Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 10 năm 2017-2018 có đáp án - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Chia sẻ: Lotte Xylitol Cool | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

97
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn làm tốt các bài tập Toán nâng cao, đồng thời các bạn sẽ không bị bỡ ngỡ với các dạng bài tập chưa từng gặp trong đề thi chọn học sinh giỏi sắp tới, hãy tham khảo Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 10 năm 2017-2018 có đáp án - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc dưới đây để ôn tập và làm quen với cấu trúc đề thi nhé. Chúc các em thi tốt!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 10 năm 2017-2018 có đáp án - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN 10 – THPT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (2,0 điểm). Tìm tập xác định của hàm số f  x   2017 4  3x  x 2  2018 x 2x2  6 x . Câu 2 (2,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  ( x  m)( x  5) xác định trên đoạn [  2;5] . Câu 3 (2,0 điểm). Giả sử phương trình x 2  mx  4  0 có hai nghiệm x1 , x2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  2  x1  x2   7 . x12  x22 Câu 4 (2,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m x  2  m x  1  m  3 có nghiệm. Câu 5 (2,0 điểm). Giải bất phương trình: x 2  2 x  3  x 2  1  x 2  4 x  3. 1  2 2  2 10  xy  2 3  x  y    x  y  Câu 6 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình:  2 x  1  5  x y  x, y    . ACB  120. Gọi M là điểm thay đổi Câu 7 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại C có AB  4a,  sao cho MA  3MB. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MC. Câu 8 (2,0 điểm). Cho đường tròn  O  và 3 dây cung AA1 , BB1 , CC1 cùng song song với nhau. Gọi H1 , H 2 , H 3 lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC1 , BCA1 , CAB1 . Chứng minh ba điểm H1 , H 2 , H 3 thẳng hàng. Câu 9 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D , 1 AB  AD  CD . Giao điểm của AC và BD là E  3; 3 , điểm F  5; 9  thuộc cạnh AB sao 3 cho AF  5 FB . Tìm tọa độ đỉnh D , biết rằng đỉnh A có tung độ âm. Câu 10 (2,0 điểm). Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x  y  1  3xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  3x 3y 1 1   2  2. y ( x  1) x( y  1) x y -------------Hết----------Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………….……..…….…….….….; Số báo danh…………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 10 - THPT (Hướng dẫn chấm có 05 trang) I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm 2018 x Tìm tập xác định của hàm số f  x   2017 4  3 x  x 2  . 1 2,0 2 x2  6 x 4  3x  x 2  0 Đk:  2 0,5 2 x  6 x  0 1  x  4    x  3 0,5  x  0   1  x  0  3  x  4 Vậy tập xác định của hàm số là: D   1;0    3;4 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  ( x  m)( x  5) xác định trên đoạn [  2;5] . Hàm số xác định khi và chỉ khi ( x  m)( x  5)  0 - Nếu m  5 thì hàm số xác định trên (; m]  [  5; ) nên nó xác định trên đoạn  2;5. 0,5 0,5 2,0 0,5 0,5 - Nếu m  5 thì hàm số xác định trên (; 5]  [m; ) nên nó xác định trên đoạn  2;5 khi và chỉ khi m  2  5  m  2. 0,5 Vậy với mọi m  2 thì hàm số xác định trên đoạn  2;5. 0,5 Giả sử phương trình x 2  mx  4  0 có hai nghiệm x1 , x2 . Tìm giá trị lớn nhất 3 của biểu thức A  2  x1  x2   7 . x12  x22 Ta có   m 2  16  0 m   suy ra phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . x  x  m Theo Vi – ét ta có:  1 2  x1 x2  4 2  x1  x2   7 2  x1  x2   7 2m  7   2 Ta có A  2 2 2 x1  x2  x1  x2   2 x1 x2 m  8  Am 2  2m  8 A  7  0 (*) 7 TH1: A  0  m   2 2,0 0,5 0,5 0,5 TH2: A  0 1 Để phương trình (*) có nghiệm thì   0  8 A2  7 A  1  0    A  1 8 Vậy AMax  1 khi và chỉ khi m  1. 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m x  2  m x  1  m  3 có nghiệm. - Nếu m  0 thì phương trình đã cho vô nghiệm m3 - Nếu m  0 phương trình đã cho tương đương với | x  2 |  | x  1| . m Xét hàm số f ( x) | x  2 |  | x  1| , có đồ thị như hình vẽ sau: 0,5 2,0 0,5 0,5 Nghiệm của phương trình đã cho là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã vẽ m3 y  f  x  và đường thẳng y  . m m3 2m  3 3 3 0  m  0. Để phương trình đã cho có nghiệm: m m 2 3  m  0. Vậy 2 5 Giải bất phương trình: x 2  2 x  3  x 2  1  x 2  4 x  3. ĐK: x  (; 3]  {  1}  [3; ) . Dễ thấy x  1 là một nghiệm của bất phương trình. - Nếu x  3 thì BPT  ( x  1)( x  3)  ( x  1)( x  1)  ( x  1)( x  3)  x  3  x  1  x  3  2x  4  2 x2  4 x  3  x  3  2 x2  4 x  3  7  x x  7   3  x  8 x  7  1 4 7    3  x  7     x  1  4 7  x  3 3   3x 2  2 x  37  0   1 4 7  x  3    0,5 0,5 2,0 0,5 0,5 - Nếu x  3 thì BPT  (  x  1)(  x  3)  ( x  1)(1  x)  (  x  1)( x  3)  3  x  1  x   x  3  2 x 2  4 x  3  x  7 luôn đúng do x  3 , vậy mọi x  3 đều là nghiệm. 1  4 7  ;   . KL: Tập nghiệm của BPT là D  ( ; 3]  {  1}    3  0,5 0,5 6 1  2 2  2 10  xy  2 3  x  y    x  y  Giải hệ phương trình:  2 x  1  5  x y Đk: x  y  x, y     I  . 1 2 2   20 2 2  x  y    x  y   x  y   Hệ phương trình  I  tương đương   x  y    x  y   1  5  x y  a  3   b  2 x  y  a 2 2 2a  b  22     a  1 Đặt  suy ra hệ  I  trở thành  1  a  b  5 3 x  y  x  y  b      14  b  3  x  y  3 a  3 x  y  3 x  2  Với     1 b  2 x  y  1 y 1 x  y  x  y  2    1 4  10 x  y   x   3 3       1 7  2 10 3  10  1  x  y  x  y  y a        3 3 3   3 Với       1 4  10 b  14  x  y  1  14 x  y   x     x  y 3  3 3  3      7  2 10   y  3  10  x  y  3    3 Vậy hệ phương trình  I  có nghiệm  x; y  là  4  10 3  10   4  10 3  10  ; ; ;  3 3  3   3  Cho tam giác ABC cân tại C có AB  4a,  ACB  120. Gọi M là điểm thay đổi sao cho MA  3MB. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MC. 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5  2;1 ;  7 A B H M C I 2,0   Ta có MA  3MB  MA2  9MB 2  MI  IA    8MI 2  IA2  9 IB 2  2MI IA  9 IB *    2    9 MI  IB   2 0,5    a 9a Lấy điểm I sao cho IA  9 IB  IB  , IA  2 2 2 1 9a Khi đó *  IM 2   IA2  9 IB 2   8 4 0,5 Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I , bán kính R  3a 2 a 273 Gọi H là trung điểm của AB  IC  CH  IH  6 Do IC  R  độ dài đoạn thẳng CM nhỏ nhất khi M là giao điểm của đoạn thẳng 2 IC và đường tròn  I ; R  , hay CM  IC  R  OI 2  OC 2  R  8 9   273  9 a . 6 Cho đường tròn  O  và 3 dây cung AA1 , BB1 , CC1 cùng song song với nhau. Gọi H1 , H 2 , H 3 lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC1 , BCA1 , CAB1 . Chứng minh ba điểm H1 , H 2 , H 3 thẳng hàng.     OH1  OA  OB  OC1     OH 2  OB  OC  OA1     OH 3  OC  OA  OB1          Suy ra H1H 2  OH 2  OH1  OA1  OA  OC  OC1  AA1  C1C          H1H 3  OH 3  OH1  OC  OC1  OB1  OB  C1C  BB1      Vì AA1 , BB1 , CC1 song song nên AA1 , BB1 , CC1 cùng phương nên H1H 2 và H1H 3 cùng phương. Suy ra H1 , H 2 , H 3 thẳng hàng. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D , 1 AB  AD  CD . Giao điểm của AC và BD là E  3; 3 , điểm F  5; 9  thuộc 3 cạnh AB sao cho AF  5 FB . Tìm tọa độ đỉnh D , biết rằng đỉnh A có tung độ âm. A F 0,5 2 0,5 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 2,0 B E D I C Gọi I  EF  CD . Ta sẽ chứng minh tam giác EAI vuông cân tại E .             Đặt AB  a, AD  b . Khi đó a  b và a.b  0 . Ta có AC  AD  DC  b  3a .    1  5  1   5  1   FE  AE  AF  AC  AB  b  3a  a  3b  a 4 6 4 6 12     0,5