Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 7 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT Tam Dương

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN<br /> NĂM HỌC 2017-2018<br /> ĐỀ THI MÔN: TOÁN 7<br /> <br /> Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> Đề thi này gồm 01 trang<br /> <br /> Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay!<br /> 104.81  16.152<br /> Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A <br /> 44.675<br /> <br /> Câu 2. (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn:<br /> <br /> x y z<br />  <br /> và 2 x 2  2 y 2  3z 2  100 .<br /> 3 4 5<br /> <br /> Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số x, y thỏa mãn (x - 2)4 + (2y - 1)2018  0 .<br /> Tính giá trị của biểu thức M = 11x2y + 4xy2.<br /> Câu 4. (2,0 điểm) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn dãy tỉ số bằng nhau:<br /> 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d<br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> d<br /> <br /> Tính giá trị của biểu thức: M <br /> <br /> ab bc cd d a<br /> <br /> <br /> <br /> cd d a ab bc<br /> <br /> Câu 5. (2,0 điểm) Cho đa thức bậc hai: f  x   ax 2  bx  c<br /> <br /> (x là ẩn; a, b, c là hệ số).<br /> <br /> Biết rằng: f  0   2018 , f 1  2019 , f  1  2017 . Tính f  2019  .<br /> Câu 6. (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =<br /> <br /> 27  2 x<br /> (với x là số nguyên).<br /> 12  x<br /> <br /> Câu 7. (2,0 điểm) Tìm các số nguyên dương a, b, c thoả mãn a3+ 3a2 +5 = 5b và a + 3 = 5c<br /> Câu 8. (2,0 điểm) Cho góc xOy bằng 600. Tia Oz là phân giác của góc xOy. Từ điểm B bất kì trên<br /> tia Ox kẻ BH, BK lần lượt vuông góc với Oy, Oz tại H và K. Qua B kẻ đường song song với Oy cắt<br /> Oz tại M. Chứng minh rằng BH=MK.<br /> Câu 9. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M nằm bên trong tam giác sao cho<br /> MA=2cm, MB=3cm và AMC  1350 . Tính MC.<br /> Câu 10. (2,0 điểm) Từ 200 số tự nhiên 1; 2; 3;...; 200, ta lấy ra k số bất kì sao cho trong các số vừa<br /> lấy luôn tìm được 2 số mà số này là bội của số kia. Tìm giá trị nhỏ nhất của k.<br /> -------------HẾT-----------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!<br /> Họ và tên thí sinh: .................................... Số báo danh: ...............Phòng thi: .......<br /> <br /> PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU CHỌN HSG<br /> <br /> Năm học: 2017 – 2018<br /> Môn Toán – Lớp 7<br /> Hướng dẫn chung:<br /> -Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lôgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm<br /> tối đa.<br /> -Câu hình học, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó.<br /> Nội dung<br /> 10 .81  16.15<br /> 2 .5 .3  2 4.32.5 2<br /> A<br /> =<br /> 44.675<br /> 28.33.5 2<br /> <br /> Câu<br /> <br /> 4<br /> <br /> =<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> 4<br /> <br /> 2 4.3 2.5 2 (5 2.3 2  1) 225  1<br /> = 4<br /> 2 .3<br /> 2 8.33.5 2<br /> <br /> 2 5.7 14<br /> 224<br /> = 4 = 4 =<br /> 2 .3<br /> 2 .3 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> x 2 y 2 z 2 2 x 2 2 y 2 3z 2 2 x 2  2 y 2  3z 2  100<br /> x y z<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 4<br /> Từ<br />   ta suy ra:<br /> 9 16 25 18<br /> 32<br /> 75<br />  25<br />  25<br /> 3 4 5<br />  x  6<br /> <br /> 2<br />  y  8<br />  x  36<br />  x  10<br />  2<br /> Suy ra:  y  64  <br /> ( Vì x, y, z cùng dấu)<br />  x  6<br />  z 2  100<br />  y  8<br /> <br /> <br />  z  10<br /> <br /> KL: Có hai bộ (x; y; z) thỏa mãn là : (6; 8 ;10) và (-6; -8;-10)<br /> 4<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2018<br /> <br />  0 với mọi x, y nên<br /> Vì (x - 2)  0; (2y – 1)<br /> 4<br /> 2014<br />  0 với mọi x, y.<br /> (x - 2) + (2y – 1)<br /> 4<br /> Mà theo đề bài : (x - 2) + (2y – 1) 2014  0<br /> Suy ra (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 = 0<br /> Hay: (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2018 = 0<br /> <br /> suy ra x = 2, y =<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Khi đó tính được: M = 24.<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 4<br /> <br /> 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d<br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> d<br /> 2a  b  c  d<br /> a  2b  c  d<br /> a  b  2c  d<br /> a  b  c  2d<br /> 1 <br /> 1 <br /> 1 <br /> 1<br /> Suy ra :<br /> a<br /> b<br /> c<br /> d<br /> a bc  d a bc d a b c d a b c d<br /> <br /> <br /> <br /> (*)<br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> d<br /> Nếu a + b + c + d = 0  a + b = -(c+d) ; (b + c) = -(a + d)<br /> ab bc cd d a<br /> <br /> <br /> <br /> = -4<br />  M <br /> cd d a ab bc<br /> Nếu a + b + c + d  0 thì từ (*)  a = b = c = d<br /> ab bc cd d a<br /> <br /> <br /> <br /> = 4<br /> M <br /> cd d a ab bc<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> <br /> Từ:<br /> <br /> 4<br /> <br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> KL: ......<br /> <br /> 5<br /> <br /> Xét x =0: f (0)  2018  c  2018<br /> Xét x =1: f (1)  2019  a  b  c  2018  a  b  1 (1)<br /> Xét x =-1: f (1)  2017  a  b  c  2017  a  b  1 (2)<br /> Cộng vế (1) và (2) suy ra a=0<br /> Thay a=0 vào (1) tìm được: b=1<br /> Từ đó tìm được f  x   x  2018<br /> Suy ra: f  2019   1<br /> 27  2 x<br /> 3<br /> = 2+<br /> .<br /> 12  x<br /> 12  x<br /> 3<br /> Suy ra Q lớn nhất khi<br /> lớn nhất<br /> 12  x<br /> 3<br /> * Nếu x > 12 thì 12  x  0 <br />  0.<br /> 12  x<br /> 3<br /> * Nếu x < 12 thì 12  x  0 <br /> 0.<br /> 12  x<br /> 3<br /> Từ 2 trường hợp trên suy ra<br /> lớn nhất khi 12-x>0<br /> 12  x<br /> 3<br /> Vì phân số<br /> có tử và mẫu là các số nguyên dương, tử không đổi nên phân số có<br /> 12  x<br /> <br /> Ta có:<br /> <br /> 6<br /> <br /> Q=<br /> <br /> giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên dương nhỏ nhất.<br /> Hay 12  x  1  x  11<br /> Suy ra A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11<br /> <br /> 7<br /> <br /> Do a  Z+  5b = a3 + 3a2 + 5 > a + 3 = 5c<br /> Vậy 5b > 5c  b>c  5b  5c<br /> Hay (a3 + 3a2 + 5)  (a+3)<br /> 2<br />  a (a+3) + 5  a + 3<br /> Mà a2 (a+3)  a + 3  5  a + 3<br />  a + 3  Ư (5)<br /> Hay: a+ 3  {  1 ;  5 } (1)<br /> Do a  Z+  a + 3  4<br /> (2)<br /> Từ (1) và (2) suy ra a + 3 = 5  a =2<br /> Từ đó tính được: 5b =23 + 3.22 + 5 = 25 = 52  b = 2<br /> Và 5c =a + 3 = 2+3= 5  c = 1<br /> Vậy: a = 2; b = 2; c = 1<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> - Chứng minh tam giác BOM cân tại B vì<br /> <br /> x<br /> <br /> BOM  BMO  30<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> - BK là đường cao của tam giác cân BMO<br /> nên K là trung điểm của OM =>KM=KO (1)<br /> <br /> 0,5<br /> B<br /> <br /> 8<br /> <br /> z<br /> <br /> - Chứng minh BKO  OHB (c.h  g.n)<br /> M<br /> <br /> - Suy ra BH=OK (2)<br /> <br /> K<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> <br /> O<br /> <br /> - Từ (1) và (2) suy ra BH=MK. đpcm<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> H<br /> y<br /> <br /> 9<br /> <br /> - Dựng tam giác ADM vuông cân tại A<br /> D<br /> (D, B khác phía đối với AM)<br /> - Chứng minh ABM  ACD (c.g.c) vì:<br /> A<br /> AD=AM ( AMD vuông cân tại A)<br /> BAM  CAD (cùng phụ với CAM<br /> AB=AC (giả thiết)<br /> - Suy ra: CD=BM=3cm<br /> - Tính được MD2=AD2+AM2 = 8<br /> - Chỉ ra tam giác DMC vuông tại M<br /> M<br /> - Suy ra: MC2 = CD2-MD2 =9-8=1<br /> B<br /> C<br /> =>CD=1cm<br /> - Xét 100 số 101; 102; 103; ....; 200. Trong 100 số này rõ ràng không có số nào là bội<br /> của số kia (vì 101.2>200).<br /> Do đó k  101 (1)<br /> - Xét 101 số bất kì lấy ra từ 200 số đã cho: 1  a1  a2  a3  ...  a101  200 .<br /> Ta viết 101 số vừa lấy ra dưới dạng:<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> a1  2n1.b1<br /> a2  2n2 .b2<br /> a3  2n3 .b3<br /> ...........<br /> <br /> 10<br /> <br /> a101  2n101.b101<br /> <br /> Với ni là số tự nhiên, còn bi là các các số lẻ. ( i  1;101 )<br /> Suy ra các bi là các phần tử của tập gồm 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: {1; 3; 5; ...;199}.<br /> Vì có 101 các số bi mà chỉ có 100 giá trị nên sẽ tồn tại ít nhất 2 số bi và bj nào đó bằng<br /> nhau.<br /> n<br /> Suy ra trong hai số ai  2n .bi và a j  2 .b j sẽ có một số là bội của số còn lại.<br /> Như vậy nếu lấy ra 101 số trong 200 số đã cho thì luôn có 2 số mà số này là bội của số<br /> kia (2)<br /> Từ (1) và (2) suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 101.<br /> i<br /> <br /> j<br /> <br /> ----------Hết---------<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />