zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Công phá phương trình và hệ phương trình - GV. Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Trần Minh Phương | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Báo xấu

124
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung tài liệu "Công phá phương trình và hệ phương trình" dưới đây để nắm bắt được cách giải các bài tập phương trình và hệ phương trình đạt kết quả cao. Hy vọng tài liệu phục vụ hữu ích nhu cầu học tập và ôn thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Công phá phương trình và hệ phương trình - GV. Đặng Việt Hùng

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 CÔNG PHÁ PHƯƠNG TRÌNH và HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN PHẦN 1 : ĐỀ BÀI (Cố gắng vận hết công lực trước khi xem giải nhé các em)  x3 − 6 x 2 − 8 6 y + 20  + = y+2 Câu 1. Giải hệ phương trình  x y + 2  13 x − 1 + 9 1 + y + 2 = 16 y + 2  1 3x + 4 x + 3y +1 = y − y + x +1 2 Câu 2. Giải hệ phương trình    9 y − 2 + 7x + 2 y + 2 = 2 y + 3 3 Câu 3. Giải phương trình ( x − 1) = (x − 2 x − 2) + 1 − x2 + x + 2 ( x ∈ ℝ) 2 2 2 3  x2 + 2 y 2 + 4 + x + 2 = 3 y 2 + 4 + y + 2  Câu 4. Giải hệ phương trình  3x3 + 2 y − 1  2 x − 1 + 3 y3 − 2 = + 2x − y −1  2  2x x + 3y  + =3 Câu 5. Giải hệ phương trình  5 x − 6 xy + 5 y 2 2 6 x − 8 xy + 6 y 2 2  ( ) +( ) 2 2  x − 2y − x x+y =4 Câu 6. Giải bất phương trình 4 x + 1 + 2 2 x + 3 ≤ ( x − 1) ( x 2 − 2 ) .  x + y + 1 + x − y = 2 y + 1 Câu 7. Giải hệ phương trình  12 3 xy + 7 x = x + 8 y + 15 2 2 5 x − y + x + y − 3 = 2 + ( x + y )( 2 x − y ) + 3 x − 4 Câu 8. Giải hệ phương trình   y + 2 − x = 2 2  x 4 + y 4 + y − 5 x + 2 = 0 Câu 9. Giải hệ phương trình  3 ( x, y ∈ R ) . 5 x − 4 x y − x y = 4 xy − 5 x + y 3 2 Câu 10. Giải phương trình 3x 2 − 1 + x 2 − x − x x 2 + 1 = 2 1 2 (7x 2 − x + 4). PHẦN 2: LỜI GIẢI CHI TIẾT (Nếu có nhầm lẫn, sai sót mong các hạ lượng thứ)  x3 − 6 x 2 − 8 6 y + 20  + = y+2 Câu 1. Giải hệ phương trình  x y + 2  13 x − 1 + 9 1 + y + 2 = 16 y + 2 Lời giải. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Điều kiện x ≥ 1, y > −2 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với x3 − 6 x 2 − 8 6 ( y + 2) + 8 8 8 = y +2− ⇔ x2 − 6x − = y + 2 − 6 y + 2 − ( ∗) . x y+2 x y+2 4 t 3 − 3t 2 + 4 ( t − 2 ) ( t + 1) 2 8 1 Xét hàm số f ( t ) = t 2 − 6t − ; t > 0 ⇒ f ′ ( t ) = t − 3 + 2 = = ≥ 0, ∀t > 0 . t 2 t t2 t2 Rõ ràng hàm số trên liên tục và đồng biến trên toàn tia Ox thực nên thu được ( ∗) ⇔ f ( x ) = f ( ) y+2 ⇔ x = y+2. Phương trình thứ hai của hệ trở thành 13 x − 1 + 9 x + 1 = 16 x ⇔ 16 x − 13 x − 1 − 9 x + 1 = 0  1  9 ⇔ 13  x − 1 − x − 1 +  + 3  x + 1 − 3 x + 1 +  = 0  4  4  1 2 2  x −1 =  1  3  2 5 ⇔ 13  x − 1 −  + 3  x + 1 −  = 0 ⇔  ⇔x=  2  2  x +1 = 3 4  2 5 7 Kết luận hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y ) =  ; −  .  4 16   1 3x + 4 x + 3y +1 = y − y + x +1 2 Câu 2. Giải hệ phương trình    9 y − 2 + 7x + 2 y + 2 = 2 y + 3 3 Lời giải. 2 Điều kiện y ≥ ; x > −1 . Phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương với 9 3x + 4 1 3 ( x + 1) + 1 1 x +1− = y2 − 3y − ⇔ x +1− = y2 − 3y − x +1 y x +1 y 1 1 ⇔ x +1− 3 x +1 − = y2 − 3 y − ( ∗) x +1 y 2 Vì y ≥ ; x > −1 nên ta xét hàm số 9 1 2t 3 − 3t 2 + 1 ( 2t + 1)( t − 1) 2 1 f ( t ) = t − 3t − ; t > 0 ⇒ f ′ ( t ) = 2t − 3 + 2 = 2 = ≥ 0, ∀t > 0 . t t t2 t2 Hàm số liên tục và đồng biến trên miền t dương nên thu được ( ∗) ⇔ f ( ) x + 1 = f ( y ) ⇔ x + 1 = y ⇔ x = y 2 − 1. Phương trình thứ hai của hệ trở thành 9 y − 2 + 3 7 y 2 + 2 y − 5 = 2 y + 3 ⇔  9 y − 2 − ( y + 2 )  +  3 7 y 2 + 2 y − 5 − ( y + 1)  = 0 (1) .   Đặt 3 7 y 2 + 2 y − 5 = a; y + 1 = b ⇒ a 2 + ab + b 2 > 0 vì a = b = 0 ⇔ y ∈∅ . Cho nên 9 y − 2 − ( y2 + 4 y + 4) 7 y 2 + 2 y − 5 − ( y 3 + 3 y 2 + 3 y + 1) (1) ⇔ + =0 9y − 2 + y + 2 a 2 + ab + b 2 y2 − 5 y + 6 ( y + 1) ( y 2 − 5 y + 6 ) ⇔ + =0 9y − 2 + y + 2 a 2 + ab + b 2  y +1  ⇔ ( y 2 − 5 y + 6)  1 + 2 2 =0 ( 2)  9 y − 2 + y + 2 a + ab + b  www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 1 y +1 2 Vì + 2 > 0, ∀y ≥ nên 9 y − 2 + y + 2 a + ab + b 2 9 ( 2 ) ⇔ ( y − 2 )( y − 3) = 0 ⇔ y ∈ {2;3} ⇒ ( x; y ) = ( 8;3) , ( 3; 2 ) . Thử lại, kết luận hệ có hai nghiệm kể trên. Câu 3. Giải phương trình ( x − 1) = (x − 2 x − 2) + 1 − x2 + x + 2 ( x ∈ ℝ) 2 2 2 3 Lời giải. Điều kiện −1 ≤ x ≤ 1 . Phương trình tương đương x 2 − 2 x − 2 − 3 ( x 2 − 2 x − 2 ) + 1 = 1 − x 2 + x . 2 ( ) 2 Ta có 1 − x2 + x = 1 + 2 x 1 − x2 ≥ 1 ⇒ 1 − x2 + x ≥ 1 . t = 0 Đặt x 2 − 2 x − 2 = t thu được t 3 − t 2 + 1 ≥ 1 ⇔ t 2 ( t − 1) ≥ 0 ⇔  3 t ≥ 1 t = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 2 = 0 ⇔ x ∈ 1 + 3;1 − 3 . { } x ≥ 3 t ≥ 1 ⇒ t 3 ≥ 1 ⇔ x 2 − 2 x − 3 ≥ 0 ⇔ ( x − 3)( x + 1) ≥ 0 ⇔  ⇒ x = −1 .  x ≤ −1 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm duy nhất x = −1 .  x2 + 2 y 2 + 4 + x + 2 = 3 y 2 + 4 + y + 2  Câu 4. Giải hệ phương trình  3x3 + 2 y − 1  2 x − 1 + 3 y 3 − 2 = + 2x − y −1  2 Lời giải. 1 2 Điều kiện x ≥ ; y ≥ 3 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 2 3 x + 2 − y + 2 + x2 + 2 y 2 + 4 − 3 y 2 + 4 = 0 ⇔ x− y + ( x − y )( x + y ) x+2 + y+2 x2 + 2 y2 + 4 + 3 y2 + 4 ⇔ ( x − y)   1 + ( x + y)   =0⇒ x= y  x + 1 + y + 1 x 2 + y 2 + 1 + 2 y 2 + 1  3x3 + 2 x − 1 Phương trình thứ hai của hệ trở thành 2 x − 1 + 3 x3 − 2 = + x −1 . 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 x − 1 + 1 3x 3 − 2 + 1 3x 3 + 2 x − 1 3x3 + 2 x − 1 2 x − 1 + 3x − 2 ≤ 3 + = ≤ + x −1 . 2 2 2 2 Do đó phương trình ẩn x có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là 2 x − 1 = 3 x 3 − 2 = 1 ⇔ x = 1 .  2x x + 3y  + =3 Câu 5. Giải hệ phương trình  5 x 2 − 6 xy + 5 y 2 6 x 2 − 8 xy + 6 y 2  ( ) ( ) 2 2  x − 2 y − x + x + y =4 Lời giải. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x ≥ 0 x ≥ 0  Điều kiện  ⇒ 2 y ≥ x 2 y ≥ x  y ≥ 0  5 x − 6 xy + 5 y = ( x + y ) + 4 ( x − y ) ≥ ( x + y )   5 x − 6 xy + 5 y ≥ x + y = x + y 2 2 2 2 2 2 2 Nhận xét  ⇒ 6 x − 8 xy + 6 y = ( x + y ) + 5 ( x − y ) ≥ ( x + y ) 2 2 2  6 x 2 − 8 xy + 6 y 2 ≥ x + y = x + y 2 2 2x x + 3y 2x x + 3 y 3( x + y ) Dẫn đến + ≤ + = = 3. 5 x 2 − 6 xy + 5 y 2 6 x 2 − 8 xy + 6 y 2 x + y x + y x+ y Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y . Phương trình thứ hai trở thành ( x+x =4⇔)  x + x = 2 2 ⇔  x − 1 ( )( ) x +2 =0 ⇔ x = 1 ⇔ x = 1.  x ≥ 0  x ≥ 0 Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 1 . Câu 6. Giải bất phương trình 4 x + 1 + 2 2 x + 3 ≤ ( x − 1) ( x 2 − 2 ) . Lời giải: ĐK: x ≥ −1 (*) Khi đó (1) ⇔ 4 x + 1 + 2 2 x + 3 ≤ x3 − x 2 − 2 x + 2 ⇔4 ( x +1 − 2 + 2) ( ) 2 x + 3 − 3 ≤ x3 − x 2 − 2 x − 12 4 ( x + 1 − 4) 2 ( 2 x + 3 − 9) ⇔ + ≤ ( x − 3) ( x 2 + 2 x + 4 ) x +1 + 2 2x + 3 + 3 4 ( x − 3) 4 ( x − 3) ⇔ + − ( x − 3) ( x 2 + 2 x + 4 ) ≤ 0 2 + x +1 3 + 2x + 3  4 4  ⇔ ( x − 3)  + − ( x + 1) − 3  ≤ 0 2 (2)  2 + x +1 3 + 2x + 3  Nhận thấy x = −1 thỏa mãn bất phương trình đã cho. 4 4 4 4 Xét với x ≥ −1 ⇒ + − ( x + 1) − 3 < + − 0 − 3 = 0. 2 2 + x + 1 3 + 2x + 3 2 + 0 3 + −2 + 3 Khi đó (2) ⇔ x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3. Kết hợp với (*) ta được x ≥ 3 thỏa mãn. Đ/s: x = −1 hoặc x ≥ 3.  x + y + 1 + x − y = 2 y + 1 Câu 7. Giải hệ phương trình  12 3 xy + 7 x = x + 8 y + 15 2 2 Lời giải.  x + y + 1 ≥ 0; x − y ≥ 0 x ≥ 0 Điều kiện  ⇔ 2 y + 1 ≥ 0; xy + 7 x ≥ 0 x ≥ y 2 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x− y x + y +1 − 2 y +1 + x − y = 0 ⇔ + x− y =0 x + y +1 + 2 y +1 x− y  x− y  ⇔ x − y. + x− y =0⇔ x− y + 1 = 0 x + y +1 + 2 y +1  x + y +1 + 2 y +1    x− y Ta có +1 > 0 ⇒ x − y = 0 ⇔ x = y . x + y +1 + 2 y +1 Phương trình thứ hai của hệ tương đương 12 3 x3 + 7 x = x 2 + 8 x + 15 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực không âm ta có 8 + 8 x + x 2 + 7 x 2 + 8 x + 15 4 3 x ( x 2 + 7 ) = 3 8.8 x ( x 2 + 7 ) ≤ = ⇒ 12 3 x3 + 7 x ≤ x 2 + 8 x + 15 . 3 3 Do đó phương trình ẩn x có nghiệm khi 8 x = x + 7 = 8 ⇔ x = 1 . 2 Kết luận hệ có nghiệm duy nhất x = y = 1 . 5 x − y + x + y − 3 = 2 + ( x + y )( 2 x − y ) + 3 x − 4 Câu 8. Giải hệ phương trình   y + 2 − x = 2 2 Lời giải.  y ≥ 0; 2 − x ≥ 0 2 Điều kiện   x + y − 3 ≥ 0;3x ≥ 4 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với ( x + y )( 2 x − y ) − 5 x + y + 2 + 3x − 4 − x + y − 3 = 0 2x − y −1 ⇔ ( x + y − 2 )( 2 x − y − 1) + =0 3x − 4 + x + y − 3  1  ⇔ ( 2 x − y − 1)  x + y − 2 + =0  3 x − 4 + x + y − 3   1 Vì x + y − 2 + > 0 ⇒ y = 2 x − 1 . Phương trình thứ hai của hệ trở thành 3x − 4 + x + y − 3 Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành 2 x − 1 + 2 − x 2 = 2 (1) . Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có 1 + 2 x −1 1 + 2 − x2 3 + 2 x − x2 2 x − 1 + 2 − x 2 = 1( 2 x − 1) + 1( 2 − x 2 ) ≤ + = 2 2 2 3 + 2 x − x 2 4 − ( x − 1) 2 4 = ≤ = 2 ⇒ 2 x − 1 + 2 − x2 ≤ 2 2 2 2 2 x − 1 = 1 Do đó phương trình (1) có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là  ⇔ x =1. 2 − x = 1 2 Đối chiếu điều kiện, kết luận hệ vô nghiệm.  x 4 + y 4 + y − 5 x + 2 = 0 Câu 9. Giải hệ phương trình  3 ( x, y ∈ R ) . 5 x − 4 x y − x y = 4 xy − 5 x + y 3 2 Lời giải: Ta có (2) ⇔ ( 5 x 3 + 5 x ) − ( 4 x 3 y + 4 xy ) − ( x 2 y + y ) = 0 ⇔ 5 x ( x 2 + 1) − 4 xy ( x 2 + 1) − y ( x 2 + 1) = 0 ⇔ ( x 2 + 1) ( 5 x − 4 xy − y ) = 0 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ⇔ 5 x − 4 xy − y = 0 ⇔ y − 5 x = −4 xy. Thế vào (1) ta được x 4 + y 4 − 4 xy + 2 = 0 ⇔ x 4 + y 4 + 2 = 4 xy. Áp dụng BĐT Côsi ta có x 4 + y 4 + 2 = x 4 + y 4 + 1 + 1 ≥ 4 4 x 4 . y 4 .1.1 = 4 xy ≥ 4 xy.  x4 = y 4 = 1  x = y = 1 Dấu " = " xảy ra ⇔  ⇔  xy ≥ 0  x = y = −1 Thử lại ta được x = y = 1 thỏa mãn. Đ/s: ( x; y ) = (1;1) . Câu 10. Giải phương trình 3x 2 − 1 + x 2 − x − x x 2 + 1 = 2 1 2 (7x 2 − x + 4). Lời giải: x ≥1 3 x 2 ≥ 1  ĐK:  2 ⇔ (*)  x ≥ x x ≤ − 1  3 • Xét với x ≥ 1 ⇒ ( x 2 − x ) − x 2 ( x 2 + 1) = − x − x 4 < 0 ⇒ x 2 ( x 2 + 1) > x 2 − x ≥ 0 ⇒ x x 2 + 1 > x 2 − x ⇒ x 2 − x − x x 2 + 1 < 0 ⇒ VT (1) < 3x 2 − 1 (2) Áp dụng BĐT Côsi ta có 2 2. 3 x 2 − 1 ≤ 2 + ( 3 x 2 − 1) = 3 x 2 + 1. Mặt khác 7 x 2 − x + 4 − ( 3 x 2 + 1) = 4 x 2 − x + 3 = 3 x 2 + x ( x − 1) + 3 > 0, ∀x ≥ 1 ⇒ 3 x 2 + 1 < 7 x 2 − x + 4 ⇒ 2 2. 3 x 2 − 1 < 7 x 2 − x + 4 ⇒ 3 x 2 − 1 < 2 1 2 (7 x 2 − x + 4 ) = VP (1) . Kết hợp với (2) ⇒ VT (1) < VP (1) ⇒ ∀x ≥ 1 đều không thỏa mãn (1). 1 1 1 • Xét với x ≤ − ta đặt x = −t ⇒ −t ≤ − ⇒t≥ . 3 3 3 Phương trình (1) trở thành 3t 2 − 1 + t 2 + t + t t 2 + 1 = 2 1 2 ( 7t 2 + t + 4) ⇔ 2 6t 2 − 2 + 2 2t 2 + 2t + 2t 2t 2 + 2 = 7t 2 + t + 4 ⇔ 2t ( ) ( 2t 2 + 2 − t − 1 + 2 2t 2 + 2t − 3t − 1 + 2 ) ( ) 6t 2 − 2 − 3t + 1 = 5t 2 − 10t + 5 2t  2t 2 + 2 − ( t + 1)  4 ( 2t 2 + 2t ) − ( 3t + 1) 2 2 6t 2 − 2 − ( 3t − 1)  2 2 ⇔  + +   = 5 t −1 2 ( ) 2t 2 + 2 + t + 1 2 2t 2 + 2t + 3t + 1 6t 2 − 2 + 3t − 1 2t ( t 2 − 2t + 1) −t 2 + 2t − 1 2 ( −3t 2 + 6t − 3) ⇔ + + = 5 ( t − 1) 2 t + 1 + 2t + 2 2 3t + 1 + 2 2t + 2t 2 3t − 1 + 6t − 2 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2 2t 1 6  ⇔ ( t − 1)  − − − 5 = 0 (2)  t + 1 + 2t + 2 3t + 1 + 2 2t + 2t 3t − 1 + 6t − 2 2 2 2  2t 1 6 Đặt T = − − − 5. t + 1 + 2t 2 + 2 3t + 1 + 2 2t 2 + 2t 3t − 1 + 6t 2 − 2 1 1 2t −5 − 3t − 5 2t 2 + 2 Với t ≥ > ⇒T < +0+0−5 = < 0. 3 3 t + 1 + 2t 2 + 2 t + 1 + 2t 2 + 2 Khi đó (2) ⇔ ( t − 1) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ − x = 1 ⇒ x = −1 thỏa mãn (*). 2 Đ/s: x = −1. Thầy Đặng Việt Hùng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022

304 tài liệu

922 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.