Đánh giá sức chịu tải và cơ cấu trượt của nền công trình bằng phương pháp phân tích giới hạn

Journal of Thu Dau Mot university, No2(4) – 2012<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ÑAÙNH GIAÙ SÖÙC CHÒU TAÛI VAØ CÔ CAÁU TRÖÔÏT<br /> CUÛA NEÀN COÂNG TRÌNH BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP<br /> PHAÂN TÍCH GIÔÙI HAÏN<br /> Leâ Vaên Caûnh , Nguyeãn Chaùnh Hoaøng(2), Nguyeãn Keá Töôøng(3)<br /> (1)<br /> <br /> <br /> (1) Tröôøng Ñaïi hoïc Quoác teá – Ñaïi hoïc Quoác gia TP. HCM<br /> (2) Tröôøng Ñaïi hoïc Baùch khoa – Ñaïi hoïc Quoác gia TP.HCM<br /> (3) Tröôøng Ñaïi hoïc Thuû Daàu Moät<br /> <br /> <br /> TOÙM TAÉT<br /> Trong baøi baùo naøy, chuùng toâi trình baøy phöông phaùp soá phaân tích giôùi haïn ñeå ñaùnh<br /> giaù söùc chòu taûi vaø cô caáu tröôït cuûa neàn coâng trình. Neàn ñaát ñöôïc moâ hình theo tieâu<br /> chuaån deûo Mohn – Coulomb vôùi giaû thieát luaät chaûy deûo keát hôïp. Töø ñoù, caän treân cuûa taûi<br /> troïng giôùi haïn ñöôïc phoûng ñoaùn bôûi thuaät toaùn soá phaân tích giôùi haïn ñoäng hoïc. Phöông<br /> phaùp phaàn töû höõu haïn trôn döïa treân caïnh ES-FEM ñöôïc duøng ñeå xaáp xæ tröôøng chuyeån<br /> vò, vaø hieän töôïng locking seõ ñöôïc khöû. Baøi toaùn phaân tích giôùi haïn sau ñoù ñöôïc chuyeån<br /> veà daïng baøi toaùn toái öu toaùn hoïc maø chuùng ta coù theå giaûi duøng caùc thuaät toaùn toái öu<br /> tuyeán tính. Phöông thöùc soá maø chuùng toâi ñeà xuaát seõ ñöôïc aùp duïng ñeå giaûi baøi toaùn<br /> moùng noâng vaø keát quaû ñaït ñöôïc cho caùc baøi toaùn thöïc tieãn laø toát.<br /> Töø khoùa: phaân tích giôùi haïn, taûi troïng giôùi haïn<br /> *<br /> <br /> 1. Giôùi thieäu hoaëc caän döôùi ñeå phoûng ñoaùn taûi troïng giôùi<br /> Taûi troïng giôùi haïn cuûa neàn moùng noâng haïn. Vì vieäc thieát laäp phaàn töû chuyeån vò laø<br /> coâng trình coù theå phoûng ñoaùn theo coâng töông ñoái deã daøng hôn so vôùi phaân töû caân<br /> thöùc ñöôïc ñeà xuaát bôûi Terzaghi [1]. Tuy baèng, neân phöông phaùp phaân tích giôùi haïn<br /> nhieân, ñoái vôùi neàn ñaát khoâng ñoàng nhaát vaø caän treân duøng phöông phaùp phaàn töû höõu<br /> coù ñieàu kieän phöùc taïp thì coâng thöùc naøy seõ haïn chuyeån vò ñöôïc quan taâm ñaùng keå, ñaëc<br /> khoâng coøn phuø hôïp. Do ñoù, nhieàu thuaät bieät laø phaàn töû chuyeån vò baäc thaáp. Tuy<br /> toaùn soá döïa treân lí thuyeát phaân tích giôùi nhieân, vaán ñeà phaùt sinh khi duøng loaïi phaàn<br /> haïn caän treân vaø caän döôùi ñaõ ñöôïc ñeà xuaát töû naøy laø hieän töôïng “locking”, keát quaû tính<br /> [2-6]. Trong caùc giaûi thuaät soá naøy, tröôøng toaùn soá khoâng hoäi tuï hoaëc hoäi tuï chaäm.<br /> chuyeån vò hay öùng suaát seõ ñöôïc xaáp xæ rôøi Trong phaân tích giôùi haïn ñoäng hoïc,<br /> raïc baèng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn “locking” xaûy ra laø do ñieàu kieän chaûy deûo<br /> (PTHH); sau ñoù aùp duïng ñònh lí caän treân ñöôïc aùp ñaët.<br /> <br /> 50<br />  Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 2(4) - 2012<br /> <br /> <br /> Caùc giaûi phaùp ñeå khöû hieän töôïng Trong tröôøng hôïp ñôn giaûn nhaát, haøm<br /> locking ñaõ ñöôïc ñeà xuaát nhö laø (i) duøng laøm trôn ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:<br /> phaàn töû chuyeån vò baäc cao [7]; (ii) duøng<br /> 1/ A (k ) , x k<br /> caùc phaàn töû baát lieân tuïc treân bieân [8]. (x  x c )   (2)<br /> Ñieåm chính cuûa caùc phöông phaùp naøy laø 0, x k<br /> nhaèm taêng soá baäc töï do toång theå cuûa baøi<br /> toaùn, vì vaäy seõ giaûi quyeát ñöôïc vaán ñeà<br /> Trong ñoù: A(k )   d<br /> k<br /> laø dieän tích<br /> <br /> locking. Tuy nhieân, chi phí tính toaùn taêng cuûa haøm trôn.<br /> leân nhieàu vaø vieäc taïo löôùi trong caùc Ñoái vôùi phaàn töû tam giaùc ba nuùt,<br /> phöông phaùp naøy laø töông ñoái phöùc taïp. mieàn trôn döïa treân caïnh k ñöôïc taïo ra<br /> Trong nghieân cöùu naøy, chuùng toâi duøng baèng caùch keát noái hai ñaàu nuùt cuûa caïnh<br /> phöông phaùp PTHH trôn döïa treân caïnh chung vôùi hai troïng taâm cuûa phaàn töû tam<br /> ñeå xaáp xæ tröôøng chuyeån vò [9,10]. Khaùc giaùc ñang xeùt vaø phaàn töû tam giaùc keà beân<br /> vôùi phöông phaùp PTHH truyeàn thoáng, ôû (hình 1).<br /> ñaây tröôøng bieán daïng ñöôïc duøng laø tröôøng<br /> bieán daïng trung bình ñöôïc tính toaùn treân<br /> mieàn laøm trôn döïa treân caïnh. Vì tröôøng<br /> bieán daïng trôn naøy laø haèng soá treân mieàn<br /> laøm trôn, neân chuùng ta chæ caàn aùp ñaët<br /> ñieàu kieän chaûy deûo taïi moät ñieåm baát kì<br /> trong caùc mieàn trôn, trong khi ñaûm baûo<br /> ñieàu kieän naøy thoûa maõn moïi nôi. Do ñoù,<br /> hieän töôïng locking ñöôïc khöû vaø chi phí Hình 1: Phaân chia mieàn trôn  k , m<br /> tính toaùn ñöôïc toái öu [11].<br /> Bieán daïng trung bình treân mieàn trôn<br /> 2. Phöông phaùp PTHH trôn döïa treân<br /> k cuûa phaàn töû tam giaùc 3 nuùt ñöôïc ñònh<br /> caïnh ES-FEM<br /> nghóa nhö sau:<br /> Trong phöông phaùp phaàn töû höõu haïn N (k)<br /> ~ 1<br />   ( k )   m (x)d   Bimd im (3)<br /> e<br /> <br /> trôn döïa treân caïnh ES-FEM, ta chia mieàn (k)<br /> m<br />  thaønh nhöõng mieàn "trôn" k con, A  k<br /> i 1<br /> (k)<br /> N ed<br /> 1N<br /> Trong ñoù: A   d   A i<br /> e<br /> <br /> ñöôïc ñònh nghóa:  vaø i   j   (k)<br /> k 1  3 i 1<br /> k<br /> <br /> vôùi i j , trong ñoù Ned laø toång soá caïnh laø dieän tích cuûa haøm trôn  k .<br /> cuûa caùc phaàn töû. Caùc thaønh phaàn bieán daïng (k)<br /> Vôùi Ne laø soá phaàn töû coù chung caïnh<br /> taïi moät ñieåm xc baát kì thu ñöôïc nhö sau:<br /> k ( Ne  1 cho caïnh bieân, vaø Ne  2<br /> ~ (k) (k)<br /> (x c )   (x)(x  x c )d (1)<br /> k cho caïnh chung giöõa hai phaàn töû); A i laø<br /> Trong ñoù:  laø haøm laøm trôn, thoûa dieän tích cuûa phaàn töû thöù i coù chung caïnh k.<br /> maõn ñieàu kieän ñôn vò:   d  1 Bieán daïng trung bình treân mieàn trôn<br /> k<br /> k :<br /> 51<br /> Journal of Thu Dau Mot university, No2(4) – 2012<br /> <br /> ~<br /> (hk )  Bk1d k1  Bk 2d k 2  Bk d k (4) Goïi laø heä soá taûi troïng suïp ñoå cuûa löïc<br /> Ma traän tính bieán daïng vaø chuyeån vò theå tích g vaø löïc treân bieân t gaây ra, khi<br /> ~ i ñoù tröôøng chuyeån vò khaû dó ñoäng u U<br /> B kj :<br /> Dp ((u))  Wext (u)  W0ext (u) (13)<br />  ~ kj<br />  ~ kj<br /> <br />  N1,x 0 ...N n ,x 0  Vôùi W0ext (u) laø coâng cuûa löïc theå tích<br /> ~ i  ~ kj ~ kj <br /> g0 vaø löïc treân bieân t0 khoâng nhaân vôùi heä<br /> Bkj  0 N1,y ...0 N n ,y  (5)<br /> soá taûi troïng (tónh taûi). Do vaäy caän treân coù<br />  ~ kj ~ kj ~ kj ~ kj  theå tìm ñöôïc thoâng qua baøi toaùn toái öu:<br />  N1,y N1,x ...N n ,y N n ,x <br />     min Dp ((u))  W0ext (u) (14)<br /> Vôùi:<br /> Vôùi nhöõng raøng buoäc:<br /> ~ kj Ai<br /> N I,   N I (x)n  (x)d (6) <br /> 3A ( k )  u  0, u  u<br />  <br /> kj<br /> <br /> ~ kj (15)<br /> Trong ñoù N I, laø caùc ma traän haøm  F (u )  1<br /> daïng trôn.<br /> 3.2 Luaät chaûy deûo keát hôïp<br /> 3. Coâng thöùc phaân tích giôùi haïn rôøi<br /> raïc döïa treân ES-FEM. Tinh thaàn cuûa lí thuyeát caän treân<br /> trong phaân tích giôùi haïn laø tìm tröôøng<br /> 3.1 Coâng thöùc phaân tích giôùi haïn<br /> khaû dó thöïc öùng vôùi nhöõng raøng buoäc veà<br /> caän treân<br /> maët cô hoïc. Moät trong nhöõng raøng buoäc<br /> Ta xem vaät theå cöùng - deûo tuyeät ñoái<br /> ñoù laø phaûi thoûa luaät chaûy deûo keát hôïp,<br /> trong mieàn  2 vôùi bieân  ,vôùi löïc<br /> theå hieän moái lieân heä giöõa gia soá bieán<br /> theå tích g vaø löïc treân bieân t. Ñieàu kieän<br /> daïng deûo khi traïng thaùi öùng suaát naèm<br /> bieân raøng buoäc veà chuyeån vò  u ñöôïc<br /> treân maët phaù huûy, maø ôû ñaây trong baøi<br /> thieát laäp, u t   , u t   . baùo naøy laø tieâu chuaån von Mises vaø Mohr<br /> Theo lí thuyeát caän treân, keát caáu bò suïp ñoå<br /> – Coulomb. Ñoái vôùi baøi toaùn phaúng, luaät<br /> khi vaø chæ khi toàn taïi tröôøng khaû dó ñoäng<br /> chaûy deûo keát hôïp ñöôïc vieát nhö sau:<br /> u U , sao cho:<br />  u  F<br />   <br />  ij ij<br /> (u)d  Wext (u) (7) x  <br /> i, j<br /> x  x<br /> Hay Dp ((u))  Wext (u) (8)  v  F<br /> Vôùi Dp ((u))   d p ()d (9) y  <br /> y  y (16)<br /> Wext (u)   g T ud   t T ud t (10)<br /> t   u v   F<br /> 1  u u <br />  xy      <br /> ij (u)   i  j  (11)  y x   xy<br /> 2  x j x i  <br /> Trong ñoù   0 : laø heä soá toác ñoä gia<br /> U  {u : u  u0  x u ,Wext (u)  0} (12) taêng bieán daïng deûo.<br /> <br /> 52<br />  Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 2(4) - 2012<br /> <br /> <br /> Nhöõng phöông trình naøy keát hôïp vôùi 3.3 Tieâu chuaån beàn Mohr – Coulomb<br /> ñieàu kieän bieân ta seõ thaønh laäp ñöôïc baøi Tieâu chuaån beàn cuûa Mohr - Coulomb<br /> toaùn toái öu cöïc tieåu vôùi haøm muïc tieâu laø ñöôïc söû duïng raát roäng raõi trong cô hoïc<br /> naêng löôïng tieâu taùn deûo. Tröôøng bieán daïng ñaát, noù phuø hôïp vôùi traïng thaùi laøm vieäc<br /> khaû dó thöïc, öùng vôùi traïng thaùi tôùi haïn, seõ coù thoaùt nöôùc cuûa ñaát.<br /> tìm ñöôïc khi giaûi baøi toaùn toái öu hoùa.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 2: Maët giôùi haïn cuûa Mohr - Coulomb trong khoâng gian öùng suaát<br /> Ñoái vôùi tröôøng hôïp bieán daïng phaúng tieâu chuaån Mohr – Coulomb coù theå vieát nhö sau:<br /> F  (x  y )2  (2xy )2  (2ccos   (x  y )sin )2  0 (17)<br /> Trong ñoù: c laø löïc dính cuûa ñaát;  laø goùc ma saùt trong cuûa ñaát.<br /> Tieâu chuaån Mohr – Coulomb ñöôïc bieåu dieãn trong khoâng gian öùng suaát ñöôïc giôùi<br /> haïn bôûi 6 maët taïo thaønh hình choùp nhö hình 2. Ñeå thuaän tieän trong quaù trình söû duïng<br /> heä soá toác ñoä gia taêng bieán daïng deûo, khi aùp duïng luaät chaûy deûo cho töøng maët ta coù theå<br /> vieát theo daïng sau:<br /> <br /> Fk  Ak x  Bk y  Ck xy  2ccos   0 (18)<br /> <br /> 2k<br /> Trong ñoù: Ak  cosa k  sin  , Bk  sin   cosa k , Ck  2sina k , a k  ,<br /> p<br /> vôùi k = 1, 2, …, p.<br /> Vôùi p töông öùng vôùi soá heä soá toác ñoä gia taêng bieán daïng deûo caàn thieát cho tieâu chuaån<br /> Mohr – Coulomb trong khoâng gian öùng suaát. Theo ñeà nghò cuûa S.W. Sloan [1] thì p = 12<br /> laø ñuû chính xaùc ñeå theå hieän maët phaù huûy Mohr – Coulomb, tuy nhieân neáu p caøng lôùn thì<br /> seõ caøng chính xaùc.<br /> AÙp duïng luaät chaûy deûo keát hôïp (16) ñoái vôùi töøng caïnh ta ñöôïc:<br /> <br /> <br /> 53<br /> Journal of Thu Dau Mot university, No2(4) – 2012<br /> <br />  u  F k  p  F k  p <br /> x       Ak<br /> x  x k 1  x k 1<br />  v  F k  p  F k  p <br /> y       Bk<br /> y  y k 1  y k 1 (19)<br /> <br />   u v   F k p <br /> F k p <br />  xy           Ck<br />  y x   xy k 1  xy k 1<br /> <br /> <br /> <br /> Naêng löôïng tieâu taùn deûo cho töøng phaàn töû:<br />   <br /> D   ( x  x   y  y   xy  xy )dAi (20)<br /> Ai<br /> <br /> Theá (2) vaøo (3) vaø keát hôïp vôùi (1) ta ñöôïc:<br /> k p <br /> D  2 Ai  cos   c   k (21)<br /> k 1<br /> <br /> Naêng löôïng tieâu taùn deûo cho toaøn mieàn quan taâm döïa treân ES-FEM ñöôïc vieát döôùi<br /> daïng:<br /> Ned k p <br /> D ES  FEM   (2 Ai  cos   c   k ) (22)<br /> i 1 k 1<br /> <br /> Baøi toaùn toái öu hoùa cho bôûi (14) ñöôïc vieát laïi nhö sau:<br /> Ned k p <br />   min  (2 Ai  cos   c   k )<br /> <br /> (23)<br /> uC<br /> i 1 k 1<br /> <br /> <br /> u  0, u  u<br /> Raøng buoäc: <br /> <br />  F (u )  1<br /> <br /> 4. Keát quaû tính toaùn soá<br /> Thuaät toaùn phaân tích giôùi haïn caän treân döïa treân phöông phaùp PTHH trôn döïa treân<br /> caïnh seõ ñöôïc aùp duïng ñeå phoûng ñoaùn taûi troïng giôùi haïn cuûa baøi toaùn moùng noâng bieán<br /> daïng phaúng nhö hình 3.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 3: Baøi toaùn moùng noâng - taûi troïng vaø hình hoïc<br /> <br /> 54<br />  Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 2(4) - 2012<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Lôøi giaûi giaûi tích ñöôïc ñeà xuaát bôûi duøng phaàn töû T3 truyeàn thoáng vôùi kó<br /> Prandtl [12] cho baøi toaùn baùn khoâng gian thuaät tích phaân thieáu (reduced<br /> integration).<br /> cöùng-deûo laø   2    5.142 (vôùi c = 1,<br /> Phaân boá naêng löôïng tieâu taùn cuõng<br />  = 0). Do tính ñoái xöùng neân chuùng ta<br /> ñöôïc theå hieän treân hình 4.<br /> chæ caàn giaûi moät nöõa moâ hình moùng.<br /> <br /> Hình chöõ nhaät coù B = 5, H = 2 ñöôïc xem<br /> <br /> laø moâ hình ñuû lôùn ñeå ñaûm baûo laø caùc<br /> <br /> phaàn töû treân bieân khoâng coù bieán daïng.<br /> <br /> Hieän töôïng “locking” seõ xaûy ra neáu<br /> chuùng ta duøng phaàn töû tam giaùc truyeàn Hình 4: Phaân boá naêng löôïng tieâu taùn deûo<br /> thoâng T3. Tuy nhieân, khi aùp duïng phöông<br /> 5. Keát luaän<br /> phaùp PTHH trôn ES-FEM thì hieän töôïng<br /> locking naøy ñöôïc khöû trong moâ hình Phöông thöùc soá phaân tích giôùi haïn<br /> <br /> Mohr - Coulomb. Heä soá taûi troïng giôùi haïn caän treân duøng phöông phaùp PTHH trôn<br /> <br /> ñaït ñöôïc khi duøng caùc löôùi PTHH khaùc döïa treân caïnh ES-FEM vaø toái öu toaùn hoïc<br /> nhau ñöôïc trình baøy trong baûng 1. tuyeán tính ñaõ ñöôïc ñeà xuaát vaø trình baøy<br /> trong baøi baùo naøy. Töø keát quaû tính toaùn<br /> Baûng 1: Heä soá taûi troïng giôùi haïn cho caùc<br /> ta thaáy raèng khi duøng phöông phaùp ES-<br /> löôùi khaùc nhau<br /> FEM ñeå xaáp xæ tröôøng chuyeån vò thì hieän<br /> Số phần tử<br /> Mô hình<br /> 160 640 1440<br /> töôïng locking ñöôïc khöû vaø keát quaû thu<br /> ES-FEM 5.427 5.314 5.277 ñöôïc töông ñoái chính xaùc vôùi chi phí tính<br /> Errors (%) 5.5 3.3 2.6 toaùn trung bình. Phöông phaùp phaân tích<br /> giôùi haïn soá giuùp chuùng ta phoûng ñoaùn<br /> Töø baûng 1 ta thaáy raèng keát quaû tính<br /> töông ñoái chính xaùc taûi troïng phaù hoaïi<br /> toaùn thu ñöôïc vaãn coøn cao hôn keát quaû toát<br /> cuõng nhö cô caáu tröôït cuûa neàn coâng trình.<br /> nhaát ñaït ñöôïc trong [8] vôùi vieäc duøng caùc<br /> ñöôøng baát lieân tuïc treân bieân phaàn töû (vieäc Tuy nhieân, ôû ñaây maët deûo Mohn –<br /> <br /> taïo löôùi cho loaïi phaàn töû baát lieân tuïc naøy Coulomb ñöôïc theå hieän gaàn ñuùng phuï<br /> <br /> raát phöùc taïp vì moät ñieåm ñöôïc coù theå xem thuoäc vaøo thoâng soá p vaø soá löôïng ñieàu<br /> laø caùc nuùt khaùc nhau). Tuy nhieân, do kieän raøng buoäc vaø soá bieán trong baøi toaùn<br /> phöông phaùp ES-FEM duøng löôùi phaàn töû toái öu laø raát lôùn, chaúng haïn khi duøng<br /> truyeàn thoáng neân vieäc taïo löôùi ñôn giaûn 1440 phaàn töû thì soá ñieàu kieän raøng buoäc<br /> hôn. Hôn nöõa, keát quaû thu ñöôïc ôû ñaây khi vaø soá bieán töông öùng leân ñeán 2456 vaø<br /> duøng chæ 160 phaàn töû ñeàu toát hôn taát caû 12487. Chuùng ta coù theå giaûi quyeát vaán ñeà<br /> keát quaû thu ñöôïc trong [8] (baûng 2) khi naøy baèng caùch moâ taû chính xaùc maët deûo<br /> <br /> 55<br /> Journal of Thu Dau Mot university, No2(4) – 2012<br /> <br /> <br /> vaø duøng kó thuaät toái öu noùn baäc hai phaùp naøy seõ ñöôïc trình baøy trong caùc<br /> (second-order cone programming), vaø giaûi nghieân cöùu tieáp theo.<br /> *<br /> ESTIMATE BEARING CAPACITY AND COLLAPSE MECHANISM OF SOIL<br /> BY USING LIMIT ANALYSIS<br /> Le Van Canh(1), Nguyen Chanh Hoang(2), Nguyen Ke Tuong(3)<br /> (1) International University – VNU HCM; (2) University of Tenology – VNU HCM;<br /> (3) Thu Dau Mot University<br /> <br /> ABSTRACT<br /> This paper presents a numerical limit analysis for evaluating the bearing capacity<br /> factor for a rigid surface footing is presented in this paper. The soil is modeled as a<br /> cohesion frictional Mohr–Coulomb material with an associated flow rule assumed. The<br /> upper bound on the collapse load is then estimated by means of numerical kinematic<br /> procedures. The edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) is used to<br /> approximate the displacement field. The limit analysis problem can be then formulated<br /> in the form of an optimization problem which can be solved using linear programming<br /> techniques. The procedure is applied to the benchmark Punch problem and is found in<br /> practice to generate good upper-bound solution.<br /> Keywords: limit analysis, load limit<br /> TAØI LIEÄU THAM KHAÛO<br /> [1] Terzaghi, K., 1943, Theoretical Soil Mechanics, John Wiley & Sons, New York.<br /> [2] Krabbenhoft K, Lyamin AV, Hjiaj M, Sloan SW., A new discontinuous upper bound<br /> limit analysis formulation, International Journal for Numerical Methods in<br /> Engineering 2005; 63:1069–1088.<br /> [3] Lyamin AV, Sloan SW., Mesh generation for lower bound limit analysis, Advances<br /> in Engineering Software 2003; 34:321–338.<br /> [4] Ciria H, Peraire J, Bonet J., Mesh adaptive computation of upper and lower<br /> bounds in limit analysis, International Journal for Numerical Methods in<br /> Engineering 2008; 75:899–944.<br /> [5] Makrodimopoulos A, Martin CM., Upper bound limit analysis using simplex strain<br /> elements and second-order cone programming, International Journal for Numerical<br /> and Analytical Methods in Geomechanics 2006; 31:835–865.<br /> [6] Makrodimopoulos A, Martin CM., Lower bound limit analysis of cohesive-frictional<br /> materials using second-order cone programming, International Journal for<br /> Numerical Methods in Engineering 2006; 66:604–634.<br /> <br /> 56<br />  Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 2(4) - 2012<br /> <br /> <br /> [7] Sloan, S.W. & Randolph, M. F., Numerical prediction of collapse loads using finite<br /> element methods, International Journal for Numerical and Analytical Methods in<br /> Geomechanics 1982; 6, 47–76.<br /> [8] Sloan SW, Kleeman PW., Upper bound limit analysis using discontinuous velocity<br /> fields, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1995; 127(1-4),<br /> 293-314.<br /> [9] Liu GR, Nguyen-Thoi T, Lam KY., An edge-based smoothed finite element method<br /> (ES-FEM) for static, free and forced vibration analyses of solids, Journal of Sound<br /> and Vibration 2009; 320:1100–1130.<br /> [10] Nguyen-Xuan H, Liu GR, Nguyen-Thoi T, Nguyen Tran C., An edge-based<br /> smoothed finite element method (ES-FEM) for analysis of two-dimensional<br /> piezoelectric structures, Journal of Smart Material and Structures 2009; 12:12. 065-<br /> 015.<br /> [11] C.V. Le, H. Nguyen-Xuan, H. Askes, S. Bordas, T. Rabczuk, H. Nguyen-Vinh, A<br /> cell-based smoothed finite element method for kinematic limit analysis,<br /> International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2010: 83, 1651–<br /> 1674.<br /> [12] Prandtl L., Ueber die haerte plastischer koerper, Nachrichtex der Akademie der<br /> Wissenschaften in Gottingen. II. Mathematisch-Physikalische Klasse II 1920;<br /> 12:74–85.<br /> Nghieân cöùu naøy ñöôïc taøi trôï bôûi Quyõ<br /> phaùt trieån khoa hoïc vaø coâng ngheä quoác<br /> gia (NAFOSTED) trong ñeà taøi maõ soá<br /> 107.02-2011.01<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 57<br />