Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 8 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Trực Ninh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> HUYỆN TRỰC NINH<br /> <br /> ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI<br /> NĂM HỌC 2017 - 2018<br /> MÔN TOÁN LỚP 8<br /> Thi ngày 04 tháng 4 năm 2018<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> (Đề thi gồm 01 trang)<br /> <br /> ------------------------------Bài 1 (4,0 điểm)<br /> 1) Phân tích đa thức thành nhân tử :<br /> 3<br /> 2<br /> a) x  x  14 x  24<br /> 4<br /> 2<br /> b) x  2018x  2017 x  2018<br /> 2) Cho x + y =1 và xy  0 . Chứng minh rằng :<br /> 2 x  y<br /> x<br /> y<br />  3<br />  2 2<br /> 0<br /> y 1 x 1 x y  3<br /> 3<br /> <br /> Bài 2 (3,0 điểm)<br /> a) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn : y 2  2 xy  3x  2  0<br /> b) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn 2 x 2 <br /> <br /> 1 y2<br /> <br />  4 sao cho tích x.y đạt giá trị lớn<br /> x2 4<br /> <br /> nhất.<br /> Bài 3 (3,0 điểm)<br /> a) Tìm đa thức f(x) , biết f(x) chia cho x+2 dư 10, chia cho x-2 dư 24, chia cho x 2  4 được<br /> thương là -5x và còn dư<br /> b) Cho p và 2p+1 là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p+1 là hợp số.<br /> Bài 4 (8,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AD là tia phân giác của góc<br /> BAC. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC, E là giao điểm của BN và DM,<br /> F là giao điểm của CM và DN.<br /> 1) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và EF // BC.<br /> 2) Gọi H là giao điểm của BN và CM. Chứng minh ANB đồng dạng với NFA và H là<br /> trực tâm AEF.<br /> 3) Gọi giao điểm của AH và DM là K, giao điểm của AH và BC là O, giao điểm của BK và<br /> AD là I. Chứng minh<br /> <br /> BI AO DM<br /> <br /> <br /> 9<br /> KI KO KM<br /> <br /> Bài 5 (2,0 điểm).<br /> a) Cho x > 0, y > 0 và m, n là hai số thực. Chứng minh rằng:<br /> <br /> m 2 n 2 (m  n) 2<br /> <br /> <br /> x<br /> y<br /> xy<br /> <br /> b) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn a.b.c = 1.<br /> Chứng minh rằng:<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 3<br />  3<br />  3<br /> <br /> a (b  c) b (c  a) c (a  b) 2<br /> 3<br /> <br /> -------------------HẾT-------------------Họ và tên thí sinh:……………..……............…… Họ, tên chữ ký GT1:……………………..<br /> Số báo danh:……………….……..............……… Họ, tên chữ ký GT2:……………………..<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI<br /> NĂM HỌC 2017 -2018 * MÔN TOÁN LỚP 8<br /> Đáp án<br /> 1) (2đ)<br /> 3<br /> 2<br /> a) x  x  14 x  24<br /> <br /> Bài<br /> <br />  x  2 x  x  2 x  12 x  24<br />  x2  x  2  x  x  2   12  x  2 <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> Điểm<br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br />   x  2   x  x  12 <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br />   x  2  x  3 x  4 <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x  2018x  2017 x  2018<br /> 4<br /> <br /> b)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br />  x4  2017 x2  x2  2017 x  2017  1<br />  x 4  x 2  1  2017 x 2  x  1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />   x2  x  1 x 2  x  1  2017  x 2  x  1<br /> <br />   x 2  x  1 x 2  x  2018<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> (2đ)Cho x + y =1 và xy  0 . CMR :<br /> <br /> 2)<br /> <br /> 2 x  y<br /> x<br /> y<br />  3<br />  2 2<br /> 0<br /> y 1 x 1 x y  3<br /> Với x + y =1 và xy  0 ta có :<br /> 3<br /> <br /> Bài 1<br /> (4đ)<br /> <br /> x<br /> y<br /> x4  x  y 4  y<br /> <br /> <br /> y 3  1 x3  1  y 3  1 x3  1<br /> <br />  x  y    x  y<br /> <br /> xy  x  x  1 y  y  1<br />  x  y   x  y   x  y   1<br /> <br /> xy  x y  xy  x  y   x  y  xy  2 <br />  x  y x  x  y  y<br /> <br /> 4<br /> <br /> 4<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> Bài 2<br /> (3đ)<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> xy x 2 y 2   x  y   2<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br />  x  y   x  x  1  y  y  1 <br /> xy  x 2  y 2  3<br /> <br /> <br /> <br />  x  y  x.  y  y.  x    x  y  2 xy <br /> <br /> <br /> <br /> 2  x  y <br /> x2 y 2  3<br /> <br /> xy  x 2 y 2  3<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> xy  x 2 y 2  3<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> KL :<br /> a) (1,5đ)Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn : y 2  2 xy  3x  2  0<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> y 2  2 xy  3x  2  0  x2  2 xy  y 2  x 2  3x  2<br /> <br /> 0,25<br /> <br />   x  y    x  1 x  2  *<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> VT * là số chính phương , VP * là tích 2 số nguyên liên tiếp nên phải có<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1 số bằng 0<br /> x 1  0<br />  x  1<br /> <br /> <br />  x  2  0  x  2<br /> <br /> Với x = -1 suy ra y = 1<br /> Với x = -2 suy ra y = 2<br /> KL :<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> b) (1,5đ)Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn : 2 x 2 <br /> <br /> 2<br /> <br /> 1 y<br /> <br />  4 sao cho<br /> x2 4<br /> <br /> tích x.y đạt giá trị lớn nhất<br /> Đk : x  0<br /> 2<br /> <br /> 1 y2<br />  2 1<br />   2 y<br /> 2x  2 <br />  4   x  2  2    x   xy   xy  2<br /> x<br /> 4<br /> x<br /> 4<br /> <br />  <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1 <br /> y<br /> <br />   x     x    xy  2<br /> x <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> y<br /> <br /> <br /> Vì  x    0;  x    0 với mọi x  0, mọiy<br /> x<br /> 2<br /> <br /> <br /> Do đó xy  2 mà x, y  Z<br />  x  1, y  2<br />  x  2, y  1<br /> Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : <br />  x  1, y  2<br /> <br />  x  2, y  1<br /> <br /> KL<br /> a) (1,5đ)Tìm đa thức f(x) , biết f(x) chia cho x+2 dư 10, chia x-2 dư 24,<br /> chia x 2  4 được thương là -5x và còn dư<br /> Giả sử f(x) chia cho x 2  4 được thương là 5x và dư ax+b<br /> Khi đó f(x) =  x 2  4   5x   xa  b<br /> 7<br /> <br /> <br /> 2a  b  24<br />  f  2   24<br /> a <br /> <br /> <br /> 2<br />  f  2   10 2a  b  10 b  17<br /> <br /> <br /> 7<br /> Do đó f (x)   x 2  4   5 x   x  17<br /> 2<br /> 47<br /> Vậy f (x)  5 x 2  x  17 .<br /> 2<br /> <br /> Theo đề ra ta có : <br /> <br /> Bài 3<br /> (3đ)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> b) (1,5đ)Cho p và 2p+1 là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR 4p+1 là hợp số.<br /> Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng p  3k  1 , p  3k  1 với k>1<br /> + Nếu p = 3k+1 thì 2p+1=6k+3=3(2k+1)<br /> Suy ra 2p+1 là hợp số (vô lí )<br /> + Nếu p = 3k-1 , k>1 thì 4p+1=12k-3=3(4k-1)<br /> Do k > 1 nên 4k-1 > 3 . Do đó 4p+1 là hợp số<br /> KL<br /> <br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> <br /> Bài4 (8<br /> đ)<br /> <br /> * Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông<br /> + Chứng minh AMD = 900; AND = 900; MAN = 900<br /> Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật<br /> + Hình chữ nhật AMDN có AD là phân giác của MAN nên tứ giác AMDN là<br /> hình vuông<br /> * Chứng minh EF // BC<br /> Cách 1:<br /> FM DB<br /> (1)<br /> <br /> FC DC<br /> DB M B<br /> + Chứng minh<br /> (2)<br /> <br /> DC M A<br /> <br /> + Chứng minh<br /> <br /> + Chứng minh AM = DN<br /> MB MB<br /> (3)<br /> <br /> MA DN<br /> M B EM<br /> + Chứng minh<br /> (4)<br /> <br /> DN ED<br /> EM FM<br /> + Từ (1), (2), (3), (4) suy ra<br /> <br /> ED FC<br /> <br /> + Suy ra EF // BC<br /> Cách 2:<br /> FM NA<br /> <br /> FC NC<br /> EM BE<br /> + Chứng minh<br /> <br /> NA BN<br /> ED BE<br /> + Chứng minh<br /> <br /> NC BN<br /> EM<br /> + Từ (2) và (3) suy ra<br /> NA<br /> EM NA<br /> + Suy ra<br /> (4)<br /> <br /> ED NC<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> + Suy ra<br /> Câu 1)<br /> 2,25 đ<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> + Chứng minh<br /> <br /> (1)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> (2)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> (3)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> ED<br /> NC<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> + Từ (1) và (4) suy ra<br /> <br /> EM FM<br /> <br /> ED FC<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> + Suy ra EF // BC<br /> * Chứng minh ANB ~ NFA<br /> + Chứng minh AN = DN. Suy ra<br /> <br /> 0,25<br /> AN DN<br /> (5)<br /> <br /> AB AB<br /> <br /> DN CN<br /> (6)<br /> <br /> AB CA<br /> CN FN<br /> + Chứng minh<br /> (7)<br /> <br /> CA AM<br /> <br /> + Chứng minh<br /> <br /> Câu 2)<br /> 2,75 đ<br /> <br /> FN FN<br /> (8)<br /> <br /> AM AN<br /> AN FN<br /> + Từ (5), (6), (7) và (8) suy ra<br /> <br /> AB AN<br /> <br /> + Chứng minh AM = AN . Suy ra<br /> <br /> + Chứng minh ANB ~ NFA (c.g.c)<br /> * Chứng minh H là trực tâm tam giác AEF<br /> Vì ANB ~ NFA nên NBA = FAN<br /> mà BAF + FAN = 900 . Suy ra NBA + BAF = 900<br /> Suy ra EH  AF. Tương tự FH  AE<br /> Suy ra H là trực tâm AEF<br /> Chứng minh<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> BI AO DM<br /> <br /> <br /> 9<br /> KI KO KM<br /> <br /> Vì H là trực tâm AEF nên AH  EF mà EF // BC nên AO  BC<br /> Lại có DM  AB nên K là trực tâm ABD. Suy ra BI  AD tại I<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> BI. AD AO. BD DM. AB<br /> BI AO DM<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> Ta có<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> KI KO KM KI. AD KO. BD KM. AB<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> S<br /> S<br /> S<br /> = ABD  ABD  ABD<br /> SAKD SBDK SAKB<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Đặt SAKD = a; SBKD = b; SAKB = c. Khi đó<br /> Câu 3)<br /> 2,5 đ<br /> <br /> SABD SABD SABD a  b  c a  b  c a  b  c<br /> =<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> SAKD SBDK SAKB<br /> a<br /> b<br /> c<br /> b a<br /> a c<br /> b c<br /> = 3 (  )  (  )  (  )<br /> a b<br /> c a<br /> c b<br /> b a<br /> Chứng minh:   2<br /> a b<br /> a c<br /> Tương tự :<br />  2<br /> c a<br /> b c<br />  2<br /> c b<br /> BI AO DM<br /> Suy ra :<br /> <br /> <br /> 9<br /> KI KO KM<br /> <br /> Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ABD là tam giác đều.<br /> Suy ra trái với giả thiết<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />