Dáng điệu tiệm cận của mô hình dịch tễ SIR với bước chuyển Markov

7<br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI SỐ 27+28 – 05/2018<br /> <br /> <br /> DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA<br /> MÔ HÌNH DỊCH TỄ SIR VỚI BƯỚC CHUYỂN MARKOV<br /> ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF A STOCHASTIC SIR MODEL UNDER<br /> MARKOVIAN SWITCHING<br /> Nguyễn Viết Dương1, Trần Đình Tướng2<br /> 1<br /> Khoa Cơ bản 2, Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông cơ sở tại TP. Hồ Chí Minh<br /> 2<br /> Khoa Cơ bản, Trường Đại học Giao thông Vận tải TP. Hồ Chí Minh<br /> Tóm tắt: Bài báo nghiên cứu mô hình dịch tễ SIR với nhiễu trắng và nhiễu màu. Với những giả<br /> thiết thích hợp, điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ được chỉ ra. Hơn nữa, bài báo còn chỉ ra<br /> ngưỡng để xác định tính chất nghiệm của hệ khi thời gian đủ lớn. Các ví dụ và mô phỏng số được<br /> trình bày để minh họa kết quả lý thuyết.<br /> Từ khóa: Mô hình dịch tễ SIR, sự tuyệt chủng, bước chuyển Markov.<br /> Chỉ số phân loại: 1.1<br /> Abstract: This work is concerned with long - time behavior of a SIR epidemic model perturbed by<br /> both white noise and colour noise. The existence and unique solution are given. Further, a threshold<br /> value whose sign specifies whether or not the disease goes to extinct or survive permanently is<br /> provided. Finally, some numerical solutions to illustrate our results are presented.<br /> Keywords: SIR epidemic model; extintion; regime switching; markovian switching.<br /> Classification number: 1.1<br /> 1. Giới thiệu Mckendrick đã đưa ra được mô hình dịch tễ để<br /> Lịch sử nhân loại đã trải qua rất nhiều dịch nghiên cứu tính chất mức độ ảnh hưởng của<br /> bệnh nguy hiểm. Từ năm 165 – 180 dịch bệnh loại dịch bệnh và mô hình đó được đặt tên là<br /> Antonine đã làm suy tàn đế chế La Mã từng SIR (Susceptible – Infected – Removed). Trong<br /> hùng bá châu Âu, hơn 1/3 dân số châu Âu thời mô hình này các cá thể của quần thể được chia<br /> đó ước tính hơn 5 triệu người đã thiệt mạng do làm ba loại: (S ) lớp cá thể mẫn cảm dễ bị mắc<br /> bệnh dịch này. Tới những năm 1338 – 1351 nỗi bệnh, (I) lớp những cá thể bị nhiễm bệnh và có<br /> ám ảnh kinh hoàng của loài người phải nhắc khả năng truyền bệnh đến cá thể khác, (R) lớp<br /> đến đại dịch “cái chết đen” đã lấy đi sinh mạng những cá thể nhiễm bệnh đã chết hoặc các cá<br /> hơn 75 triệu người. Ngày nay loài người cũng thể bị nhiễm bệnh nhưng có khả năng hồi phục.<br /> đã trải qua nhiều bệnh dịch nguy hiểm như Với mô hình như sau:<br /> bệnh HIV/AIDS, dịch bệnh tả, sởi, sốt rét, cúm dS (t ) = [ µ K − µ S (t ) − β S (t ) ] dt<br /> gà H5N1, SARS,…các đại dịch này đã lấy đi <br /> hàng triệu sinh mạng dẫn đến những tác động dI (t ) = [β S (t ) I (t ) − ( µ + ρ + γ ) I (t )]dt (1)<br /> dR (t ) [γ I (t ) − µ R(t )]dt.<br /> xấu đến kinh tế, xã hội. Với các thiệt hại nặng =<br /> nề do bệnh dịch gây ra, các nhà toán học đã<br /> Trong đó µ cường độ chết tự nhiên của cá<br /> nghiên cứu mô hình của các bệnh dịch nhằm dự<br /> đoán được tốc độ phát triển, phát hiện các quy thể trong quần thể, ρ cường độ chết của cá thể<br /> luật dịch tễ, các yếu tố phát triển dịch bệnh và bị nhiễm bệnh, β là hệ số truyền bệnh, γ là<br /> đưa ra cơ sở toán trong y học, sinh học để xây cường độ phục hồi của các cá thể đã bị nhiễm<br /> dựng các biện pháp phòng tránh bệnh dịch cũng bệnh, hằng số K là sức chứa các cá thể trong<br /> như giảm thiểu khả năng thiệt hại của bệnh tật. quần thể. Tuy nhiên khi hệ sinh thái trên bị tác<br /> Trong những khoảng thời gian gần đây, động các yếu tố bên ngoài, tính ổn định và cấu<br /> Bernoulli đã dùng công cụ toán để nghiên cứu trúc hệ sinh thái có thể thay đổi. Khi đó đòi hỏi<br /> ảnh hưởng của việc tiêm phòng ngừa bệnh đậu cần có nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của<br /> mùa tới tuổi thọ trung bình của con người. Tiếp quần thể hay cụ thể hơn là điều kiện để hệ thoát<br /> theo đó hai nhà toán học Kermack và li các mầm bệnh hay các cá thể bị nhiễm bệnh<br /> bị mất đi mà không để lại các yếu tố lan truyền<br /> 8<br /> Journal of Transportation Science and Technology, Vol 27+28, May 2018<br /> <br /> <br /> bệnh tật khi môi trường bị tác động bởi các yếu 2. Kết quả chính<br /> tố ngẫu nhiên như vậy là bài toán đang được<br /> Xét không gian xác suất<br /> quan tâm. Nếu hệ số truyền bệnh β chịu tác<br /> (Ω,  ,{ t }t ≥ 0 , P ) . Gọi B (t ) là quá trình<br /> động bởi “nhiễu trắng”. Khi đó hệ số truyền<br /> bệnh sẽ bị chịu thêm tác động của nhiễu trắng Weiner một chiều được xác định trên không<br /> và hệ (1) trở thành: gian xác suất. Kí hiệu:<br /> <br /> dS (t ) = [ µ K − µ S (t ) − β S (t ) ] dt  2+ = ( x, y ) ∈  2 , x > 0, y > 0,<br />  =∆ {( x, y ) ∈  2+ : x + y < K };  2<br />  − σ S (t ) I (t )dB(t )<br /> <br /> dI (t ) = [β S (t ) I (t ) − ( µ + ρ (2) là không gian Euclide hai chiều và | . | là chuẩn<br />  + γ ) I (t )]dt + σ S (t ) I (t )dB(t ) Euclide thông thường. Gọi rt , t ≥ 0 là xích<br /> <br /> =<br /> dR (t ) [γ I (t ) − µ R(t )]dt. Markov liên tục phải trên không gian xác suất<br /> đầy đủ nhận giá trị trên không gian hữu hạn<br /> Trong một số trường hợp, ngoài tác động trạng thái S = (1, 2,..., N ); (1 ≤ N < ∞) với ma<br /> của nhiễu trắng, hệ sinh thái còn chịu tác động<br /> của nhiễu điện tín hay còn gọi là nhiễu màu. trận sinh Γ =( γ ij ) xác định bởi:<br /> n× n<br /> Chẳng hạn sự khác biệt về mùa mưa và mùa<br /> P {= | rt i}<br /> rt +δ j=<br /> khô cũng gây nên ảnh hưởng đến hệ sinh thực<br /> vật của quần thể. Những tác động này có tính γ ijδ + o(δ ) khi  i ≠ j<br /> không nhớ (memoryless) và có thể minh hoạ =<br /> 1 + γ iiδ + o(δ ) khi i=j<br /> như một bước chuyển Markov giữa ít nhất là<br /> hai trạng thái của môi trường. Hệ với bước khi δ → 0 . Do vậy, γ ij là cường độ chuyển từ<br /> chuyển Markov này đã được ứng dụng rộng i đến j và γ ij ≥ 0 nếu i ≠ j . Do vậy<br /> khắp trong lý thuyết điều khiển, hệ sinh thái và<br /> toán tài chính. .. Ngày càng nhiều tác giả tập γ ii = −∑ i ≠ j γ ij . Giả sử rằng xích Markov rt<br /> trung vào hướng nghiên cứu này (xem luôn độc lập với Bt .<br /> [1,3,4,7]). Trong bài báo này nhóm nghiên cứu<br /> dáng điệu nghiệm của mô hình: Bổ đề 2.1 (Lipschitz địa phương) Xét<br /> phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước<br /> dS (t ) = [ µ (rt ) K − µ (rt ) S (t ) − β (rt ) S (t ) I (t )] dt<br />  chuyển Markov có dạng:<br />  − σ (rt ) S (t ) I (t )dB(t )<br />  d x(t ) = f ( x(t ), t , r (t ) ) dt<br /> dI (t ) = [ β (rt ) S (t ) I (t ) − ( µ (rt ) + ρ (rt ) (3) (4)<br />  + g ( x(t ), t , r (t ) ) dW (t )<br /> + γ (rt )) I (t )]dt + σ (rt ) S (t ) I (t )dB(t )<br /> <br /> = dR(t ) [γ (rt ) I (t ) − µ (rt ) R(t )]dt. với t ≥ 0 , giá trị ban đầu x(0) = x0 ∈  2 ,<br /> W (t ) là chuyển động Brown m − chiều và hàm<br /> Tiêu điểm và cấu trúc chính của bài báo<br /> được trình bày thành như sau. Mục 1 đề cập về f , g được định nghĩa:<br /> tổng quan và hướng nghiên cứu bài báo. Mục 2 f , g : n ×  + × S → n<br /> trình bày những kết quả chính của bài báo. Đầu<br /> tiên chúng tôi chứng minh (3) tồn tại nghiệm f ( x, t , u ) − f ( y , t , u ) ∨ g ( x, t , u ) − g ( y , t , u )<br /> 2 2<br /> <br /> <br /> dương duy nhất và tính bất biến của tập  2+ .<br /> ≤ lk x − y<br /> 2<br /> <br /> Tiếp theo chúng tôi đưa ra ngưỡng λ mà theo<br /> khi đó (4) tồn tại nghiệm dương địa phương<br /> đó ta có thể xác định dáng điệu nghiệm của hệ<br /> duy nhất cực đại.<br /> khi thời gian đủ dài. Sử dụng kỹ thuật tương tự<br /> như trong [8], chúng tôi chứng minh được khi Chứng minh. Xem [6].<br /> λ < 0 hệ tuyệt chủng nghĩa là các cá thể bị Định lý 2.1 Với các giá trị ban đầu<br /> nhiễm bệnh sẽ bị diệt vong. Mục 3 dành để tóm ( S (0), I (0) ) ∈  2+ , thì (3) có một nghiệm<br /> tắt những kết quả chính đã đạt được và trình dương duy nhất ( S (t ), I (t ) ) ∈  2+ với t ≥ 0 và<br /> bày những hướng nghiên cứu tiếp theo.<br />  9<br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI SỐ 27+28 – 05/2018<br /> <br /> <br /> nghiệm này sẽ ở lại  2+ với xác suất 1, nghĩa V ( x, y, i ) = ( K − x) 2 + y p với p ∈ (0,1) là<br /> là ( S (t ), I (t ) ) ∈  2+ với mọi t ≥ 0 hầu chắc hằng số cho trước. Bằng tính toán trực tiếp toán<br /> chắn. tử  tương ứng với (3) với ( x, y, i ) ∈ ∆ × N ta<br /> Chứng minh. Với các hệ số của hệ phương được:<br /> trình là (3) là Lipschitz liên tục địa phương, iV ( x, y, i ) =−2( K − x)[− β (i ) xy + µ (i )( K − x)]<br /> theo Bổ đề 2.1 với bất kỳ giá trị ban đầu + py p [ β (i ) x − µ (i ) − ρ (i )<br /> ( S (0), I (0) ) ∈  2+ thì tồn tại duy nhất<br /> σ 2 (i ) x 2 2 2 2 p 2σ 2 (i ) x 2 y p<br /> ( S (t ), I (t ) ) là nghiệm địa phương cực đại với −γ (i ) − + x y σ (i )] +<br /> 2 2<br /> t ∈ [ 0,τ e ) , trong đó τ e là thời điểm nổ. Để<br /> ≤ −2 µ (i )( K − x) + py [ β (i ) x − ( µ (i ) + ρ (i )<br /> 2 p<br /> <br /> chứng minh nghiệm trên là toàn cục ta cần<br /> σ 2 (i ) x 2<br /> chứng minh rằng τ e = ∞ hầu chắc chắn. Việc +γ (i ) + ] + y (2( K − x) β (i ) x + x 2 yσ 2 (i ))<br /> 2<br /> chứng minh phần còn lại khá cơ bản bằng việc<br /> xét hàm Lyapunov p 2σ 2 (i ) x 2 y p<br /> + .<br /> V ( x, y ) = x − 1 − ln x + y − 1 − ln y và để đảm 2<br /> bảo khuôn khổ bài báo nhóm nghiên cứu bỏ Do tính liên tục của các hệ số, tính<br /> qua phần chứng minh còn lại, nếu quan tâm compact của tập ∆ × N và y1− p → 0 khi<br /> thêm có thể xem tài liệu [5]. ∎ y → 0 , ta có thể chọn p ∈ (0,1) và<br /> Theo công thức Itô, gọi ngưỡng: δ1 ∈ (0, K ) sao cho với mỗi ( x, y, i ) ∈ δ × N , 1<br /> N<br /> σ 2 (i) K 2 với<br /> λ : ∑[β (i) K − ( µ (i) + ρ (i) + γ (i) +<br /> = )]π i<br /> i =1 2<br /> (5) δ :=<br /> 1<br /> ( K − δ1 , K ] × [0, δ1 ) , ta có<br /> N<br /> = ∑ λ (i)π i . σ 2 (i ) x 2<br /> i =1<br /> py p ( β (i ) x − ( µ (i ) + ρ (i ) + γ (i ) + )<br /> 2<br /> Định lí 2.2 Với λ < 0 được xác định như p 2σ 2 (i ) x 2 y p<br /> trên và với điều kiện ban đầu + y (2( K − x) β (i ) x + x 2 yσ 2 (i )) +<br /> 2<br /> I (0), S (0) ∈ ∆ , trạng thái i ∈ N ta có:<br /> ≤ p(λ (i ) + κ ) y .<br /> p<br /> <br /> a)= limS(t ) K hầu chắc chắn.<br /> lim I (t ) 0,=<br /> t →∞ t →∞ Khi p đủ nhỏ, ta có:<br /> <br /> b) lim<br /> ln I (t )<br /> = λ < 0 hầu chắc chắn. −2µ (i )( K − x) 2 ≤ p(λ (i ) + κ )( K − x) 2 .<br /> t →∞ t Do vậy,<br /> Để chứng minh Định lý 2.2 ta cần chứng<br /> iV ( x, y, i ) ≤ p[λ (i ) + κ ]V ( x, y, i ) , với mọi<br /> minh hai bổ đề sau.<br /> Bổ đề 2.2 Nếu λ < 0 , với bất kỳ ε > 0 , ( x, y, i ) ∈ δ × N .<br /> 1<br /> <br /> tồn tại một δ > 0 sao cho với mọi Theo [2, Định lý 3.4] với mỗi ε > 0, với<br /> ( s0 , i0 , i ) ∈ δ × N := ( K − δ , K ] × [0, δ ) × N , điều kiện ban đầu ở trạng thái i ∈ N<br /> với điều kiện ban đầu<br /> = S ( 0 ) s=<br /> 0 ; I ( 0) i0 S ( 0 ) s=<br /> = 0 ; I ( 0) i0 , ta có 0 < δ < δ1 sao cho<br /> <br /> {<br /> ta có P lim I(t) = 0 ≥ 1 − ε ,<br /> t →∞<br /> } { } {<br /> P lim(I(t) = 0 ≥ 1 − ε ; P lim( S (t)= K ≥ 1 − ε .<br /> t →∞ t →∞<br /> }<br /> {<br /> P lim S (t)= K ≥ 1 − ε .<br /> t →∞<br /> } ∎<br /> Với mỗi δ > 0, và điều kiện ban đầu ở<br /> Chứng minh. Với λ < 0 , chúng ta có thể , S ( 0 ) s=<br /> trạng thái i ∈ N= 0 ; I ( 0) i0 , gọi thời<br /> chọn k > 0 đủ nhỏ sao cho:<br /> ∑ (λ (i) + k )π j < 0. Xét hàm Lyapunov điểm đầu tiên mà ( S (t ), I (t )) thuộc δ là<br /> j∈N<br /> τ δ :=<br /> inf{t > 0 : ( S (t ), I (t )) ∈ δ }.<br />  10<br /> Journal of Transportation Science and Technology, Vol 27+28, May 2018<br /> <br /> <br /> <br /> Xét bổ đề sau:<br /> { } { }<br /> P lim I(t) = 0 ≥ 1 − ε ; P lim S (t)= K ≥ 1 − ε .<br /> t →∞ t →∞<br /> <br /> <br /> Bổ đề 2.3. Với mỗi δ > 0, và với điều kiện Do vậy ta có<br /> ban đầu ở trạng thái i∈N , = lim I (t ) 0,=<br /> limS(t ) K ( 12)<br /> t →∞ t →∞<br /> S ( 0 ) s=<br /> = 0 ; I ( 0) i0 ta có τ δ < ∞ hầu chắc<br /> hầu chắc chắn trong đó ( x, y, i ) ∈ ∆ × N .<br /> chắn.<br /> Kết quả Định lý 2.2.b. được suy ra trực tiếp<br /> Chứng minh. Xét hàm Lyapunov từ việc áp dụng công thức Itô cho phương trình<br /> U ( x, y, i ) = c1 − ( x + 1)c2 , trong đó c1 , c2 là hai của các cá thể bị nhiễm bệnh. ∎<br /> hằng số dương được xác định. Ta có Ví dụ minh họa<br /> −c2 ( x + 1)c2 − 2 [( x + 1)( µ (i )( K − x)<br /> U ( x, y, i ) = Để minh họa kết quả trên chúng tôi xét ví<br /> c2 − 1 2 dụ sau. Giả sử rằng xích Markov liên tục<br /> − β (i ) xy ) +<br /> σ (i ) x 2 y 2 ]. {rt , t ≥ 0} chỉ nhận hai giá trị của trạng thái<br /> 2<br /> Đặt =µm min{µ (i ) : i ∈ N }. Do N = {1,2} nghĩa là khi rt = 1 chúng ta xét ở<br /> ( x + 1) µ (i )( K − x) ≥ δ với mỗi x ∈ [0, K − δ ], trạng thái 1 và rt = 2 chúng ta xét ở trạng thái 2.<br /> ta có thể tìm được c2 đủ lớn sao cho Cường độ để chuyển từ trạng thái 1 sang trạng<br /> thái 2 là v12 = 0.5 và chuyển từ trạng thái 2<br /> ( x + 1) µ (i )( K − x) − β (i ) xy<br /> sang trạng thái 1 là v21 = 0.8 , thì phân phối<br /> c −1 2 2<br /> + 2 x y σ (i ) ≥ 0.5µmδ , 8 5<br /> 2 dừng<br /> = π π1 , π 2 )<br /> (=  ,  . Giả sử rằng<br /> với ( s0 , i0 , i ) ∈ ∆ × N , x ≤ K − δ ,  13 13 <br /> K = 10; µ (1) = 1.3; µ (2) = 1; β (1) = 8;<br /> U ( x, y, i ) ≤ −0.5c2 µmδ β (2) = 4; σ (1) = 1; σ (2) = 1, 2; γ (1) = 1;<br /> trong đó ( x, y, i ) ∈ ∆ × N , x ≤ K − δ γ (2) = 2. Bằng tính toán trực tiếp ta có<br /> Với điều kiện ban đầu ở trạng thái λ= −2.3 < 0 , bởi vậy với t → ∞ thì I (t ) → 0<br /> i ∈ N , S ( 0 ) = s0 ; I ( 0 ) = i0 . Theo công thức và S (t ) → K , cho ta kết quả minh họa bởi hình<br /> Dynkin ta có 1.<br /> EU ( S (τ δ ), I (τ δ ), rτ δ ) = U ( s0 , i0 , i )<br /> τδ<br /> + E ∫ U (( S (t ), I (t )), rt )dt<br /> 0<br /> <br /> ≤ U ( s0 , i0 , i ) − 0.5c2 µmδ Eτ δ .<br /> Do U bị chặn trên trên miền  2+ , do vậy<br /> Eτ δ < ∞ . Điều này dẫn đến τ δ < ∞ hầu chắc<br /> chắn. ∎<br /> Chứng minh Định lý 2.2.a.<br /> Theo Bổ đề 2.2, I (t ) → 0 (trạng thái hết<br /> nhiễm bệnh) là ổn định địa phương. Mặt khác<br /> theo Bổ đề 2.3, với mọi δ > 0 cho trước, và Hình 1. Quỹ đạo của I (t ) trong trường hợp λ < 0<br /> điều kiện ban đầu ở trạng thái (đường màu xanh).<br /> i ∈ N , S ( 0 ) = s0 ; I ( 0 ) = i0 , thời điểm đầu tiên Trong hình 1 ta thấy rằng khi t → ∞ thì<br /> để δ ∈ ( S (t ), I (t )) là vô cùng. Kết hợp với I (t ) → 0 có nghĩa là các cá thể bị nhiễm bệnh<br /> bị tuyệt chủng. Trong khi đường màu đỏ thể<br /> tính Markov mạnh của hệ, ta có:<br /> hiện sự dịch chuyển giữa hai trạng thái của hệ.<br />  11<br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI SỐ 27+28 – 05/2018<br /> <br /> <br /> xin cảm ơn tới Khoa Cơ bản 2, Học viện Công<br /> nghệ Bưu chính viễn thông; Khoa Cơ bản,<br /> Trường Đại học Giao thông vận tải thành phố<br /> Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt nhất cho<br /> chúng tôi hoàn thành bài báo này. Lời cuối<br /> cùng, chúng tôi xin chân thành các phản biện đã<br /> dày công đọc và góp nhiều ý kiến xác đáng, giá<br /> trị nhằm tăng cướng chất lượng bài báo<br /> Tài liệu tham khảo<br /> [1] B. Cloez and M. Hairer, Exponential ergodicity for<br /> Markov processes with random switching, Bernoulli<br /> Hình 2. Quỹ đạo của S (t ) trong trường hợp λ < 0 21 (2015), 505-536.<br /> (đường màu xanh). [2] N. H. Dang, G. Yin, Stability of Regime-Switching<br /> Diffusion Systems with Discrete States Belonging to<br /> Trong hình 2 ta thấy rằng khi t → ∞ thì a Countable Set, submitted, (2017). Available at<br /> S (t ) → K = 10 là sức chứa của hệ. Kết quả mô https://arxiv.org/abs/1710.02887.<br /> phỏng phù hợp với kết quả bài báo. [3] N. H. Du and N. H. Dang, Dynamics of Kolmogorov<br /> systems of competitive type under the telegraph<br /> 3. Kết luận noise, J. Differential Equations, 250 (2011), 386-<br /> Bài báo nghiên cứu tính chất nghiệm của 409.<br /> mô hình dịch tễ SIR chịu cả nhiễu trắng và [4] N. H. Du and N. H. Dang, Asymptotic behavior of<br /> nhiễu màu. Bằng việc xây dựng ngưỡng để Kolmogorov systems with predator-prey type in<br /> nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của quần thể, random environment, Commun. Pure Appl. Anal.<br /> 13 (2014), no. 6, 2693-2712.<br /> bài báo này chỉ ra khi ngưỡng λ < 0 các cá thể<br /> [5] Y. Guo, The Behavior of an SIR Epidemic Model<br /> bị nhiễm bệnh sẽ bị diệt vong. Khi đó các cá thể with Stochastic Perturbation, Physica A 479, (2017)<br /> còn lại sẽ tồn tại ổn định tới sức chứa tối đa của 1–11.<br /> môi trường. Do sự giới hạn về khuôn khổ của [6] C. Ji, Daqing J., Ningzhong S., Stochastic<br /> tạp chí, nhiều tính chất và chứng minh chi tiết population dynamics under regime switching,<br /> chưa được trình bày ở đây. Những bài toán lý Stochastic Analysis and Applications, (2012) 755-<br /> thú của hệ như trong trường hợp λ > 0 thì dáng 773.<br /> điệu tiệm cận hệ sẽ như thế nào, tính chất điều [7] M. Pinsky and R. Pinsky, Transience recurrence<br /> and central limit theorem behavior for diffusions<br /> khiển của tập nghiệm cũng như sự tác động đột in random temporal environments, Ann. Probab.,<br /> ngột gây sốc của môi trường sẽ được nghiên 21, (1993) 433-452.<br /> cứu trong các bài báo tiếp sau. [8] T. D. Tuong, Dang H. Nguyen, N. T. Dieu, Ky<br /> 4. Lời cảm ơn Tran, Extinction and permanence in a stochastic<br /> SIRS model in regime-switching with general<br /> Bài báo này được tài trợ một phần từ đề tài incidence rate, (submitted), 2018.<br /> “Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của mô hình Ngày nhận bài: 28/2/2018<br /> dịch tễ với bước chuyển Markov” với mã số Ngày chuyển phản biện: 2/3/2018<br /> KH1702. Nhóm tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn Ngày hoàn thành sửa bài: 23/3/2018<br /> đến TS. Nguyễn Thanh Diệu đã giúp đỡ và đưa Ngày chấp nhận đăng: 29/3/2018<br /> ra những lời nhận xét xác đáng để bài báo của<br /> chúng tôi hoàn thiện hơn. Ngoài ra chúng tôi<br />