập họp lại dưới dạng bảng dưới đây. Trong bảng, dòng đầu trình bày các khoảng biên độ, tính theo đơn vị 10°, dòng thứ hai số lần mà góc lắc đạt giá trị ghi trong phân đoạn, dòng cuối là tần suất pi = mi/500. Bảng 1.4 Δϕi -4;-3 -3;-2 -2;-1 -1;0 0;1 1;2 2;3 3;4 mi 6 25 72 133 120 88 46 10 pi 0,012 0,050 0,144 0,266 0,240 0,176 0,092 0,020 Từ chuỗi thống kê trên đây có thể tiến hành lập hàm phân bố dạng hàm rời rạc, sắp xếp theo hình bậc thang, như tại hình 1.1 a, hình phía trên. F(x1) = 0 F(x2) = p1 Hình 1.1 F(x3) = p1 + p2 ………. n −1 ∑p F(xn) = i i =1 n ∑p =1 F(xn+1) = i i =1 Hàm phân bố tích lũy tính từ ví dụ trên đây có dạng như hình 1.1 phía dưới: F(-4) = 0; F(-3) = 0,012; F(-2) =0,012 + 0,050 =0,062; F(-1) = 0,206; F(0) = 0,472; … F(3) = 0,980; F(4) = 1,000 2
2 MẬT ĐỘ CỦA ĐAI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Từ ví dụ trên có thể tổng quát hóa cách tính các giá trị đặc trưng liên quan xác suất xuất hiện giá trị ngẫu nhiên như sau. Nếu tiến hành xác định tần suất cho đại lượng ngẫu nhiên trong trường hợp khoảng cách phân đoạn tiến đến gía trị vô cùng nhỏ chúng ta nhận được mật độ xác suất. Định nghĩa mật độ xác suất được hiểu theo giới hạn của quan hệ xác suất: Pr ob( x ≤ ζ ≤ x + Δx) p(x) = lim (1.1) Δx Δx → 0 trong đó Prob( x ≤ ζ ≤ x + Δx) – xác suất đại lượng ngẫu nhiên ζ nằm trong phạm vi Δx vô cùng nhỏ của x. Hàm mật độ có những tính chất sau: Hàm p(x) từ thực tế có thể thấy, không mang giá trị âm, p(x) ≥ 0. n ∑p = 1 có thể mở rộng khái niệm sang hàm liên tục, trong phạm vị - ∞ < ζ < Từ biểu thức F(xn+1) = i i =1 +∞ hàm p(x) thỏa mãn điều kiện: +∞ ∫ p( x)dx = 1 −∞ Quan hệ giữa hàm Prob(.) và p(.) thường gặp khi tính xác suất xuất hiện đại lượng ngẫu nhiên trong phạm vi nhất định, ví dụ trong miền hạn chế [a, b): b −ε b −0 ∫ p( x)dx = lim ∫ε p( x)dx Prob( a ≤ ζ < b ) = (1.2) ε →0 a −0 a− Hàm phân bố quan hệ với mật độ như sau. F(x) = Prob( ζ < x) (1.3) Hàm phân bố luôn có khả năng thể hiện qua mật độ. x ∫ p(u)du F(x) = Prob( - ∞ < ζ < x) = (1.4) −∞ Tiến hành lấy đạo hàm theo x từ hàm cuối cùng có thể thấy ngay rằng: P(x) = dF(x)/dx Trong không gian 2D công thức cuối được viết dạng đầy đủ: xy ∫ ∫ p(ξ ,η )dξdη F(x,y) = (1.5) − ∞− ∞ Và p(x, y) = ∂ 2 F ( x, y ) / ∂x∂y (1.6) Tính chất hàm phân bố Hàm F(x) là hàm không giảm theo x, F(-∞ ) = lim F ( x) = 0; (1.7) x → −∞ F(+∞ ) = lim F ( x) = 1; (1.8) x →∞ F(x) = F( x – 0) (1.9) Ví dụ: Đại lượng ngẫu nhiên ζ tuân thủ luật phân bố với mật độ sau: f(x) = a.cosx trong miền -π / 2 π /2; x 3
f(x) = 0 ở miền ngoài. Cần xác định giá trị hằng số a, lập hàm phân bố và xác định xác suất 0 ≤ ζ ≤ π/4. +∞ ∫ p( x)dx = 1 , theo đó: Để xác định hằng số a cần thiết sử dụng tính chất −∞ π /2 ∫ a cos xdx = 2a = 1 −π / 2 Từ đó a = ½. x ∫ P(u )du sẽ mang dạng: Hàm phân bố tính theo F(x) = Prob( - ∞ < ζ < x) = −∞ F(x) = 0 tại x < -π/2 F(x) = ½(sinx + 1) tại -π/2 ≤ x ≤ π/2 F(x) = 1 tại x > π/2 Xác suất xuất hiện đại lượng ngẫu nhiên trong đoạn từ 0 đến π/4 tính theo công thức: Prob( 0 < ζ < π/4) = ½(sin π/4 + 1) – ½(sin 0 + 1) = √2 /4 Biết hàm phân bố, từ các quan hệ vừa nêu có thể xác định xác suất xuất hiện đại lượng ngẫu nhiên trong miền [a,b): Prob( a ≤ ζ < b ) = F(b) - F(a) (1.10) Thay giá trị b trong công thức cuối b = a + ε, ε > 0 và ε → 0, công thức này trở thành: Prob( ζ = a ) = F( a + 0) – F( a) (1.11) 3 GIÁ TRỊ ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Trước tiên chúng ta xét quá trình ngẫu nhiên bố trí dưới dạng hàm rời rạc. Với ví dụ độ dâng mặt sóng, từ dữ liệu đo đạc chúng ta có thể xác lập mật độ phân bố của sóng dưới dạng hàm: ζ1 ζ2 ζ3 ζ4 ζ5 p1 p2 p3 p4 p5 Từ bảng tổng hợp này có thể xác định giá trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên, hay trong bộ môn toán xác suất người ta gọi nó là kỳ vọng toán. n ∑x p x p + x 2 p 2 + ... + x n p n i i = mx = 1 1 i =1 (1.12) p1 + p 2 + ... + p n n ∑p i i =1 Vì rằng ∑pi = 1 như đã giải thích trong phần bàn về các tính chất hàm mật độ, giá trị trung bình m được viết gọn: n m x = ∑ xi pi (1.13) i =1 Với quá trình liên tục công thức cuối có dạng: +∞ ∫ xp( x)dx mx = (1.14) −∞ Kỳ vọng toán ký hiệu E(X) trong toán chính là giá trị trung bình đang đề cập: 4
E(X) = mx Momen bậc 2. Đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên là momen bậc 2 của X hay là kỳ vọng E(X2), hiểu trong +∞ n ∑ xi2 pi , hoặc ∫x 2 phần này của tài liệu là đại lượng mang giá trị p ( x)dx khi xử lý đại lượng ngẫu i =1 −∞ nhiên dạng hàm liên tục. Phương sai của X, ký hiệu σ2, tính theo biểu thức: n σ 2 = ∑ ( xi −m x ) 2 pi (1.17) i =1 với trường hợp hàm liên tục: +∞ σ = ∫ ( x − m x ) 2 p( x)dx 2 (1.18) −∞ Ý nghĩa cơ học của đại lượng này gần giống như momen quán tính của khối lượng phân bố so với trọng tâm, với nghĩa trọng tâm ở đây do kỳ vọng toán m thủ vai. σ 2 = E ( X 2 ) − mx 2 Thứ nguyên của phương sai là bình phương của thứ nguyên đại lượng ngẫu nhiên. Trong khi dùng thỉnh thoảng người ta sử dụng đến đại lượng xuất xứ từ phương sai song mang thứ nguyên của đại lượng ngẫu nhiên. Đại lượng này bằng khai căn bậc hai của phương sai và mang tên gọi không chính thức, “độ lệch bình phương trung bình hay độ lệch chuẩn”, tính theo công thức: σx = σ2 (1.19) Hệ số phương sai, ký hiệu VX, hiểu là đại lượng không thứ nguyên sau: σx VX = mx Ví dụ 2: Đại lượng ngẫu nhiên ζ tuân thủ luật phân bổ với mật độ biểu diễn bằng công thức p(x) = C.exp( -|x| ). Hãy tính hệ số C. +∞ +∞ ∫ p( x)dx = 1 , xác định được 2C ∫ e dx = 1 , và C = ½. −x Từ công thức −∞ −∞ +∞ +∞ ∫ xp( x)dx = ∫ (1 / 2) xe dx = 0 −| x| Từ đó m x = −∞ −∞ +∞ +∞ σ 2 = ∫ ( x − m x ) 2 P ( x)dx = 2 ∫ (1 / 2) x 2 e − x P( x)dx = 2 và −∞ −∞ Độ lệch trung bình: σ x = 2 4 ĐẶC TÍNH CÁC HÀM MẬT ĐỘ THƯỜNG GẶP Mật độ phân bố đều trong đoạn từ a đến b. Giả sử giá trị của mật độ c, có dạng sau: f(x) = c trong miền a < x < b (1.20) f(x) =0 với x < a; x > b (1.21) 5
Diện tích hình chữ nhật ( b-a) c tính như sau: c( b – a ) = 1, theo định nghĩa, c = 1/ (b – a) Từ đó có thể viết: 1 f ( x) = trong miền a < x < b (1.22) b−a f(x) = 0 khi x < a hoặc x > b (1.23) Hàm phân bố xác suất F(.) có dạng: Hình 1.2 Phân bố đều khi.x < a ⎧0; ⎪ x−a F ( x) = ⎨ a< x b ⎩1; Các đại lượng đặc trưng: b a+b x ∫ b − a dx = mx = (1.25) 2 a 2 b a+b⎞ (b − a) 2 ⎛ 1 b − a ∫⎝ σ= ⎜x− ⎟ dx = 2 (1.26) 2⎠ 12 a Luật phân bố tự nhiên Luật phân bố tự nhiên còn có tên gọi luật phân bố Gauss, có mật độ: ⎡ ( x − m) 2 ⎤ 1 f ( x) = exp ⎢− (1.27) ⎥ 2σ 2 ⎦ σ 2π ⎣ Hình 1.3 Phân bố tự nhiên Hàm f(x) đối xứng qua trục đứng đi qua m. Điểm cực đại của f(x) nằm tại trục đối xứng với 1 . Hai đại lượng m và σ trong công thức cũng chính là kỳ vọng toán và khai căn chiều cao σ 2π phương sai của chính nó, được giải thích sau đây. +∞ +∞ ⎡ ( x − m) 2 ⎤ 1 ∫ xf ( x)dx = σ 2π −∫ E( X ) = x exp ⎢− (1.28) ⎥ dx 2σ 2 ⎦ ⎣ −∞ ∞ x−m Thay biến = t có thể viết: σ2 +∞ σ 2 +∞ +∞ 1 m ∫∞(σ 2t + m) exp(−t )dt = π −∫∞ t exp(−t )dt + π ∫ E( X ) = exp(−t 2 )dt (1.29) 2 2 π− −∞ 6
Có thể nhận ngay rằng, biểu thức thứ nhất thuộc vế phải của phương trình bằng 0, còn biểu thức thứ hai chính là tích phân Euler-Poisson, theo đó tích phân vô hạn này bằng căn bậc hai của π. Kết quả chỉ lưu lại m sau khi tính. Momen thứ k của phân bố tự nhiên được định nghĩa như sau. +∞ ∫ ( x − m) mk = k f ( x)dx (1.30) −∞ Momen bậc 2 như đã giới thiệu, tính theo công thức: +∞ +∞ ⎡ ( x − m) 2 ⎤ 1 ∫ ( x − m) f ( x)dx = σ 2π −∫ m2 = ( x − m) 2 exp ⎢− 2 (1.31) ⎥ dx 2σ 2 ⎦ ⎣ −∞ ∞ x−m Sau khi thay biến = t có thể viết biểu thức tính momen bậc 2 hay là phương sai: σ2 +∞ (σ 2 ) 2 ∫ m2 = t 2 exp(−t 2 )dt (1.32) π −∞ Sau tích phân biểu thức cuối có thể thấy: ⎫ ⎧ +∞ +∞ σ2 σ2 ⎪ ⎪ ∫ t 2t exp(−t )dt = + ∫ exp(−t 2 )dt =⎬ −t 2 +∞ m2 = ⎨− te 2 (1.33) −∞ π π ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ −∞ −∞ Biểu thức đầu vế phải tiến đến 0, còn biểu thức thứ hai bằng √π như đã trình bày, do vậy: m2 = σ2 ζ Hàm F (x) theo cách diễn đạt F (ζ ) = Pr ob[ζ (t ) ≤ ζ ] = ∫ f (ξ )dξ được viết lại như sau: −∞ ζ ⎡ ( x − m) 2 ⎤ x 1 F ( x) = ∫ f (ξ )dξ = σ 2π −∫ exp ⎢− (1.34) ⎥dx 2σ 2 ⎦ ⎣ −∞ ∞ x−m Sau khi thay biến = t có thể viết: σ ( x−m) / σ 1 ∫ exp(−t F ( x) = 2 / 2)dt (1.35) π −∞ Tích phân này chứa trong lòng nó tích phân dạng có exp( -t2) hoặc exp(-t2/2). Các tích phân vừa nêu gọi là tích phân xác suất hoặc còn gọi hàm sai số, dễ dàng lập thành bảng trợ giúp tính toán hoặc tích phân số. Có thể chọn hàm sai số sau làm hàm phụ trợ: ⎛ t2 ⎞ x 1 ∫ exp⎜ − ⎟dt F ( x) = (1.36) 2π −∞ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ Đặc tính của hàm được chọn là, bản thân nó cũng chính là hàm F(x) với tham số m = 0 và σ = 1. Hàm F(x) giờ có thể thay bằng hàm mới, theo quan hệ: ⎛ x−m⎞ F ( x) = F ⎜ ⎟ (1.37) ⎝σ⎠ Những đặc tính chính của hàm F ( x ) : 7
F (−∞) = 0; F (+∞) = 1 Với trường hợp m = 0; σ = 1: F (− x) = 1 − F ( x) Xác suất xuất hiện đại lượng ngẫu nhiên phục tùng luật phân bố tự nhiên Ứng dụng phổ biến của luật phân bố tự nhiên là xác định xác suất xuất hiện giá trị ngẫu nhiên trong giới hạn cho trước. Giả sử luật phân bố tự nhiên với các tham số m, σ2 đã xác định, xác suất xuất hiện đại lượng ngẫu nhiên ζ trong phạm vi giới hạn từ a đến b tính theo công thức: Hình 1.4 ⎛b−m⎞ ⎛a−m⎞ Prob( a < ζ < b ) = F(b) - F(a) = F ⎜ ⎟ − F⎜ ⎟ (1.38) ⎝σ⎠ ⎝σ⎠ ⎡ ( x − m) 2 ⎤ 1 exp ⎢− Ví dụ 3: Xác lập phân bố tự nhiên dạng f(x) = ⎥ từ kết quả đo trong ví dụ nêu 2σ 2 ⎦ σ 2π ⎣ trên. Các tham số m và σ2 trong công thức tính theo (1.28 ) và (1.33 ). m = -3,5.0,012 – 2,5.0,05 –1,5.0,144 – 0,5. 0,266 +0,5. 0,24 + + 1,5.0,176 +2,5. 0,092 + 3,5. 0,02 = 0,168 8 σ 2 = ∑ ( x i − m) 2 p i =2,098 i =1 Hàm phân bố giờ đây có dạng: ⎡ ( x − 0,168) 2 ⎤ 1 f ( x) = exp ⎢− ⎥ 1,448 2π 2.2,098 ⎦ ⎣ Một số giá trị đặc trưng được trình bày tại bảng 1.5. Bảng 1. 5 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 p(x) 0,004 0,025 0,090 0,199 0,274 0,234 0,124 0,041 0,008 Đồ thị hàm phân bố f(x) biểu diễn tại hình 1.4. 8
Phân bố Rayleight ⎡ x2 ⎤ x f ( x) = exp ⎢− (1.39) ⎥ m0 ⎣ 2m0 ⎦ Xác suất đại lượng ngẫu nhiên ζ vượt quá giá trị x tính bằng công thức: ∞ ∞ ⎡ x2 ⎤ ∫ Prob( ζ > x ) = f ( x)dx = − exp[− x / 2m0 ] = exp ⎢− 2 (1.40) ⎥ ⎣ 2m0 ⎦ x x Trong phần nghiên cứu sóng biển như quá trình ngẫu nhiên chúng ta thường gặp khái niệm chiều cao của 1/n sóng cao nhất. Trong chương bàn về sóng biển sẽ đề cập chi tiết sóng này. Tại đây chúng ta tìm hiểu cách xác định bằng toán. Giả sử chiều cao sóng chọn bằng giá trị trung bình từ n sóng cao nhất ký hiệu ζ1/n, công thức xác định sóng này xuất phát từ luật phân bố Rayleight có dạng: ∞ ∞ ⎡ ξ2 ⎤ ξ 1 Prob( ζ > x ) = ∫ f (ξ )dξ = = ∫ ⎥ dξ exp ⎢− (1.41) n ς 1 / n m0 ⎣ 2m0 ⎦ ς1 / n Hình 1.5 Chiều cao sóng phục tùng phân bố Rayleigh Từ đó có thể viết ζ1/n 2 = 2m0 logen. Giá trị trung bình của 1/n sóng cao nhất sẽ là: ∞ ∞ ⎡ ξ2 ⎤ ξ2 ~ ς 1 / n = n ∫ ξf (ξ )dξ =n ∫ ⎥ dξ = exp ⎢− ⎣ 2 m0 ⎦ m0 ς1 / n ς1 / n (1.42) { } ⎡1 ⎤ = n 2m0 ⎢ log e n + π 0,5 − erf (2 log e n)1 / 2 ⎥ ⎣n ⎦ trong đó hàm sai số được xác định theo công thức: ⎡ ξ2⎤ t 1 ∫ ⎣ 2⎦ exp ⎢− ⎥ dξ erf (t ) = (1.43) 2π 0 5 PHÂN TÍCH PHỔ Hàm mang tính chu kỳ, giả sử chu kỳ T, miêu tả hiện tượng thiên nhiên có thể viết dưới dạng chuỗi Fourier: ∞ a w(t) = 0 + ∑ (ai cos ω i t + bi sin ω i t ) (1.44) 2 i =1 2π 2π trong đó ω i = i = iω 1 với ω1 = (1.45) T T Nhân hai vế của biểu thức tính w với cosωkt, tiến hành tích phân trong phạm vi từ –T/2 đến +T/2, sau đó nhân cả hai vế với sinωkt và tiếp tục tích phân trong giới hạn đã định, đồng thời để ý đến tính trực giao họ hàm sinus: 9
⎧T T /2 T /2 ⎪ k =i ∫ sin ωi t sin ωt k dt = ∫/ 2 cos ω i t cos ω k tdt = ⎨ 2 ; (1.46) ⎪0 k ≠i ⎩ −T / 2 −T T /2 ∫ cos ω t sin ω tdt = 0 (1.47) i k −T / 2 có thể nhận được biểu thức: T /2 2 T −T∫/ 2 w(t ) cos ω i tdt ; ai = (1.48) T /2 2 T −T∫/ 2 w(t ) sin ω i tdt ; bi = biểu thức a0 tính bằng: T /2 1 T −T∫/ 2 a0 = (1.49) w(t )dt ; Công thức miêu tả hàm w(t) giờ đây có dạng: 2nπt 2nπt ⎞ ∞ ⎛ a w(t ) = 0 + ∑ ⎜ a n cos + bn sin ⎟ (1.50) 2 n =1 ⎝ T T⎠ Hình 1.5 Ví dụ: phân tích chuỗi Fourier cho hàm f(t) = |t| trong chu kỳ T = 2τ. Hàm f(t) trong ví dụ là hàm chẵn, các hệ số được xác định theo cách sau: 2τ A0 = ∫ tdt = τ ; Bn = 0; τ 0 ⎧ 0; n − chan nπt 2τ ⎪ 2 τ π ∫ ∫ t cos ntdt = ⎨ 4τ An = dt = t cos − ; n − le τ τ π2 0 0 ⎪ π 2n2 ⎩ Từ đó: 2πt 6πt 2(2 p + 1)πt ⎤ ⎡ cos cos ⎢ cos T ⎥ T 2T T + ... + T p = 0,1,2,... t= − 2⎢ + + ...⎥; 4π⎢ 1 (2 p + 1) 2 32 ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ Phân tích Fourier trên đây áp dụng cho hàm ngẫu nhiên không mang tính chu kỳ sẽ xét trong trường hợp T → ∞. Trường hợp nghiên cứu sóng, gió trên biển, lắc tàu, momen uốn tàu vv…, chúng ta 10
thường gặp trường hợp T vô cùng lớn, và theo cách vừa trình bày phân tích chuỗi Fourier có thể áp dụng vào đây. Có thể nhận thấy rằng khi T tăng, ω giảm, các giá trị Ai, Bi sít vào nhau cho đến khi T→ ∞ chúng tạo thành hàm liên tục. Trong những trường hợp vậy có thể thay chuỗi Fourier như chúng ta vẫn quen dùng thành tích phân Fourier. Ví dụ: trong phạm vi từ –T đến T hàm w(t) được miêu tả dưới dạng:w(t) = 0 với -T ≤ t ≤ 0 = t với 0 ≤ t ≤ T/2 = T/2 khi T/2 ≤t ≤ T Dưới dạng chuỗi Fourier hàm trên đây trở thành hàm các chuỗi sau. T T /2 T 0 1 1 1 1 3 ∫T w(t )dt = T −∫T w(t )dt + T ∫ ∫/ 2w(t )dt = 8 T w(t )dt + A0 = T− TT 0 nπt nπt nπt T T /2 0 1 1 1 ∫T w(t ) cos 2 dt = T −∫T w(t ) cos 2 dt + T ∫ An = dt + w(t ) cos 2 T− 0 nπt nπt nπt T T T 1 1 1T ∫/ 2 w(t ) cos 2 dt = T ∫ t cos 2 dt + T T∫/ 2 2 cos 2 dt TT 0 Sau tích phân hệ số An sẽ là: nπ ⎛ ⎞ T An = − 1⎟ ⎜ cos nπ ⎝2 2 2 ⎠ nπt nπt nπ T /2 T /2 1 1 1 1 ∫ ∫ sin dt + dt = 2 2 sin − (−1) n Bn = t sin 2 2 nπ mπ T 2 T 2 0 0 Thay các hệ số vào công thức (1.50 ) sẽ nhận được hàm w(t) khai triển. πt 2 + π πt ⎞ ⎛ 1 2πt 1 2πt ⎞ ⎡3 ⎛ 1 w(t ) = T ⎢ + ⎜ − 2 cos + sin ⎟ + ⎜ − + ⎟+ cos sin 4π ⎣16 ⎝ π 2π T ⎠ ⎝ 2π 2 2 T T T⎠ 3πt − 2 + 3π 3πt ⎞ ⎤ ⎛1 + ⎜ − 2 cos + ⎟ + L⎥ sin ⎝ 9π 18π 2 T T⎠ ⎦ Khi kéo dài chu kỳ T → ∞ tỷ lệ ω1 = 2π/T trở nên vô cùng nhỏ, có thể thay thế bằng dω = 2π , trong khi đó i.ω1 từ trạng thái rời rạc cũng biến chất trở thành đại lượng liên tục ω. Và như vậy lim T T →∞ công thức cuối trở thành: ∞ ∫ (a cos ωt + b sin ωt )dω w(t) = (1.51) 0 trong điều kiện: +∞ ∫ w(t ) dt < ∞ (1.52) −∞ trong đó: 11
∞ 1 ∫ w(t ) cos ωtdt; a= π −∞ (1.53) ∞ 1 ∫ w(t ) sin ωtdt; b= π −∞ Có thể để ý rằng a là hàm lẻ còn b – không lẻ của ω, và công thức cho w(t) trở thành: ∞ 1 2 −∫ (a cos ωt + b sin ωt )dω w(t) = (1.54) ∞ Công thức (1.54) có tên gọi tích phân Fourier. Đây là hàm không chu kỳ chứa vô cùng nhiều hàm thành viên mang tính chu kỳ. Nếu bây giờ chúng ta xét hàm trên đây ở dạng hàm rời rạc của ω trong trường tần suất, tích phân Fourier được coi như tổng của vô vàn chuỗi không liên tục của tần suất. Thường gặp trong công việc phân tích hàm ngẫu nhiên, hàm w(t) và các đại lượng liên quan được viết dưới dạng số phức. Từ định nghĩa các hàm phức thường gặp, rất quen với người đọc: ezi = cos z + i. sin z e-iz = cos z – i.sin z e zi + e − zi e zi − e − zi và cos z = ; sin z = ; 2 2 e nzi + e − nzi e nzi − e − nzi cos nz = ; sin nz = ; 2 2 có thể tiến hành viết lại các công thức vừa nêu dưới dạng số phức. e inωt + e − inωt e inωt − e −inωt Ancosnωt + Bn sin nωt = An + Bn (1.55) 2 2 Nếu dùng hệ số Cn thay cho cụm An, Bn theo công thức: A − iBn A + iBn Cn = n ; C −n = n (1.56) 2 2 Công thức xác định hàm f(t) trong trường hợp tổng quát, chu kỳ 2π, trở thành: A0 ∞ ⎛ e int + e − int ⎞ e int + e − int + ∑ ⎜ An ⎟= f ( x) = − iBn 2 n =1 ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ (1.57) A0 ∞ ⎛ An − iBn int An + iBn −int ⎞ ( ) ∞ + ∑⎜ e ⎟ = C 0 + ∑ C n e int + C − n e −int e+ 2 n =1 ⎝ 2 2 ⎠ n =1 Dưới dạng chung, gọn hơn, công thức cuối có thể viết thành: ∞ ∑C e f (t ) = int (1.58) n n = −∞ Dưới dạng tích phân các hằng số Cn và C-n sẽ là: 1π 1π ∫−π f (t )e dt; C −n = 2π ∫−π f (t )e dt − int Cn = int (1.59) 2π Nếu thay f(t) bằng hàm w(t) chu kỳ T, chuỗi của w(t) có dạng: 12
⎛ 2inπt ⎞ ∞ ∑C w(t ) = exp⎜ ⎟ (1.60) n ⎝T⎠ n = −∞ còn hệ số Cn tính theo công thức: ⎡ 2inπt ⎤ 1 T ∫ Cn = w(t ) exp ⎢− dt (1.61) T⎥ 2T ⎣ ⎦ −T Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu biểu thức exp[ 2inπt/T ] có tên gọi harmonic còn bản thân αn = 2nπ/T gọi là số sóng (wave number). Nếu tiến hành thay thế các biểu thức tính An, Bn vào công thức xác định w(τ), theo đó: 2nπ 2nπ ⎞ ∞ ⎛ A w(τ ) = 0 + ∑ ⎜ An cos τ + Bn sin τ⎟ (1.62) 2 n =1 ⎝ T T⎠ 2nπt 2nπt T /2 T /2 2 2 ∫/ 2 w(t ) cos T dt; Bn = T −T∫/ 2 w(t ) sin T dt An = (1.63) T −T sẽ nhận được: 2∞⎛ 2nπ (t − τ ) ⎞ T /2 T /2 1 w(τ )dτ + ∑ ⎜ T −T∫/ 2 ⎜ ∫ w(t ) cos dt ⎟ w(τ ) = (1.64) ⎟ T n =1 ⎝ −T / 2 T ⎠ Nếu sử dụng ký hiệu: ωn = 2nπ/ T và Δωn = 2π/ T, công thức cuối có thể viết: 2∞⎛ ⎞ T /2 T /2 1 w(τ )dτ + ∑ ⎜ T −T∫/ 2 ⎜ ∫ w(t ) cos ω n (t − τ )dt ⎟Δω n w(τ ) = (1.65) ⎟ π n =1 ⎝ −T / 2 ⎠ Khi T → ∞ phương trình cuối trở thành: 1⎛ ⎞ ∞∞ w(τ ) = ∫ ⎜ ∫ w(t ) cos ω (t − τ )dt ⎟dω (1.66) ⎜ ⎟ π 0 ⎝ −∞ ⎠ Phương trình cuối nếu viết dưới dạng số phức sẽ có dạng: ⎛∞ ⎞ ∞ 1 ∫ ⎜ −∫∞w(t ) exp[−iω (t − τ )]dt ⎟dω w(τ ) = (1.67) ⎜ ⎟ 2π0⎝ ⎠ Hàm phức trên đây được gọi là tích phân Fourier trong dạng số phức. Tiếp tục khai triển có thể viết tích phân Fourier theo cách thường dùng sau. ⎛1 ⎞ ∞ ∞ w(τ ) = ∫ ⎜ ∫ w(t ) exp[−iωt ]dt ⎟ exp(iωτ )dω (1.68) ⎜ 2π ⎟ 0⎝ ⎠ −∞ Từ đó: ⎫ ∞ w(τ ) = ∫ S (ω ) exp(iωτ )dω ; ⎪ ⎪ ∞ (1.69) ⎬ ∞ 1 ∫ w(τ ) exp(−iωτ )dτ ⎪ S (ω ) = ⎪ 2π ∞ ⎭ Cặp tích phân trên đây còn được viết dưới nhiều dạng khác nhau, một trong các cách viết đó là: 13
⎫ ∞ 1 ∫ S (ω ) = w(t ) exp(−iωt )dt ;⎪ * 2π ∞ ⎪ (1.70) ⎬ ∞ 1 ∫ S (ω ) exp(iωt )dω ; ⎪ w(t ) = * ⎪ 2π ∞ ⎭ Giá trị trung bình của w(t) tính theo cách đã trình bày trên: +T / 2 1 ∫ w(t )dt m= (1.71) T −T / 2 Phương sai: +T / 2 1 ∫ [w(t )] σ2 = 2 (1.72) dt T −T / 2 Với các hàm rời rạc công thức tính m và σ được viết thành: m = ½A0 = C0. (1.73) 1∞ ∞ ∑ ( An2 + Bn2 ) = n∑ | C n |2 σ2 = ¼A0 + (1.74) 2 n =1 =∞ trong đó |Cn|2 =|C-n|2 = ¼(An2 + Bn2), n =0,1,2,… (1.75) Với các quá trình có tính chu kỳ, giả sử chu kỳ T, giá trị trung bình của w(t).w(t+ τ ), với τ bất kỳ được gọi là hàm tự liên quan, phụ thuộc vào τ = t’ – t, trong đó t‘ thời điểm bất kỳ, bằng t hoặc khác t. Hàm R(τ) được định nghĩa: T /2 1 T −T∫/ 2 R (τ ) = w(t ) w(t + τ )dt ; (1.76) hoặc mở rộng cho trường hợp các quá trình không liên tục: T /2 n =∞ 1 w(t ) ∑ C n exp(inω 1 [t + τ ])dt ; T −T∫/ 2 R (τ ) = (1.77) n = −∞ Từ đó: T /2 n =∞ 1 R (τ ) = ∑ C n exp(inω 1 [t + τ ]) T −T∫/ 2 w(t ) exp(inω 1 [t + τ ])dt ; (1.78) n = −∞ Hàm R(τ) cung cấp thông tin về giá trị tín hiệu tại thời điểm t + τ, khi đã rõ giá trị hàm tại t. Có thể để ý rằng với τ = 0 giá trị hàm R(0) = σ2. Khi τ tăng hàm R(.) giảm. Hình 1.6 14
Ví dụ: Tính hàm tự liên quan của w(t) = asinωt, với T biến thiên từ 0 đến ∞. T T 1 1 R (τ ) = lim ∫ w(t ) w(t + τ )dt = lim ∫ a sin ωt.a sin[ω (t + τ )]dt = T →∞ T T →∞ T 0 0 T { } 12 a ∫ sin ωt[sin ωt cos ωt ] + cos ωt. sin 2 ωt dt = lim T →∞ T 0 ⎛ 1 sin 2ωT ⎞⎤ ⎛ 1 cos 2ωT ⎞ ⎡ ⎟ + cos ωt ⎜1 − = lim a 2 ⎢sin ωt ⎜ ⎟⎥ ⎝ T 2ωt ⎠⎦ ⎝ 2T 2ωt ⎠ ⎣ T →∞ Kết quả cuối là: a2 R (τ ) = cos ωτ 2 Trong lý thuyết phép chuyển Fourier thông thường hai công thức cuối được viết dưới dạng hàm ω vào vị trí hiện tại của ω cặp công thức trên đây sẽ là: số phức. Nếu thay f = 2π ∞ 2 ∫ w(t ) exp(− j 2πft )dt S( f ) = (1.79) π −∞ ∞ ∫ S ( f ) exp( j 2πft )df w(t ) = (1.80) −∞ Khi xử lý dữ liệu đo đạc hoặc tín hiệu ghi nhận từ những quá trình thực tế trong tự nhiên, hàm w(t) theo thông lệ được thể hiện dưới dạng hàm rời rạc: ∞ ∑ x(t )δ (t − nT ) ws (t ) = (1.81) n = −∞ hoặc viết dưới dạng: ∞ ∑ x(nΔT )δ (t − nΔT ) ws (t ) = (1.82) n = −∞ trong đó ΔT – khoảng cách rất nhỏ giữa hai thời điểm Thay công thức cuối vào công thức tính phổ có thể viết: ∞ ∞ ∞ 2 2 ∫ [ ∑ w(t )δ (t − nΔT )] exp(− j 2πft )dt ∫ ws (t ) exp(− j 2πft )dt = Ss ( f ) = (1.83) π π − ∞ n = −∞ −∞ Hệ số Fourier được tính theo công thức: 1 / 2 ΔT w(nΔT ) = ΔT ∫ S s ( f ) exp( j 2πfnΔT )df (1.84) −1 / 2 ΔT Trường hợp đã xác định hàm liên quan của quá trình ngẫu nhiên R(τ), từ công thức (1.78), nhờ phép biến Fourier mối quan hệ giữa hàm R với phổ có thể viết như sau: ∞ ∞ ∑ C n e inω1t = ∑S e 2 inω1t R (τ ) = , (1.85) n n = −∞ n = −∞ Sn = |Cn|2. với Với τ = 0 chúng ta nhận được hàm R(0) dạng hàm Parseval: 15
T /2 ∞ ∞ 1 R (0) = ∑ C n = ∑ Sn = ∫/ w (t )dt 2 2 (1.86) T −T 2 n =∞ n =∞ và T /2 1 T −T∫/ 2 R(τ ) exp(−inω1t )dτ Sn = (1.87) Từ đó có thể viết: ⎫ ∞ R(τ ) = ∫ S (ω ) cos ωτdω ⎪ ⎪ (1.88) 0 ⎬ ∞ 2 ⎪ S (ω ) = ∫ R (τ ) cos ωτdτ ⎪ π0 ⎭ Những dạng thức thường gặp của các quá trình trong tự nhiên được giới thiệu tại hình. Ba trạng thái đặc trưng của hàm tự liên quan và của phổ gồm phổ của quá trình điều hòa, ví dụ input ghi nhận dưới dạng sóng hình sinus, hình phía trên, phổ băng hẹp, hình giữa, và phổ băng rộng, hình dưới. Hình 1.7 Xác định phổ theo cách làm này tiến hành theo các bước: Xác định hàm R(τ) cho trường hợp t thay đổi từ 0 đến T. Tiến hành chia đoạn 0 – T thành n khoảng thời gian bằng nhau Δt = T/ n, tham số τ trở thành τ = kΔt với k = 0, 1,2, …, 1 n−k ⎛ k .T ⎞ ∑ ς i .ς i + k , với k = 0,1,2, … = ⎟ R⎜ (1.89) ⎝ n ⎠ n − k i =1 Công thức tính phổ cho trường hợp này trở thành: ikπ Δt ⎡ ⎤ m −1 R0 + 2∑ Rk cos S (ω i ) = + Rm cos iπ ⎥ , i = 0,1, 2, …, m (1.90) ⎢ π⎣ m ⎦ k =1 16
ωi = iΔω = iπ/Δt.m (1.91) Trong kỹ thuật chúng ta còn sử dụng đại lượng tiêu chuẩn hóa của hàm R(.), gọi là hàm quan hệ tiêu chuẩn, ký hiệu như sau: R(τ = t '−t ) r(τ = t’ - t) = (1.92) σ (t )σ (t ' ) trường hợp t = t’, có nghĩa τ = 0, hàm r(t’-t) tính bằng: R(0) V (t ) r (τ ) = = =1 (1.93) 2 2 σ (t ) σ (t ) Ví dụ: Tải trọng do môi trường tác động lên điểm đo trên vật thể nổi trên nước được ghi lại như bảng sau. Bảng 1. 6 t (s) N (t) t (s) N (t) t (s) N (t) t (s) N (t) 0 1,0 50 1,0 100 1,2 150 0,8 2 1,2 52 1,1 102 1,4 152 0,6 4 1,1 54 1,5 104 0,8 154 0,9 6 0,7 56 1,0 106 0,9 156 1,2 8 0,7 58 0,8 108 1,0 158 1,3 10 1,1 60 1,1 110 0,8 160 0,9 12 1,3 62 1,1 112 0,8 162 1,3 14 0,8 64 1,2 114 1,4 164 1,5 16 0,8 66 1,0 116 1,6 166 1,2 18 0,4 68 0,8 120 1,3 170 1,4 20 0,3 70 0,8 120 1,3 170 1,4 22 0,3 72 1,2 122 1,6 172 0,8 24 0,6 74 0,7 124 0,8 174 0,8 26 0,3 76 0,7 126 1,3 176 1,2 28 0,5 78 1,1 128 0,6 178 1,0 30 0,5 80 1,5 130 1,0 180 0,7 32 0,7 82 1,0 132 0,6 182 1,1 34 0,8 84 0,6 134 0,8 184 0,9 36 0,6 86 0,9 136 0,7 186 0,9 38 1,0 88 0,8 138 0,9 188 1,1 40 0,5 90 0,8 140 1,3 190 1,2 42 1,0 92 0,9 142 1,5 192 1,3 44 0,9 94 0,9 144 1,1 194 1,3 46 1,4 96 0,6 146 0,7 196 1,6 48 1,4 98 0,4 148 1,0 198 1,5 Nếu coi biểu đồ lực tác động trên đây thuộc quá trình ngẫu nhiên, các giá trị đặc trưng của quá trình được tính như sau. 100 ∑ N (t ) i ≈ 0,98 n =1 m= 100 17
Phương sai được tính cho trường hợp các giá trị N(t) đã chuyển về trục tọa độ mới, qua m vừa tính. 100 ∑ [ N (t ) − m] 2 i σ2 = ≈ 0,1045 n =1 100 Hàm liên quan tính cho các trường hợp τ = 2, 4, 6, … Kết quả tính được vẽ thành đồ thị dạng R = f(τ ). Dùng phương pháp hàm hóa chuyển R(τ) về dạng hàm liên tục R’ = exp( -a⎢τ⎢). Kết quả hàm hóa được trình bày tại bảng 1.7 Bảng 1.7 R(τ) R’(τ)=exp[-a|τ| ] τ 0 1,0 1,0 2 0,505 0,598 4 0,276 0,358 6 0,277 0,214 8 0,231 0,128 10 -0,015 0,077 12 0,014 0,046 14 0,071 0,027 Hệ số a được xác định trong trường hợp này a = 0,257. Hàm R(τ) của quá trình ngẫu nhiên N(t) được xác lập dưới dạng: R(τ) = C.exp{ -a|τ| ] với a > 0, với C = const. Qua phép biến Fourier dạng số phức xác định hàm phổ S(ω). C ⎧ aτ −iωτ ⎫ ∞ ∞ ∞ C ∫e ⎨∫ e e dτ + ∫ e − aτ e −iωτ dτ ⎬ = −a τ e −iωτ dτ = S (ω ) = 2π 2π ⎩−∞ ⎭ −∞ −∞ C⎧ 1 1⎫ C.a = + ⎬= ⎨ ( ) 2π ⎩ a − iω a + iω ⎭ π a 2 + ω 2 Với C = 1 và a = 0,257 phổ của quá trình N(t) có dạng: 0,257 S (ω ) = π (0,257 2 + ω 2 ) ω Tần số (frequency) được hiểu f = , tính bằng đơn vị Hertz. Trong các công thức phổ nếu 2π chúng ta thay ω = 2πf kết quả sẽ được hàm phổ tính theo tần số f: G(f) = 2π.S(2πf) (1.94) và ∞ ∞ R(τ) = 2π ∫ S (2πf ) exp(2πifτ )df = ∫ G ( f ) exp(2πifτ )df (1.95) −∞ −∞ Hàm G(f) cũng gọi là phổ, xác định theo tích phân: 18
∞ ∫ R(τ ) exp(−2πifτ )dτ G( f ) = (1.96) −∞ Phương pháp phân tích phổ Fourier Từ các công thức nêu tại phần phân tích phổ có thể thấy rằng quá trình vật lý trong tự nhiên có thể miêu tả dưới dạng hàm thời gian, liên tục hoặc không liên tục (rời rạc), song cũng có thể thể hiện dưới dạng hàm trong trường tần suất. Trong rất nhiều trường hợp cần thiết phải xây dựng hàm thời gian nếu có đủ cơ sở dữ liệu từ đo đạc hoặc từ thực nghiệm, từ hàm thời gian tiến hành xác định hàm theo tần suất. Ngược lại khi đã xác định hàm liên quan tần suất, bằng phép tính ngược lại có thể tái lập hàm thời gian. Quan hệ qua lại giữa hai họ hàm trong hai trường khác nhau này như đã trình bày, được thể hiện trong phép biến chuyển Fourier, viết dưới dạng tổng quát. ∞ S ( f ) = ∫ h(t ) exp(2πjft )dt (1.97) −∞ ∞ h(t ) = ∫ S ( f ) exp(−2πjft )df (1.98) −∞ Hoặc ∞ S (ω ) = ∫ h(t ) exp( jωt )dt (1.99) −∞ ∞ h(t ) = ∫ S (ω ) exp(− jωt )df (1.100) −∞ Hai dạng phổ S(ω) chúng ta có thể gặp khi tính toán là phổ băng hẹp, hình hía trái, và phổ băng rộng hay còn gọi tiếng ồn trắng, hình phía phải của hình. Hình 1.8 Thuật toán FFT Thuật tóan FFT, viết tắt từ Fast Fourier Transform ra đời theo nhu cầu phân tích phổ khi phân tích các tín hiệu vô tuyến điện. Phương pháp ra đời từ giữa những năm 60, đầu tiên được J.W. Cooley và J.W. Tukey công bố và sau đó được trung tâm nghiên cứu của IBM chuyển thành chương trình tính. Ngày nay FFT đã được cải tiến, hoàn thiện thêm, nâng lên thành nghệ thuật 1 N −1 N −1 ∞ H ( f n ) = ∫ h(t ) exp(2πjf n t )dt ≈ ∑ hk exp(2πjf n t k )Δ = Δ ∑ hk exp(2πjkn / N ) −∞ k =0 k =0 N −1 H n = ∑ hk exp(2πjf n t k ) (1.101) k =0 H ( f n ) ≈ ΔH n N −1 1 ∑H exp(−2πjkn / N ) hk = (1.102) n N k =0 1 Xem các taøi lieäu chuyeân ñeà. Brigham,E. Oran. “The Fast Fourier Transform”, Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1974; Elliott, D.F., Rao,K.R. “Fast Transforms: Algorithms, Analysis, Applications”, Academic Press, 1982. 19
Nếu định nghĩa: W = e2πj/N N −1 H n = ∑ W nk hk (1.103) k =0 Chương trình bằng ngôn ngữ C dưới đây cung cấp cho bạn đọc công cụ phân tích dữ liệu ngẫu nhiên theo phương pháp FFT, hoàn chỉnh sau những năm bảy mươi. #include #define SWAP(a,b) tempr*(a);(a)=(b);(b)=tempr void fourier(data, nn, isign) float data[]; int nn, isign; { int n, mmax, m, j, istep,i; double wtemp, wr, wpr, wpi, wi, theta; float tempr, temp1; n=nn1; while ( m>=2 && j > m) { j -= m; m >>=1; } j += m; } mmax = 2; while ( n > mmax) { istep = 2*mmax; theta = 6.283185307179 / (isign*mmax); wtemp = sin( 0.5*theta); wpr = -2.0*wtemp*wtemp; wpi = sin(theta); wr=1.0; wi=0.0; for ( m =1; m < mmax; m+=2) { j = i+ mmax; tempr = wr*data[j] - wi*data[j+1]; temp1 = wr* data[j+1] + wi*data[j+1]; data[j] = data[i] -tempr; data[j+1] = data[i+1] - temp1; data[i] += tempr; data[i+1] += temp1; } wr = (wtem*wr)*wpr - wi*wpi + wr; wi = wi*wpr + wtemp*wpi + wi; } mmax = istep; } } 6 PHỔ SÓNG BIỂN Phổ sóng biển được xác định sau phân tích phổ của sóng biển như quá trình ngẫu nhiên, đo tại vùng nhất định. Phổ sóng biển được xác định theo một trong những công thức giành cho S(ω) đã trình bày trên. Những đại lượng đặc trưng cho phổ sóng có thể nêu: 20