Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 năm học 2013-2014

Chia sẻ: Ho Viet A | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 năm học 2013-2014 được biên soạn bởi Phòng Giáo dục và Đào tạo Đức Thọ. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho giáo viên trong quá trình đánh giá và phân loại năng lực học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 năm học 2013-2014

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỨC THỌ ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 20132014 MÔN TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) A = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 − 5 ( x − y ) x2 ( x − y ) y2 2 2 2 2 b) B = x y + − với xy > 0; x y xy x ( x − y) y ( x − y) Bài 2: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn y 2 + 2xy − 7x − 12 = 0 Bài 3: Giải các phương trình 5− x 5− x x+ = 6 b) ( x − 2013) + ( x − 2014) 10 14 a) x = 1 x +1 x +1 Bài 4: Cho ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh rằng BEC ADC. Tính BE theo m = AB ﾷ b) Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh rằng BHM BEC. Tính AHM GB HD c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh rằng = BC AH + HC Bài 5: a) Cho x + y + 3 ( x + y ) + 4 ( x + y ) + 4 = 0 và xy > 0 3 3 2 2 1 1 Tìm GTLN của M = + x y b) Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a5 b5 c5 a 3 + b3 + c3 + + a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2 3 Bài giải của Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn Bài 1: a) Đặt x = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 x2 = 8 + 2 6 − 2 5 = 8 + 2 ( ) 5 −1 = 6 + 2 5 x = 5 + 1 . Do đó A = 1 ( x − y) x ( x − y) y b) B = 1 + − x ( x − y) y ( x − y) Xét các trường hợp x 0 ta đều được B = 1 ( x + y) = ( x + 3) ( x + 4) 2 Bài 2: Cách 1: y 2 + 2xy − 7x − 12 = 0 (x + 3)(x + 4) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên không thể là 1 số chính phương
x +3= 0 x = −3 Dó đó Từ đó ta tìm được (x; y) {(3; 3); (4; 4)} x+4=0 x = −4 Cách 2: y + 2xy − 7x − 12 = 0 2 4y 2 + 8xy − 28x − 48 = 0 4y2 − 49 + 4x ( 2y − 7) = −1 2y − 7 = 1 x = −4 2y − 7 = −1 x = −3 ( 2y − 7 ) ( 2y + 7 + 4x ) = −1 ta có 2y + 7 + 4x = −1 y=4 2y + 7 + 4x = 1 y=3 5− x 5− x Bài 3: a) Cách 1: ĐKXĐ: x 1. Đặt x = a và x + = b . x +1 x +1 5− x 5− x 5x − x 2 + x 2 + x + 5 − x Ta có a + b = x + x+ = =5 x +1 x +1 x +1 a=2 5− x x =2 ab = 6 b=3 a=2 x +1 x 2 − 3x + 2 = 0 Do đó . Với x 2 − 3x + 2 = 0 a+b =5 a =3 b=3 5− x x 2 − 3x + 2 = 0 x+ =3 b=2 x +1 x =1 ( x − 1) ( x − 2 ) = 0 x=2 5− x x =3 a =3 x +1 x 2 − 2x + 3 = 0 x 2 − 2x + 3 = 0 ( x − 1) + 2 = 0 , vô nghiệm 2 Với b=2 5−x x − 2x + 3 = 0 2 x+ =2 x +1 Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1; 2} 5− x 5− x Cách 2: x x +1 x+ x +1 =6 ( 5x − x 2 x 2 + 5 = 6 ( x + 1) 2 )( ) x 4 − 5x 3 + 11x 2 − 13x + 6 = 0 x 4 − 5x 3 + 11x 2 − 13x + 6 = 0 (x 2 )( − 3x + 2 x 2 − 2x + 3 = 0 ) Từ đó ta tìm được tập nghiệm S = {1; 2} ( x − 2013) ( x − 2014) 10 14 5 7 b) + =1 x − 2013 + x − 2014 = 1 Ta có x = 2013, x = 2014 là 2 nghiệm của phương trình. Ta chứng minh 2 nghiệm này là duy nhất 7 5 7 Xét x 1 x − 2014 > 1 x − 2013 + x − 2014 > 1 5 0 < x − 2013 < 1 0 < x − 2013 < 1 x − 2013 < x − 2013 Xét 2013 1 x − 2013 > 1 x − 2013 + x − 2014 > 1 Vậy phương trình có nghiệm x = 2013, x = 2014 A ﾷ EDC ﾷ = BAC = 900 (gt) m E Bài 4: a) Xét EDC và BAC có M ﾷ C chung EC BC C EDC BAC (g – g) = B H G D DC AC Xét BEC và ADC có
EC BC = DC AC BEC ADC (c – g c) ﾷ C chung ﾷ BEC ﾷ = ADC . Mặt khác AH = HD (gt) nên ﾷ ADH = 450 ﾷ ADC = 1350 ﾷ BEC = 1350 ﾷ AEB = 450 AEB vuông cân tại A. Do đó BE = m 2 ﾷ AHB ﾷ = CAB = 900 (gt) b) Xét AHB và CAB có AHB CAB (g – g) ﾷ B chung AB BH BE BH BM BH = AB2 = BH.BC 2AB2 = 2BH.BC BE 2 = 2BH.BC = = BC AB 2BC BE BC BE BM BH = (Vì BE = 2BM). Xét BHM và BEC có BC BE BHM BEC (c – g c) ﾷ MBH chung ﾷ BHM ﾷ = BEC = 1350 ﾷ AHM = 450 ﾷ AHC ﾷ = BAC = 900 (gt) AH AB c) Xét AHC và BAC có AHC BAC (g – g) = (1) ﾷ C chung HC AC Mặt khác AEB vuông cân tại A có AM là trung tuyến thì AM cũng là phân giác hay AG là đường GB AB phân giác của ABC. Suy ra = (2). Từ (1) và (2) ta có: GC AC GB AH = GB.HC = AH.GC GB.HC = AH. ( BC − GB ) GB.HC = AH.BC − AH.GB GC HC GB HD AH.GB + GB.HC = HD.BC (Vì HD = AH) GB. ( AH + HC ) = HD.BC = BC AH + HC Bài 5: a) x + y + 3 ( x + y ) + 4 ( x + y ) + 4 = 0 3 3 2 2 ( x + y ) ( x 2 − xy + y2 ) + 2 ( x 2 − xy + y 2 ) + ( x 2 + 2xy + y 2 ) + 4 ( x + y ) + 4 = 0 1 (x 2 − xy + y 2 ) ( x + y + 2 ) + ( x + y + 2 ) = 0 2 2 ( x + y + 2 ) ( 2x 2 − 2xy + 2y 2 + 2x + 2y + 4 ) = 0 1 ( x + y + 2) ( x − y) + ( x + 1) + ( y + 1) + 2 ￹ = 0 2 2 2 x+ y+2= 0 x + y = −2 2 ￻ Mà xy > 0 do đó x, y
a5 b5 c5 a 3 + b3 + c3 a 3 + b 3 + c3 − a 2 b − b 2c − c 2 a + + + a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2 3 3 Mặt khác: Vai trò a, b, c như nhau nên giả sử a b c > 0 a 3 + b3 + c3 − a 2 b − b 2 c − c 2 a = a 2 ( a − b ) + b 2 ( b − c ) + c 2 ( c − a ) = a 2 ( a − b ) + b2 ( b − a + a − c ) + c2 ( c − a ) = ( a − b ) ( a + b) + ( a − c) ( b − c) ( b + c) 2 0 a5 b5 c5 a 3 + b3 + c3 Từ đó suy ra + + . Dấu “=” xảy ra khi a = b = c a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2 3 Cách 2: Áp dụng BĐT Bunhia mở rộng ta có a5 b5 c5 a6 b6 c6 + + = + + a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2 a 3 + a 2 b + ab 2 b3 + b 2 c + bc 2 c3 + c 2a + ca 2 (a + b3 + c3 ) 3 2 a 3 + b3 + c3 + a 2 b + ab 2 + b 2c + bc2 + c 2 a + ca 2 Mặt khác ( a − b ) ab ( a + b ) tương tự b + c bc ( b + c ) 2 3 3 0 a 2 − ab + b 2 ab a 3 + b3 c3 + a 3 ca ( c + a ) . Suy ra 2 ( a 3 + b3 + c3 ) ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) 3 ( a 3 + b 3 + c3 ) a 3 + b 3 + c3 + ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) (a + b 3 + c3 ) 3 2 a 3 + b 3 + c3 a 3 + b3 + c3 + a 2 b + ab 2 + b 2 c + bc 2 + c 2a + ca 2 3 Dự đoán: Mỗi câu 1 đ theo thang điểm 10 và mỗi câu 2 đ theo thang điểm 20