Đề cương môn học Xử lý tín hiệu số - Chương 2

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

98
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

BIẾN ĐỔI Z VÀ ỨNG DỤNG VÀO HỆ THỐNG LTI RỜI RẠC 2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC 2.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA 2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z: • Biến đổi Z của dãy x(n): Trong đó Z – biến số phức

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề cương môn học Xử lý tín hiệu số - Chương 2

Chương 2: BIẾN ĐỔI Z VÀ ỨNG DỤNG VÀO Chương HỆ THỐNG LTI RỜI RẠC 2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC 2.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA
2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.1 2.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z: 2.1.1  x ( n) z  n  X (z)  • Biến đổi Z của dãy x(n): (*) n   Trong đó Z – biến số phức Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía  X ( z )   x ( n ) z  n (**) Biến đổi Z 1 phía dãy x(n): n 0 • Nếu x(n) nhân quả thì : (*)  (**) • Ký hiệu: x(n)  Z  X(z) hay X(z) = Z{x(n)}  Z X(z) 1  x(n) hay x(n) = Z-1{X(z)} 
5.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC) • Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence) là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho X(z) hội tụ. Im(Z)Rx+ OC Rx- R • Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng Re(z) tiêu chuẩn Cauchy 00 • Tiêu chuẩn Cauchy:   x(n)  x(0)  x(1)  x( 2)   Một chuỗi có dạng: n 0 1 hội tụ nếu: lim x ( n)  1 n n 
x( n)  a n u( n) Ví dụ 5.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của: Giải:   n    a u(n)z   a n . z  n   az 1  x ( n) z  n  n n  X ( z)  n   n   n 0 n 0 Im(z) Theo tiêu chuẩn Cauchy, ROC X(z) sẽ hội tụ: /a/ 1 Re(z) X (z)  1  az 1 0 n 1n lim  az  1 1 z  a Nếu:   n    1 Vậy: X ( z )  ; ROC : Z  a 1 1  az
Ví dụ 5.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của: x ( n)   a n u(  n  1) Giải:   1   a u(  n  1)z n n n a n .z  n  x( n) z   X (z)   n   n   n   m m        a 1z    a 1z 1 Im(z) m 1 m0 /a/ Theo tiêu chuẩn Cauchy, Re(z) X(z) sẽ hội tụ: 0 ROC n 1  X ( z )    a z   1  1 1  az 1 m 0 1n  a 1 z n  1  Nếu: lim  za  n   
5.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 5.2 a) Tuyến tính x1 (n) Z  X1 ( z) : ROC  R1  • Nếu: x2 (n) Z  X 2 ( z) : ROC R 2  a1 x1 (n)  a2 x2 (n)  Z  a1 X 1 ( z )  a2 X 2 ( z )  • Thì: ROC chứa R1 R2 Ví dụ 5.2.1: Tìm biến đổi Z & ROC của: n n ab x( n)  a u ( n)  b u (  n  1) với Giải:
Im(z) Theo ví dụ 5.1.1 và 5.1.2, ta có: ROC /a/ Re(z) 1 Z n R1 : z  a a u ( n)    0 1  az 1 Im(z) 1 Z n R2 : z  b /b/  b u ( n  1)    1  bz 1 Re(z) 0 ROC Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: Im(z) 1 1 Z n n  a u (n)  b u ( n  1)    ROC /b/ 1 1  bz 1 1  az Re(z) 0 R  R1  R2 : a  z  b /a/
b) Dịch theo thời gian Nếu: x( n)  Z  X ( z ) : ROC  R  x( n  n0 )  Z  Z  n0 X ( z ) : ROC  R'  Thì: R trừ giá trị z=0, khi n0>0 Với: R'   R trừ giá trị z=∞, khi n0
c) Nhân với hàm mũ an Nếu: x( n)  Z  X ( z ) : ROC  R  a n x(n)  Z  X (a 1 z ) : ROC  a R  Thì: Ví dụ 5.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của: x1 (n)  a nu (n) và x2 (n)  u (n) Giải:  1 Z 1 x ( n)  u( n )   X ( z )   u( n )z  ;R : z  1  1 1 z n  1 Z 1 n n a x ( n)  a u( n)   X (az )   ; R' : z  a 1 1  az
d) Đạo hàm X(z) theo z Z Nếu: x(n)   X ( z ) : ROC  R  dX(z) Z Thì: n x( n)    z  : ROC  R dz g (n)  na nu (n) Ví dụ 5.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của: Giải: Theo ví dụ 5.1.1: 1 Z n x ( n)  a u ( n)   X ( z )   ; ROC : z  a 1 1  az az 1 dX( z) Z g(n)  nx(n)  G( z)   z   :za 1 2 (1  az ) dz
e) Đảo biến số x(n)  Z  X ( z ) : ROC  R  Nếu: Thì: x( n)  Z  X (z -1 ) : ROC  1 R  1 a n u(n) Ví dụ 5.2.5: Tìm biến đổi Z & ROC của: y(n)  • • Giải: Theo ví dụ 5.1.1: 1 Z n x ( n)  a u ( n)   X ( z )   ; ROC : z  a 1 1  az n  y ( n)  1 a  u ( n)  a  nu ( n)  x( n) Áp dụng tính chất đảo biến số: 1 1 1 Y(z)  X( z )   ; ROC : z  1 / a  1 1 1  az 1 a z
f) Liên hiệp phức x( n)  Z  X ( z ) : ROC  R  Nếu: x * ( n)  Z  X * (z*) : ROC  R Thì:  g) Tích 2 dãy x1 (n)  Z  X 1 ( z ) : ROC  R 1  Nếu: x2 (n)  Z  X 2 ( z ) : ROC  R 2  1 z x1 (n) x2 (n)  Z  X 1 ( ) X 1   1 d : ROC  R1  R 2  Thì: 2    c h) Định lý giá trị đầu Nếu x(n) nhân quả thì: x(0)  Lim X(z) Z 
• Ví dụ 5.2.5: Tìm x(0), biết X(z)=e1/z và x(n) nhân quả • Giải: Theo định lý giá trị đầu: x(0)  lim X(z)  lim e1/z  1 Z  Z  i) Tổng chập 2 dãy x1 ( n)  Z  X 1 ( z ) : ROC  R 1  Nếu: x2 ( n)  Z  X 2 ( z ) : ROC  R 2  Thì: x1 (n) * x2 (n)  Z  X 1 ( z ) X 2 ( z ) ;ROC có chứa R1  R2 
• Ví dụ 5.2.6: Tìm y(n) = x(n)*h(n), biết: x(n)  (0.5) n u ( n) h(n)  2n u ( n  1) • Giải: 1 Z n x( n)  (0.5) u( n)   X ( z )   ; ROC : z  0.5 1 1  0.5 z 1 Z n h( n)  2 u(  n  1)   H ( z )   ; ROC : z  2 1 1  2z 1 1 Y (z)  X (z)H (z)  ; ROC : 0,5  z  2 . 1 1 (1  0.5 z ) (1  2 z ) 1 1 4 1  . . ; ROC : 0,5  z  2 Z-1 1 1 3 (1  0.5 z ) 3 (1  2 z ) 1 4n n y (n)  x(n) * h(n)   (0.5) u (n)  2 u ( n  1) 3 3
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z x(n) X(z) R a1x1(n)+a2x2(n) a1X1(z)+a2X2(z) Chứa R1  R2 Z-n0 X(z) x(n-n0) R’ an x(n) X(a-1z) R nx(n) -z dX(z)/dz R X(z -1) x(-n) 1/R x*(n) X*(z*) R 1 z X 1 (v ) X 2  v 1 dv x1(n)x2(n) R1  R2 2j C v x(0)=lim X(z ->∞) x(n) nhân quả x1(n)*x2(n) X1(z)X2(z) Chứa R1  R2
BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG BI x(n) X(z) ROC 1 (n) z 1 u(n) /z/ >1 1 1 z -u(-n-1) /z/ /a/ 1 1  az 1 -an u(-n-1) /z/ < /a/ nan u(n) /z/ > /a/ az 1 (1  az 1 ) 2 -nan u(-n-1) /z/ < /a/ cos(on)u(n) (1-z-1coso)/(1-2z-1coso+z-2) /z/ >1 sin(on)u(n) (z-1sino)/(1-2z-1coso+z-2) /z/ >1
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 2.3 2.3.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 1 X ( z ) z n 1dz (*) x( n )   2j C Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ  Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất phức tạp của phép lấy tích phân vòng • Các phương pháp biến đổi Z ngược:  Thặng dư  Khai triển thành chuỗi luỹ thừa  Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
5.3.2 PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ PHƯƠNG a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực: • Thặng dư tại điểm cực Zci bội r của F(z) được định nghĩa: 1 d ( r 1)   Re sF ( z )Z  Z ci F ( z )( z  zci ) r  Z  Z ci (r  1)! dz ( r 1) • Thặng dư tại điểm cực đơn Zci của F(z) được định nghĩa: Re sF ( z )Z Z ci  F ( z )( z  zci )Z  Z ci b) Phương pháp: • Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo tích phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư tại tất cả các điểm cực của hàm X(z)zn-1 :
  1 n 1 X ( z ) z n1dz   Res X ( z ) z x (n)  (*)  Z  Z ci 2j C i Trong đó: • Zci – các điểm cực của X(z)zn-1 nằm trong đường cong C • Res[X(z)zn-1]z=zci - thặng dư của X(z)zn-1 tại điểm cực zci  Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta được x(n) z Ví dụ 5.3.1: Tìm biến đổi Z ngược của: X ( z )  ( z  2) Giải: Thay X(z) vào (*), ta được  zn  1 1 z X ( z ) z n1dz  z n1dz   Re s  x (n)     2j C 2j C ( z  2) ( z  2)  
 Chọn C là đường cong khép kín nằm bên ngoài vòng tròn có bán kính là 2 zn n 1  • n0: X ( z ) z có 1 điểm cực đơn Zc1=2 ( z  2) Im(z) ROC Thặng dư tại Zc1=2: 2 Re(z) n n z  z  0 ( z  2)   2n  Res   ( z  2)  Z  2  ( z  2)  Z 2  C Zc1=2 đơn, 1 1 n 1   • n