Đề thi chọn học sinh giỏi cụm môn Toán lớp 11 năm 2021-2022 có đáp án - Cụm trường THPT, Hà Nội

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cùng tham gia thử sức với “Đề thi chọn học sinh giỏi cụm môn Toán lớp 11 năm 2021-2022 có đáp án - Cụm trường THPT, Hà Nội” để nâng cao tư duy, rèn luyện kĩ năng giải đề và củng cố kiến thức môn học nhằm chuẩn bị cho kì thi quan trọng sắp diễn ra. Chúc các em vượt qua kì thi học kì thật dễ dàng nhé!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi cụm môn Toán lớp 11 năm 2021-2022 có đáp án - Cụm trường THPT, Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 11 CỤM TRƯỜNG THPT NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Bài I (5,0 điểm) 1) Giải các phương trình sau : a) sin 2x  4 cos x  sin x  2  0; b) sin x cot 2x  cos 3x .  5x  2y  2x  y  5  2) Giải hệ phương trình  .  2x  y  x  y  1 Bài II (3,0 điểm) 1 6 1) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn A2x2  Ax2  C x3  10 . 2 x 5  2 2) Tìm hệ số của x trong khai triển  x 3  2  . 5  x  3) Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó có ít nhất một chữ số 1. Bài III (4,0 điểm) Cho dãy số  u n  thoả mãn u1  1, un 1  3un  2 , n  1 .   1) Chứng minh dãy số u n  1 là một cấp số nhân, tính u 50 . 1 1 1 3 2) Chứng minh   ...   . u1  1 u 2  1 u 100  1 4 vn 3) Tìm công thức tổng quát của dãy số v1  1; vn 1  , n  1 . 2vn  3 Bài IV (2,0 điểm) Tính giới hạn lim  2x  1  3 3x  2 . x 1 x 1 Bài V (6,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A ' B 'C ' D ' có các góc BAD  DAA '  BAA '  600 và tất cả các cạnh bằng a . 1) Chứng minh BA '  B 'C ' và tính độ dài cạnh AC ' theo a . 2) Lấy các điểm M , N , P thỏa mãn MA  MB  0, NB  2NC  0, 2PC  PC '  0. Dựng thiết diện của hình hộp ABCD.A ' B 'C ' D ' cắt bởi mặt phẳng (MNP ). D 'I 3) Mặt phẳng (MNP ) cắt đường thẳng D ' B tại I . Tính tỷ số . BI - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - Họ và tên thí sinh:.................................................... Số báo danh:..................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 11 CỤM TRƯỜNG THPT NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Câu Nội dung Điểm 1 1a sin x  2 (5,0đ) sin 2x  4 cos x  sin x  2  0  (sin x  2)(2 cos x  1)  0   cos x  1 1,0  2 +) sin x  2(l ) 1  +) cos x   x    k 2 . 1,0 2 3 1b k ĐK: sin 2x  0  x  . 0,25 2 sin x cot 2x  cos 3x  sin x. cos2x  cos 3x.sin2x 1 1  (sin 3x  sin x )  (sin 5x  sin x ) 1,0 2 2 5x  3x  k 2 x  k   sin 3x  sin 5x    x    k  0,5  5x    3x  k 2  8 4 k  k Kết hợp điều kiện x  suy ra x   . 2 8 4 0,5  k Vậy nghiệm của phương trình là x   . 8 4 2  5x  2y  a 5x  2y  a x  a  2b 2 2 2  Đặt  (a  0, b  0)     2x  y  b 2x  y  b 2 y  5b2  2a 2 0,25    Khi đó hệ phương trình trở thành  a  b  5  a  5  b    b  a 2  2b2  (5b2  2a 2 )  1 3(5  b)2  7b2  b  1  0   a  5  b b  2, a  3 0,5  2   4b  29b  74  0 b   37 (l )  4 5x  2y  9 x  1 Với  b  2, a  3    2x  y  4 y  2 Vậy hệ có nghiệm là 1; 2  0,25
2 1 Điều kiện: x  , x  3. 0,25 (3,0đ) ta có 1 2 6 1 6 x (x  1)(x  2) A2x  Ax2  C x3  10  .2x (2x  1)  x (x  1)   10 0,25 2 x 2 x 3!  x (2x  1)  x (x  1)  (x  1)(x  2)  10 0,25  3x  12  x  4. Kết hợp điều kiện suy ra x  3 hoặc x  4 0,25 2 5 5k  3 2 k 3k  2   5 5 5k  x   x2    C 5 x   2   C 5k 2 x 5k 10  k 0  x  k 0 0,5 Hệ số của x 5 trong khai triển thỏa mãn: 5k  10  5  k  3.   2 0,5 Vậy hệ số của x 5 trong khai triển là: C 53 2  40 3 Gọi số cần tìm là abcde 0,5 Số các số tự nhiên có 5 chữ số là: 9.104 Số các số tự nhiên có 5 chữ số trong đó không có chữ số 1 là: 8.94 0,25 Số các số tự nhiên có 5 chữ số trong đó có ít nhất 1 chữ số 1 là: 0,25 9.104  8.94  37512 số 3 1 Ta có: un 1  1  3(un  1) , n  1 (4,0đ)   Suy ra u n  1 là cấp số nhân với công bội 2 0,5 Ta có: u 50  1  3 . u 49 1   1  2.349 Suy ra u 50  2.349  1 0,5 2  1  1 Ta có    là cấp số nhân với công bội bằng .  un  1  3 0,5 100 1   1 1 1 1 1 3 1 3100  1 3 0,5   ...     u1  1 u 2  1 u 100  1 u 1  1 1 2 2.399 4 1 3 3 1 2vn  3 3   2  , n  1 vn 1 vn vn 0,25 1 Đặt wn   w1  1; wn 1  2  3wn , n  1 0,25 vn
Theo câu a suy ra wn  2.3n 1  1 0,25 1 Vậy vn  , n  1 0,25 2.3 n 1 1 4 (2,0đ) 1 lim  2x  1  3 3x  2   lim   2x  1  1  3  3x  2  1   x 1 x 1 x 1  x 1 x 1 . 0,5      2x  1  1   lim    2x  1  1    2    1.   lim lim 0,5 x 1   x 1 x 1 x 1   x  1 2 x  1  1    2x  1  1    lim 3 3x  2  1  lim   3x  2  1   x 1 x 1  3       x 1 2  x  1  3x  2  3x  2  1   3    0,5    3   lim    1.   x 1 2  3 3x  2  3x  2  1  3   lim  2x  1  3 3x  2   0. x 1 x 1 5 1 Ta có : BA '  AA '  AB (6,0đ) B ' C '  AD Suy ra 0,25  a2 a2 BA '.B ' C '  AA '  AB AD    0 2 2  0,25 Suy ra BA '  B 'C ' 0,5 AC '  AA '  AB  AD 0,25   2 2 AC '2  AC '  AA '  AB  AD  AA '2  AB 2  AD 2  2 AA '. AB  2 AA ' AD  2 AB AD  6a 2 0,5  AC '  6a 0,5 2 Gọi giao của MN với CD và AD là E và F 0,5 Gọi giao của MN với CD và AD là E và F 0,5 Gọi giao của EP với C’D’ và DD’ là Q và G 0,5
Gọi giao của FG với AA’ và A’D’ là S và R 0,5 Suy ra thiết diện là lục giác MNPQRS 3 Gọi H,K là giao của MN với BD và QR với B’D’ 0,25 Chứng minh tứ giác BKD’H là hình bình hành 0,5 Suy ra I là trung điểm của BD’ D 'I Vậy  1. BI