Đẳng thức lượng giác đến bất đẳng thức đại số P1

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

422
lượt xem 153
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

" Đẳng thức lượng giác đến bất đẳng thức đại số P1 " để giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đẳng thức lượng giác đến bất đẳng thức đại số P1

G.NTH 1. C¸c kiÕn thøc cÇn n¾m 1.1. C¸c hÖ thøc c¬ b¶n 1 π + cos 2 α + sin 2 α = 1 + 1 + tg2α = (α ≠ + kπ) cos α 2 2 kπ 1 + tgα . cotgα = 1 (α ≠ ) + 1 + cotg2α = (α ≠ kπ) 2 sin 2 α 1.2. C«ng thøc céng gãc + cos(α ± β) = cosα cosβ  sinα sinβ + sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ tgα ± tgβ π + tg (α ± β) = (α ; β ≠ + kπ) 1  tgα tgβ 2 cot gα. cot gβ  1 + cotg(α ± β) = (α; β ≠ kπ) cot gα ± cot gβ 1.3. C«ng thøc nh©n + sin2α = 2 sinα cosα + cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α 2 tgα π π + tg2α = (α ≠ + k ) 1 − tg α 2 4 2 cot g 2 α − 1 kπ + cotg2α = (α ≠ ) 2 cot gα 2 + sin3α = 3sinα - 4sin3α + cos3α = 4cos3α - 3cosα 3tgα − tg 3α π π + tg3α = (α ≠ + k ) 1 − 3tg α3 6 3 1.4. C«ng thøc h¹ bËc 1 + cos 2α 1 − cos 2α + cos2α = + sin2α = 2 2 1 − cos 2α π + tg2α = (α ≠ + kπ) 1 + cos 2α 2 1.5. C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch: α+β α −β + cosα + cosβ = 2cos cos 2 2 α +β α β + cosα - cosβ = - 2sin sin 2 2 α+β α β + sinα + sinβ = 2sin cos 2 2 α +β α −β + sinα - sinβ = = - 2cos sin 2 2 1
G.NTH sin(α ± β) π + tgα ± tgβ = (α; β ≠ + kπ) cos α. cos β 2 1.6. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng: 1 + cosα.cosβ = [cos(α + β) + cos(α − β)] 2 1 + sinα.sinβ = [cos(α − β) + cos(α + β)] 2 1 + sinα.cosβ = [sin(α + β) + sin(α − β)] 2 BiÓu thøc lîng gi¸c BiÓu thøc ®¹i sè C«ng thøc lîng gi¸c t¬ng tù 1 1 + x2 1 + tan2t 1+tan2t = cos 2 t 4x3 - 3x 4cos3t - 3cost 4cos3t - 3cost = cos3t 2x2 - 1 2cos2t - 1 2cos2t - 1 = cos2t 2x 2 tan t 2 tan t = tan2t 1− x2 1 − tan 2 t 1 − tan 2 t 2x 2 tan t 2 tan t = sin2t 1+ x2 1 + tan 2 t 1 + tan 2 t x+y tan  + tan  tan  + tan  = tan(α+β) 1 − xy 1 − tan  tan  1 − tan  tan  1 1 x2 - 1 −1 − 1 = tan2α cos α 2 cos α 2 ... .... ...... mét sè ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè I. D¹ng 1: Sö dông hÖ thøc sin2 + cos2 = 1 1) Ph¬ng ph¸p: x = sin α a) NÕu thÊy x2 + y2 = 1 th× ®Æt  víi α ∈ [0, 2π]  y = cos α  x = r sin  b) NÕu thÊy x2 + y2 = r2 (r > 0) th× ®Æt  víi α ∈ [0, 2π]  y = r cos  2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Cho 4 sè a, b, c, d tho¶ m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = 1 Chøng minh r»ng: − 2 ≤ a(c+d) + b(c-d) ≤ 2 2
G.NTH Gi¶i: a = sin u c = sin v §Æt  vµ  ⇒ S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) b = cos u d = cos v ⇒ P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v)  π ⇔ S = 2 sin(u + v) −  ∈[− 2, 2] ⇒ − 2 ≤ S = a(c + d) + b(c − d) ≤ 2 (®pcm)  4 2 2  1  1  25 VD2: Cho a + b = 1. Chøng minh r»ng:  a 2 + 2  +  b 2 + 2  ≥ 2 2  a   b  2 Gi¶i: §Æt a = cosα vµ b = sinα víi 0 ≤ α ≤ 2π. ThÕ vµo biÓu thøc vÕ tr¸i råi biÕn ®æi. 2 2 2 2  2 1  2 1   2 1   2 1   a + 2  +  b + 2  =  cos α +  +  sin α + 2   a   b   cos α   2 sin α  1 1 cos 4 α + sin 4 α = cos4α + sin4α + + 4 + 4 = cos 4 α + sin 4 α + +4 cos 4 α sin α cos 4 α. sin 4 α (  = cos 4 α + sin 4 α 1 +) 1  +4  cos α. sin α  4 4 [( )  = cos 2 α + sin 2 α − 2 cos 2 α sin 2 α 1 +] 1  +4  cos α. sin α  4 4  1  16   1 17 25 = 1 − sin 2 2α 1 + 4  + 4 ≥ 1 − (1 + 16) + 4 = + 4 = (®pcm)  2  sin 2α   2 2 2 B©y giê ta ®Èy bµi to¸n lªn møc ®é cao h¬n mét bíc n÷a ®Ó xuÊt hiÖn a2+b2=1 VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chøng minh r»ng: A = a 2 − b 2 + 2 3ab − 2(1 + 2 3 )a + (4 − 2 3 )b + 4 3 − 3 ≤ 2 Gi¶i: BiÕn ®æi ®iÒu kiÖn: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0⇔ (a-1)2 + (b-2)2 = 1 a − 1 = sin α a = 1 + sin α §Æt  ⇒ ⇒ A = sin 2 α − cos 2 α + 2 3 sin α cos α b − 2 = cos α b = 2 + cos α 3 1 π A = 3 sin 2α − cos 2α = 2 sin 2α − cos 2α = 2 sin( 2α − ) ≤ 2 (®pcm) 2 2 6 VD4: Cho a, b tho¶ m·n : 5a + 12b + 7 = 13 3
G.NTH Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 Gi¶i: BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 ⇔ (a-1)2 + (b + 1)2 ≥ 1 a − 1 = R sin α a = R sin α + 1 §Æt  víi R ≥ 0 ⇔  ⇔ (a − 1) 2 + (b + 1) 2 = R 2 b + 1 = R cos α b = R cos α − 1 Ta cã: 5a + 12b + 7 = 13 ⇔ 5(R sin α + 1) + 12(R cos α − 1) + 7 = 13 5 12  5 ⇔ 5R sin α + 12R cosα = 13 ⇔ 1 = R sin α + cosα = R sin α + arccos  ≤ R 13 13  13 Tõ ®ã ⇒ (a-1)2 + (b+1)2 = R2 ≥ 1 ⇔ a2 + b2 + 2(b - a) ≥ - 1 (®pcm) II. D¹ng 2: Sö dông tËp gi¸ trÞ | sin α |≤ 1 ; | cos α | ≤ 1 1. Ph¬ng ph¸p:      x = sin  khi  ∈  − 2 ; 2  a) NÕu thÊy |x| ≤ 1 th× ®Æt     x = cos  khi  ∈ [ 0;  ]       x = m sin  khi  ∈  − 2 ; 2  b) NÕu thÊy |x| ≤ m ( m ≥ 0 ) th× ®Æt     x = m cos  khi  ∈ [ 0;  ]  2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Chøng minh r»ng: (1+x)p + (1-x)p ≤ 2p ∀ |x| ≤ 1 ; ∀ P ≥ 1. Gi¶i: §Æt x = cosα víi α ∈ [0, π], khi ®ã (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cosα)p + (1-cosα)p p p  α  α  α α  α α =  2 cos 2  +  2 sin 2  = 2 p  cos 2 p + sin 2 p  ≤ 2 p  cos 2 + sin 2  = 2 p  2  2  2 2  2 2 (®pcm) 3−2 3+2 VD2: Chøng minh r»ng: ≤ 3x 2 + x 1 − x 2 ≤ 2 2 Gi¶i: Tõ ®k 1 - x2 ≥ 0 ⇔ |x| ≤ 1 nªn §Æt x = cosα víi 0 ≤ α ≤ π ⇒ 1 − x 2 = sinα. Khi ®ã ta cã: P= 2 3 x 2 + 2 x 1 − x 2 = 2 3 cos 2  + 2 cos  sin  = 3 (1 + cos 2 ) + sin 2 4
G.NTH  3 1   π = 2 cos2α + sin 2α + 3 = 2 sin 2α +  + 3 ⇒ 3 − 2 ≤ A ≤ 3 + 2 (®pcm) 2 2   3 VD3: Chøng minh r»ng: 1 + 1 − a 2 [ (1 + a) 3 ] − (1 − a )3 ≤ 2 2 + 2 − 2a 2 (1) Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn α α §Æt a=cosα víi α∈[0,π] ⇒ 1 − a = 2 sin ; 1 + a = 2 cos ; 1 − a 2 = sin α 2 2 α α  α α α α (1)⇔ 1 + 2 sin cos .2 2 cos 3 − sin 3  ≤ 2 2 + 2 2 sin cos 2 2  2 2 2 2  α α  α α  α α α α α α ⇔  sin + cos  cos − sin  cos2 + sin cos + sin 2  ≤ 1 + sin cos  2 2  2 2  2 2 2 2 2 2  α α  α α α α ⇔  sin + cos  cos − sin  = cos 2 − sin 2 = cos α ≤ 1 ®óng ⇒ (®pcm)  2 2  2 2 2 2 ( ) ( VD4: Chøng minh r»ng: S = 4 (1 − a 2 )3 − a 3 + 3 a − 1 − a 2 ≤ 2 ) Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn: §Æt a = cosα víi α ∈ [0, π] ⇒ 1 − a 2 = sinα. Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã: S= 4(sin 3 α − cos 3 α) + 3(cos α − sin α) = (3 sin α − 4 sin 3 α) + (4 cos 3 α − 3 cos α)  π = sin 3α + cos 3α = 2 sin  3α +  ≤ 2 ⇒ (®pcm)  4 ( VD5: Chøng minh r»ng A = a 1 − b 2 + b 1 − a 2 + 3 ab − (1 − a 2 )(1 − b 2 ) ≤ 2 ) Gi¶i: Tõ ®iÒu kiÖn: 1 - a2 ≥ 0 ; 1 - b2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 nªn.  π π §Æt a = sinα, b = sin β víi α, β ∈ − ;   2 2 Khi ®ã A = sin α cos β + cos α sin β − 3 cos(α + β) = 1 3  π = sin(α + β) − 3 cos(α + β) = 2 sin(α + β) − cos(α + β) = 2 sin(α + β) −  ≤ 2 2 2  3 (®pcm) VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| ≤ 1 ∀a ∈ [1; 3] 5
G.NTH Gi¶i: Do a ∈ [1, 3] nªn |a-2| ≤ 1 nªn ta ®Æt a - 2 = cosα ⇔ a = 2 + cosα. Ta cã: A = 4(2 + cosα)3 − 24 2 + cosα)2 + 45 2 + cosα) − 26 = 4cos α − 3cosα = cos3α ≤1 ( ( 3 (®pcm) VD7: Chøng minh r»ng: A = 2a − a 2 − 3a + 3 ≤ 2 ∀ a ∈[0, 2] Gi¶i: Do a ∈ [0, 2] nªn |a-1| ≤ 1 nªn ta ®Æt a - 1 = cosα víi α ∈ [0, π]. Ta cã: A= 2(1 + cos α ) − (1 − cos α ) 2 − 3 (1 + cos α ) + 3 = 1 − cos 2 α − 3 cos α 1 3   π = sin α − 3 cos α = 2 sin α − 2 cos α  = 2 sin  α +  ≤ 2 (®pcm)   2   3 1 1 π III. D¹ng 3: Sö dông c«ng thøc: 1+tg2 = ⇔tg2α= 2 −1 (α ≠ + kπ) cos α 2 cos α 2 1) Ph¬ng ph¸p: a) NÕu |x| ≥ 1 hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc x2 −1 1  π   3π  th× ®Æt x = víi α∈ 0;  ∪ π,  cos α  2  2  b) NÕu |x| ≥ m hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc x 2 − m2 m  π   3π  th× ®Æt x = víi α∈ 0;  ∪ π,  cos α  2  2  2. C¸c vÝ dô minh ho¹: a2 −1 + 3 VD1: Chøng minh r»ng A = ≤ 2 ∀ a ≥1 a Gi¶i: Do |a| ≥ 1 nªn : 1  π   3π  §Æt a = víi α∈ 0;  ∪ π,  ⇒ a 2 − 1 = tg 2 α = tgα . Khi ®ã: cos α  2  2  a 2 −1 + 3  π A= = (tgα + 3) cosα = sin α + 3 cosα = 2 sin α +  ≤ 2 (®pcm) a  3 5 − 12 a 2 − 1 VD2: Chøng minh r»ng: - 4 ≤ A = ≤ 9 ∀ a ≥1 a2 Gi¶i: 6
G.NTH Do |a| ≥ 1 nªn: 1  π   3π  §Æt a = víi α∈ 0;  ∪ π,  ⇒ a 2 − 1 = tg 2 α = tgα . Khi ®ã: cos α  2  2  5−12 a2 −1 5(1+ cos2α) A = 2 = (5-12tgα)cos2α = 5cos2α-12sinαcosα= − 6sin2α a 2 5 13  5 12  5 13  5 = +  cos 2α − sin 2α  = + cos 2α + arccos  2 2  13 13  2 2  13  5 13 5 13  5  5 13 ⇒-4= + (−1) ≤ A = + cos 2α + arccos  ≤ + .1 = 9 (®pcm) 2 2 2 2  13  2 2 a 2 − 1 + b2 − 1 VD3: Chøng minh r»ng: A = ≤1 ∀ a ; b ≥1 ab Gi¶i: Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nªn . 1 1  π   3π  §Æt a = ;b= víi α∈ 0;  ∪ π,  . Khi ®ã ta cã: cos α cos β  2  2  A = ( tgα + tgβ) cos α cos β = sin α cos β + sin β cos α = sin(α + β) ≤ 1 (®pcm) a VD4: Chøng minh r»ng: a + ≥ 2 2 ∀ a >1 a −1 2 Gi¶i: Do |a| > 1 nªn: 1  π a 1 1 1 §Æt a = víi α∈  0;  ⇒ = . = . Khi ®ã: cos α  2 a 2 − 1 cos α tg 2 α sin α a 1 1 1 1 2 2 a+ = + ≥ 2. . = ≥ 2 2 (®pcm) a2 −1 cos α sin α cos α sin α sin 2α VD5: Chøng minh r»ng y x 2 − 1 + 4 y 2 − 1 + 3 ≤ xy 26 ∀ x ; y ≥ 1 Gi¶i: x2 − 1   1  4 y2 − 1 3  BÊt ®¼ng thøc ⇔ + + ≤ 26 (1) x x y y   1 1  π Do |x|; |y| ≥ 1 nªn §Æt x = ; y= víi α, β∈ 0 . , cos α cosβ  2 7