Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT Quế Sơn (Vòng 2)

UBND HUYỆN QUẾ SƠN<br /> PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO<br /> <br /> KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN<br /> NĂM HỌC 2017-2018<br /> Môn: Toán<br /> Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II<br /> Bài 1 (3,0 điểm):<br /> Cho ba số thực a, b, c thỏa a  b  c  0 .<br /> a) Chứng minh a 4  b4  c 4  2  a 2b2  b2c 2  c 2a 2  .<br /> b) Tính a 4  b4  c 4 khi có thêm điều kiện a 2  b2  c2  6 .<br /> Bài 2 (4,0 điểm):<br /> Tam giác ABC có số đo các cạnh là: a, b, c. Gọi 2 p là chu vi của tam giác. Chứng<br /> minh rằng :<br /> 1 1<br /> 4<br /> a)  <br /> a b ab<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1 1 1<br /> b)<br /> <br /> <br />  2   <br /> p a p b p c<br /> a b c<br /> c) Cho 2p = 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của a 2  b2  c 2<br /> Bài 3 (4,0 điểm):<br /> Cho phương trình:  x 2  1  x  3 x  5  m . Thực hiện:<br /> a) Giải phương trình với m = 9.<br /> b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 , x4 thỏa:<br /> 1 1 1 1<br />     1<br /> x1 x2 x3 x4<br /> Bài 4 (7,0 điểm):<br /> Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M<br /> khác B, C). Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho BN = CM. Tia AM cắt đường thẳng<br /> CD tại E.<br /> a) Chứng minh ∆OMN là tam giác vuông cân.<br /> b) Chứng minh MN // BE.<br /> c) Gọi H là giao điểm của OM với BE. Chứng minh CH vuông góc với BE.<br /> Bài 5 (2,0 điểm):<br /> Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 x 2  4 x  3 y 2  19<br /> ====HẾT====<br /> <br /> UBND HUYỆN QUẾ SƠN<br /> PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO<br /> <br /> KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN<br /> NĂM HỌC 2017-2018<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN VÒNG II<br /> Bài 1 (3,0 điểm):<br /> Từ a  b  c  0 được:<br /> a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc  0<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> (a  b  c )  4(ab  ac  bc)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> (a 2  b 2  c 2 ) 2  4(a 2b 2  a 2c 2  b 2c 2  a 2bc  b 2ac  c 2ab)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> (a 2  b 2  c 2 ) 2  4(a 2b 2  a 2c 2  b 2c 2  abc(a  b  c ))<br /> <br /> 0,50<br /> <br /> Thay a + b + c = 0 được:<br /> <br /> (a 2  b 2  c 2 ) 2  4(a 2b 2  a 2c 2  b 2c 2 )<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> a 4  b 4  c 4  2(a 2b 2  a 2c 2  b 2c 2 )<br /> <br /> 0,50<br /> <br /> Từ (a 2  b2  c 2 )2  4(a 2b2  a 2c 2  b2c 2 ) và<br /> <br /> (a 2  b 2  c 2 )2<br /> a  b  c  2  a b  b c  c a  được: a  b  c <br /> 2<br /> 2<br /> 6<br /> Thay được a 4  b4  c 4 <br />  18<br /> 2<br /> 4<br /> <br /> 4<br /> <br /> 4<br /> <br /> 2 2<br /> <br /> 2 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> 4<br /> <br /> 4<br /> <br /> Bài 2 (4,0 điểm):<br /> 1 1<br /> 4<br /> ab<br /> 4<br />  <br /> <br /> <br /> a b ab<br /> ab<br /> ab<br /> 2<br />  (a  b)  4ab (Do a > 0, b >0 nên ab(a+b)>0)<br /> <br />  (a  b)2  0<br /> <br /> 0,75<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,50<br /> 0,25<br /> <br /> Áp dụng a) được:<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 4<br /> 4<br /> <br /> <br />  ;<br /> p  a p b 2p  a b c<br /> 1<br /> 1<br /> 4<br /> 4<br /> 1<br /> 1<br /> 4<br /> 4<br /> <br /> <br />  ;<br /> <br /> <br /> <br /> p  a p c 2p  a c b p b p c 2p b  c a<br /> <br /> 0,50<br /> 0,25<br /> <br /> Cộng được:<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 4 4 4<br /> <br /> <br /> )  <br /> p a p b p c c b a<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1 1 1<br /> <br /> <br /> <br />  2(   )<br /> p a p b p c<br /> c b a<br /> 2(<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Có a 2  b2  2ab; b2  c 2  2bc; a 2  c 2  2ac<br /> <br /> 0,50<br /> <br /> Cộng được: 2(a 2  b2  c 2 )  2ab  2ac  2bc<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />  3(a 2  b2  c2 )  a 2  b2  c 2  2ab  2ac  2bc<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> (a  b  c) 2  2 p <br />  a b c <br /> <br /> 3<br /> 3<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> a  b  c có giá trị nhỏ nhất là 182: 3 = 108 khi a  b  c = 6.<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,50<br /> <br /> Bài 3 (4,0 điểm):<br />  x  1 ( x  1)  x  3 x  5  9<br /> <br /> 0,50<br /> <br /> ( x 2  4 x  5)( x 2  4 x  3)  9<br /> Đặt y = x 2  4 x  1 được:<br /> <br /> ( y  4)( y  4)  9  y 2  25  y  5 và y  5<br /> <br /> 0,50<br /> <br /> x2  4 x  1  5  x2  4 x  4  0  x  2<br /> x2  4 x  1  5  x2  4 x  6  0 được x  2  10 và x  2  10<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Từ phương trình ( x 2  4 x  5)( x 2  4 x  3)  m (*). Đặt y = x 2  4 x  1 được<br /> <br /> ( y  4)( y  4)  m<br /> <br /> 0,50<br /> <br /> y  m  16 và y   m  16<br /> 1 1 1 1<br /> x x<br /> x x<br />     1  1 2  3 4  1<br /> x1 x2 x3 x4<br /> x1 x2<br /> x3 x4<br /> Do x1; x2 ; x3 ; x4 có vai trò như nhau trong biểu thức.<br /> Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình:<br /> <br /> (*)<br /> <br /> x2  4 x  1  m  16  x 2  4 x  1  m  16  0<br /> Có: x1  x2  4 và x1.x2  1  m  16 .<br /> và x3 ; x4 là hai nghiệm của phương trình:<br /> <br /> (1)<br /> <br /> x2  4 x  1   m  16  x2  4 x  1  m  16  0<br /> Có: x3  x4  4 và x3.x4  1  m  16 .<br /> <br /> (2)<br /> <br /> 0,50<br /> <br /> 0,50<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Thay vào (*) được:<br /> <br /> 4<br /> 4<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br />  1 <br /> <br /> <br /> 1  m  16 1  m  16<br /> 1  m  16 1  m  16 4<br /> 2<br /> 1<br /> <br />  m  16  1  8  m  7<br /> (1  m  16)(1  m  16) 4<br /> <br /> 0,50<br /> <br /> Với m = -7 thì (*) có 4 nghiệm phân biệt. Kết luận m = -7.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Bài 5 (2,0 điểm):<br /> 2 x 2  4 x  2  21  3 y 2<br /> <br /> 2( x  1)  3(7  y )<br /> <br /> 0,50<br /> 0,25<br /> <br /> Do 2( x  1)2  0 nên y 2  7<br /> Xét : y = 0; y = ±1; y = ±2<br /> Do 2( x  1)2 là số chẵn  7  y 2 là số chẵn  y = ±1<br /> Được nghiệm (2; 1 ) ; (2 ; -1) ; (-4, 1) ; (-4 ; -1)<br /> <br /> 0,50<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> A<br /> <br /> N<br /> <br /> B<br /> <br /> O<br /> <br /> M<br /> H<br /> <br /> D<br /> <br /> C<br /> <br /> E<br /> <br /> Bài 4 (7,0 điểm):<br /> OBN và ∆OCM có:<br /> BN = CM (gt)<br /> OB = OC (ABCD là hình vuông)<br /> OBN = OCM = 450.<br />  ∆OBN = ∆OCM<br />  ON = OM<br /> (1)<br /> Và BON = COM  BON + BOM = COM + BOM<br />  NOM =COB = 900<br /> (2)<br /> Từ (1) và (2) được ∆NOM vuông cân tại O.<br /> AM BM<br /> (Theo Ta-Let)<br /> =<br /> ME MC<br /> Có BM = AN  NB = MC.<br /> AM AN<br /> Thay được:<br /> =<br />  MN // BE (Theo Ta-Let đảo)<br /> ME NB<br /> <br /> AB // CE <br /> <br /> MN // BE  BHM =  NMO = 450<br /> (1)<br />  BMH =  OMC (đối đỉnh)  BMH đồng dạng với OMC<br />  MH/MC = MB/MO<br /> Và có  HMC =  OMB (đối đỉnh)  MHC đồng dạng với MBO<br />  MHC = MBO = 450<br /> (2)<br /> 0<br /> 0<br /> 0<br /> Từ (1) và (2) được BMC = BHM + MHC = 45 + 45 =90 .<br /> Hay CH  BE.<br /> <br /> ====HẾT====<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,50<br /> 0,50<br /> 0,25<br /> 0,75<br /> 0,50<br /> 0,75<br /> 0,50<br /> 0,50<br /> 0,50<br /> 0,50<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />