Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 8 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Vĩnh Bảo

UBND HUYỆN VĨNH BẢO<br /> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> (Đề có 1 trang)<br /> <br /> ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS<br /> MÔN TOÁN 8<br /> Thời gian làm bài 150 phút<br /> <br /> Bài 1. (3 điểm)<br /> a)Phân tích đa thức a 2 (b  c)  b2 (c  a)  c 2 (a  b) thành nhân tử.<br /> b)Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: (a  b  c)2  a 2  b2  c 2 .<br /> Tính giá trị của biểu thức: P=<br /> <br /> a2<br /> b2<br /> c2<br /> <br /> <br /> .<br /> a 2  2bc b 2  2ac c 2  2ab<br /> <br /> c)Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).<br /> Bài 2. (2 điểm)<br /> a) Tìm số tự nhiên n để n  18 và n  41 là hai số chính phương.<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1 <br /> 1  25<br /> <br /> b) Cho a, b > 0 thỏa mãn a  b  1 . Chứng minh  a     b    .<br /> b <br /> a<br /> 2<br /> <br /> <br /> Bài 3. (1 điểm)<br /> Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn. Vẽ ra phía ngoài hình bình hành các<br /> tam giác đều BCE và DCF. Tính số đo góc EAF.<br /> Bài 4. (3 điểm)<br /> Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’, BB’, CC’ và H là trực tâm<br /> a) Chứng minh BC’.BA + CB’.CA=BC2<br /> HB.HC HA.HB HC.HA<br /> <br /> <br /> 1<br /> AB. AC BC. AC BC. AB<br /> c) Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt AB,<br /> <br /> b) Chứng minh rằng<br /> <br /> AC lần lượt tại M và N. Chứng minh H là trung điểm của MN.<br /> Bài 5. (1 điểm)<br /> Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng cùng có tính chất chia hình vuông này<br /> thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng<br /> <br /> 2<br /> . Chứng minh rằng có ít nhất 505 đường thẳng trong<br /> 3<br /> <br /> 2018 đường thẳng trên đồng quy.<br /> -----Hết ----Giám thị số 1<br /> <br /> Giám thị số 2<br /> <br /> ............................................<br /> <br /> ............................................<br /> <br /> UBND HUYỆN VĨNH BẢO<br /> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> (Đề có 1 trang)<br /> <br /> Điểm<br /> chi<br /> tiết<br /> 0,25<br /> <br /> Lời giải sơ lược<br /> <br /> Bài 1<br /> Bài 1<br /> ( 3 điểm)<br /> <br /> GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP THCS<br /> ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN 8<br /> <br /> a) a2 (b  c)  b2 (c  a)  c 2 (a  b) = a2 (b  c)  b2 (a  c)  c2 (a  b)<br /> = a2 (b  c)  b2 (a  b)  (b  c)  c2 (a  b)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> = (a2  b2 )(b  c)  (c2  b2 )(a  b) =<br /> (a  b)(a  b(b  c)  (b  c)(b  c)(a  b)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 1,0<br /> <br /> a2<br /> b2<br /> c2<br /> <br /> <br /> a 2  2bc b 2  2ac c 2  2ab<br /> a2<br /> b2<br /> c2<br /> <br /> <br /> <br /> (a  b)(a  c) (a  b)(b  c) (a  c)(b  c)<br /> (a  b)(a  c)(b  c)<br /> <br /> 1<br /> (a  b)(a  c)(b  c)<br /> P<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> c) Vì x + y + z = 0 nên x + y = –z  (x + y)3 = –z3<br /> Hay x + y + 3xy(x + y) = –z  3xyz = x + y + z<br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 3<br /> <br /> Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)<br /> 5<br /> <br /> 5<br /> <br /> 5<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> = (a  b)(b  c) (a  b  b  c) = (a  b)(b  c)(a  c)<br /> b) (a+b+c)2= a2  b2  c2  ab  ac  bc  0<br /> a2<br /> a2<br /> a2<br /> <br /> <br /> a 2  2bc a 2  ab  ac  bc (a  b)(a  c)<br /> c2<br /> c2<br /> b2<br /> b2<br /> <br /> <br /> Tương tự: 2<br /> ; 2<br /> b  2ac (b  a)(b  c) c  2ac (c  a)c  b)<br /> <br /> 3<br /> <br /> Cộng<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> = x + y + z + x (y + z ) + y (z + x ) + z (x + y )<br /> Mà x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z).<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 2<br /> <br /> Tương tự:y + z = x – 2yz ; z + x = y – 2zx.<br /> Vì vậy : 3xyz(x2 + y2 + z2)<br /> 5<br /> <br /> 5<br /> <br /> 5<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 5<br /> <br /> = x + y + z + x (x – 2yz) + y (y – 2zx) + z (z – 2xy) = 2(x +<br /> y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2)<br /> Bài 3<br /> <br /> Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2<br /> a) Để n  18 và n  41 là hai số chính phương<br />  n  18  p 2 và n  41  q 2  p, q N <br />  p 2  q 2   n  18   n  41  59   p  q  p  q   59<br /> <br />  p  q  1  p  30<br /> <br /> Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: <br />  p  q  59  q  29<br /> Từ n  18  p2  302  900 suy ra n  882<br /> Thay vào n  41, ta được 882  41  841  292  q2 .<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 1,0<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Vậy với n  882 thì n  18 và n  41 là hai số chính phương.<br /> 2<br /> b) Có:  a  b   0  a 2  b2  2ab  0  a 2  b2  2ab (*)<br /> (Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1  25<br /> 1<br /> <br /> <br /> Áp dụng (*), có:  a     5  a  <br /> b<br /> 4<br /> b<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 1  25<br /> 1<br /> <br /> <br />  5 b  <br /> b  <br /> a<br /> 4<br /> a<br /> <br /> <br /> <br /> 1 <br /> 1  25<br /> <br /> 1 <br /> 1 <br /> <br /> Suy ra:  a     b     5  a     b   <br /> b <br /> a<br /> 2<br /> b <br /> a <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1 <br /> 1  25<br /> <br /> <br />  1 1 <br />   a     b     5  a  b      <br /> b <br /> a<br /> 2<br /> <br />  a b <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1 <br /> 1  25<br /> <br /> 1 1<br />  a   b   <br />  5  5.    ( Vì a+b = 1)<br /> b <br /> a<br /> 2<br /> <br /> a b<br /> 1 1<br /> 4<br /> Với a, b dương, chứng minh  <br />  4 (Vì a+b = 1)<br /> a b ab<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> (Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b)<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1 <br /> 1  25<br /> <br /> Ta được:  a     b     5  5.4<br /> b <br /> a<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1 <br /> 1  25<br /> 1<br /> <br />   a     b    Dấu đẳng thức xảy ra:  a  b <br /> b <br /> a<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> <br /> Bài 3<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> D<br /> <br /> A<br /> C<br /> B<br /> <br /> F<br /> <br /> E<br /> <br /> Chứng minh được ABE  ECF<br /> Chứng minh được ABE  FCE(c  g  c)<br /> =>AE=EF<br /> Tương tự AF=EF<br /> =>AE=EE=AF<br /> =>Tam giác AEF đều<br /> => EAF  60o<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> Bài 4<br /> (3 điểm)<br /> A<br /> <br /> B'<br /> C'<br /> <br /> N<br /> H<br /> <br /> M<br /> <br /> B<br /> <br /> a)Chứng minh<br /> =><br /> <br /> A'<br /> <br /> C<br /> <br /> D<br /> <br /> BHC ' đồng dạng với BAB '<br /> <br /> BH BC '<br /> => BH .BB '  BC '.BA<br /> <br /> AB BB '<br /> <br /> (1)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Chứng minh BHA ' đồng dạng với BCB '<br /> BH BA '<br /> => BH .BB '  BC.BA '<br /> <br /> BC BB '<br /> <br /> (2)<br /> <br /> Từ (1) và (2) => BC '.BA  BA '.BC<br /> Tương tự CB '.CA  CA '.BC<br /> => BC '.BA  CB '.CA  BA '.BC  CA '.BC  ( BA ' CA ').BC  BC 2<br /> BH .CH BC '.CH S BHC<br /> BH BC '<br /> =><br /> <br /> <br /> <br /> AB BB '<br /> AB. AC BB '. AC S ABC<br /> AH .BH S AHB<br /> AH .CH S AHC<br /> Tương tự<br /> và<br /> <br /> <br /> CB.CA S ABC<br /> CB. AB S ABC<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> b) Có<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> HB.HC HA.HB HC.HA S ABC<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> AB. AC AC.BC BC. AB S ABC<br /> https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/<br /> c) Chứng minh được AHM đồng dạng với CDH (g-g)<br /> HM AH<br /> =><br /> (3)<br /> <br /> HD CD<br /> Chứng minh được AHN đồng dạng với BDH (g-g)<br /> AH HN<br /> =><br /> (4)<br /> <br /> BD HD<br /> Mà CD=BD (gt)<br /> (5)<br /> HM HN<br /> Từ (3), (4), (5) =><br /> => HM=HN<br /> <br /> HD HD<br /> =>H là trung điểm của MN<br /> <br /> =><br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 1,0<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Bài 5<br /> (1 điểm)<br /> <br /> Gọi E, F, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC và AD. Lấy<br /> các điêrm I, G trên EF và K, H trên PQ thỏa mãn: 0,25<br /> IE HP GF KQ 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> IF HQ GE KP 3<br /> <br /> Xét d là một trong các đường thẳng bất kỳ đã cho cắt hai AD, BC,<br /> EFlần lượt tại M, N, G’. Ta có<br /> AB( BM  AN )<br /> S ABMN 2<br /> 2<br /> EG ' 2<br /> 2<br />  <br />  <br />   G  G'<br /> CD(CM  DN ) 3<br /> SCDNM 3<br /> G'F 3<br /> 2<br /> hay d qua G<br /> Từ lập luận trên suy ra mỗi đường thẳng thỏa mãn yêu cầu của đề<br /> bài đều đi qua một trong 4 điểm G, H, I, K.<br /> Do có 2018 đường thẳng đi qua 1 trong 4 điểm G, H, I, K, theo<br />  2018 <br /> <br /> nguyên lý Dirichlet phải tồn tại ít nhất <br />   1  505 đường<br />  4 <br /> thẳng cùng đi qua một điểm trong 4 điểm trên. Vậy có ít nhất 505<br /> đường thẳng trong số 2018 đường thẳng đã cho đồng quy.<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br />