Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm 2013-2014 (Đề chính thức) - Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa

Chia sẻ: Ho Viet A | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

60
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo đề thi chính thức kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm học 2013-2014 do Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa biên soạn. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập môn Toán lớp 9.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm 2013-2014 (Đề chính thức) - Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HOÁ Năm học 2013 2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Số báo danh Ngày thi: 21/03/2014 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) ........................ x + 1 + xy + x + 1 : 1 − xy + x − x + 1 Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức A = . xy + 1 1 − xy xy − 1 xy + 1 1. Rút gọn biểu thức A. 1 + 1 =6 2. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của A. x y Câu II (5,0 điểm). 1.Cho phương trình x 2 2 m 2 x m 2 2m 4 0 . Tìm m để phương trình 2 1 1 có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2 2 . x1 x 2 x1 x2 15m x + y + z =1 2. Giải hệ phương trình . x 4 + y 4 + z 4 = xyz Câu III (4,0 điểm). 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1). 2. Tìm x, y, z N thỏa mãn x 2 3 y z. Câu IV (6,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD. 1. Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân. 2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng. 3. Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD. Câu V (1,0 điểm): Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1. 1 + 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 3 . x + y3 xy HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HOÁ Năm học 2013 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN Lớp 9 THCS ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 21/03/2014 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Ý Lời giải (vắn tắt) Điểm I 1 Điều kiện: xy 1. 0,25 (4,0đ) (2,5đ) A= ( ( x + 1) 1 − xy + ) ( ) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( 1 − xy ) : xy + x ( xy + 1) ( 1 − xy ) ( xy + 1) ( 1 − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) − ( x + 1) ( 1 − xy ) = ( xy + 1) ( 1 − xy ) 0,50 ( x + 1) ( 1 − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( 1 − xy ) = = ( xy + 1) ( 1 − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) − ( x + 1) ( 1 − xy ) 0,50 = 1+ x = 1 . x y + xy xy 1,25 2 1 + 1 1 1 (1,5đ) Theo Côsi, ta có: 6 = 2 9. x y xy xy 0,50 1 1 1 Dấu bằng xảy ra x = y x = y = . 9 0,50 1 Vậy: maxA = 9, đạt được khi : x = y = . 9 0,50 II 1 PT đã cho có hai nghiệm phân biệt co điêu kiên: ́ ̀ ̣ (5,0đ) (2,5đ) m 0 (*) 2 ' 0 m 2 m2 2m 4 0 0,50 x1 x2 4 2m Với m 0 theo Viet ta có: . x1 .x2 m2 2m 4 0,25 2 1 1 2 1 1 Ta có 2 2 2 (1) x 1 x 2 x1 x2 15m x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 15m 0,50 1 1 1 2 2 m 6m 4 m 2m 4 15m 0,50 1 1 1 4 4 4 15 . Đặt m t do m 0 t 0 m 6 m 2 m m m 0,50 1 1 1 t 4 Ta cos (1) trở thành t 4 ( do t 0 ) t 6 t 2 15 t 12 0,50 4 0,25 Với t 4 ta có m 4 m 2 thỏa mãn (*) m
2 Ta có: (2,5đ) x4 + y 4 y 4 + z 4 z 4 + x4 0,50 x4 + y 4 + z 4 = + + x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 = 2 2 2 x2 y2 + y 2 z 2 y 2 z 2 + z 2 x2 z 2 x2 + x2 y 2 0,50 = + + xyyz + yzzx + zxxy = 2 2 2 = xyz (x + y + z) = xyz ( vì x + y + z = 1). 0,50 x= y=z 1 Dấu bằng xảy ra x= y=z= x + y + z =1 3 1 1 1 0,50 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x = ; y = ; z = 3 3 3 III 1 Giả sử (a + b2) (a2b – 1), tức là: a + b2 = k(a2b – 1), với k * (4,0đ) (2,0đ) a + k = b(ka2 – b) a + k = mb (1) Ở đó m mà: m = ka – b m + b = ka 2 2 (2) 0,50 Từ (1) và (2) suy ra: (m – 1)(b – 1) = mb – b – m + 1 (m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k + 1 – ka) (3) Do m > 0 (điều này suy ra từ (1) do a, k, b > 0) nên m 1 (vì m ). Do b > 0 nên b – 1 0 (do b ) (m – 1)(b – 1) 0. Vì thế từ (3) suy ra: (a + 1)(k + 1 – ka) 0. 0,50 Lại do a > 0 nên suy ra: k + 1 – ka 0 k + 1 ka 1 k(a – 1) (4) Vì a – 1 0 (do a , a > 0) và k , k > 0 nên từ (4) có: a =1 k(a − 1) = 0 a=2 k(a − 1) = 1 k =1 0,25 Với a = 1. Thay vào (3) ta được: (m – 1)(b – 1) = 2 m −1 = 2 b −1 = 1 b=2 m −1 = 1 b=3 b −1 = 2 Vậy, trường hợp này ta có: a = 1, b = 2 hoặc a = 1, b = 3. 0,25 b =1 Với a = 2 (vì k = 1). Thay vào (3) ta có: (m – 1)(b – 1) = 0 . m =1 Khi b = 1, ta được: a = 2, b = 1. Khi m = 1: Từ (1) suy ra a + k = b b = 3. Lúc này được: a = 2, b = 3. 0,25 Tóm lại, có 4 cặp số (a; b) thỏa mãn bài toán là: (1; 2), (1; 3), (2; 3), (2; 1). 0,25 2 Ta có x 2 3 y z x 2 3 y z 2 yz 0,50 (2,0đ) 2 x y z 2 3 2 yz x y z 4 3 x y z 12 4 yz (1)
2 4 yz x y z 12 TH1. Nếu x y z 0 Ta có 3 (2) vô lý 4x y z 0,50 ( do x, y, z N nên vế phải của (2) là số hữu tỷ ). x y z 0 TH2. x y z 0 khi đó 1 (3) 0.50 yz 3 x 4 x 4 Giải (3) ra ta được y 1 hoặc y 3 thử lại thỏa mãn 0,50 z 3 z 1 IV (6,0đ) 1 E (2.5đ) D M I H F A C O B Ta có M thuộc đường tròn tâm O đường kính AB (giả thiết) nên ﾷ AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0,50 ﾷ hay FMB 0,50 = 900 . ﾷ Mặt khác FCB ﾷ = 900 (giả thiết).Do đó FMB ﾷ + FCB = 1800 . 0,50 Suy ra BCFM là tứ giác nội tiếp ﾷ CBM ﾷ = EFM ( 1) (vì cùng bù với ﾷ CFM ). 0,50 ﾷ Mặt khác CBM ﾷ = EMF ( 2 ) (góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn AM ﾷ ). Từ (1) và (2) ﾷ EFM ﾷ = EMF . Suy ra tam giác EMF là tam giác cân tại E. 0,50 (Co thê nhân ra ngay ́ ̉ ̣ ﾷ EMF ﾷ = MBA ﾷ = MFE nên suy ra EMF cân) ﾷ DIF ﾷ Gọị H là trung điểm của DF. Suy ra IH ⊥ DF và DIH = ( 3) . 2 2 0,50 (2.5đ) Trong đường tròn ( I ) ta có: DMF ﾷﾷ lần l và ﾷDIF 1 ượ ﾷ t là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung DF. Suy ra DMF = DIF (4). 2 0,50 ﾷ Từ (3) và (4) suy ra DMF ﾷ = DIH ﾷ hay DMA ﾷ = DIH .
Trong đường tròn ( O ) ta có: DMA ﾷﾷ = DBA (góc nội tiếp cùng chắn DA ﾷ ) ﾷ Suy ra DBA ﾷ . 0,50 = DIH Vì IH và BC cùng vuông góc với EC nên suy ra IH // BC. Do đó 0,50 ﾷ DBA ﾷ + HIB = 180o ﾷ DIH ﾷ + HIB = 180o Ba điểm D, I, B thẳng 0,50 hàng. 1 Vì ba điểm D, I, B thẳng hàng ﾷ ABI ﾷ = ABD = ﾷ . sđ AD 2 0,50 1 Mà C cố định nên D cố định ﾷ không đổi. sđ AD 2 0,50 Do đó góc ABI có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung BD. 1 1 − 2xy Ta có: B = + 1 = 1 + 1 = . (x + y) − 3xy(x + y) xy 1 − 3xy xy xy(1 − 3xy) 3 0.25 Theo Côsi: xy (x + y) = 1 . 2 4 4 1 − 2xy Gọi Bo là một giá trị của B, khi đó, x, y để: Bo = xy(1 − 3xy) 3Bo(xy)2 – (2 + Bo)xy + 1 = 0 (1) Để tồn tại x, y thì (1) phải có nghiệm xy = Bo2 – 8Bo + 4 0 Bo 4+2 3 0.25 Bo 4−2 3 Để ý rằng với giả thiết bài toán thì B > 0. Do đó ta có: Bo 4+2 3 . V(1đ) 2 + Bo Với Bo = 4 + 2 3 xy = = 3+ 3 x(1 − x) = 3+ 3 6Bo 6( 2 + 3) 6( 2 + 3) 2 3 2 3 1+ −1 1− −1 . x2 − x + 3 + 3 = 0 x= 3 ,x = 3 0.25 6( 2 + 3) 2 2 2 3 2 3 Vậy, Bmin = 4 + 2 3 , đạt được khi 1+ −1 1− −1 x= 3 , y= 3 2 2 2 3 2 3 hoặc 1− −1 1+ −1 . x= 3 , y= 3 0.25 2 2 Chú ý: 1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm. 3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.