Complex Numbers Primer - Số phức

Chia sẻ: Tran Cong Dat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:74

Thêm vào BST

Báo xấu

177
lượt xem 40
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hiện nay trường sô phức ℂ được xây dựng theo nhiều cách, trong đó có hai cách đại số thường sử dụng : ℂ là trường phân rã của đa thức bất khả quy 21x(trên ℝ) . 210xcó nghiệm trong ℂ , tức là tồn tại i∈ ℂ , 21i . Xem ℂ =2R={(a;b)}, xây dựng phép toán cộng và nhân thích hợp, rồi chứng minh (ℂ ,+,x) là một trường. Tác giả xây dựng ℂ trên tinh thần này . Phần lớn quy tắc tính được thao tác trên các ví dụ một cách hình thức. Tiếp theo là...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Complex Numbers Primer - Số phức

Paul Dawkins Người dịch LÊ LỄ (CĐSP NINH THUẬN) Complex Numbers Primer SỐ PHỨC
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 2
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Contents1 LỜI NGƯỜI DỊCH ........................................................................................................................................ 5 1.Tập số phức và các phép toán ..................................................................................................................... 6 1.1Định nghĩa tập số phức ......................................................................................................................... 6 1.2.Các phép toán ...................................................................................................................................... 6 2.Bất đẳng thức tam giác ............................................................................................................................... 9 2.1 Số phức liên hợp .................................................................................................................................. 9 2.2 Môđun của số phức............................................................................................................................ 10 2.3 Bất đẳng thức tam giác ...................................................................................................................... 12 3.Dạng lượng giác và dạng mũ .................................................................................................................... 13 3.1 Biểu diễn hình học của số phức ......................................................................................................... 13 3.2 Dạng lượng giác ................................................................................................................................ 14 3.3 Dạng mũ của số phức ........................................................................................................................ 15 4.Lũy thừa và khai căn................................................................................................................................. 16 4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương ................................................................................................. 16 4.2 Căn bậc n của số phức ....................................................................................................................... 17 1 Có thể click chuột vào tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 3
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 4
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- LỜI NGƯỜI DỊCH Hiện nay trường sô phức ℂ được xây dựng theo nhiều cách, trong đó có hai cách đại số thường sử dụng : ℂ là trường phân rã của đa thức bất khả quy x2 1(trên ℝ) . x2 1 0 có nghiệm trong ℂ , tức là tồn tại i∈ ℂ , i2 1. 2 Xem ℂ = R ={(a;b)}, xây dựng phép toán cộng và nhân thích hợp, rồi chứng minh (ℂ ,+,x) là một trường. Tác giả xây dựng ℂ trên tinh thần này . Phần lớn quy tắc tính được thao tác trên các ví dụ một cách hình thức. Tiếp theo là định nghĩa và cuối cùng kiểm chứng kết quả. Việc xây dựng ℂ của tác giả vừa đảm bảo chính xác vừa dễ hiểu, dễ áp dụng. Tài liệu dành phần đầu nêu định nghĩa số phức và các phép toán . Phần hai nói về bất đẳng thức tam giác. Dạng lượng giác và mũ của số phức được nêu ở phần ba. Phần cuối dùng trình bày về lũy thừa và căn bậc n của một số phức. Đọc tài liệu này: Học sinh, sinh viên có nhu cầu thực hành các phép toán trên số phức, tìm thấy hướng dẫn rõ ràng, chi tiết; Nếu muốn tìm lời giải đáp vì sao tập số phức có nhiều tính chất đẹp mà ℝ không có, sẽ được thỏa mãn; Nếu đã biết một ít về số phức vẫn thấy thú vị. Còn ...tôi thì ít thời gian mà ham nhiều việc, nghĩ rằng thiếu sót không tránh khỏi. Nước đầm Nại đủ sạch, xin rửa tai nghe chỉ giáo. Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 5
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 1.Tập số phức và các phép toán 1.1Định nghĩa tập số phức Cho a,b∈ ℝ . Mỗi biểu thức dạng a+bi được gọi là một số phức2 a: phần thực của z. b: phần ảo của z. Tập các số phức ký hiệu là ℂ . a∈ ℝ , a= a+0i=z . Vậy ℝ⊂ ℂ 3 Ta cần định nghĩa phép cộng và nhân hai số phức Cho hai số phức z1 a bi, z2 c di . Tổng z1 z2 (a c) (b d )i Tích z1.z2 (ac bd ) (ad bc)i Công thức trên đúng cho trường hợp hai số thực z1 a 0i, z2 c 0i .4 z1 z2 (a 0i) (c 0i) a c Thật vậy z1.z2 (a 0i)(c 0i) ac 2 Điều cuối cùng trong phần này, ta phải chứng minh i 1như một hệ quả của phép nhân. Thật vậy: i2 i.i (0 1i)(0 1i) (0.0 1.1) (0.1 1.0)i 1 1.2.Các phép toán Khi thực hành cộng và nhân hai số phức, chỉ cần thực hiện theo quy tắc cộng 2 và nhân đa thức với chú ý i 1. 2 Dạng đại số của số phức(ND) 3 Tồn tại đơn cấu trường :ℝ→ ℂ (ND). 4 Hai phép toán cộng, nhân cảm sinh trên ℝ thành hai phép toán cộng và nhân thông thường (ND) . Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 6
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Ví dụ: Tính a. (58-i)+(2-17i) b. (6+3i)(10+8i) c. (4+2i)(4-2i) Bài giải a. (58-i)+(2-17i)=58-i+2-17i=60-18i b. (6+3i)(10+8i)=60+48i+30i+24i2=60+78i+24(-1)=36+78i c. (4+2i)(4-2i)=16-(2i)2=16+4=20 . Phép nhân hai số phức , cho ta hệ thức : (a bi)(a bi) a 2 b2 . Hê thức này được sử dụng khi chia hai số phức ớ phần sau. Bây giờ xét đến phép trừ và chia hai số phức. Thử làm một cách hình thức ví dụ sau Ví dụ : a. (58 i) (2 17i) 58 i 2 17i 56 16i 6 3i (6 3i) (10 8i) b. = . = 10 8i (10 8i) (10 8i) 60 48i 30i 24i 2 84 18i 84 18 21 9 i= i 100 64 164 164 164 41 82 5i 5i(1 7i) 35 5i 7 1 c. = i 1 7i (1 7i)(1 7i) 50 10 10 Trước khi định nghĩa phép trừ và phép chia hai số phức, ta cần một số chuẩn bị: Số đối của số phức z ký hiệu –z , thỏa mãn z+(-z)=0 Trong các trường đại số tổng quát nói chung không có hệ thức z ( 1).z Rất may mắn, trong trường ℂ ta có z ( 1).z a bi Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 7
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Hiệu hai số phức z1 , z2 : z1 z2 z1 ( z2 ) Nên z1 z2 z1 ( z2 ) (a bi) ( c di) (a c) (b d )i Điều cần chuẩn bị cho định nghĩa thương hai số phức là số nghịch đảo của một số phức. Số nghịch đảo của số phức z (≠ 0) là một số phức ký hiệu z-1 sao cho z.z-1=1. Số nghịch đảo của số phức được làm rõ qua đoạn sau: Giả sử z-1=u+vi là số nghịch đảo của z=a+bi , z.z-1=(a+bi)(u+vi)=(au-bv)+(av+bu)i=1 a u au bv 1 a2 b2 Nên ⇒ av bu 0 b v a b2 2 1 a b ⇒ z i. a2 b2 a2 b2 Mọi số phức z khác 0 tồn tại số nghịch đảo z-1. Định nghĩa thương hai số phức. Cho hai số phức z1, z2 (z2≠ 0) z1 z1.z2 1 z2 Theo định nghĩa trên , ta có Ví dụ : 6 3i (6 3i)(10 8i ) 1 , 10 8i 1 10 8 10 8i (10 8i ) i 102 82 102 8 2 164 Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 8
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 6 3i 1 10 8i (6 3i)(10 8i ) (6 3i ) 10 8i 164 60 48i 30i 24i 2 21 9 i 164 41 82 Ta có lại kết quả trước đây khi tiến hành chia hai số phức một cách hình thức. Dựa vào nhận xét này, ta có thể tiến hành chia hai số phức mà không cần bận tâm đến công thức tìm số nghịch đảo của số phức. 3 i (3 i )(1 i ) 2 4i Chẳng hạn 1 2i 1 i (1 i)(1 i) 2 1 1 10 8i 10 8i 5 2 hay (10 8i) . i 10 8i (10 8i) 102 82 82 41 2.Bất đẳng thức tam giác 2.1 Số phức liên hợp Số phức liên hợp của z=a+bi , ký hiệu z , z a bi . (nói cách khác chỉ cần đối dấu phần ảo của z, ta được z ) Một số tính chất của số phức liên hợp z z z1 z2 z1 z2 z1.z2 z1.z2 z1 z1 z2 z2 Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 9
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Ví dụ : Tính (a) z , z 3 15i (b) z1 z2 , z1 5 i, z2 8 3i (c) z1 z2 , z1 5 i, z2 8 3i Bài giải (a) z 3 15i z 3 15i 3 15i z (b) z1 z2 13 2i z1 z2 13 2i 13 2i (c) z1 z2 5 i ( 8 3i) 5 i ( 8 3i) 13 2i Với số phức z=a+bi, ta có z z a bi (a bi ) 2a, z z a bi (a bi ) 2bi 2.2 Môđun của số phức Cho z=a+bi, Môđun của z ký hiệu |z|, |z| a2 b2 Môđun của một số phức là số thực không âm. z là số thực (z=a+0i), | z | a 2 | a | . Vậy Môđun của một số thực chính là giá trị tuyệt đối của số ấy. | z |2 a 2 b2 a2 | z | | a | ≥ a. Tương tự | z | | b | b Các hệ thức diễn tả mối quan hệ giữa Môđun và số liên hợp của z: z.z (a bi)(a bi) a 2 b2 ⇒ z.z | z |2 |z| |z | Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 10
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- | z| |z| z1 z1 z2 z1 z2 z2 z2 z2 | z2 |2 6 3i Ví dụ:Tính 10 8i Bài giải z1 6 3i, z2 10 8i, z2 10 8i,| z |2 164 6 3i (6 3i)(10 8i) 60 48i 30i 24i 2 21 9 i 10 8i 164 164 41 82 Tính chất của Môđun số phức |z| 0 z 0 | z1 z2 | | z1 || z2 | z1 | z1 | z2 | z2 | Thật vậy: |z| 0 a2 b2 0 a b 0 z 0 | z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 ) z1 z1 z2 z2 | z1 |2 | z2 |2 | z1 z2 |2 | z1 |2 | z2 |2 | z1 z2 | | z1 || z2 | Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 11
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 2.3 Bất đẳng thức tam giác Mối quan hệ giữa Môđun số hạng và Môđun tổng hai số phức: | z1 z2 | | z1 | | z2 | Chứng minh | z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 ) ⇒ | z1 z2 |2 z1 z1 z1 z2 z2 z1 z2 z2 Lưu ý rằng z2 z1 z2 z1 z2 z1 Nên z1 z2 z2 z1 z1 z2 z1 z2 2 e( z1 z2 ) 2 | z1 z2 | 2 | z1 || z2 | 2 | z1 || z2 | z1 z1 | z1 |2 ; z2 z2 | z2 |2 | z1 z2 |2 z1 z1 z1 z2 z2 z1 z2 z2 | z1 |2 z1 z2 z2 z1 | z2 |2 | z1 |2 2 | z1 || z2 | | z2 |2 (| z1 | | z2 |) 2 Nên | z1 z2 | | z1 | | z2 | | z1 | | z1 z2 z2 | | z1 z2 | | z2 | (giả sử | z1 | | z2 | , | z1 | | z2 | luôn | z1 z2 | | z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | 0 đúng) Tương tự Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 12
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- | z1 z2 | | z2 | | z1 | (| z1 | | z2 |) 0 (giả sử | z1 | | z2 |, | z1 | | z2 | luôn đúng) Do đó | z1 z2 | || z1 | | z2 || Bây giờ thay z2 bởi –z2, ta có | z1 z2 | | z1 | | z2 | | z1 z2 | || z1 | | z2 || 3.Dạng lượng giác và dạng mũ 3.1 Biểu diễn hình học của số phức Xét mặt phẳng Oxy, mỗi số phức z=a+bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) hoặc Vectơ có tọa độ (a;b) Trục Ox gọi là trục thực, Oy gọi là trục ảo, mặt phẳng trên gọi là mặt phẳng phức. Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 13
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 3.2 Dạng lượng giác Xét số phức z=a+bi≠ 0, M(a;b) trong mặt phẳng phức. Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi là một acgumen của z. Cho z=a+bi≠ 0 a r cos |z|=r>0, θ là acgumen của z. Khi đó b r sin z a bi r (cos i sin ) : dạng lượng giác của số phức. Lưu ý r |z| z a bi, a 0: b , θ sai khác k2π, thường chọn –π
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- (a) r=|z|= 1 3 2 3 2 2 2 , tan ⇒ z 2(cos i sin ) 1 3 3 3 Không được viết: z 2( cos i sin ) : dấu trừ trước côsin! 3 3 Cũng như z 2(cos i sin ) : r
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lưu ý acgumen( z1 z2 ) acgumenz1 acgumenz2 z1 acgumen acgumenz1 acgumenz2 z2 z1 r1ei 1 , z2 r2ei 2 r2 r1 . z1 z2 (k Z) 2 1 2k 4.Lũy thừa và khai căn 4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương Cho z là số phức có |z|=r, θ là một acgumen của z. Tức là z rei . zn (rei )n r n ein [r (cos i sin )]n r n (cos n i sin n ) :công thức Moa-vrơ(Moivre) 5 Ví dụ: Tính (3 3i) Bài giải 3 r 9 9 3 2 , tan , chọn 3 4 5 5 (3 3i )5 [3 2(cos i sin )]5 (3 2)5 (cos i sin ) 4 4 4 4 2 2 972 2( i) 972 972i 2 2 Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 16
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 4.2 Căn bậc n của số phức Khi r=1, ta có (cos i sin )n cos n i sin n . n Trước hết tìm căn bậc n của đơn vị, tức là tìm số phức z sao cho z 1. Giả sử nghiệm z rei (rei )n 1 r n ein 1ei 0 r 1 rn 1 Nên ⇒ 2k . k∈ ℤ n 0 2k n Do đó căn bậc n của đơn vị là n sô phân biệt 2 k i n 2 k 2 k e cos i sin ,k 0,1, 2 ,n 1 . n n Ví dụ: Giải phương trình 2 (a) z 1 3 (b) z 1 4 (c) z 1 Bài giải 2 k i (a) Căn bậc hai của đơn vị gồm hai số k e 2 ei k , k 0;1 0 e0 1. 1 ei cos i sin 1 2 k i (b) Căn bậc ba của đơn vị gồm ba số k e 3 ,k 0;1;2 0 e0 1 Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 17
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 2 i 3 2 2 1 3 1 e cos i sin i 3 3 2 2 4 i 3 4 4 1 3 2 e cos i sin i 3 3 2 2 2 k k i i (c) Căn bậc bốn của đơn vị gồm bốn số k e 4 e 2 ,k 0;1;2;3 0 e0 1 i 1 e2 cos i sin i 2 2 i 2 (e 2 ) 2 ei cos i sin 1 3 i 2 3 i 2 3 3 3 (e ) e cos i sin i 2 2 Lưu ý : tổng các căn bậc n của đơn vị bằng 1. Thật vậy 2 k i Các căn bậc n của đơn vị là k e n ,k 0;1;2; ; n 1 2 i k n 1 n 1 n k 0 k 1 , ( e ) n 1 n 0, ( ei 2 cos2 i sin 2 1) 1 Xét căn bậc n (n∈ N, n>1)của một số phức w tùy ý . Tức là tìm nghiệm n phương trình z w . Giả sử R=|w|, α là một acgumen của w. Tức là w Rei r =|z|, θ là một acgumen của z. Tức là z r ei (rei )n Rei r n eni Rei Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 18
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 2 k suy ra r n R, , k∈ ℤ . n Vậy căn bậc n của w Rei là n số phân biệt: 2 k n i( ) n 2 k 2 k ak Re n n R [cos( ) i sin( )] , k=0,1,2… n-1. n n n n Ví dụ: Tìm (a) Căn bậc hai của 2i (b) Căn bậc ba của 3 i Bài giải i i( k) (a) 2i 2e 2 . Căn bậc hai của 2i có hai giá trị: ak 2e 4 , k=0,1 i a0 2e 4 2(cos i sin ) 1 i 4 4 5 i( 4 ) i 4 5 5 a1 2e 2e 2(cos i sin ) 1 i. 4 4 i( ) (b) 3 i 2e 6 . Có 3 giá trị căn bậc ba là: 2 k i( ) 3 18 3 ak 2e , k=0,1,2 i( ) 3 18 3 a0 2e 2[cos( ) i sin( )] 1, 24078 0, 21878i 18 18 2 11 3 i( 18 3 ) 3 i 18 3 11 11 a1 2e 2e 2(cos i sin ) 0, 43092 1,18394i 18 18 Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 19
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 2 2 23 3 i( 18 3 ) 3 i 18 3 23 23 a2 2e 2e 2(cos i sin ) 0,80986 0,96516i 18 18 Lưu ý . Với w≠ 0, các căn bậc n (n≥ 3) của w biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi các n đỉnh n giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R , R | w |. -----------------------------HẾT----------------------------------- Mời đọc: Bài tập số phức Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 20