Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Quảng Ninh lớp 12 THPT có đáp án môn: Toán – Bảng B (Năm học 2012-2013)

Chia sẻ: Phan Tour Ris | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

343
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo miễn phí đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Quảng Ninh lớp 12 THPT có đáp án môn "Toán – Bảng B" năm học 2012-2013 dưới đây để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Quảng Ninh lớp 12 THPT có đáp án môn: Toán – Bảng B (Năm học 2012-2013)

së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi häc sinh giái cÊp tØnh qu¶ng ninh líp 12 thpt n¨m häc 2012-2013 §Ò thi chÝnh thøc m«n : To¸n Họ và tên, chữ ký ( b¶ng B ) của giám thị số 1 Ngµy thi : 23/10/2012 ……………….. Thêi gian lµm bµi : 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) ……………...... (§Ò thi nµy cã 01 trang) Bµi 1 (4 ®iÓm): 1 + 2x − 3 1 + 3x Tính giới hạn sau : lim x→ 0 x2 Bµi 2 (3 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã C = α, B = β víi α < β, trung tuyến AM. Gäi ϕ lµ gãc nhän t¹o bëi AM víi c¹nh BC, chứng minh rằng: 2cotϕ = cotα - cotβ. Bµi 3 (4 ®iÓm): Giải bất phương trình: x + x + 6 x + 2 < 18 2 Bµi 4 (6 ®iÓm): Cho tam giác ñều ABC cạnh a, ñường thẳng (d) qua A vuông góc với mặt phẳng (ABC). Trên (d) lấy ñiểm M. Gọi I là trực tâm của tam giác MBC, H là trực tâm của tam giác ABC, giao ñiểm của ñường thẳng HI với (d) là N. 1. Chứng minh rằng tứ diện MNBC có các cặp cạnh ñối vuông góc với nhau 2. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên (d) thì tích AM.AN không ñổi. Bµi 5 (3 ®iÓm): a4 b4  a2 b2  a b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4 + 4 −  2 + 2  + + b a b a  b a với a, b là các số thực thỏa mãn a ≠ 0, b ≠ 0. ------------------------- HÕt -------------------------- Hä vµ tªn thÝ sinh: ................................................................. Sè b¸o danh: ........................
MA TRẬN ðỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN BẢNG B. ðỀ THI CHÍNH THƯC (ðề tự luận) Mức ñộ nhận thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Mức ñộ Mức ñộ Tổng Chủ ñề kiến thức thấp cao Giới hạn của hàm số 1 1 (lớp 11) 4 4,0 Hệ thức lượng giác trong 1 1 hình học phẳng (lớp 11) 3 3,0 Giải phương trình, bất 1 1 phương trình, hệ có sử dụng tính chất của hàm số (lớp 10, 12) 4 4,0 Hình học không gian 1 1 2 (lớp 11) 4 2 6,0 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 1 1 nhất của biểu thức có dùng tính chất của hàm số (lớp 10, lớp 12) 3 3,0 0 2 2 2 6 0,0 8,0 7,0 5,0 20,0
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN BẢNG B. ðỀ CHÍNH THƯC (Hướng dẫn chấm này có 03 trang) Bµi S¬ l−îc lêi gi¶i Cho ®iÓm Bài 1 1 + 2 x − 3 1 + 3x  1 + 2 x − ( x + 1)  + ( x + 1) − 3 1 + 3 x  Có : lim = lim     1,5 4 ñiểm x →0 x 2 x → 0 x 2    −x2 x 2 ( x + 3)  = lim  +  1  x  1 + 2 x + ( x + 1)  x ( x + 1) + ( x + 1) 3 1 + 3 x + 3 (1 + 3 x)   x →0 2 2 2 2       −1 x+3  −1 1 = lim  +  = +1 = 1,5 x →0    1 + 2 x + ( x + 1)  ( x + 1) + ( x + 1) 3 1 + 3 x + 3 (1 + 3 x)   2 2 2 2    Bài 2 * Trường hợp góc β nhọn: 3 ñiểm KÎ AH ⊥ BC, do α < β nên BH 2HM/AH = CH/AH - BH/AH , 0,5 hay 2 cotϕ = cotα - cotβ. Ta có ñpcm ! A B H M C * Trường hợp góc β tù: Chứng minh tương tự 0,5 Bài 3 TXð: x∈ (-2; +∞) 0,25 4 ñiểm Nếu x ∈[-2; 0] thì: BPT ñã cho có VT ≤ 4 + 0 + 6 2 < 18 = VP 0,5 Suy ra ∀x ∈[-2; 0] ñều là nghiệm của BPT ñã cho. 0,5 Nếu x > 0, xét hàm số y = f(x) = x + x + 6 x + 2 với x∈ (0; +∞) 2 Có f’(x) = 2x + 1 + 3/ x + 2 > 0 ∀x∈ (0; +∞) => f(x) ñồng biến trên (0; +∞) 0,75 Mà f(2) = 18 nên với x∈(0; +∞) ta có: BPT ñã cho f(x) < f(2) x
Bài Sơ lược lời giải Cho ñiểm Bài 4 4.1 (4 ñiểm) 6 ñiểm Gọi E là trung ñiểm BC, từ giả thiết suy ra H∈AE, I∈ME => IH cắt (d) tại N 0,5 Theo giả thiết (d)⊥mp(ABC) => (d)⊥BC hay MN⊥BC 1,0 Chứng minh ñược BH⊥mp(MAC) rồi suy ra BH⊥MC 1,0 Mà BI⊥MC nên MC⊥ mp(BHI), từ ñó suy ra MC⊥BN 1,0 Chứng minh tương tự, ñược MB⊥CN Vậy tứ diện MNBC có các cặp cạnh ñối vuông góc với nhau (ñpcm !) 0,5 4.2 (2 ñiểm) Chứng minh ñược: BC⊥mp(MAE) => BC⊥IH và MC⊥mp(BKF) => MC⊥IH suy ra IH⊥MB 1,0 Trong tam giác MNE, có: ANH = AEM (góc có cạnh tương ứng vuông góc) suy ra ∆ ANH ∼ ∆ AEM 0,5 AN AH a 3 2 a 3 a2 do ñó: = => AM.AN = AE.AH = . . = AE AM 2 3 2 2 Vậy tích AM.AN không ñổi (ñpcm !) 0,5 M A I B F H K E C N
Bài Sơ lược lời giải Cho ñiểm Bài 5 a b a2 b2 a 2 b2 a4 b4 ðặt: t = + => t ≥ 2 ; t = 2 + 2 + 2 ⇒ 2 + 2 = t − 2 => 4 + 4 = t 4 − 4t 2 + 2 . 2 2 3 ñiểm b a b a b a b a 0,5 a4 b4  a2 b2  a b Khi ñó: P = 4 + 4 −  2 + 2  + + = t 4 − 4t 2 + 2 − (t 2 − 2) + t = t 4 − 5t 2 + t + 4 b a b a  b a Xét hàm: f (t ) = t 4 − 5t 2 + t + 4 với t ≥ 2 , có: f '(t ) = 4t 3 − 10t + 1 ; f "(t ) = 12t 2 − 10 0,75 Với t ≥ 2 thì f”(t) > 0 => hàm f’(t) ñồng biến trên (-∞ ; -2] và [2; +∞). Nên : t > 2 => f’(t) > f’(2) = 13 > 0; t < –2 => f’(t) < f’(–2) = -11 < 0 0,75 Ta có bảng biến thiên : t –∞ –2 2 +∞ f’(t) – + +∞ +∞ f(t) –2 2 Mà f(-2) = - 2 < 2 = f(2), suy ra : min f(t) = –2 ; ñạt khi t = –2 a = – b ≠ 0 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -2, ñạt ñược khi a = - b ≠ 0 C¸c chó ý khi chÊm: 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược bài giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới ñược ñiểm tối ña. 2. Các cách giải khác nếu ñúng vẫn cho ñiểm. Tổ chấm trao ñổi và thông nhất chi tiết nhưng không ñược quá số ñiểm dành cho câu, phần ñó. 3. Có thể chia ñiểm thành từng phần nhưng không dưới 0,25 ñiểm và phải thống nhất trong cả tổ chấm. 4. ðiểm toàn bài là tổng số ñiểm các phần ñã chấm. Không làm tròn ñiểm 5. Mọi vấn ñề phát sinh trong quá trình chấm phải ñược trao ñổi trong tổ chấm và chỉ cho ñiểm theo sự thống nhất của cả tổ. SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH